Metodologías para la modelización de un proceso SETAR.

Transcripción

1 Capítulo 5 Metodologías para la modelización de un proceso SETR. Las metodologías más utilizadas para modelizar un proceso SETR son las debidas a Tong y Lim (1980) y a Tsay (1989), posteriormente otros autores han realizado diferentes aportaciones enlasetapasdeidentificación y estimación de los parámetros. Esta investigación pretende realizar también una aportación en el área de la modelización del proceso SETR proponiendo un nuevo algoritmo que permita una mayor automatización de los procesos de identificación y estimación del modelo 1. En este capítulo vamos a abordar con cierto detalle las metodologías utilizadas para los modelossetr,estonosvaapermitirconocersus puntos fuertes y también sus limitaciones; a partir de este conocimiento será más fácil el diseño de una nueva propuesta metodológica. La metodología de Tong y Lim, que desarrollamos en la sección 5.1, es punto de referencia obligado cuando se estudian los modelos SETR; se caracteriza por su completitud, aunque en ella algunos procesos no están automatizados. La propuesta metodológica de Tsay (sección 5.2) mejora algunos de los problemas detectados en la de Tong, si bien no consigue una implemantación completa. Finalmente el trabajo de Thanoon (1990), que analizamos en la sección 5.3, resulta de gran interés pues permite un refinamiento automático del conjunto de modelos obtenidos aplicando el proceso algorítmico propuesto por Tong y Lim. En la sección 1 En los Capítulos 6 y 7 se presenta nuestra propuesta metodológica (MIEC). 83

2 5.4 comentaremos brevemente las aportaciones realizadas por otros autores. 5.1 Metodología de Tong y Lim (1980). Tong y Lim consideran las siguientes partes en el proceso de construcción de un modelo: 1. nálisis gráfico de los datos 2. Contrastación de la linealidad 3. Selección del modelo (Identificación y Estimación) 4. Diagnóstico El proceso se inicia estudiando diferentes representaciones gráficas que nos informan del comportamiento y la estructura de la serie temporal. Después se aplican un conjunto de tests que permiten detectar la no linealidad, su implementación algorítmica no supone ningún problema. La identificación y estimación se entrelazan en el proceso algorítmico propuesto por Tong. La primera se basa en la minimización del IC y permite determinar los parámetros estructurales: el número de regímenes del modelo l, los órdenes de los procesos autoregresivos k 1,...,k l (para cada régimen se define un proceso R(k i )), los valores umbral r 1,..,r l 1 que permiten determinar cada uno de los regímenes y el parámetro de retardo d de la variable umbral X t d. Para la estimación de los coeficientes se utiliza, como si de un proceso lineal R se tratase, mínimos cuadrados o máxima verosimilitud si se asume la normalidad de los residuos. Finalmente la parte de diagnóstico engloba un conjunto de pruebas, basadas principalmente en el análisis de los residuos, que permiten asegurar la bondad del modelo elegido. Dado que el objeto de esta investigación es la automatización del proceso de identificación del modelo SETR, vamos a prestar especial atención al proceso algorítmico propuesto por Tong (1983). Sin perder la generalidad, explicitaremos el funcionamiento del algoritmo para un SETR(2; k 1,k 2 ). En primer lugar recordemos la formulación del modelo: X t = a (1) 0 + a (1) 1 X t 1 + a (1) 2 X t a (1) k 1 X t k1 + ε (1) t si X t d r X t = a (2) 0 + a (2) 1 X t 1 + a (2) 2 X t a (2) k 2 X t k2 + ε (2) t si X t d >r 84

3 donde ε (1) t yε (2) t son procesos ruido blanco con V (ε (1) t )=σ 2 1 yv(ε (2) t )=σ 2 2 Los parámetros que para este modelo debemos estimar son: d, r; k 1,a (1) 0,a(1) 1,...,a(1) k 1,σ 2 1 ; k 2,a (2) 0,a(2) 1,..,a(2) k 2,σ 2 2 y se obtienen de la aplicación del algoritmo que detallamos a continuación y que la Figura 5.1 ilustra. lgoritmo de Tong: ntes de iniciarse la primera etapa del algoritmo es necesario determinar los posibles valores de d y r; este problema se soluciona considerando conjuntos que permiten una gran variabilidad, así para la estimación de d el conjunto considerado es {1, 2,,T} donde T es un valor que corresponde a la periodicidad observada en los datos y normalmente T L ( L es el orden máximo del proceso). El parámetro r varía en el conjunto {τ 1, τ 2,,τ s } donde los valores τ i, pueden corresponder a los percentiles de la distribución o a los propios valores de la serie una vez ordenados. Etapa 1. Fijados d = d 0 y r = r 0 se ajusta un modelo lineal R de orden máximo L para cada uno de los subconjuntos. La elección de L es subjetiva y usualmente está en relación con el tamaño muestral N (TongsugiereL = N α,α< 1 2 ). Para cada par de valores k 1 y k 2 (k 1 L y k 2 L) se obtiene una estimación de los coeficientes a (1) 0,a(1) 1,...,a(1) k 1,σ 2 1; a (2) 0,a(2) 1,.., a(2) k 2,σ 2 2 Sean ˆk 1 y ˆk 2 los valores que minimizan IC (k 1 ), IC (k 2 ) respectivamente, entonces se define IC(d 0,r 0 )=IC(ˆk 1 )+IC(ˆk 2 ) Etapa 2. Continuamos considerando d = d 0,peroahorar varía entre {τ 1, τ 2,,τ s }.Para cada uno de los valores de r (ycond = d 0 fijado)serepitelaetapa 1. Seleccionaremos el valor br, que hace mínimo el IC(d 0,r): IC(d 0, br) =min(ic(d 0,r)) 85

4 Etapa 3. Vamos a buscar la mejor estimación de d, de entre los elementos del conjunto {1, 2,,T}, para ello se repiten las etapas 1 y 2 y eligiremos el valor b d tal que NIC( b d) es mínimo. El NIC( b d) es una normalización del IC de manera que NIC( b d)=ic( b d, br)/(n N d ) donde N d =max(l, d). b l finalizar la etapa 3 se ha completado la identificación a partir de la minimización del IC. El valor de br correspondiente a d b es el valor final que minimiza el IC estimado, también se obtienen a partir de d b las estimaciones de ˆk 1 y ˆk 2. Una vez comentado el proceso algorítmico vamos a señalar los puntos débiles de su implementación informática: ntes de iniciarse la etapa 1, Tong supone conocido el parámetro l, es decir, el número de regímenes. La estimación del parámetro l se realiza localizando los cambios de tendencia en la estimación por kernel de las funciones de regresión de X t sobre X t j, cada cambio supone la existencia de un nuevo régimen; la implementación automática de este proceso es difícil. En el algoritmo de Tong los parámetros d y r varían en conjuntos con un gran número de elementos, esto permite abarcar todas las posibilidades, pero a su vez es fuente de gran variabilidad. Para seleccionar el modelo final se recogen los modelos obtenidos para cada tripleta (d, r, L) en una parrilla de variación tridimensional y se los somete a estudio para determinar aquel que comparte mayor número de características con los datos iniciales. Este proceso, que sin ninguna duda asegura la elección de un buen modelo, no es susceptible de ser implementado y por tanto lleva a una elección laboriosa y poco práctica cuando es necesario analizar en poco tiempo muchas series de datos. Sintetizando, podemos afirmar que la metodología de estimación propuesta por Tong y Lim (1980) supone una revisión general a todo el proceso de modelización, desde la inspección gráfica de la serie hasta la verificación del modelo mediante pruebas de diagnóstico, pero con ella no es posible la automatización de algunas etapas. Esto no es inconveniente para el analista experto en el estudio de series temporales, mas al contrario, la elaboración artesanal permite tener en cuenta todas las particularidades observadas en la serie. Sin embargo, un proceso de 86

5 LGORITMO DE TONG (1983) d {1,2,...,T}; r {τ 1, τ 2,,..., τ s }; k 1, k 2 L E T P 1 d = d o ; r = r o ; k 1, k 2 L juste R por Minimización IC E T P kˆ, kˆ 1 2 juste R por Minimización IC d = d o ; r {τ 1, τ 2,,..., τ s } 2 E T P 3 rˆ d {1,2,...,T} juste R por Minimización IC dˆ k ˆ, kˆ rˆ dˆ 1 2 Coeficientes de los procesos R y varianzas residuales Figura 5-1: Esquematización del algoritmo de Tong (1983). 87

6 modelización no automático implica un importante coste de tiempo, y más cuando el usuario de la información proporcionada por la serie no es un especialista en el ajuste de series temporales; es en este caso cuando la automatización del proceso puede garantizar una solución rápida y fiable (aunque quizás no óptima) al problema. 5.2 Metodología de Tsay (1989). Tsay es consciente que uno de los factores determinantes para la aplicación de una metodología es su sencillez, por eso en el artículo Testing and Modelling Threshold utoregresive Processes (1989) comenta que la complejidad de la metodología de Tong y Lim es una de las causas de que el modelo TR no se haya utilizado más ampliamente, en consecuencia, Tsay propone un proceso computacionalmente más sencillo para la construcción de modelos TR que aporta como novedad la incorporación del test TR-F 2 (Tsay, 1989). Este test permite verificar la adecuación a los datos de un modelo no lineal TR, además de estimar el parámetro de retardo d. Tsay sintetiza el proceso algorítmico de modelización en las siguientes etapas (Figura 5.2). lgoritmo de Tsay: Etapa 1. Selección del orden p del proceso R para el total de los datos, y especificación del conjunto S = {1, 2,,p} de posibles parámetros de retardo. Etapa 2. Se realiza una autoregresión ordenada para un valor p fijado y para el conjunto de valores de d, obteniéndose al utilizar el test TR-F de no linealidad, el valor del estadístico bf (p, d) para cada uno de los elementos del conjunto S. quel valor de S para el que se detecta la no linealidad del proceso lo denominamos d p ycorrespondealaestimacióndelparámetrode retardo d. Etapa 3. Parap y d p localizar los valores umbral r i utilizando diagramas de dispersión. Etapa 4. Refinar el orden de cada modelo R y de los valores umbral usando técnicas de autoregresión lineal. Este proceso de refinamiento se basa en la comparación de los modelos obtenidos al variar ligeramente los valores de k i (órdenes de cada uno de los procesos autoregresivos ) y los valores de los umbrales r i. El algoritmo propuesto por Tsay mejora en algunos aspectos el algoritmo de Tong, aunque 2 Este test ya ha sido presentado en el Capítulo 3. 88

7 E T P {X t } Seleccionar p 1 E T P 2 p Test TR-F S = {1, 2,..., p} No Linealidad E T P dˆ = d p Diagramas de dispersión 3 rˆi E T P 4 utoregresión Lineal Coeficientes de los procesos R y varianzas residuales Figura 5-2: Esquematización del algoritmo de Tsay (1989). 89

8 sigue presentando puntos débiles si pensamos en su automatización. continuación exponemos las ventajas y debilidades del algoritmo: En la primera etapa se realiza el ajuste de un modelo R para el total de los datos, se obtiene así el orden bp, valor que acota superiormente el orden de cada uno de los procesos autoregresivos definidos en cada régimen. Este proceso es menos arbitrario que el propuesto por Tong para determinar L, y por tanto, nos parece más adecuado. En esta etapa Tsay concreta cuales son los posibles valores de retardo en el conjunto S ={1, 2,,p}, esto también supone una mejora respecto al algoritmo de Tong pues en éste no existe una regla que nos informe del valor máximo de los elementos de este conjunto. La introducción en la segunda etapa del proceso del test TR-F hace posible determinar de manera exacta el valor del parámetro de retardo d. En el algoritmo de Tong la estimación de este parámetro no es directa y está sometida a un refinamiento final basado en la comparación de las características observadas en los datos y las de los modelos obtenidos al variar d, r y L. Las dos primeras etapas del algoritmo de Tsay pueden ser automatizadas sin problema, en cambio en la etapa 3 la estimación de los umbrales r i es, como ya se ha comentado, el resultado de la observación visual del diagrama de dispersión. Una solución utilizada tanto por Tong como por Tsay para obtener los umbrales consiste en minimizar la suma de cuadrados de los errores obtenidos al ajustar un modelo para cada conjunto de posibles valores umbrales. El resultado de este proceso de minimización permite seleccionar los valores r i que hacen mínima la suma de cuadrados y que tomaremos como estimaciones de los umbrales. En la última etapa Tsay estima los coeficientes a (j) i de los procesos autoregresivos utilizando mínimos cuadrados condicionados; después, al igual que Tong, realiza un refinamiento entre todos los posibles modelos, pero en este caso el número de modelos se ha reducido pues hemos estimado d en la etapa 2. El proceso propuesto por Tsay es planteado como una simplificación de la metodología de estimación de Tong y Lim (1980) que, aunque no consigue automatizar todo los procesos, incorpora importantes mejoras. Las más destacables son, como ya hemos comentado, la determinación del orden máximo de los proceso autoregresivos p (ajustando un modelo R) y la incorporación del test TR-F que permite la estimación del valor de retardo d. 90

9 5.3 Metodología de Thanoon(1990). Basándose en la metodología propuesta por Tong y Lim, Thanoon en 1990 presenta un método de estimación de los órdenes y los coeficientes de los procesos autoregresivos de forma directa. El autor observa que, al estimar un modelo SETR para un conjunto real de datos algunos de los coeficientes autoregresivos intermedios son muy pequeños en comparación con sus errores estándares, en base a esta comparación se realiza una selección de los retardos significativos, procedimiento según Thanoon (1984) no proporciona una selección eficiente. La metodología propuesta da respuesta a la situación planteada en el párrafo anterior, estimando un modelo donde los coeficientes que aparecen no pueden ser obviados. Supongamos que a partir de un conjunto de datos {X t } estimamos un modelo SETR(2; p, q) X t = a 0 + a 1 X t 1 + a 2 X t a p X t p + ε (1) t si X t d r X t = b 0 + b 1 X t 1 + b 2 X t b q X t q + ε (2) t si X t d >r donde ε (1) t y ε (2) t son procesos ruido blanco con V (ε (1) t )=σ 2 1 y V (ε(2) t )=σ 2 2. El valor umbral es r, d el valor retardo y p y q los órdenes de los procesos autoregresivos de cada régimen. partir de este modelo Thanoon define un modelo SSETR de la siguiente manera: Definición 23: (Thanoon, 1990) Modelo SSETR (2; p 1,p 2,,p k ; q 1,q 2,,q m ): Supongamos que a p1,a p2,,a pk son parámetros diferentes de cero y que p 1, p 2,, p k son un subconjunto del conjunto de los enteros {1, 2,,p} con 1 p 1 <p 2 < <p k p. De la misma manera b q1,b q2,,b qm son parámetros diferentes de cero y q 1, q 2,, q m son un subconjunto del conjunto de los enteros {1, 2,,q} con 1 q 1 <q 2 < <q m q. Entonces el modelo X t = a 0 + a p1 X t p1 + a p2 X t p2 + + a pk X t pk + ε (1) t si X t d r X t = b 0 + b q1 X t p1 + b q2 X t p2 + + b qm X t qm + ε (2) t si X t d >r donde ε (1) t yε (2) t son procesos ruido blanco con V (ε (1) t )=σ 2 1 yv(ε (2) t )=σ

10 es un modelo SSETR de dos regímenes con retardos autoregresivos p 1,p 2,,p k en el primer régimen y q 1,q 2,,q m en el segundo régimen. El modelo SSETR anteriormente definido se caracteriza por incluir solo aquellos retardos que son significativos para el modelo. Para realizar la estimación Thanoon propone un algoritmo que pocede en dos etapas y que ilustramos en la Figura 5.3: lgoritmo de Thanoon: Etapa 1. Se ajusta un modelo SETR completo para obtener las estimaciones de los parámetros r y d. Thanoon utiliza la metodología de estimación propuesta por Tong y Lim. Etapa 2. Mediante un algoritmo, se ajusta el modelo autoregresivo que contiene el subconjunto de variables retardadas más significativas para cada régimen. El algoritmo que Thanoon propone para realizar este ajuste es debido a Haggan-Oyetunji (1984) y evalua todas las posibles regresiones a partir del método propuesto por Furnival (1971), la estimación de los coeficientes se realiza a partir de las ecuaciones de Yule-Walker. En esta etapa Thanoon utiliza la minimización del IC como criterio para seleccionar el mejor subconjunto de variables autoregresoras, aunque Haggan-Oyetunji en su propuesta utilizan el BIC. Podemos pensar que el algoritmo propuesto por Thanoon es una mejora de la metodología de Tong y Lim, pues ésta es la que utiliza en su primera etapa. La filosofía general del procedimiento algorítmico propuesto por Thanoon nos parece correcta, pero creemos que son mejorables los siguientes aspectos: En primer lugar es necesario generalizar el algoritmo para modelos SSETR con más de dos regímenes. El algoritmo propuesto por Haggan-Oyetunji no es el único que nos permite obtener todas las posibles regresiones en cada régimen. Teniendo en cuenta la capacidad de cálculo de los actuales ordenadores es posible estimar los coeficientes de todas las posibles regresiones a partir del método de mínimos cuadrados condicionados. Considerar únicamente la minimización del IC como criterio de selección no nos parece suficiente. Habida cuenta de los problemas de sobrestimación que puede producir la utilización de este criterio, creemos conveniente posibilitar en el proceso la elección de otros criterios ( por ejemplo el BIC y el ICc ) además del IC. 92

11 { X t } ETP 1 Metodología de TONG SETR (2; p 1,p 2 ) ETP 2 lgoritmo de HGGN- OYENTUJI SSETR (2; p 1,...,p k; q 1,..., q m ) Figura 5-3: Esquematización del algoritmo de Thanoon. 93

12 En la aplicación de este algoritmo a diferentes ejemplos (Thanoon, 1990) observamos que el valor de m (número de variables regresoras en cada uno de los regímenes) varía dentro de un conjunto propuesto por Thanoon. Por ejemplo, partiendo de un orden máximo de los proceso R igual a 12, considera que el número de variables regresoras en la estimación de un SSETR, m varía entre 3 m 6. Esta elección de los valores de m no nos parece correcta pues descarta la posibilidad de obtener modelos con pocas (m =1, 2) o muchas (m =7, 8,, 12) variables. Nuestra propuesta no debe prescindir, a priori, de ningún posible subconjunto de variables regresoras, será el criterio de especificación automática elegido el que seleccione el modelo más adecuado. Los modelos obtenidos a partir del algoritmo propuesto por Thanoon no tienen por que ser modelos con retardos correlativos en las variables regresoras, es decir, puede obtener modelos definidos a partir de procesos R(k) y con un número de regresores inferior a k. Por ejemplo al modelizar para la serie de Linces canadienses Thanoon estima el siguiente modelo: SETR(2 : 1, 4, 10, 11; 1, 2, 10, 11) (5.1) X t = X t X t X t X t 11 + ε (1) t (0.2650) (0.0466) (0.0468) (0.0919) (0.0819) si X t X t = X t X t X t X t 11 + ε (1) t (0.6658) (0.1452) (0.2382) (0.1130) (0.1229) si X t La elección de este modelo es debida a que, según Thanoon, su NIC es mínimo; más concretamente de entre los modelos con 3, 4, 5 y 6 regresores el NIC menor es el que correponde a un SETR con 4 regresores en cada régimen y de entre estos el anterior es aquel para el cual se alcanza el valor mínimo. Como demostraremos al realizar nuestra propuesta metodológica este resultado no es correcto 3 : El valor 3 Ver Teorema 24, capítulo 6. 94

13 del NIC es mínimo para un modelo SETR si los procesos R de cada uno de sus regímenes tienen regresores con retardos consecutivos. Esta metodología puede dar lugar a modelos en que la variable retardo no aparezca en ninguno de los procesos autoregresivos que lo configuran (vease el ejemplo anterior: en el X t 2 no aparece en el primer proceso autoregresivo). No nos parece natural que una variable que recoge información tan determinante para el modelo no sea considerada después en el proceso de generación de los datos. 5.4 Otras metodologías. Un problema no resuelto por los métodos expuestos es la obtención de un proceso de estimación de los umbrales susceptible de ser completamente automatizado. Muchas han sido las aportaciones realizadas por diferentes autores 4, vamos a distinguir entre las que plantean un proceso complétamente nuevo para realizar la identificación y estimación del modelo, y las que abordan únicamente la estimación de parámetros Métodos que realizan de forma completa la identificación y estimación del modelo. Los clasificamos en métodos paramétricos y no paramétricos. Métodos paramétricos: lgoritmo SDM o algoritmo de identificación y estimación para modelos dependientes de estados. Desarrollado por Haggan, Heravi y Priestley (1984) para la identificación yestimacióndelmodelosdm states dependent model o modelo dependiente de estados. Este modelo fue propuesto por Priestley en 1980 e incluye el modelo TR. Un primer intento de realizar un proceso automático de identificación, estimación y predicción es debido en 1988 a Davies, Pemberton y Petrucelli. 4 ElesquemarepresentadoenlaFigura5-4resumelasdiferentesalternativas. 95

14 Modelos LSTR y ESTR Enfoque paramétrico Enfoque no paramétrico Modelos Continuos Proceso completo de identificación y estimación Regresión por Umbrales lgoritmo SDM MRS OTRS METODOLOGÍS Estimadores tipo Kernel Estimación de parámetros Modelo STR Estimación Bayesiana (umbral y retardo) Figura 5-4: Clasificación de otras metodologías para la modelización de un SETR. 96

15 Teräsvirta (1994) propone un proceso para la identificación yestimacióndelosmo- delos LSTR logistic smooth threshold autoregressive models yestr exponen- tial smooth threshold autoregressive models, este proceso es menos limitado que el propuesto por Tsay y sus resultados pueden aplicarse a los modelos TR (el modelo TR es un caso particular de los modelos LSTR). Método de regresión por umbrales threshold regression propuesto por Hansen (1999b). En este método, pensado para modelos de regresión, la estimación de los coeficientes se realiza utilizando mínimos cuadrados ordinarios y la estimación del umbral también se realiza mediante mínimos cuadrados tomando como estimador aquel valor que minimiza la suma de errores al cuadrado (Chan 1993 y Hansen 1999a). Lo más novedoso de la propuesta de Hansen es la teoría asintótica no estandar que elabora (utilizando técnicas boostrap) y que le permite testar la existencia de uno o varios umbrales, elaborar intervalos o regiones de confianza para el umbral estimado, y también determinar la distribución asintótica de los coeficientes. Los métodos propuestos por Hansen son utilizados por Franses y Van Dijk (2000) para la estimación de los parámetros de un modelo TR. Otra alternativa interesante consiste en estudiar las versiones en tiempo continuo de losmodelossetr.enmuchasocasioneselanálisisesmásfácilypermiteobtener soluciones analíticas. lgunos de los trabajos más importantes en este área han sido elaborados por: Stramer (1996), Brockwell (1994), Brockwell y Hyndman (1992), Tong y Yeung (1991) y Tong (1992), Chan y Tsay (1998). Métodos no paramétricos: MRS Multivariate daptative Regression Splines método propuesto por Lewis y Stevens en Tjostheim y uestad (1994a,1994b) presentan un método de identificación y estimación de retardos de gran simplicidad que se basa en estimadores tipo kernel. 97

16 5.4.2 Métodos de estimación de parámetros. Se han elaborado también métodos que pretenden mejorar únicamente el proceso de estimación de algunos parámetros: Chan (1990) trata el problema de estimación del umbral para un modelo SETR (2; k, k), aunque los resultados obtenidos son interesantes no se obtiene un estimador para r i de forma explícita. Otra propuesta es la realizada por Chan y Tong (1986), estos autores introducen el suavizado en los modelos TR obteniendo así una nueva clase de modelos: los modelos STR smooth threshold autoregressive models que incluye los modelos SETR. Las técnicas de estimación bayesiana han sido utilizadas por Forbes, Kalb y Kofman (1999) para estimar los valores umbrales y también el parámetro retardo. lgunos autores han abordado desde diferentes perspectivas la selección de variables regresoras entre ellos destacamos los trabajos de Yao y Tong (1994), Chen (1995), Harvill y Ray (2000). El proceso de identificación y estimación de los parámetros de un modelo SETR no está todavía completado. Existen muchas lineas de investigación abiertas y esto es, sin duda, una prueba del interés que el modelo y su aplicación despierta. 98