TEORIA SOBRE FOSILES

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1 TEORIA SOBRE FOSILES Definición Dado un número natural nεn, se multiplican todas sus cifras. Se repite el proceso con el resultado obtenido, hasta obtener un número de una cifra únicamente; a ese número se le llama el fósil de n. Veamos unos ejemplos de cómo calcular fósiles de números: Nos organizamos de la siguiente forma: tomamos el número y en los distintos niveles vamos multiplicando las cifras del número hasta llegar a un número de una sola cifra, como se muestra en los siguientes ejemplos: Nº PRIMER NIVEL SEGUNDO NIVEL TERCER NIVEL CUARTO NIVEL Por la definición de fósil de un número se sigue (puesto que el producto es conmutativo) que los números que estén formados por las mismas cifras aunque estén en distinto orden dan como resultado el mismo fósil. Es decir, por ejemplo los números 149, 194, 419, 491, 914 y 941 tienen el mismo fósil (8). Proposición 1 Todo número que contenga entre sus cifras alguna cifra par tiene fósil par. Justificar esta propiedad es evidente, ya que si el número contiene entre sus cifras alguna cifra par, cuando realizamos el producto de sus cifras en el primer nivel obtenemos un número par (acaba en cifra par), por tanto en el segundo nivel, y en los sucesivos siempre obtenemos número par. (Observa lo que ocurre con los números 461 y 149 en los niveles 1º, 2º y 3º). Proposición 2 Todo número que contenga entre sus cifras la cifra 5 tiene fósil 0 o 5. Si el número de partida contiene entre sus cifras al número 5. El número que aparece en el primer nivel será múltiplo de 5; por tanto, acabará en cero o en cinco. Si acaba en cero, el fósil será cero. Si acaba en cinco, cuando multipliquemos sus cifras (si tiene

2 más de una), el número resultante en el segundo nivel, también será múltiplo de cinco, por tanto, también acabará en 0 o 5, si acaba en 0, el fósil es 0 y si acaba en cinco, y tiene más de una cifra, el número que aparece en el tercer nivel, también es múltiplo de cinco este proceso se puede continuar y al final, solo puede quedar 0 o 5. (Observa los números 157 y 353 de los ejemplos de la página anterior) Proposición 3 Todo número que contenga entre sus cifras la cifra 5 y alguna cifra par tiene fósil 0. Teniendo en cuenta que 5x2=10; 5x4=20; 5x6=30 y 5x8=40, tenemos que los números que aparecen en el primer nivel de los números que contienen entre sus cifras el cinco y alguna cifra par siempre acaban en cero. Entre los cien primeros números naturales, los que tienen fósil cero son los 25 números siguientes: Vemos que están los que acaban en cero: 10,20, 30, los que tienen 5 y alguna cifra par y los números 55, 59, 69, 78, 87, 95 y 96. Estos números que tienen fósil cero y no

3 están formados por 5 y alguna cifra par si que tienen 5 y alguna cifra par en el primer nivel. Cuando calculamos fósiles de números parece que salen muchos más números que tienen fósil par que fósil impar. Por ejemplo si calculamos los fósiles de los primeros cien números naturales los fósiles se distribuyen según la siguiente tabla: Fósil: ,00% 1 2 2,00% 2 9 9,00% 3 3 3,00% ,00% 5 7 7,00% ,00% 7 3 3,00% ,00% 9 4 4,00% ,00% Fósiles Pares: 81 Fósiles impares: 19 En el cálculo de los fósiles de los primeros 1000 números naturales, tenemos los siguientes resultados: Fósil ,70% 1 3 0,30% ,70% 3 6 0,60% ,50% ,00% ,50% 7 6 0,60% ,10% ,00% ,00% Fósiles pares ,50% Fósiles impares 65 6,50%

4 Según los datos que reflejan las tablas, puede parecer interesante estudiar como son los números que tienen fósil impar. Estudiemos los números menores que 1000 (de una, dos o tres cifras) que tienen fósil impar: Es fácil llegar a las siguientes conclusiones para los números menores que 100: - Los números que tienen fósil 1 sólo pueden estar formados por unos, son 1 y 11 y siempre acaban en el primer nivel. - Los números que tienen fósil 3 sólo pueden estar formados por las cifras 1 y 3, ya que 3 = 1x3 = 3x1 (3 es primo y no admite más descomposiciones), éstos también acaban en el primer nivel. - Los números que tienen fósil 5 sólo pueden estar formados por un 5 y alguna cifra impar distinta de 9 y 5 (9x5=45 y 5x5=25), para algunos de estos números se puede llegar hasta el tercer nivel. - Los números que tienen fósil 7 sólo pueden estar formados por las cifras 1 y 7. - Los números que tienen fósil 9 sólo pueden estar formados por las cifras 1 y 9, además del número 33. Lo dicho anteriormente se refleja en las siguientes tablas: Fósil 1 1º NIVEL Fósil 3 1º NIVEL Fósil 5 1º N. 2º N. 3º N

5 Fósil 7 1º N Fósil 9 1º N Ordenando los números de menor a mayor obtenemos la siguiente tabla de números menores que 100 con fósil impar: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL De los 19 números que hay, vemos que tan solo 2 (57 y 75) llegan al tercer nivel, otros 2 (35 y 53) al segundo nivel y 15 números se quedan en el primer nivel.

6 Veamos cómo podemos obtener los números de tres cifras que tienen fósil impar a partir de los números con fósil impar de dos cifras: - El único número de tres cifras con fósil 1 es 111 (añadimos la cifra 1 a 11). 1º NIVEL Los que tienen fósil 3 (de tres cifras) se obtienen a partir del número 13 añadiendo un 1 y permutando sus cifras: 113, 131 y º NIVEL El único número de una cifra con fósil 5 es el propio 5, para obtener los números de dos cifras con fósil cinco añadimos al cinco las cifras impares menos el propio 5 y el 9, obteniendo los números 15, 35, 75 y permutando sus cifras encontramos otros 3 que son 51, 53 y 57. Con el número 15 se obtienen los siguientes números de tres cifras con fósil 5: o añadimos a 15 las cifras impares menos el 5 y el 9 y permutando sus cifras obtenemos los números 115, 151, 511, 315, 351, 153, 135, 513, 531, 715, 751, 157, 175, 517, 571. Así del número 15 obtenemos 3+6+6=15 números. o Al número 35 le añadimos las dos únicas cifras impares que no añadimos al número 15; es decir 5 y 9 e igual que antes permutamos sus cifras, obteniendo los números 535, 553, 355, 935, 953, 359, 395, 539, 593. Así del número 35 obtenemos 3+6=9 números. o Al número 75 añadimos las cifras 5 y 9. Permutando sus cifras obtenemos los números 575, 557, 755, 975, 957, 579, 597, 759, 795. Así del número 75 obtenemos 3+6=9 números. En total hemos obtenido 1 número con una cifra con fósil 5, 6 números de dos cifras con fósil 5 y 33 números de tres cifras con fósil 5; es decir, =40

7 Ordenados de menor a mayor tenemos la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL

8 - Los que tienen fósil 7 (de tres cifras) se obtienen a partir del número 17 añadiendo un 1 y permutando sus cifras: 117, 171 y º NIVEL Los que tienen fósil 9 (de tres cifras) se obtienen a partir de los números 19 y 33, añadiendo un 1 y permutando sus cifras. 1º NIVEL Cuántos números menores que 1000 con fósil impar hemos encontrado? La respuesta es bien sencilla: =65. Estos números se presentan en la siguiente tabla ordenados de menor a mayor: 1º NIVEL

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10 Vemos que hay 65 números menores que 1000 que tienen fósil impar. De ellos tan solo 6 llegan al cuarto nivel, 20 al tercer nivel, 8 al segundo nivel y 31 al primer nivel. A continuación estudiemos algunas cuestiones sobre fósiles pares: Existen números de dos o tres cifras con todas sus cifras impares que tengan fósil par? La respuesta es si, y son los siguientes: Los números de dos cifras impares que tienen fósil par no pueden empezar por la cifra 1 ( por qué?), tampoco por 2 ( por qué?), de los números que empiezan por 3 sólo tenemos los números 37 y 39, que tienen fósil 2. Sólo hay un número que empieza por la cifra 5 con la otra cifra impar que tiene fósil par, es 59 con fósil 0. Los que empiezan por la cifra 7 son 73, 77 y 79 con fósiles 2, 8 y 8 respectivamente. Por último los que empiezan por 9 son 93, 95, 97 y 99 con fósiles 4, 0, 8 y 8 respectivamente. Estos números se exponen en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Para obtener los números de tres cifras con todas las cifras impares y fósil par podemos proceder de la siguiente forma: Tomamos el primer número 37, que tiene al número 21 en su primer nivel y nos preguntamos qué cifras impares podemos añadirle para que el número resultante siga teniendo fósil par. Evidentemente si le añadimos 1 todo va bien, le podemos añadir la cifra 3? Si, ya que al multiplicar 21x3=63, número que tiene una cifra par y por tanto dará fósil par. También le podemos añadir la cifra 5, ya que 21x5=105 (fósil 0), también le podemos añadir la cifra 7 ya que 21x7=147 y también la cifra 9, ya que 21x9=189.

11 Así, el número 37 (y 73) nos genera los números de tres cifras 137, 337, 537, 737 y 937 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Tomamos el número 39, que tiene al número 27 en su primer nivel, y lo que hacemos es multiplicar 27 por cifras impares, para ver que cifras impares le podemos añadir al número 39: El uno evidentemente si, veamos si podemos añadir la cifra 3, 27x3=81 el 3 si podemos añadirlo, 27x5=135, el cinco no, puesto que da fósil 5, 27x7=189, el 7 también, nos falta probar por el 9, 27x9=243, este también, daría fósil 8. Por tanto el número 39 nos genera los números 139, 339, 739 y 939 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Tomamos ahora el número 55, que tiene al número 25 en su primer nivel. Este número admite añadir a todos los números impares, ya que al multiplicar 25 por cualquier número, el resultado es múltiplo de 25 y por tanto con fósil 0. Así 55 genera los números 155, 355, 555, 755 y 955 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Tomamos ahora el número 59, que tiene al número 45 en su primer nivel. 45x3=135, 45x5=225, 45x7=315, 45x9=405. El número 59 nos genera los números 159, 559, 959 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Tomamos ahora el número 77, que tiene al número 49 en su primer nivel. 49x3=147, 49x5=245, 49x7=343, 49x9=441. Al número 77 le podemos añadir las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. Obtenemos así los números 177, 377, 577, 777 y 977 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Tomamos el número 79, que tiene al número 63 en su primer nivel. 63x3=189, 63x5=315, 63x7=431, 63x9=567. Al número 79 le podemos añadir las cifras 1, 3, 7 y 9. Obtenemos así los números 179, 379, 779 y 979 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Por último tomamos el número 99, que tiene al número 81 en su primer nivel. 81x3=243, 81x5=405, 81x7=567, 81x9=729. Al número 99 le podemos añadir las cifras 1, 3, 5, 7 y 9. Obtenemos así los números 199, 399, 599, 799, y 999 junto con los números que se obtienen de permutar las cifras de cada número. Todos estos números se ordenan y se presentan en la siguiente tabla:

12 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL

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14 Ejercicio 1 Encuentra el menor número posible que en su cuarto nivel tenga fósil 8. Solución: En este problema, para encontrar la solución tenemos que empezar del final hacia atrás; es decir, tendremos que utilizar divisores. Veamos el proceso a seguir: Los divisores de 8 son: Div (8) = {1, 2, 4, 8}. Con estos dígitos debemos intentar buscar números de dos cifras cuyo producto de las mismas sea 8: Estos números son 18, 24, 42 y 81. Nos quedamos con el menor de ellos y eso nos da el número del tercer nivel (18). Ahora con 18 hacemos lo mismo que con el 8, calcular todos sus divisores. Los divisores de 18 son: Div (18) = {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Entre estos números construimos otro número que tenga como producto de sus cifras 18. Los candidatos son: 29, 36, 63 y 92. El número 29 lo descartamos porque es primo y no nos da divisores para pasar al segundo nivel; así que consideramos el número 36 para el segundo nivel, calculamos todos sus divisores y obtenemos que Div (36) = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}. Los números de dos cifras cuyo producto de las mismas es 36 que podemos formar con los divisores son: 49, 66 y 94. Tomamos el 49 y este número nos lleva al número 77. Solución: 77 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Otros números que tienen fósil 8 en el cuarto nivel son:

15 Ejercicio 2 Encuentra el menor número posible (con todas sus cifras distintas) que en su cuarto nivel tenga fósil 6. Solución Div (6) = {1, 2, 3, 6}. Números de dos cifras que podemos formar con producto de sus cifras 6: 16, 23 y 32 Nos quedamos con el menor: 16. Div (16) = {1, 2, 4, 8, 16}. Números de dos cifras que podemos formar con producto de sus cifras 16: 28, 44 y 82. Nos quedamos de nuevo con el menor: 28. Div (28) = {1, 2, 4, 7, 14, 28}. Números de dos cifras que podemos formar con producto de sus cifras 28: 47 y 74. Nos quedamos con el número 74, porque 47 es primo: Div (74) = {1, 2, 37, 74}. Nos quedamos ahora con el número 147 Div (147) = {1, 3, 7, 21, 49=7x7, 147}. Al salir entre los divisores de 147, el número 49 (que es el producto de 7x7), obtenemos el número º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Si nos hubieran pedido que encontráramos el menor número posible con todas sus cifras distintas que en su cuarto nivel tenga fósil 6, el número siguiente al encontrado resulta que también tiene fósil 6 en su cuarto nivel. 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Cómo podríamos organizarnos para calcular todos los números (con tres cifras) que tienen fósil 6 en su cuarto nivel? Ya sabemos cuál es el menor número que tiene fósil 6 en su cuarto nivel (revisar todo lo escrito después )

16 Ejercicio 3 Encuentra todos los números (de tres cifras) que en su cuarto nivel tienen fósil 6. Empezamos por el número 6, lo descomponemos en factores primos para encontrar los distintos productos de dos factores y una cifra cada factor, que den como resultado 6: (4º Nivel) 6 = 1x6 = 2x3 = 3x2 Esto nos da cuatro posibilidades, en principio, para el tercer nivel, que son los números 16, 23, 32 y 61. De estos números descartamos 23 y 61 por ser primos (no podríamos avanzar al segundo nivel). A continuación nos quedamos con el número 16 (el menor) y hacemos lo mismo que con 6; es decir, buscamos productos de dos factores o tres (cada factor con una cifra) que den como producto 16: (3º Nivel) 16 = 2x8 = 4x4 = 1x4x4 = 1x2x8 Ahora nos quedamos con el número 28 (el menor para el segundo nivel). Vemos ahora todos los productos de dos o tres factores de una cifra cada factor que den como resultado 28: (2º Nivel) 28 = 4x7 = 1x4x7 = 2x2x7 Como 47 es primo, no nos da ningún producto de dos o tres factores con una cifra cada factor. Recurrimos pues al número 74. El único producto de dos factores que da como resultado 74 es 74 = 2x37 producto que por tener dos cifras el segundo factor, y ser primo 37 no nos vale y 227 tampoco nos vale porque es primo. Recurrimos pues al número 147: (1º Nivel) 147 = 3x7x7 El número 377 (y los que se obtienen al permutar sus cifras), tiene fósil 6 en el cuarto nivel, y tiene los números 147, 28, 16, en los niveles 1º, 2º y 3º como se aprecia en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Con los números 28, 16 y 6 para los niveles 2º, 3º y 4º respectivamente ya no tenemos más posibilidades que 147 para el primer nivel.

17 Ahora fijamos los números 16 y 6 para los niveles 3º y 4º y elegimos un número distinto de 28 para el 2º nivel: El número 44 no tiene productos de dos o tres factores con una sola cifra en cada factor ya que 44 = 2x2x11 = 4x11 = 2x22. Esto quiere decir que el número 44 no puede aparecer en el 2º nivel. Tomamos pues el siguiente número, que es 128 (2º Nivel) 128 = 2x8x8 = 4x4x8 * Elegimos 128 para el 2º nivel y 288 para el primer nivel: El número 288 tiene los siguientes productos de tres factores: 2* 2* 72; 2* 3* 48; 2* 4* 36; 2* 6* 24; 2* 8* 18; 2* 9* 16; 2* 12* 12; 3* 3* 32; 3* 4* 24; 3* 6* 16; 3* 8* 12; 4* 4* 18; 4* 6* 12; 4* 8* 9; 6* 6* 8 De todos estos productos, sólo nos valen los dos últimos: (1º Nivel) 288 = 4x8x9 = 6x6x8 En este caso hemos obtenido los siguientes números para los cuatro niveles: 288, 128, 16, 6. Y los números que obtenemos son los que resultan de 489, 668 y los de permutar sus cifras como vemos en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Si tomamos el número 144 para el segundo nivel, veamos que sucede: (2º Nivel) 144 = 2x8x9 = 3x6x8 = 4x4x9 = 4x6x6 289 no nos vale ya que 289 = 17x17, 368 tampoco nos vale porque 368 = 2 4 x23 (no hay forma de escribirlo como producto de factores de una sola cifra), 449 tampoco nos vale porque es primo y 466 = 2x233 (233 es primo) imposible escribir 466 como

18 producto de factores de una sola cifra. Por tanto 144 no puede aparecer en el 2º nivel ya que no nos da ningún número para el primer nivel. * Elegimos 128 para el 2º nivel y 448 para el primer nivel: Veamos los productos de dos o tres factores que tiene el número 448: Productos de dos factores: 2* 224 4* 112 7* 64 8* 56 14* 32 16* 28 Productos de tres factores: 2* 2* 112 2* 4* 56 2* 7* 32 2* 8* 28 2* 14* 16 4* 4* 28 4* 7* 16 4* 8* 14 7* 8* 8 De todos estos productos sólo nos vale el último; es decir: 448 = 7x8x8 El número 788 (y los que se obtienen al permutar sus cifras), tiene fósil 6 en el cuarto nivel, y tiene los números 488, 128, 16, en los niveles 1º, 2º y 3º como se aprecia en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Con 16 y 6 para el 3º y 4º nivel ya se han agotado las posibilidades, por tanto ahora estudiamos las posibilidades que hay para 32 en el tercer nivel: Lo primero que hacemos es estudiar todos los productos de dos o tres factores en los que se puede descomponer 32 Productos de dos factores: 2* 16 4* 8 Segundo nivel Productos de tres factores: 2* 2* 8 2* 4* 4 Tenemos que probar con los números: 48, 148, 228 y 244 *De los productos de dos factores nos quedamos con 48 para el segundo nivel

19 Tomamos a continuación los productos de dos y tres factores de 48: Productos de dos factores: Productos de tres factores: 2* 24 3* 16 4* 12 6* 8 2* 2* 12 2* 3* 8 2* 4* 6 3* 4* 4 Numeros candidatos para el primer nivel: 68, 168, 238, 246 y 344 Tomamos el número 68: Productos de dos factores: Productos de tres factores: 2* 34 4* 17 2* 2* 42 2* 3* 28 2* 4* 21 2* 6* 14 2* 7* 12 3* 4* 14 3* 7* 8 4* 6* 7 2* 2* 17 Como podemos ver el número 68 no nos vale para el primer nivel. Añadimos 1 como primera cifra para ver que obtenemos: 168: Productos de tres factores: Los números 378 y 467 (y los que se obtienen al permutar sus cifras), tienen fósil 6 en el cuarto nivel, y tiene los números 168, 48, 32, en los niveles 1º, 2º y 3º como se aprecia en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL

20 Probamos ahora con el número 238: Productos de tres factores: 2* 7* 17 Este número tampoco nos vale, pasamos al siguiente: 246 Productos de dos factores: 2* 123 3* 82 6* 41 Productos de tres factores: 2* 3* 41 Pasamos al siguiente número: 344 Productos de tres factores: Tampoco nos vale este número. 2* 2* 86 2* 4* 43 De lo visto anteriormente deducimos que el número 68 no nos da ningún número para el primer nivel, así que cambiamos de número. *Probamos ahora con el número 148 para el tercer nivel: Productos de tres factores: 2* 2* 37 No podemos obtener ningún número para el segundo nivel. Tomamos pues para el segundo nivel el número 228: Productos de tres factores: 2* 2* 57 2* 3* 38 2* 6* 19 3* 4* tampoco nos vale. El último número que nos queda por probar en el nivel segundo para 32 y 6 en los niveles 3º y 4º es 244

21 Productos de tres factores: 2* 2* 61 Tampoco obtenemos ningún número para el primer nivel. Ya no encontramos más números de tres cifras que tengan fósil 6 en su cuarto nivel En total hemos obtenido 27 números de tres cifras que tienen fósil 6 en el cuarto nivel, que ordenados de menor a mayor aparecen en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL 4º NIVEL Una vez resuelto este ejercicio, podríamos preguntarnos si podemos utilizarlo para obtener todos los números que tienen fósil 6 en el tercer nivel. Está claro que si nos fijamos en los distintos números que han aparecido en el primer nivel del ejercicio anterior y con cada uno de ellos permutamos sus cifras, iremos obteniendo números que tienen fósil 6 en su tercer nivel. Los números que han aparecido en el ejercicio en

22 el primer nivel son: 147, 168, 288 y 448. Con estos números conseguiríamos 18 números ( ) habrá más?. Sin duda que hay más. Razonemos de la siguiente forma: Si queremos que tenga fósil 6 en el tercer nivel, para el segundo nivel, las posibilidades que hay son los números 16 y 32. Si fijamos 16 en el segundo nivel, las posibilidades que hay para el primer nivel son los números: 28, 128, 144, 224 y 441 (todos estos números cumplen que el producto de sus cifras es 16 y además admiten descomposiciones en dos o tres factores con una sola cifra en cada factor). Veamos a continuación las distintas descomposiciones en dos o tres factores que admiten estos números: x 14 4 x 7 = 1 x 4 x 7 =2 x 2 x 7 2 x 2 x 32 2 x 4 x 16 2 x 8 x 8 4 x 4 x x 2 x 36 2 x 3 x 24 2 x 4 x 18 2* 6* 12 2 x 8 x 9 3 x 3 x 16 3 x 4 x 12 3 x 6 x 8 4 x 4 x 9 4 x 6 x x 7 x x 7 x 9 Los números con las cifras de los factores marcados en rojo, junto con los números que resultan de permutar sus cifras tienen fósil 6 en su tercer nivel y 16 en el segundo nivel como se aprecia en las siguientes tablas: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL

23 El número 128 en el primer nivel genera los siguientes números: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL El número 144 en el primer nivel genera los siguientes números: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL Los números 224 y 441 en el primer nivel generan los siguientes números: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL

24 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL Fijando ahora 32 en el segundo nivel, las posibilidades que hay para el primer nivel son los números: 48 y 84. Estos números cumplen que el producto de sus cifras es 32 y además admiten descomposiciones en dos o tres factores con una sola cifra en cada factor. Veamos a continuación las distintas descomposiciones en dos o tres factores que admiten estos números: x 24 3 x 16 4 x12 6 x 8 = 1 x 6 x 8 2 x 2 x 12 2 x 3 x 8 3 x 4 x x 2 x 21 2 x 3 x 14 2 x 6 x 7 3 x 4 x 7 2 x 4 x 6 Los números con las cifras de los factores marcados en rojo, junto con los números que resultan de permutar sus cifras tienen fósil 6 en su tercer nivel y 32 en el segundo nivel como se aprecia en las siguientes tablas: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL

25 En total han aparecido =44 números con fósil 6 en el tercer nivel y 16 en el segundo nivel y 35 números con fósil 6 en el tercer nivel y 32 en el segundo. Por tanto resultan 79 números de dos o tres cifras con fósil 6 en su tercer nivel, como se muestra en la siguiente tabla: 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL

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27 En la siguiente tabla aparecen los números primos menores a Ejercicio 4 El número primo 229 tiene fósil 8 en el tercer nivel, ayudándote de la tabla de arriba, encontrar todos los números primos de tres cifras que también tienen fósil 8 en el tercer nivel.

28 1º NIVEL 2º NIVEL 3º NIVEL Solución 8 = 1x8 = 2x4 = 8x1 = 4x2 = 1x1x8 = 1x2x4 Candidatos al segundo nivel: 18, 24, 42, 81, 118, = 2x9 = 3x6 = 9x2 = 6x3 =1x2x9 = 1x3x6 =1x6x3= 1x9x2 Candidatos al primer nivel con 18 en el segundo nivel: 29, 36, 63, 92, 129, 136, 163, 192,... Curiosidades sobre fósiles: Existen números consecutivos que tengan el mismo fósil? La respuesta es sí. En la siguiente tabla se muestran unos pocos: De dos cifras: 1º nivel 2º nivel 3º nivel 4º nivel Como vemos hay cuatro parejas de números consecutivos que tienen el mismo fósil: 47 y 48 que tienen fósil 6, 63 y 64 que tienen fósil 8, 66 y 67 con fósil 8 y 76 y 77 con fósil 8 también. Está claro que si añadimos un 1 a cada uno de estos 8 números, encontraremos otras cuatro parejas de números (ahora de tres cifras) que tienen el mismo fósil:

29 1º nivel 2º nivel 3º nivel 4º nivel A partir de los números 47 y 48 que tienen fósil 6, podemos obtener los números 227 y 228 que también son consecutivos y tienen fósil 6 ( por qué?). 63 y 64 tienen fósil 8, a partir de éstos podemos obtener 233 y 234 que también tienen fósil 8 (y son consecutivos), De los números 66 y 67, obtendríamos los números 236 y 237: 1º nivel 2º nivel 3º nivel Hay más números que empiecen por 2? Analizando los números de la tabla de arriba, observamos que por ejemplo 227 y 228 tienen en el primer nivel múltiplos consecutivos de 4, esto es 28=4x7 y 32=4x8. Los números que empiezan por 22 tienen en su primer nivel múltiplos consecutivos de 4=2x2; los que empiezan por 23 tienen en su primer nivel múltiplos consecutivos de 6=2x3 Etc. Si hubiera números de tres cifras consecutivos que empiecen por 24, con el mismo fósil éstos, en su primer nivel tendrían múltiplos consecutivos de 8=2x4. Analicemos éstos: los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, y 80. Entre estos 9 números tendríamos que buscar dos consecutivos que den lugar al mismo fósil. Como no los hay, tampoco hay números consecutivos de tres cifras que empiecen por 24 con el mismo fósil. Nos saltamos los números que empiezan por 25 (todos tienen fósil 0), pasamos a los números que empiezan por 26.

30 Múltiplos de 2x6=12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96 y 108. Calculando el fósil de estos números obtenemos: 12 1º 2º 3º Observamos que el segundo y tercer múltiplo de 12, tienen el mismo fósil (8); por tanto los números 262 y 263 deben tener el mismo fósil Estudiemos ahora si hay números consecutivos con el mismo fósil que empiecen por 27: Estudiemos los fósiles de los múltiplos de 2x7=14: 14 1º 2º 3º Observamos que el octavo y noveno múltiplo de 14, tienen el mismo fósil (2); por tanto los números 278 y 279 deben tener el mismo fósil

31 Estudiemos ahora si hay números consecutivos con el mismo fósil que empiecen por 28: Estudiemos los fósiles de los múltiplos de 2x8=16: 16 1º 2º 3º Esta tabla nos lleva a que los números 281, 282 y 283 tienen el mismo fósil (6) y los números 288 y 289 también tienen fósil (6) 1º 2º 3º º 2º 3º Estudiemos ahora si hay números consecutivos con el mismo fósil que empiecen por 29: Estudiemos los fósiles de los múltiplos de 18: 18 1º 2º Esta tabla nos lleva a que los números 291 y 292 tienen el mismo fósil (8) 1º 2º 3º

32 Como resumen, presentamos en la siguiente tabla los números consecutivos de la segunda centena que tienen el mismo fósil: º 2º 3º Para estudiar los números de la tercera centena que son consecutivos y tienen el mismo fósil, la tabla anterior nos da dos parejas, a saber: 323 y 324 con fósil 8 y 326 y 327 con fósil 8 también. A continuación estudiaremos los fósiles de los múltiplos de 3x3=9; 3x4=12 (ya estudiados antes); 3x5=15; 3x6=18 (estudiados también); 3x7=21; 3x8=24 y 3x9=27: En las siguientes tablas aparecen los fósiles de los múltiplos de 9, 15, 21, 24 y 27:

33 De estas tres tablas obtenemos que los números consecutivos que tienen el mismo fósil son: 372, 373 con fósil 8 y 377, 378 como se aprecia en las siguientes tablas: 1º 2º 3º º 2º 3º 4º Estudiemos ahora los fósiles de los múltiplos de 3x8=24 y 3x9=27: 24 1º 2º 3º º 2º 3º De estas dos tablas obtenemos que los números consecutivos que tienen el mismo fósil son: 386 y 387 con fósil 6. 1º 2º 3º 4º Antes de escribir la tabla resumen de los números consecutivos de la tercera centena con el mismo fósil, examinemos las tablas de los fósiles de los múltiplos de 3x4=12 y de los múltiplos de 3x6=18: 18 1º 2º º 2º 3º

34 Estas dos tablas nos dan los números 342 y 343 con fósil 8 y 361 y 362 con fósil 8 también: 1º 2º 3º º 2º 3º Como resumen, presentamos en la siguiente tabla los números consecutivos de la tercera centena que tienen el mismo fósil: º 2º 3º 4º Para estudiar los números de la cuarta centena que son consecutivos y tienen el mismo fósil, examinamos las tablas de la primera, segunda, tercera centena y la tabla anterior. En la tabla de la primera centena aparecen los números 147 y 148, con fósil 6 estos números nos da la pareja 417 y 418, y la tabla anterior nos da una pareja, a saber: 432 y 433 con fósil 8. A continuación estudiaremos los fósiles de los múltiplos de 4x4=16 (ya estudiados antes); 4x5=20 (todos con fósil 0); 4x6=24 (ya estudiados antes); 4x7=28; 4x8=32; y 4x9=36: 16 1º 2º 3º 4º º 2º 3º

35 Estas dos tablas nos dan los números 441, 442 y 443 con fósil 6; 448 y 449 con fósil 6 también, además de 466 y 467 con fósil 6 1º 2º 3º º 2º 3º º 2º 3º 4º Veamos ahora los fósiles de los múltiplos de 4x7=28, 4x8=32 y 4x9= º 2º 3º º 2º 3º º 2º 3º Estas tres tablas no nos dan ninguna pareja ni terna de números consecutivos con el mismo fósil. Así que los números de la cuarta centena consecutivos con igual fósil son: º 2º 3º

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