LA FLOTA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TRABAJO DE VERANO

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1 INSTITUTO DE EDUCACIÓN SECUNDARIA LA FLOTA MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES I TRABAJO DE VERANO UNIDAD: NÚMEROS REALES. LOGARITMOS ) Calcula y simplifica: (a b ) 4 54a 6 b 4 = = c) [( 9 ) + ( ) ] : ( ) = ) Utilizando las propiedades de las potencias simplifica las siguientes epresiones: ( 4) e) 6 ( 9) 8 4 ( 4) 9 f) 4 5 ( ) 89 ( 5) ( 8) ( 9) g) 4 a b b 5 ( 0) c) a b ) Efectúa y simplifica: ) Racionaliza y simplifica si es posible: 6 5 c) 6 5 5) Calcula el valor de en cada caso, utilizando la definición de logaritmo: log 64 log 64 c) log 4 6) Utilizando la definición de logaritmo, calcula: log log 8 log 5 log log 7 log ) Indica si es verdadero o falso razonando tu respuesta: log log y log z log 4 4 y z

2 8) Sabiendo que log = 0,00 y log = 0,477, calcula: log(0,5) = 0,0 log(8 8) = log 8 c) log( ) = 9) Escribe mediante un solo logaritmo: log a log log b log c 4log 0) Calcula : 0 log log00 log log + log 0 = + log (0 9) c) log log log log ( +) = log + log log ( ) e) log (6 ) log ( + 4) = log f) log log 0 = log 5 g) log ( ) log 5 UNIDAD: ÁLGEBRA POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS ) Dados los polinomios A ( ) 5, B ( ) y C ( ) 4, calcula: A ( ) B( ) B ( ) 4C( ) c) A ( ) B( ) A ( ).C( ) 5 ) Si P ( ), Q ( ) y R ( ), calcula: P ( ) Q( ) P ( ) R( ) c) Q ( ) R( ) ) Calcula: ( ) ( ) c) ( 5) ( 5)

3 4) Utiliza la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones: 4 ( 5 7):( ) ( 5 ) : ( ) c) ( 4 8) : ( 5) 5) Descompón en factores los siguientes polinomios: e) 8 c) 8 7 6) Descompón en factores irreducibles los siguientes polinomios mediante la regla de Ruffini: c) ) Simplifica las siguientes fracciones algebraicas: 7 c) b b 7 6 b b 9 0 8) Efectúa las siguientes operaciones y epresa el resultado en forma de fracción irreducible: c) : 6 ECUACIONES 9) Resuelve las siguientes ecuaciones: c) ) Resuelve las siguientes ecuaciones: 5 4 c)

4 e) f) 0 ) Resuelve las siguientes ecuaciones: c) ) Resuelve las siguientes ecuaciones: 5 7 c) f) 5 6 g) 0 h) e) 4 6 ) Halla el valor de la incógnita en las siguientes epresiones: log 4 = 4 log (/) 9 = log = 4 e) log ( ) 4 = c) log 5 = 4) Resuelve las siguientes ecuaciones eponenciales: = 4 c) =45 5) Resuelve las siguientes ecuaciones: c) =6 e) + - =4 f) = ) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas sencillas: + log ( ) = 0 c) log = 0 log ( ) = 7) Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: log = log(0 9) log( + ) + log(0 + 0) = c) log = log +. log( ) log( + ) log( ) = log5 e) log( + ) log( 8) = f) log4 ( ) = / 4

5 SISTEMAS DE ECUACIONES 8) Resuelve, por el método de Gauss, los sistemas de ecuaciones lineales: y z y z 0 y z 4 g) y z 0 y z y z 0 4z 5 y z c) y z 5 h) y z 4 y z 0 y z y 5 y z 4 y z i) y z y z 4 y z 6 y z 0 e) z y z 0 y 4z f) y z 0 y 5z 4 9) Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales: { y = y + y = 6y = 6 y y { + y = 76 y 65 e) 6 + y = 0 c) { y 8 + y = 0) Una persona tiene en total 4' 80 euros en varias monedas de 5, 0 y 50 céntimos. La diferencia entre el número de monedas de 5 céntimos y el de 50 es igual al número de monedas de 0. Se sabe además que tiene doble número de monedas de 5 que de 0 céntimos. que permita determinar cuántas monedas tiene de cada clase. ) Los 4 alumnos de una clase tienen 5, 6 y 7 años de edad. Si la media aritmética de sus edades es 6,5 años y sabiendo además que el número de estudiantes de 6 años es igual al de 5 y 7 juntos. Plantear, y resolver por el método de Gauss, un sistema de ecuaciones que permita determinar cuántos alumnos hay de cada edad. ) Las edades de un padre, una madre y un hijo suman 66 años. Dentro de seis años, entre el padre y el hijo sumarán el doble de la edad actual de la madre. Plantear y resolver, por el método de Gauss, un sistema de ecuaciones que permita determinar la edad de cada uno, sabiendo además que hace dos años la edad del hijo era la tercera parte de la diferencia entre la edad del padre y la de la madre. ) Dado un número de tres cifras, se sabe que la suma de sus cifras es 6. Si permutamos las centenas con las unidades obtenemos el número inicial

6 incrementado en 98. En cambio, si permutamos las decenas con las unidades obtenemos el número inicial disminuido en 7. Cuál es el número dado? 4) Una familia dispone de 80 euros mensuales para realizar la compra en una carnicería. El primer mes compran 0 kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y kg de carne de ternera y les sobran, euros. El siguiente mes adquieren 0 kg de carne de pollo, 7 kg de carne de cerdo y kg de carne de ternera, y les sobran 5, euros. El tercer mes compran kg de carne de pollo, 6 kg de carne de cerdo y kg de carne de ternera, abonando un total de 7 euros y 0 céntimos. Suponiendo que no ha variado el precio de la carne en estos meses, Cuánto cuesta el kilo de carne de pollo, de cerdo y de ternera? INECUACIONES 5) Resuelve las siguientes inecuaciones: c) e) f) g) 4 6) Resuelve las siguientes inecuaciones: c) 0 6 h) 5 i) j) (5 ) 4 k) 6 0 l) ( )( 7) 0 ( )( 6)( ) e) 0 5 SISTEMAS DE INECUACIONES 7) Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones: { ( + ) > ( 5) 4( ) e) { 6 > 5 } 6 c) 0 0 4

7 8) Representa la región del plano que verifica el siguiente sistema de inecuaciones: - y y y y 0 - y 6 y 9 5y c) y 0 - y 5 UNIDAD: FUNCIONES ELEMENTALES, LÍMITES Y CONTINUIDAD 9) Calcular el dominio de las siguientes funciones: f ( ) 8 f ( ) 5 c) f ( ) 8 f ( ) 4 e) f ( ) 6 f) f ( ) 6 g) f ( ) 5 h) f ( ) 5 i) f ( ) 4 j) f ( ) 9 k) f ( ) 8 l) f ( ) m) f ( ) 4 n) f ( ) 5 o) f ( ) 40) Hallar la inversa de la función f ( ) y comprobarla, es decir, que ( f 0 f )( ) y ( f 0 f )( ) 4) Dadas las funciones f y g, calcular: 9 f g g f c) f 4) Representar y y 4 c) y y. A partir de ella representar:

8 4) Representa y /. A partir de ella representa: y y 8 y e) y 6 c) y 44) Representa gráficamente las siguientes funciones: y y c) y y 45) Representa gráficamente las siguientes funciones: y c) y y y 46) Representa y. A partir de esta gráfica, representar estas otras: y 5 y c) y 7 47) Representa gráficamente las siguientes funciones y defínelas como funciones a trozos. y 5 y 4 48) Representa las funciones: y = y = ( ) c) y = log ( + ) y = log( + ) 49) Dibuja la gráfica de las siguientes funciones: si y si 4 si y si si c) y si si 50) Calcular los siguientes límites de funciones: lim X ( X X+ ) c) lim X X ( X X X) X lim X ( X + X) lim X ( X + X ) X

9 e) lim X ( X+4 X 4) 8X f) lim X X g) lim X h) +X X ++X X 5X+ X +X lim i) lim X 4 X 7X 4 X +X 0 j) lim X X +5 X 6X+9 k) l) m) lim lim ( ) Lim 4 ( ) n) Lim ( ) 5) Calcula los siguientes límites si f ( ) si lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) 0 5) De las siguientes funciones Calcula el dominio. Calcula sus inversas. c) Calcula sus asíntotas. Estudia su continuidad. 5) Dada la función f ( ) o) p) lim lim 5 5 q) lim ( ) r) lim s) lim t) lim lim f ( ) ; lim f ( ) ; lim f ( ) f ( ) y si si 0 0 Estudiar su continuidad Representarla gráficamente 54) Estudia la continuidad de la siguiente función: 4 f() = { si 4 si = 55) Obtener el dominio de la función f() = ln ( ). 56) Hallar la inversa de la función f ( ) g( )

10 57) Dadas las funciones g ( f ( f o ) y ) g o f ( ) y 58) Dada la función si f() = { si < < 4 si g( ) calcular las funciones Represéntala gráficamente. Estudia su continuidad. 59) Representar gráficamente la función f ( ) 4 4 si si si Tiene algún punto de discontinuidad? 60) Estudia la continuidad de la función indicando los tipos de discontinuidad (si las hay) si f ( ) si 4 si 4 4 6) Halla las asíntotas de las siguientes funciones y sitúa las curvas respecto a las asíntotas: y c) 5 y f ( ) UNIDAD: DERIVADAS Y APLICACIONES 6) Calcula las derivadas de las siguientes funciones: f() = 4 + j) f() = e 5 +4 f() = k) f() = (5 + ) 5 ( ) c) f() = 5 + l) f() = cos( 5 7 ) f() = e) f() = + f) f() = ( )( ) + g) f() = (+9)( ) (+)(+) h) f() = (5 + ) 5 i) f() = ( + 5) 9 m) f() = ( ) n) f() = + o) f() = e + p) f() = sin( ) q) f() = ( 7 + ) 5

11 r) f() = + s) f() = ln( ) t) f() = (+) 6) Calcula, usando la definición, la derivada de la función f ( ) 5 en el punto de 9 64) Calcula las siguientes derivadas: y ln y 65) Halla la recta tangente a la curva de ecuación f ( ) 6 en el punto 5. 66) Halla la ecuación de la recta tangente y normal a f() = 4 + en el punto = 67) Identificar los máimos y mínimos relativos, así como el crecimiento y decrecimiento utilizando el CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA de las siguientes funciones: f ( ) h) f ( ) y = i) f ( ) 4 c) y = j) f ( ) f ( ) 4 k) f ( ) 9 4 e) f ( ) l) f ( ) f) f ( ) g) f ( ) 4 68) Dada la función f() =, se pide: + Calcular su dominio. Calcular sus asíntotas. c) Determinar los máimos, mínimos e intervalos de crecimiento y decrecimiento. Represéntala. 69) Dada la función f() = +, calcula: Dominio de definición. Asíntotas. c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máimos y mínimos relativos. e) Representación gráfica de la función.

12 UNIDAD: ESTADÍSTICA BIDIMENSIONAL. 70) Los datos de la evolución del crecimiento del PIB y del empleo en España (en porcentaje) durante los últimos nueve años están recogidos en la siguiente tabla: PIB 4,7,7, 0,7 -,,,8,4, Empleo 4,,6 0, -,9-4, -0,9,8, Dibuja la nube de puntos y estudia la relación entre ambas variables. Si eiste correlación lineal, calcula el coeficiente de Pearson. Cuánto crecerá el empleo suponiendo que el PIB crecerá un,4% el próimo año 7) Una empresa dedicada a la elaboración y venta de ropa de jóvenes ha realizado los gastos en publicidad y ha obtenido las ventas que figuran en la siguiente tabla: Publicidad(en miles de euros) Ventas (en miles de euros) Si denominamos X a la variable Gastos en publicidad e Y a Beneficios de ventas, halla: El coeficiente de correlación lineal. Analiza la dependencia entre ambas variables. La recta de regresión de X sobre Y. c) La empresa decide invertir el próimo año 505 en publicidad. Si se mantiene la misma tendencia de los años anteriores, cuál es el volumen de ventas esperado? 7) Se ha solicitado a un grupo de 50 individuos información sobre el número de horas que dedica diariamente a dormir y a ver la televisión. La clasificación de las respuestas ha permitido elaborar la siguiente tabla: Nº de horas dormidas X Nº de horas televisión Y 4 f i Eiste algún tipo de correlación entre ambas variables? En qué te basas para responder a la pregunta anterior? Si una persona ve la televisión diariamente durante 5 horas, cuánto tiempo cabe esperar que dedica a dormir? Valora la fiabilidad de tu estimación. 7) Se observaron las edades de 5 niños/as y sus pesos respectivos, obteniéndose los siguientes resultados: Edad, en años (X) 4,5 6 7, 8 Peso, en Kg. (Y) Halla el coeficiente de correlación lineal y las rectas de regresión de Y sobre X y de X sobre Y. Qué peso correspondería a un niño/a de 5 años? Qué edad correspondería a un peso de 6 Kg?

13 UNIDAD: PROBABILIDAD 74) Supongamos que la probabilidad de que el jueves se superan los 0 C es 0,4 y la de que se superen el viernes es 0,. Supongamos también que la probabilidad de que ambos días la temperatura sea mayor que 0 C es de 0,. Calcula: La probabilidad de que los 0 C se superen al menos uno de los dos días. La probabilidad de que no se superen ningún día. 75) El director de un supermercado ha calculado que la probabilidad de que un cliente compre pan es 0,7, la de que compre chocolate es 0,5 y la de que compre ambas cosas es 0,4. Cuál es la probabilidad de que compre pan o chocolate? 76) En una urna hay dos bolas rojas y tres bolas verdes. En el eperimento sacar sucesivamente sin reemplazamiento tres bolas. Cuáles son los posibles resultados? Cuál es la probabilidad de obtener solo una bola roja? 77) Una caja contiene 7 tarjetas de la misma firma y tamaño: 4 de color amarillo y de color rojo. Se etrae de ella al azar una tarjeta, se anota su color y sin devolverla a la caja etraemos de esta una segunda tarjeta. Se pide: Escribir el espacio muestral. Hallar la probabilidad de cada uno de los sucesos elementales del espacio muestral. 78) La empresa internacional MALLO,S.A., posee en España tres plantas de producción con un volumen de fabricación de 000 unidades la de Valencia, 500 la de Barcelona y 000 la de Madrid. Sabiendo que el porcentaje de fabricación de unidades defectuosas es del 8%, 7% y 6% respectivamente, en cada una de las plantas, calcula la probabilidad de que, al seleccionar una unidad al azar para control de calidad, esta sea defectuosa. 79) De una baraja española de 40 cartas se retiran los oros y los ases. De las 7 cartas que quedan se etraen dos cartas al azar(sin devolver la primer. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: Ambas son del mismo palo. Al menos una es una figura. c) Únicamente la segunda carta es una figura. 80) Una imprenta tiene un almacén de 000 libros de una edición E, 00 de la edición E y 800 de la edición E. Se sabe que el % de los libros E, el,5% de los libros E y el % de los libros E tiene defectos. Si se elige un libro al azar. Hallar la probabilidad de que tenga defectos. Sabiendo que el libro presenta defectos, Cuál es la probabilidad de que sea de la edición E? 8) En una clase hay alumnos y 6 alumnas. El profesor consecutivamente saca a la pizarra a 4 diferentes. Se pide: Cuál es la probabilidad de que todos sean alumnas? Siendo la primera alumna, Cuál es la probabilidad de que sean alternativamente una alumna y un alumno? c) Cuál es la probabilidad de que sean dos alumnas y dos alumnos? 8) Los gerentes de unos grandes almacenes han comprobado que el 40% de los clientes paga sus compras con tarjetas de crédito y el 60% restante lo

14 hace en efectivo. Ahora bien, si el importe de la compra es superior a 00 euros, la probabilidad de pagar con tarjeta pasa a ser 0,6. Si además sabemos que en el 0% de las compras el importe es superior a 00 euros, calcular: Probabilidad de que un importe sea superior a 00 euros y abonado con tarjeta. Probabilidad de que un importe sea superior a 00 euros, sabiendo que fue abonado en efectivo. 8) Una persona cuida de su jardín pero es bastante distraída y se olvida de regarlo a veces. La probabilidad de que se olvide de regar el jardín es /. El jardín no está en muy buenas condiciones, así que si se le riega tiene la misma probabilidad de progresar que de estropearse, pero la probabilidad de que progrese si no se le riega es de 0,5. Si el jardín se ha estropeado, Cuál es la probabilidad de que la persona olvidara regarlo? 84) En una urna tenemos 9 bolas. Tres bolas rojas numeradas del al, tres bolas azules numeradas del al y tres bolas amarillas numeradas del al. Etraemos al azar una de las bolas de la urna y consideramos los sucesos A = {sale amarilla}; B = {sale roja}; C = {sale un nº impar}: Determina los siguientes sucesos y calcula sus probabilidades: B A C c) A B A B e) B C f) A C 85) Se lanza un dado tres veces. Calcula probabilidades de los siguientes sucesos: Que salgan tres números pares. Que sumen 8 puntos. c) Que sumen 4 puntos. 86) En una bolsa tenemos 7 bolas numeradas del al 7. Sacamos una, apuntamos su número y, a continuación, la devolvemos a la bolsa y sacamos una segunda bola. Calcula la probabilidad de que sean: Las dos pares. Las dos impares. c) Una par y otra impar. a'), b') y c') Responde a los apartados anteriores suponiendo ahora que no devolvemos a la bolsa la primera bola etraída. 87) En una bolsa tenemos tres fichas marcadas con la letra O y otras dos marcadas con la letra S. Sacamos una a una tres fichas y las colocamos encima de una mesa en el orden en que las hemos ido sacando. Cuál es la probabilidad de que se haya formado la palabra OSO? 88) Una bolsa contiene 6 bolas blancas y 4 negras. Se etrae una bola al azar y si es blanca se devuelve a la bolsa, pero si es negra no se devuelve. Tras esto se saca una segunda bola. Organiza esta información de la forma que consideres más adecuada y calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: Que las dos bolas etraídas sean negras. Que las dos bolas etraídas sean del mismo color. c) Que la segunda bola sea negra. Que se haya etraído al menos una bola blanca. 89) En una clase de 4º hay 0 alumnos, de los cuales 8 son chicas. De ellos, hay 9 chicas y 5 chicos que hacen matemáticas B (y el resto matemáticas A). Se elige un alumno al azar:

15 Cuál es la probabilidad de que el elegido sea un chico? Y la probabilidad de que sea una chica que estudia matemáticas A? c) Y la probabilidad de que sea una chica sabiendo que estudia matemáticas A? UNIDAD: DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 90) Se lanza un par de dados. Se define la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Halla la función de probabilidad, la esperanza matemática y la varianza 9) La variable aleatoria X toma los valores 0, y con probabilidades 0,7; 0, y 0, respectivamente. Calculas la esperanza matemáticas de X y la desviación típica. 9) Se lanza una moneda y si sale cara se ganan 6 euros y si sale cruz se pierden 4. Si la variable aleatoria X es la ganancia en cada jugada, calcula la esperanza matemáticas de X y la desviación típica. 9) En una determinada cepa de ratas de laboratorio se observa que recorren correctamente un laberinto el 40%. Si hay en total 5 ratas de esa cepa, cuál es la probabilidad de que al menos 9 de ellas lo recorra correctamente? 94) En la tabla se muestra la función asignada a una variable aleatoria discreta, X. La función: es una función de probabilidad? X 4 5 f() 0 5/0 /0 0/0 /0 95) Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial B(5; 0,). Calcula: Su media y desviación típica. Las probabilidades P(X = ), P(X = ), P(X < ), P(X ). 96) El 5% de los tornillos que fabrica una empresa son defectuosos. Los tornillos se distribuyen en cajas de 8 unidades. Si analizamos una de estas cajas: Cuál es la probabilidad de que no encontremos ningún tornillo defectuoso? y la de que encontremos como mucho dos tornillos defectuosos? c) y la de que encontremos más de dos tornillos defectuosos? 97) En un eamen tipo test hay 0 preguntas con 5 posibles respuestas cada una. Si una persona desconoce completamente la materia y responde al azar. Cuántas preguntas acertará por término medio? Qué probabilidad tiene de acertar al menos 5 preguntas y, por lo tanto, aprobar? 98) Una moneda está trucada de forma que la probabilidad de que salga cara es 0,65. Lanzamos esta moneda al aire siete veces. Calcula la probabilidad de que: Salgan eactamente cinco caras. Salgan como mucho cinco caras. c) Salgan al menos cinco caras. 99) Se ha comprobado que cierto medicamento produce somnolencia en el 75% de los casos. Si un médico administra ese medicamento a 5 personas, cuál es la probabilidad de que a más de tres de ellas les provoque somnolencia?

16 00) Una variable aleatoria Z sigue una distribución normal N(0; ). Calcula: P(Z,45) f) P(Z 0, 84) P(Z 0,5) g) P(,45 Z 0,5) c) P(Z,45) h) P( 0,5 Z,46) P(0,5 Z,5) i) P(Z 0) e) P(,5 Z 0,5) 0) Una variable aleatoria Z sigue una distribución normal N(0; ). Averigua en cada caso el valor de k que hace que se cumpla la igualdad: P(Z k) = 0,767 P(Z k) = 0,074 c) P(0 Z k) = 0,45 0) Una variable aleatoria X sigue una distribución normal de media μ = 50 y desviación típica σ = 0. Calcula: P(X 75) P(X 40) c) P(X 80) 0) Las calificaciones obtenidas por un grupo de alumnos en un eamen de matemáticas siguen una distribución normal de media 5, y desviación típica,6. Calcula la probabilidad de que, si escogemos un alumno al azar, haya sacado: Más de un 7. Menos de un 9. c) Una nota comprendida entre y 4,5. 04) Las estaturas de los miembros de cierta población se distribuyen normalmente con media 75 cm y desviación típica 0 cm. Calcula la probabilidad de que: Un individuo tenga una estatura mayor que 80 cm. Un individuo tenga una estatura menor que 70 cm. c) Qué porcentaje de individuos tiene una estatura comprendida entre 70 y 80 cm? 05) Se considera que el tamaño de los archivos de sonido MP (medido en MB) sigue una distribución N(4; ). Si analizamos 60 archivos, cuántos de ellos crees que tendrán un tamaño comprendido entre,5 y 5,5 MB? 06) Las ventas diarias de libros en un centro comercial siguen una distribución normal de media 50 y desviación típica 0. Qué es más probable, que en un día se vendan más de 65 libros o menos de 0? 07) En un país tropical, la temperatura media diaria (medida en ºC) sigue una distribución N(8º; 5º). Cuántos días al año es de esperar que la temperatura media esté comprendida entre 0º y 0º? 08) Si lanzamos una moneda al aire cincuenta veces, cuál es la probabilidad de obtener más de treinta caras? y la de obtener al menos 5 caras?