Capitulo VII: Regla de Tres

Transcripción

1 Capitulo VII: Regla de Tres Concepto: Es un método aritmético, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de magnitudes proporcionales. Simple Simple directa Simple inversa Regla de tres Compuesta Regla de tres simple: Se genera cuando se comparan dos magnitudes. Una regla de tres simple puede ser directa o inversa, dependiendo de cómo se relacionen las magnitudes en comparación. 1) Regla de tres simple directa Sean M y N dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores. Magnitudes: M (DP) N kg (DP) soles a b c x x = b c a 2) Regla de tres simple inversa Sean M y N dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores. Magnitudes: M (IP) N kg (IP) soles m n p x x = m n p Nota: obreros (DP) obra obreros (IP) horas/diarias h/d (DP) obra h/d (IP) días obreros (IP) días Recuerde! Magnitudes directamente proporcionales. DP { Si la dos aumentan o las dos disminuyen. Magnitudes inversamente proporcionales. IP { Si una aumenta y la otra disminuye o viceversa. Página 154 de 167

2 Ejemplos: 1. Se sabe que 420 ovejas tienen alimentos para 60 días. Se desea que dichos alimentos duren 12 días más sin cortarles la ración diaria. Cuántas ovejas habrá que vender? Ovejas (IP) Días x 72 x = x = Se venderá: = Si 36 obreros cavan 120 m de zanja diaria. Cuál será el avance diario, cuando se ausentan 9 obreros? Obreros (DP) Metros x x = = 90 m Una cuadrilla de 12 obreros pueden llenar un techo en 8 h. Qué tiempo tardarían 15 obreros, en llenar el mismo techo? x = 12 2 = 6.4 h 15 Obreros (IP) Horas x 4. Se hacen disolver 240 g de azúcar en 5 litros de agua. Cuántos litros de agua deberán añadirse a esta mezcla para que un litro de agua de la nueva mezcla no tenga sino 8 g de azúcar? Si en cada litro debe haber 8 g, en 240 gramos cuántos litros habrá? x = = x 240 Pero ya se tienen 5 litros; luego aumentará: litros 5. n máquinas hacen una obra en 30 días; (n + 4) máquinas hacen la misma obra en 20 días; en cuánto tiempo harán (n + 2) máquinas dicha obra. Máquinas (IP) Días n 30 (n + 4) 20 (n + 4) = n De donde: n = 8 Página 155 de 167

3 Ahora reemplazando: x = 8 30 x = Máquinas (IP) Días x 6. Timoteo demora 8 h en construir un cubo compacto de 5 dm de arista, después de 108 h de trabajo, qué parte de un cubo de 15 dm habrá construido? Horas (DP) Volumen x 15 3 x = = 216 h Luego se deduce que en 108 h habrá hecho la mitad de la obra. Regla de tres compuesta: Se genera cuando se comparan tres o más magnitudes. Procedimiento Se deberán ubicar todas las magnitudes que intervienen en el problema. Se colocan los valores numéricos que corresponden a cada magnitud (colocarlos horizontalmente). La magnitud incógnita se compara con cada una de las otras a fin de establecer si es DP o IP. Si una magnitud es DP, sus valores numéricos se invierten en el planteo y si fuera IP se mantiene igual. Problema general Si: a 1 de obra se realiza por b 1 obreros en c 1 días, con una dificultad de d 1 y e 1 de eficiencia. En cuántos días a 2 de obra harán b 2 obreros con e 2 de eficiencia y d 2 de dificultad de la obra. Obra obreros días dificultad eficiencia a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 2 b 2 x d 2 e 2 La magnitud días, se compara con cada una de las demás magnitudes. Página 156 de 167

4 Comparando Días Obra: En más días, harán más obra y en menos días, harán menos obra. (DP). Días Obreros: Más obreros, se demorarán menos días, y menos obreros, tardarán más días en realizar la misma obra. (IP). Días Dificultad: Cuanto más dificultosa sea la obra, demorarán más días y cuanto menor sea la dificultad, tardarán menos días (DP). Días Eficiencia: Cuanto más eficientes son los obreros, tardarán menos días y cuanto menos eficientes son, tardarán más días. (IP). obra obreros días dificultad eficiencia a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 a 2 b 2 x d 2 e 2 DP IP DP IP De donde: x = c 1 a 2 b 1 d 2 e 1 a 1 b 2 d 1 e 2 Ejemplos: gatos comen 30 pericotes en 75 segundos; 18 gatos en cuántos segundos comerán 90 pericotes. Planteando y analizando: gatos pericotes segundos x IP DP x = x = hombres trabajando 9 horas diarias pueden hacer una obra en 15 días. 18 hombres, en cuántas horas diarias pueden hacer la obra en 25 días. Planteando y analizando: hombres días h/d x IP DP x = x = 6 h/d obreros pueden hacer una obra en 12 días trabajando 6 h/d. Después de iniciado el trabajo se quiere terminar en sólo 8 días, disminuyendo 1/6 de la obra y aumentando 2 h/d. Cuántos días se trabajó 8 h/d? Si toda la obra se puede hacer en 12 días; al trabajar n días a 6 h/d han hecho n/12 de la obra, luego para terminar la obra en 8 días trabajarán (8 n) días más. Página 157 de 167

5 Planteando: obreros días h/d obra 10 n 6 n/12 10 (8 - n) 8 [1 (n/12)] 1/6 IP IP DP (p - n) = n n/12 1/ n/12 De donde: n = 2 Los días que trabajaron 8 h/d fueron: días Página 158 de 167

6 Ejercicios 1. Si por pintar un cubo de 5 cm de arista se pagó S/.3600 cuánto se pagará por un cubo de 15 cm de arista? Se pinta la superficie luego el área de todo es: 6a 2 Área Soles 6(5) 2 (D) 3600 a 6(15) 2 x a x = 6 (15) x = S/ (5) 2 2. Para realizar 300 m 2 de una obra se necesitan 18 obreros. Cuántos hombres más se necesitarán para una obra de 1000 m 2? Obra Obreros 399 m 2 (D) m 2 (18 + x) (18 + x) = De donde: x = Se piensa construir una pared con 15 obreros en 20 días. Cuántos obreros será necesario contratar; si se quiere concluir la pared 8 días antes? Obreros Días 15 (I) 20 x (20-8) x = De donde: x = caballeros tienen ración para 15 días. Si se aumentan 30 caballos más para cuántos días alcanzará la ración anterior? Caballos Días 6a (I) 15 9a x x = 6a. 15 9a x = 10 días Página 159 de 167

7 5. Un panteón en forma de cubo pesa 2160 g. El peso en gramos de un minipanetón de igual forma pero con sus dimensiones reducidas a la tercera parte es: Volumen Peso a 3 (D) 2160 (a/3) 3 x x = (a 3 /27) a 3 27 x = 80 g 6. Si A es el número de obreros que pueden hacer una obra en 3A/4 días trabajando A/3 horas diarias, Cuál es el número A de obreros si al duplicarse hacen la misma obra en 72 h? Obreros Total de horas A (I) (3A/4). (A/3) 2A 72 2A = A 3A/4 A/ = A 2 A = obreros han hecho la mitad de un trabajo en 20 días. En ese momento abandonan el trabajo 5 obreros. cuántos días tardarán en terminar el trabajo los obreros que quedan? Obreros Días 15 (I) 20 (15-5) x x = x = Un reloj se adelanta minuto y medio cada 24 horas. Después de 46 días 21 horas 20 min cuánto se adelantó el reloj? Como: 40d 21h 20min = Planteamos: 3376 h 3 Horas min (adelanto) 24 (D) 3/2 3376/3 x x = (3376/3) (3/2) x = 211 min 24 3 x = 4220 s x = 1h20'20" Página 160 de 167

8 9. Las máquinas A y B tienen la misma cuota de producción semanal, operando 30 h y 35 h respectivamente. Si A trabaja 18h y se malogra debiendo hacer B el resto de la cuota. Cuántas horas adicionales debe trabajar B? Como A hace todo en 30 h en 18 h Hace: 18 (1/30) 3/5 Falta sólo: 1 (3/5) 2/5 (es lo que hace B) Para B: Horas Obra 35 (D) 1 x = 35 2/5 x 2/5 x = 14 h 10. A una esfera de reloj se le divide en 1500 partes iguales, a cada parte se le denomina nuevo minuto, cada nueva hora está constituida por 100 nuevos minutos. Qué hora indicará el nuevo reloj, cuando el antiguo indique las 3 h 48 min? El reloj queda dividido en: 1500/100 = 15 nuevas horas; que equivale a 12 horas antiguas. Como 3 h 48 min = 228 min antiguos. Se tiene que: Nuevos min. Antiguos min. 15 (100) (D) 12 (60) x 228 x = x = 475 nuevos min. 12 (60) x = 4 h 75 min 11. Un reloj marca la hora correcta un día a las 6 p.m. Suponiendo que cada 12 h se adelanta 3 min, Cuánto tiempo pasará para que marque por primera vez la hora correcta nuevamente? Se deduce que en 1 día (24 h) se adelante 6 min, luego para marcar por primera vez la hora correcta es decir 6 p.m. debe adelantarse 12 h = 720 min. Luego: Adelanto 1 día (D) 6 min x 720 min x = 1 día 720 min x = 120 días 6 min Página 161 de 167

9 12. La onza trío de plata estuvo a 49 dólares y en el término de 9 meses bajó a 10 dólares. Pero después de 9 meses más el precio está a 14.9 dólares. Suponiendo que se mantiene el incremento mensual, en cuánto tiempo recuperará el precio inicial de $ 49? Incremento en 9 meses: = 4.9 Incremento Meses x = (34.1) 9 ( ) x 4.9 x = 62 meses 19 días 13. Nataly por cada 100 huevos que compra se le rompen 10 y por cada 100 que vende da 10 de regalo. Si vendió 1800 huevos cuántos huevos ha comprado? a) Cuando vende: 100 entrega x x = = 1980 huevos 100 b) Cuando compra: 100 recibe 90? 1980? = ? = gallinas se comen en 3 días 3 kg de maíz, 9 gallinas, en cuántos días se comen 9 kg de maíz? Gallinas Días kg x 9 x = 3. 3/9. 9/3 x = 3 días 15. Una cuadrilla de obreros puede hacer una obra en 18 días. En los primeros 10 días trabajó solamente la mitad de la cuadrilla; para terminar la obra trabajan 13 obreros durante 24 días. Cuántos obreros constituyen la cuadrilla? Como: x obreros en 18 días hacían una obra; x/2 obreros harían la misma obra en 36 días. Luego planteamos. Obreros Días Obra x/ / /36 De donde: x = x = obreros Página 162 de 167

10 16. Un recipiente esférico se puede llenar en 8 min con una cañería que arroja 3 litros por segundo. En cuánto tiempo se llenará un recipiente de radio doble del anterior con un caño que arroja 4 µs. min µs volumen 8 3 4/3 πr 3 x 4 4/3 π(2r) 3 x = 8. 3/4. 8/1 x = minutos 17. La cantidad necesaria para vivir en una ciudad A es los ¾ de la que se necesita para vivir en otro B. Según esto si 7 personas gastan en A, durante 9 meses S/.90720; 5 personas durante 8 meses Cuánto gastarán? En B sería: 4/3 (90720) = S/. 120,960 Planteamos: (D) (D) Personas Meses Soles x x = /7. 8/9 x = S/ Se contrataron 24 obreros para construir un túnel y faltando 15 días para terminarlo, 4 de los obreros sufrieron un accidente y se retiraron de la obra. Cuántos días tardarán los obreros restantes en culminar lo que falta de obra? Lo que debían hacer 24 obreros en 15 días lo harán 20 obreros en x días. Entonces: x = x = Si compro a manzanas más de lo que pienso comprar gastaré S/.A; en cambio si comprara b manzanas menos de lo que pienso comprar, gastaría tan solo S/.8 cuántas manzanas pienso comprar? Sea x el número de manzanas que deseo comprar, entonces: Si compro (x + a) gastaría S/.A (D) Si compro (x b) gastaría S/.B Entonces: x b = (x + a) x B Ax Ab = Bx ab A x = ab + Ab A - B Página 163 de 167

11 20. Se ha calculado que para producir 1 kg de carne, una vaca consume (aprox.) 80 kg de pasto. Si 1 kg de pasto cuesta S/.3 cuánto se invierte para producir 5 kg de carne? 1 kg de pasto cuesta S/.3 1 kg de carne cuesta S/ kg de pasto costará x 5 kg de carne costará y x = 80 x 3 = S/.240 y = 5 x 240 = S/.1200 Página 164 de 167

12 Problemas Propuestos 1. Un caballo atado con una soga de 3 metros de largo demora 5 días en comer el pasto que está a su alcance. Si la soga fuera de 6 metros. En cuántos días comerá todo el pasto que está a su alcance? a) 10 b) 20 c) 18 d) 19 e) Por la compra de 1 docena de huevos me regalan uno, cuántas docenas compré si al final obtuve 286 huevos? a) 22 b) 18 c) 24 d) 26 e) A es 100% más eficiente que B y B 50% más eficiente que C. Si B puede hacer una obra en 242 horas. Cuánto tardarían los tres juntos en hacer la misma obra? a) 60 b) 62 c) 66 d) 64 e) Para pintar una superficie de 55 m 2 se necesitan 10 galones de pintura. Cuántos galones más se requiere para pintar una superficie de 440 m 2? a) 70 b) 68 c) 80 d) 62 e) Si 20 obreros construyen 28 metros de pared en cada día, cuál será el avance diario, si se retiran 5 obreros? a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) Para pintar un cuadrado de 10 m de lado se requiere 2 galones de pintura. Cuántos se necesitarán para pintar un cuadrado de 20 m de lado? a) 10 b) 14 c) 12 d) 7 e) 8 7. El vino obtenido en un recipiente de forma cúbica cuesta S/.60. cuánto más se pagaría por un contenido en un recipiente también cúbico pero con una arista doble que la anterior? a) 400 b) 420 c) 450 d) 350 e) Un reloj se atrasa 10 min cada día. dentro de cuántos días volverá a marcar la hora exacta? a) 100 b) 144 c) 122 d) 240 e) Seis caballos tienen ración para 15 días si se aumenta 3 caballos más para cuántos días alcanzará la ración anterior? a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Si se retiran 6 obreros cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra? a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) kg de agua salada contiene 3 kg de sal. Qué cantidad de agua habrá que verter para que en la mezcla final por 4 kg de ésta solo haya 0.5 kg de sal? a) 1 b) 2 c) 4 d) 3 e) 5 Página 165 de 167

13 12. Edy es el triple de rápido que Manuel y Javier el doble que Edy. Si Manuel y Javier juntos hacen una obra en 20 días. Cuántos días demorarán en hacer la obra los tres juntos? a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) Una cisterna suministra 400 litros de agua a cada una de las 25 familias que habita el edificio y demora en vaciarse 150 días. Por arreglos en la tubería debe hacerse durar el agua en el reservorio 50 días más. Se alojan 5 familias más en el edificio. En cuánto debe reducirse el suministro de agua a cada familia para atender esta contingencia? a) 100 litros b) 120 litros c) 150 litros d)250 litros e) N.A. 14. Con 8 obreros se puede hacer una obra en 20 días. Con 10 obreros 4 veces más rápidos que los anteriores en cuantos días harán una obra 9 veces más difícil que la anterior? a) 30 b) 31 c) 32 d) 34 e) N.A obreros trabajando 10 horas diarias han empleado 12 días para hacer una zanja de 440 m de largo, 2 m de ancho y 1,25 de profundidad. Cuánto tiempo más emplearán 24 obreros trabajando 8 h/d para abrir otra zanja de 200 m de largo, 3 m de ancho y 1 metro de profundidad? a) 15 d b) 12 d c) 6 d d) 3 d e) N.A. 16. La guarnición de un fuerte era de 1250 hombres y se calculó que dando 600 g de pan a cada hombre, había harina para 150 días; pero se reforzó la guarnición y no hubo harina más que para 125 días, dando la misma cantidad de pan a cada hombre. De cuántos hombres era el refuerzo? a) 1500 b) 1250 c) 500 d) 250 e) Se contrató 15 obreros, trabajando 10 h/d, para que terminaran una obra en 30 días. Después de 8 días de trabajo se acordó que la obra quedase terminada en 12 días antes del plazo estipulado y así se hizo. Cuántos obreros más debieron emplearse, teniendo en cuenta que se aumentó en una hora el trabajo diario? a) 12 b) 18 c) 15 d) 25 e) Una cuadrilla de 42 obreros puede terminar un trabajo en 21 días. Al cabo del décimo día de labor renunciaron 28 obreros y 4 días después comunican al contratista que termine la obra en el tiempo fijado anteriormente, para lo cual contrata nuevos obreros. cuántos son estos? a) 44 b) 11 c) 33 d) 55 e) Tres alumnos resuelven 4 prácticas en la mitad del tiempo en que otros dos los resuelven. En cuántas horas resolverá uno de los alumnos de este último grupo 2 prácticas, si dos alumnos del otro grupo las resuelven en 3 horas? a) 6 h b) 7 h c) 8 h d) 9 h e) 10 h 20. Diez obreros pueden hacer una obra en 12 días trabajando 6 h/día. Después de iniciado el trabajo se quiere terminar en sólo 8 días, disminuyendo 1/6 de la obra y aumentando 2 horas por día. Cuántos días se trabajó 8 horas diarias? a) 4 días b) 5 días c) 6 días d) 7 días e) 8 días CLAVE DE RESPUESTAS: b a c a d e b b b a c b c c d d c a c c Página 166 de 167

14 BIBLIOGRAFÍA Lipschutz Seynour Teoría de Conjuntos Edit. Schaum Rojo Armando Álgebra I Edit. El Ateneo B. Deminovich Ejercicios y Problemas de Análisis Matemática Hasser-La Salle- Sulliva Análisis Matemático Vol I. Louis Leithold Cálculo y Geometría Analítica G. N. Berman Ejercicios y problemas de Análisis Matemático Alvaro Pinzón Conjuntos y Estructuras Página 167 de 167