TSTC. Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones Tema 4 PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS

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1 Dpt. Teoría de la Señal, Telemática y Comunicaciones Tema 4 PLANIFICACIÓN DE TRAYECTORIAS

2 Secciones 1. Introducción. 2. Trayectorias Interpoladas. 1. Trayectorias Interpoladas con Funciones polinómicas. 2. Trayectoria Trayectorias Interpoladas con Funciones Lineales 3. Trayectorias Cartesianas. 2

3 1. Introducción. La realización de cualquier movimiento implica dos tareas: Planificación de la Trayectoria. Control del Movimiento. 3

4 1. Introducción. En que consiste? Obtención de las funciones temporales 0 T N (t) que nos llevan desde una localización inicial (T ini ) hasta otra final (T fin ). O, alternativamente: q(t)=(q 1 (t), q 2 (t),, q N (t)). Tipos de trayectorias: Trayectorias punto a punto: Evolución independiente de cada articulación. Sólo útiles en tareas a manipulador parado. Trayectorias continuas: 0 T N (t) es conocida. Trayectorias suaves. Útiles en tareas con el brazo en movimiento. 4

5 1. Introducción. Tipos de Trayectorias Continuas: Trayectorias interpoladas Trayectorias Cartesianas Algoritmos más sencillos. Fácil control. Riesgo de choques con obstáculos. Control directo del movimiento en el espacio cartesiano. Ortogonalidad (separación rotación/translación) Mayor dificultad de implementación y control. 5

6 2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con funciones polinómicas. Trayectoria polinómica desde una posición inicial a otra final. Condiciones para trayectoria suave: Continuidad en la velocidad. Grado del polinomio θ(t) menor posible. 6

7 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Condiciones a satisfacer: 4 polinomio de grado 3. Aplicando las (4) condiciones de contorno: 7

8 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Ejemplo: θ 0 = 15º, θ f = 75º, t f = 3 seg. 8

9 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Es conveniente dar puntos intermedios ( Por qué?). Podemos emplear un polinómio cúbico para cada segmento y replicar el método. Discusión del caso anterior: θ 0 = 15º, θ 1 = 75º, θ f = 135º, t 01 = 3 seg, t 1f = 3 seg. 9

10 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Trayectorias con varios segmentos: Recorrido por secuencia varias posiciones intermedias. Cada segmento emplea un polinómio cúbico. Se garantiza continuidad en la posición y velocidad. Ventajas e inconvenientes. 10

11 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Inconvenientes: No se asegura la continuidad en la aceleración. Problema mayor: fijar las velocidades intermedias. Solución: intercambio de las restricciones anteriores. No se indica velocidad en los puntos intermedios. A cambio se asegura la continuidad en la aceleración. 11

12 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Caso sencillo con dos segmentos [θ 0, θ v, θ g ]: Nótese los intervalos de tiempo. Condiciones impuestas: 1. Recorrer los puntos inicial, final e intermedio: 12

13 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. 2. Velocidades (nulas en este caso) en los extremos: 3. Continuidad en la posición, velocidad y aceleración en el punto intermedio: Segmento 1 Segmento 2!? Nótese que no exigimos un valor concreto en la velocidad, pero sí continuidad en la aceleración. 13

14 2.1. Trayectorias Interpoladas. Uso de funciones polinómicas. Solución (t f1 = t f2 = t f ): Avances: Ajuste de tiempo favorable para resolver ecuaciones. Introducir continuidad en aceleración para no definir velocidades intermedias. 14

15 2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Operación frecuente: Traslado de objetos desde una superficie a otra. Solución sencilla: una trayectoria con cuatro puntos como la de la figura. Objetivo: evitar colisiones ( por qué?). Cómo: introducción de dos puntos intermedios. Despegue Asentamiento Inicio Fin 15

16 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Se escogen puntos intermedios en unas posiciones de despegue y asentamiento normales a las superficies de origen y destino, respectivamente. θ(t) Fin Asentamiento Despegue Inicio t o t 1 t 2 t f t Relación tiempos velocidad. 16

17 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Condiciones de contorno para un movimiento suave: 1. Inicio: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas. 2. Fin: posición, velocidad (nula) y aceleración (nula) determinadas. 3. Intermedios: paso por posiciones de despegue y asentamiento con continuidad en posición, velocidad y aceleración. Grado del polinomio? 8 condiciones 8 parámetros orden 7: Bondad del polinómio? 17

18 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Es preferible dividir el movimiento en 3 segmentos con polinomios de grado inferior. Soluciones: trayectorias y trayectorias Variables: τ: tiempo real en segundos. τ i : tiempo real al final de la trayectoria i-ésima. t i =(τ i -τ i-1 ): tiempo real requerido para el segmento i-ésimo. t: tiempo normalizado en el intervalo [0,1]: 18

19 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Polinomios empleados: Ventajas/Inconvenientes del tiempo normalizado: 19

20 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Condiciones de contorno: Punto inicial: Punto despegue: 20

21 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Punto asentamiento: Punto final: 14 ligaduras (ecuaciones) para 14 parámetros 21

22 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Primer segmento de la trayectoria: 1. τ = τ 0, t = 0 (inicio primer segmento). 22

23 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria τ=τ 1, t =1 (final primer segmento). Ahora no ofrecen soluciones, más adelante recurriremos a ellas. 23

24 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Segundo segmento de la trayectoria: 1. τ = τ 1, t = 0 (inicio segundo segmento). 24

25 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Condiciones de continuidad con el tramo anterior: 2. τ=τ 2, t =1 (final segundo segmento). 25

26 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Tercer (último) segmento de la trayectoria: 1. Nuevo cambio de variable para facilitar la resolución. Las derivadas no quedan afectadas (suma de constante). Nótese que el polinomio esta basado en la nueva variable y no en t (aunque podemos obtener fácilmente el correspondiente en t). 26

27 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria t = 0 2. τ=τ f, t =1, (final tercer segmento). t = 1 3. τ=τ 2, t =0, (inicio tercer segmento). 27

28 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Condiciones de continuidad con el tramo anterior: Gracias a los cambios de variable hemos obtenido de forma directa 7 de los 14 parámetros. Para el resto 28

29 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Se calculan los cambios de las variables de articulación entre segmentos contiguos: Las condiciones (1) a (7) se pueden expresar en forma matricial: y = C. x 29

30 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Solución: x = C -1 y 30

31 2.2. Trayectorias Interpoladas. Trayectoria Los coeficientes (a 10,a 11,a 12,a 20,a n0,a n1,a n2 ) se obtienen de forma directa. Importante: recordar el último cambio de variable. Si utilizamos: Deberemos recorrer el tiempo de -1 a 0. Si queremos homogeneizar el tiempo (siempre de 0 a 1) hay que deshacer el cambio de variable: 31

32 2. Trayectorias Interpoladas. Trayectorias interpoladas con funciones lineales. Opción alternativa al uso de polinomios. Fundamento sencillo: conectar los puntos mediante rectas y solucionar los problemas derivados. Problema: discontinuidad en los extremos. 32

33 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Solución: suavizado parabólico con una determinada aceleración. Secuencia de movimientos: Uniforme acelerado. Uniforme. Uniforme decelerado. Durante cuanto tiempo aceleramos/deceleramos? t b 33

34 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Suponemos una cierta aceleración ( ventajas prácticas). θ & Implicaciones del discriminante positivo. 34

35 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Generalización a varios segmentos: Definición de secuencia de puntos (θ 1, θ 2,, θ f ). Definición de los instantes de tiempo (t 1, t 2,, t f ). En los puntos intermedios se realiza una aceleración de suavizado θ &. i θ i : ángulo punto i-ésimo. t i : tiempo punto i-ésimo. ts i : duración del suavizado. tl i-1,i : duración zona lineal. td i-1,i : duración segmento. 35

36 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Parámetros que definen el movimiento ( síntesis posterior): Segmentos intermedios [i, i+1]: 36

37 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Segmento inicial: 37

38 2.3. Trayectorias Interpoladas. Uso de Funciones Lineales. Segmento final: 38

39 3. Trayectorias Cartesianas. Descripción de las posiciones del manipulador. Z T G M C(t) W(t) P 0 T N T: Trans. Hom. brazo robot. N G herr G: coordenadas herramienta (desde el EF). abs Z base Z: coordenadas base del robot (desde el SdR global). abs W(t) obj W(t) : coordenadas del objeto (desde el SdR global). Caso General: Consideramos que puede estar en movimiento (depende de t). obj P herr P: coordenadas de la herramienta (desde el SdR del objeto). Para simplificar el cálculo posterior: C(t)=Z -1 W(t) 39

40 3. Trayectorias Cartesianas. T 1 G 1 P 1 La posición del manipulador se puede expresar como: TG=C(t)P T 2 C 2 (t) C 1 (t) G 2 P 2 Aplicando PCI podremos resolver: T=C(t)PG -1 Para realizar una tarea habrá que desplazar la herramienta entre varios puntos consecutivos (1,2,3,,f): T 1 G 1 =C 1 (t)p 1 T 2 G 2 =C 2 (t)p 2 T f G f =C f (t)p f 40

41 3. Trayectorias Cartesianas. Entre dos puntos consecutivos cualquiera: Vamos a suponer un par de transformaciones, P i,i y P i,i+1, tal que fuera posible: Entonces podríamos obtener: Es decir, el movimiento entre los dos puntos (i,i+1) consistiría simplemente en la transformación de P i,i+1 en P i+1,i+1. 41

42 3. Trayectorias Cartesianas. Obviamente Pi,i=Pi, pero Pi,i+1? G1 G2 T1 P1 T2 C1(t) G2 P1,2 C2(t) Despejamos Pi,i+1 de la segunda ecuación: Despejando T de la primera ecuación y sustituyendo en la anterior: P2 Así, Pi,i+1 puede ser precalculado. 42

43 3. Trayectorias Cartesianas. Podemos definir una transformación D(t) (transformación de impulsión) que convierte la matriz P i,i+1 en la matriz P i+1,i+1 conforme avanza el tiempo. Se realiza en tiempo normalizado t (0 t 1). Verifica las siguientes condiciones de contorno: De donde podemos despejar D(1): 43

44 3. Trayectorias Cartesianas. La transformación D(t) consiste en un movimiento translacional (para alcanzar la posición final) y dos rotacionales (orientación). La translación lleva el vector p i hasta p i+1. La primera rotación lleva a i hasta a i+1 (!). La segunda rotación (sobre a) lleva o i hasta o i+1 (y por tanto n i a n i+1 ). 44