Operaciones con transformaciones lineales Suma y Producto por un escalar Composición e Inversa Matriz asociada
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- Juan Luis González Martín
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1 Operaciones con transformaciones lineales Suma y Producto por un escalar Composición e Inversa Matriz asociada c Jana Rodriguez Hertz p. 1/1
2 transformaciones lineales Dados V y W e.v. sobre el cuerpo K, se llama transformación lineal a toda función que verifique T : V W T(αv 1 + βv 2 ) = αt(v 1 ) + βt(v 2 ) c Jana Rodriguez Hertz p. 2/1
3 Proposición T : V W transformación lineal T(O V ) = O W c Jana Rodriguez Hertz p. 3/1
4 T.L. inducida por una matriz V, W e.v. tales que dim V = n y dim W = m. c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1
5 T.L. inducida por una matriz V, W e.v. tales que dim V = n y dim W = m. Entonces cualquier matriz A M m n (K) define una T.L.: c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1
6 T.L. inducida por una matriz V, W e.v. tales que dim V = n y dim W = m. Entonces cualquier matriz A M m n (K) define una T.L.: K n A K m c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1
7 T.L. inducida por una matriz V, W e.v. tales que dim V = n y dim W = m. Entonces cualquier matriz A M m n (K) define una T.L.: K n A K m coord 1 A coord 1 B c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1
8 T.L. inducida por una matriz V, W e.v. tales que dim V = n y dim W = m. Entonces cualquier matriz A M m n (K) define una T.L.: K n A K m coord 1 A coord 1 B V T A W c Jana Rodriguez Hertz p. 4/1
9 Ejemplo V = R 2 [x] W = R 3 [x] con las respectivas bases canónicas T A (ax 2 + bx + c) = A = c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1
10 Ejemplo V = R 2 [x] W = R 3 [x] con las respectivas bases canónicas A = T A (ax 2 + bx + c) = coord 1 C A(a,b,c) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1
11 Ejemplo V = R 2 [x] W = R 3 [x] con las respectivas bases canónicas A = T A (ax 2 + bx + c) = coord 1 C A(a,b,c) = coord 1 C (a + c,b,a + c,b) c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1
12 Ejemplo V = R 2 [x] W = R 3 [x] con las respectivas bases canónicas A = T A (ax 2 + bx + c) = coord 1 C A(a,b,c) = coord 1 C (a + c,b,a + c,b) = (a + c)x 3 + bx 2 + (a + c)x + b c Jana Rodriguez Hertz p. 5/1
13 Matriz asociada - definición Nos interesa ahora ver si dada una T.L. V T W c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1
14 Matriz asociada - definición Nos interesa ahora ver si dada una T.L. V T W hay una transformación lineal A c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1
15 Matriz asociada - definición Nos interesa ahora ver si dada una T.L. V T W K n A K m hay una transformación lineal A c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1
16 Matriz asociada - definición Nos interesa ahora ver si dada una T.L. V T W A K m K n hay una transformación lineal Aque verifique c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1
17 Matriz asociada - definición La matriz A que verifica: V T W coord A coord B A K m K n se llama matriz asociada a T en las bases A y B c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1
18 Matriz asociada - definición La matriz A que verifica: V T W coord A coord B A K m K n se llama matriz asociada a T en las bases A y B y se simboliza: B(T) A c Jana Rodriguez Hertz p. 6/1
19 Ejemplo 1 Consideremos la función derivada: d : R 2 [x] R 1 [x] con las respectivas bases canónicas cuál es la matriz asociada a d en las bases canónicas? c Jana Rodriguez Hertz p. 7/1
20 Ejemplo 2 Fijemos un vector Y R 3, y consideremos la T.L. T Y : R 3 R X X Y cuál es la matriz asociada a T Y en las respectivas bases canónicas? c Jana Rodriguez Hertz p. 8/1
21 Matriz cambio de base Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos I V : V V v v basea baseb c Jana Rodriguez Hertz p. 9/1
22 Matriz cambio de base Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos I V : V V v v basea baseb en ese caso, la matriz asociada se llama B(I V ) A c Jana Rodriguez Hertz p. 9/1
23 Matriz cambio de base Un caso especial de matriz asociada es cuando tenemos I V : V V v v basea baseb en ese caso, la matriz asociada B(I V ) A se llama matriz cambio de base c Jana Rodriguez Hertz p. 9/1
24 Ejemplo Si en R 3 consideramos la base: B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} la matriz cambio de base es : C(I R 3) B c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1
25 Ejemplo Si en R 3 consideramos la base: B = {(1, 1, 1); (1, 1, 0); (1, 0, 0)} la matriz cambio de base es : C(I R 3) B = c Jana Rodriguez Hertz p. 10/1
26 Operaciones con T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 11/1
27 Definición V, W e.v. sobre K y S,T : V W transformaciones lineales c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1
28 Definición V, W e.v. sobre K y S,T : V W transformaciones lineales se define: S + T : V W (S + T)(v) = S(v) + T(v) v V c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1
29 Definición V, W e.v. sobre K y S,T : V W transformaciones lineales se define: λt : V W (λt)(v) = λ.t(v) v V c Jana Rodriguez Hertz p. 12/1
30 Proposiciones V, W e.v. sobre K y S,T : V W transformaciones lineales. Entonces: S + T es una transformación lineal c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1
31 Proposiciones V, W e.v. sobre K y S,T : V W transformaciones lineales. Entonces: S + T es una transformación lineal λt es una transformación lineal λ K c Jana Rodriguez Hertz p. 13/1
32 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K } c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1
33 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K } S : U V T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1
34 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K } S : U V T.L. T : V W T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1
35 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K } S : U V T.L. = T S : U W T.L. T : V W T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 14/1
36 Comportamiento de las matrices asoci c Jana Rodriguez Hertz p. 15/1
37 Proposición V, W e.v. sobre K (dimensión finita) y S,T : (V, A) (W, B) transformaciones lineales. Entonces: B (S + T) A = B (S) A + B (T) A c Jana Rodriguez Hertz p. 16/1
38 Proposición V, W e.v. sobre K (dimensión finita) y S,T : (V, A) (W, B) transformaciones lineales. Entonces: B (S + T) A = B (S) A + B (T) A B (λt) A = λ B (T) A c Jana Rodriguez Hertz p. 16/1
39 Proposición V, W e.v. sobre K (dimensión finita) y S,T : (V, A) (W, B) transformaciones lineales. Entonces: B (S + T) A = B (S) A + B (T) A B (λt) A = λ B (T) A c Jana Rodriguez Hertz p. 16/1
40 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K con bases A, B y C respectivamente } c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1
41 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K con bases A, B y C respectivamente } S : U V T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1
42 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K con bases A, B y C respectivamente } S : U V T.L. T : V W T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1
43 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K con bases A, B y C respectivamente } S : U V T.L. = C (T S) A = C (T) B B (S) A T : V W T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1
44 Proposición Sean U, V, W e.v. sobre K con bases A, B y C respectivamente } S : U V T.L. = C (T S) A = C (T) B B (S) A T : V W T.L. c Jana Rodriguez Hertz p. 17/1
45 Proposición A y B bases finitas de V e.v., entonces c Jana Rodriguez Hertz p. 18/1
46 Proposición A y B bases finitas de V e.v., entonces A(I V ) B B (I V ) A = I c Jana Rodriguez Hertz p. 18/1
47 Proposición A y B bases finitas de V e.v., entonces A(I V ) B B (I V ) A = I Es decir A(I V ) B = [ A (I V ) B ] 1 c Jana Rodriguez Hertz p. 18/1
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