REVISIONES Y EXÁMENES.

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1 REVISIONES Y EXÁMENES. (Las soluciones desarrolladas están en la fotocopiadora del CECEA) EXAMEN DEL 1º/2/05 Ejercicio 1 (42 puntos) I) El Banco de Progreso realiza préstamos de $ , a una tasa efectiva anual de 12, %. El Sr. Juan T. Nebroso solicita un préstamo el 1º/01/01 en 6 cuotas mensuales, iguales y consecutivas, venciendo la primera al mes de solicitado el préstamo; un mes después de pagar la última cuota, cancelará el saldo con un pago de $ El Sr. Pedro P. Letero solicita un préstamo el 1º/01/01 pagadero en 5 cuotas mensuales, consecutivas y vencidas de amortización constante. 1) Calcule el valor de las cuotas de Juan. 2) Calcule el valor de las cuotas de Pedro. II) Juan y Pedro tienen como única fuente de ingresos un quiosco, del que son los únicos dueños. El 1/4/01 se presentan en el Banco y plantean su imposibilidad de hacer frente a sus obligaciones de la fecha y solicitan que se les refinancien ambos préstamos, pero en forma conjunta. El banco accede a hacerlo, con el siguiente plan: 5 cuotas mensuales, constantes, consecutivas, la primera de la cuales vencerá dentro de 3 meses (1º/7/01). 5 cuotas mensuales de amortización constante, venciendo la primera al mes de la última de las cuotas anteriores. tasa de interés de la refinanciación es 9 % nominal semestral con capitalización mensual. 1) Calcule el saldo a refinanciar. 2) Sabiendo además que el saldo después de pagar la séptima cuota de la refinanciación (2ª de amortización constante) es de $ 3000, calcule la primera cuota de amortización constante. 3) Calcule el importe de las cuotas constantes y el interés contenido en la primera de ellas. Ejercicio 2 ( 36 puntos) (Las partes I y II son independientes, teniendo los datos en común) Un profesor tiene una caja que contiene 10 marcadores de pizarrón blanco, de los cuales 7 de ellos funcionan correctamente y en cambio los 3 restantes están descargados. Parte I Considere el experimento consistente en que el profesor seleccione 3 marcadores sucesivamente y sin reposición. 1

2 Sea C i el evento el marcador seleccionado en el lugar número i funciona correctamente con i = 1, 2 o 3. Utilizando los eventos y las propiedades que correspondan, calcule: 1) la probabilidad de que los 3 marcadores seleccionados estén descargados. 2) la probabilidad de que solamente funcione correctamente el último marcador seleccionado. 3) la probabilidad de que el segundo esté descargado, si el primero funciona correctamente. Parte II Considere ahora el experimento consistente en que el profesor seleccione marcadores sucesivamente y sin reposición, hasta encontrar uno que funcione correctamente (allí finaliza el experimento). Sea X la v.a. que indica la cantidad de marcadores seleccionados que están descargados. 1) Efectúe un diagrama de árbol y determine el espacio de las alternativas posibles. 2) Halle la función de cuantía de X. 3) Calcule la probabilidad de seleccionar más de un marcador descargado. 4) Halle la función de distribución de X. 5) Indique el valor de la mediana. Ejercicio 3 ( 22 puntos) Una empresa fabrica mamparas de acrílico para duchas, que los clientes encargan a medida. Como las medidas son variables, puede considerarse que la cantidad de acrílico utilizado por mampara y medida en metros cuadrados, es una v.a. X N ( 9, σ 2 ). Se sabe que la probabilidad de que la cantidad de acrílico utilizada sea menor que 15 es 0, ) Calcule σ 2) Con el valor de σ hallado, calcule la probabilidad de que una mampara insuma 2.1) por lo menos 10 metros cuadrados 2.2) entre 8 y 11 metros cuadrados. 2.3) menos de 11, si lleva más de 9 metros cuadrados. PRIMERA REVISIÓN del 2005 (7/5/05) Ejercicio 1 Pancho abre una Caja de Ahorros en un banco el día 6/05/05 en la que efectúa únicamente los siguientes movimientos: deposita $ el 6/5/05 deposita $ el 6/6/05 deposita $ el 6/7/05 deposita $ el 6/8/05 deposita $ 500 el 21/8/05 retira $800 el 6/10/05 deposita $ X el 21/11/05. 2

3 El banco paga una tasa de interés equivalente al 2, % nominal semestral con capitalizaciones trimestrales en las Cajas de Ahorros en moneda nacional. 1) Calcule el saldo de la Caja de Ahorros el 6/10/05 antes y después de haber efectuado el retiro. (Solución: 4.559,3 y 3.759,3) 2) Determine X sabiendo que el saldo de su cuenta el 21/12/05 es $ 5.805,03. (Solución: 2.000) 3) Para el dinero ahorrado al 21/12/05 se le presentan dos opciones: a) mantenerlo en la misma cuenta (en pesos) tres meses más o b) convertirlo en euros y depositarlos por tres meses al 4, % efectivo anual. Investigue cuál sería la opción más conveniente para Pancho suponiendo que la devaluación del peso frente al euro sea del 1 % trimestral. (Solución: Conviene la opción b pues 0,02212>0, ) Ejercicio 2 El día 30/04/05 Nicasio adquiere una deuda por $ ,16, que cancelará abonando 12 cuotas de $ C cada una, mensuales y consecutivas, la primera de las cuales vence el 31/05/05. Las tasas de interés aplicadas son: 19, % efectivo semestral hasta el 31/10/05 y luego 10% nominal cuatrimestral con capitalizaciones mensuales. 1) Calcule C. (C=1.000) 2) Sin hacer el cuadro, calcule el saldo inmediatamente antes de pagar la séptima A cuota. ( S = 5.645, 7 8) 3) Calcule la parte de interés y la parte de amortización contenidas en la octava cuota. ( I 8 = 116,1; A8 = 883, 9) 4) Suponga que pagó puntualmente las 9 primeras cuotas y que el mismo día que pagó la novena (31/01/06) le planteó a su acreedor que tendría dificultades en cumplir con la financiación inicialmente acordada. El acreedor le ofrece dos opciones de refinanciación, ambas con una tasa de interés del 15% nominal semestral con capitalizaciones bimestrales. Opción A: refinanciar la deuda al 31/1/06 en 10 cuotas mensuales consecutivas de amortización constante, pagadera la primera el 28/2/06. Opción B: El 31/05/06 Nicasio deberá efectuar un primer pago igual a los intereses generados desde el 31/01/06. Cancelará el resto mediante el pago de 3 cuotas iguales bimestrales y consecutivas, venciendo la primera el 30/07/ ) Calcule el saldo refinanciado el 31/01/06. (2.856,2) 4.2) Para la opción A, calcule la amortización constante y el interés contenido en la tercera cuota. ( A = 285, 6 ; I = 56, 3 42 ) 4.3) Elabore el cuadro de amortización e intereses para la refinanciación según la opción B. (1ª.Cuota=292,7; 2ª, 3ª y 4ª: 1.048,8) 3

4 Ejercicio 3 1) Describa el espacio de las alternativas posibles de cada uno de los experimentos aleatorios abajo indicados, indique su cardinal y comente, fundamentando, si es posible aplicar la definición clásica. a) Seleccionar simultáneamente y al azar 3 cartas entre las cuatro siguientes: rey de basto (B), rey de copa (C), rey de espada (E) y rey de oro (O). b) Seleccionar sucesivamente y con reposición 2 sobres de una caja que contiene sobres numerados del 1 al 3. c) Carrera de caballos en el Hipódromo de Maroñas en la que intervienen los caballos A, B, C y D, considerando solamente el primer puesto. 2) Considerando el experimento b), calcule la probabilidad de seleccionar las dos veces el mismo sobre. (Solución: 1/3) 3) Pocho va al Hipódromo y apuesta $ 50 al caballo C. Si éste gana la carrera, Pocho recibirá $ 90. Qué probabilidad se le está asignando al evento gana el caballo C? (Solución: 5/9) EXAMEN DEL 7/5/05 Ejercicio 1 (Igual al ejercicio 2 de la revisión del mismo día) Ejercicio 2 Pedro es carpintero y tiene problemas en la vista, por lo cual si no usa lentes al intentar clavar clavos con su martillo, la probabilidad que tiene de no pegarle al clavo es el doble de la probabilidad de pegarle. Consideramos que cada golpe es independiente del anterior y que Pedro realiza series de 3 golpes (sin los lentes). Dada una serie de 3 golpes, definimos la v.a. X= número de golpes acertados en el clavo 1) Halle la función de cuantía y la función de distribución de la v.a. X. 0 si x < 0 8 si 0 x < Función de distribuci ón : F ( ) X x = si 1 x < si 2 x < si x 3 2) Grafique la función de distribución, e indique en el gráfico la mediana de los golpes acertados. ( x 0, 5 = 1) 3) Calcule el número medio de golpes acertados y su varianza. (E(X)=1; V(X)=2/3) 4

5 Ejercicio 3 Muchos uruguayos tienen su vivienda hipotecada por haberla adquirido con un préstamo bancario. Suponga que la deuda hipotecaria puede considerarse una v.a. normal cuya media es U$S µ y su desviación estándar U$S ) Calcule µ sabiendo que la probabilidad de que la deuda hipotecaria sea menor que U$S es 0,9192. (µ=18.000) 2) Con el valor de µ hallado, calcule la probabilidad de que la deuda hipotecaria sea superior a U$S si es inferior a U$S (0,0082) 3) Calcule la probabilidad de que la deuda hipotecaria esté entre U$S y 4) U$S (0,7029) 5) Halle el importe máximo que tiene el 33 % de las deudas. (a=15.800) 6) Halle el importe que es superado por el 24,2 % de las deudas. (b=21.500) EXAMEN del 2/ 07/05 Ejercicio 1 (34 puntos) El día 30/6/05 Temesio compra un apartamento abonando: U$S 6.080,2 ese día U$S el 30/8/05 30 cuotas iguales, mensuales y consecutivas, la primera de las cuales vence el 30/11/05. La tasa de interés que le cobra la empresa vendedora es equivalente al 12,12% nominal semestral con capitalizaciones bimestrales. 1) Calcule el importe de la cuotas mensuales sabiendo que el valor del apartamento el 30/6/05 es U$S (C=1.500) 2) Calcule la parte de interés y la parte de amortización de la 12ª cuota constante. ( I 12 = 470,35; A12 = 1.029, 65) 3) Calcule la suma de las partes de amortización desde la 12ª cuota constante hasta la 20ª cuota constante de la renta. (10.043,81) 4) Suponga que Temesio pagó puntualmente las 20 primeras cuotas mensuales, y que el día de vencimiento de la 21ª cuota se presenta ante la empresa vendedora, planteándole que ese día no puede pagar nada. Acuerdan la siguiente refinanciación de su deuda: cancelarla abonando 4 cuotas de U$S c/u bimestrales, consecutivas, venciendo la 1ª a los dos meses de acordada la refinanciación, y una 5ª cuota de diferente importe pagadera a los cuatro meses de la 4ª cuota bimestral. La tasa de interés de la refinanciación acordada es del 26, % efectivo anual. Calcule la 5ª cuota y luego elabore el cuadro de amortización e intereses de la refinanciación. (Algunos resultados: Saldo a refinanciar=13.743,37; C = 3.610, 5 8 ) 5

6 Ejercicio 2 ( 20 puntos) Un laboratorio está interesado en determinar si existe alguna relación entre el lugar donde viven los niños y la presencia de una determinada enfermedad (evento E) o la ausencia de la misma (evento E ). Según el último censo disponible el 40% de los niños vive en el centro de la ciudad (evento C), un 25% en la periferia (evento P) y el resto en la zona rural (evento R). Se sabe que el 60% de los niños presenta la enfermedad (evento E). De los que viven en el centro el 80% presenta la enfermedad y el 30% de los que viven en la periferia no la presentan. Suponga que se selecciona un niño al azar. Calcule la probabilidad de que: 1) viva en la zona rural. (0,35) 2) presente la enfermedad, sabiendo que vive en la periferia. (0,7) 3) habiéndose presentado la enfermedad, el niño viva en el centro. (8/15) 4) presente la enfermedad y viva en la zona rural. (0,105) 5) un niño que vive en la zona rural no presente la enfermedad. (0,7) Ejercicio 3 ( 20 puntos) En un pequeño comercio hay dos vendedores: uno que trabaja en el turno matutino y el otro en el turno vespertino. El vendedor del turno matutino tiene 0,8 de probabilidad de concretar una venta con cada persona que ingresa al negocio, mientras para el vendedor de la tarde dicha probabilidad es de 0,7. Un día ingresan al comercio dos clientes de mañana y sólo uno de tarde. Se sabe que el hecho de que una persona efectúe una compra en el comercio es independiente de que cualquiera de las otras efectúe una compra o no. (Nota: se exige el planteo de las probabilidades utilizando los eventos y las operaciones correspondientes). 1) Calcule la probabilidad de que la primera persona que ingresa al comercio de mañana compre (evento C 1 ) y que la segunda no compre ( evento C 2 ). (0,16) 2) Halle la función de cuantía de la v.a. X = cantidad de personas que compran en el comercio dicha mañana 3) Calcule el número esperado de personas que comprarán dicha mañana. (1,6) 4) Halle la función de distribución de X. 0 si x < 0 0,04 si 0 x < 1 F X ( x) = 0,36 si 1 x < 2 1 si x 2 5) Calcule la probabilidad de que ese día solamente compre la persona que ingresa de tarde. (0,028) Ejercicio 4 ( 26 puntos) 6

7 Parte I Un grupo de analistas económicos afirma que la tasa de interés efectiva mensual en pesos, para el próximo semestre, se puede representar por una variable aleatoria X uniforme continua en un intervalo cerrado. Sostiene además que no puede ser inferior a 0,01 y que el valor esperado es 0,08. 1) Cuál es, según este grupo, el valor máximo al que puede llegar la tasa efectiva mensual? (0,15) 2) Grafique la función de densidad de X. 3) 3.1) Con qué probabilidad dicha tasa superará 10%? (5/14) 3.2) Cuál es la probabilidad que dicha tasa se ubique entre 1% y 6%? (5/14) 3.3) Compare los resultados de los puntos 3.1 y 3.2. Hay alguna relación entre ellos? 4) Usted contrajo una deuda por que deberá cancelar al cabo de 3 meses, con qué probabilidad pagará más de ,5? (5/7) Parte II Otro grupo sostiene que sería mejor considerar que la tasa de interés efectiva mensual en pesos, para el próximo semestre, se puede representar mediante una variable aleatoria normal, de manera que la probabilidad de que no supere el 8% (0,08) sea 0,5. La varianza en este caso se supone 0, ) Cuál es la probabilidad de que esta tasa de interés supere el valor de 10%? (0,1587) 2) Cuál es la probabilidad de que esté entre 0,07 y 0,11? (0,6247) 3) Complete la siguiente afirmación: Hay 28,1% de probabilidad de que la tasa de interés efectiva mensual sea inferior a... (6,84 %) SEGUNDA REVISIÓN ( JULIO de 2005) Ejercicio 1 (14 puntos) (Es igual al ejercicio 2 del Examen) Ejercicio 2 (7 puntos) Sea X una variable aleatoria cuya función de densidad tiene el siguiente gráfico: 7

8 f X( x ) 2 k k x 1) Halle el valor de k para que f X sea realmente una función de densidad (k=1/3) 2) Considere P( 1,25 X 3) 3) Calcule P ( 1 < X 2/ X > 1,25). (1/3) < <. Señálela en el gráfico y calcúlela. (0,75) Ejercicio 3 ( 14 puntos) (Es igual al ejercicio 3 del Examen) Ejercicio 4 ( 15 puntos) (Es igual al ejercicio 4 del Examen, salvo punto 4 de la parte I, que no se pregunta en la revisión) EXAMEN del 4/11/05 (Período de octubre) Ejercicio 1 (34 puntos) Una deuda de $ se cancela de la siguiente forma: 6 cuotas mensuales consecutivas de $ cada una pagadera la primera a los 3 meses de contraída la deuda. Una entrega de $ a los 10 meses de contraída la deuda. Un pago final a los 12 meses de contraída la deuda. La tasa de interés pactada es: 25, % nominal anual con capitalizaciones semestrales. 1) Calcule el interés contenido en la primera cuota. (2.448,32) 2) Determine el importe del pago final. ( 6.185,11) 3) Sabiendo que se pagaron puntualmente las dos primeras cuotas, determine el saldo de la deuda inmediatamente antes de pagar la tercera cuota. (33.861,24) 4) El día que se vence la tercera, el deudor abona solamente $ 1861,24, obteniendo por el saldo una refinanciación en 4 cuotas semestrales de amortización constante, pagadera la primera a los 6 meses de la refinanciación. La tasa de refinanciación es el 15, % efectivo 8

9 trimestral. Desarrolle el cuadro de amortización e intereses de la refinanciación. (Algunos resultados: A= 8.000; Cuotas: , ; ; ) Ejercicio 2 (16 puntos) Una institución educativa está interesada en conocer la relación entre la cantidad de horas de estudio y el resultado final del curso: aprueba (evento A) o no aprueba (evento Ā) Los estudiantes se clasifican según la cantidad de horas de estudio en 3 tipos: Los que estudian hasta 5 horas semanales (evento E 1 ), los que estudian más de 5 horas y hasta 10 horas semanales (evento E 2 ), y los que estudian más de 10 horas semanales (evento E 3 ) El 40% de los estudiantes estudia hasta 5 horas semanales y el 10% más de 10 horas semanales. El 60% de los estudiantes aprueba el curso (evento A). De los estudiantes que estudiaron más de 10 horas semanales el 10 % no aprobó el curso, y de los que estudiaron hasta 5 horas semanales el 40% aprobó el curso. Si se selecciona un alumno al azar, calcule la probabilidad de que: 1) haya estudiado más de 5 horas. (0,6) 2) no apruebe el curso. (0,4) 3) haya estudiado más de 5 y hasta 10 horas y que apruebe el curso. (0,35) 4) habiendo aprobado el curso, el estudiante haya estudiado más de 5 horas y hasta 10 horas. (7/12) (Nota: se exige el planteo de las probabilidades utilizando los eventos, las operaciones y el desarrollo de las propiedades correspondientes). Ejercicio 3 ( 30 puntos) De un conjunto de 5 cartas de las cuales solamente 2 son ases, se extraen cartas sin reposición hasta encontrar una que sea as. (Nota: se exige el planteo de las probabilidades utilizando los eventos, las operaciones y el desarrollo de las propiedades correspondientes). 1) Halle el espacio de las alternativas posibles llamando: A i al evento la carta extraída en el lugar i es un as. (Sugerencia: realizar el diagrama de árbol) 2) Calcule la probabilidad de que la dos primeras cartas no sean ases y la tercera sí. (0,2) 3) Halle la función de cuantía de la v.a. X = cantidad de cartas extraídas 4) Calcule la probabilidad de extraer más de dos cartas. (0,3) 5) Calcule el número esperado de cartas extraídas. (2) 6) Halle la función de distribución de X. 0 si x < 0 F X ( x) 0,4 = 0,7 0,9 1 si 1 x < 2 si 2 x < 3 si 3 x < 4 si x 4 9

10 7) Grafique la función de distribución e indique el valor de la mediana. (2) Ejercicio 4 ( 20 puntos) Parte I Suponga que la tasa de interés efectiva mensual en pesos puede considerarse una variable aleatoria X cuya función de densidad está representada en el siguiente gráfico: f X( x ) 2 0 0, 0 1 0,0 3 0, 0 5 a x Parte II 1) Calcule a. (0,09) 2) Calcule la probabilidad de que la tasa efectiva mensual sea menor que 3 %. (0,2) 3) Calcule la probabilidad de que la tasa efectiva mensual sea mayor que 4% sabiendo que es menor que 5 %. (1/3) Suponga ahora que la tasa de interés efectiva mensual en pesos puede considerarse una variable aleatoria normal, cuya varianza es 0, ) Hallar la media de la tasa efectiva de interés sabiendo que hay un 84,13% de probabilidad de que sea menor que 0,05. (0,04) 2) Esboce el gráfico de la función de densidad de X, señale la probabilidad de que sea mayor que 1,5 % y calcúlela. (0,9938) Ejercicio 1 (40 puntos) EXAMEN de FEBRERO DE 2006 El 31/12/05 se obtiene un préstamo que se cancelará mediante el pago de: 5 cuotas mensuales, iguales y consecutivas, venciendo la primera de ellas el 28/2/06; 4 cuotas bimestrales, iguales y consecutivas, de $ cada una, venciendo la primera de ellas el 31/7/06; y un saldo de $ 2.354,85 el 31/3/07. 10

11 La tasa de interés aplicada es equivalente al 24,48% capitalización bimestral. nominal semestral con Además se sabe que el saldo inmediatamente antes de pagar la quinta cuota será de $ ,01. 1) Calcule el importe de las cuotas mensuales. 2) Calcule el importe del préstamo. 3) El prestatario paga puntualmente únicamente las seis primeras cuotas, pero el 30/9/06 se presenta ante su acreedor planteándole que no puede abonar nada ese día, y solicitándole refinanciar el saldo de la deuda en cuatro cuotas trimestrales, iguales y consecutivas, venciendo la primera el 31/12/06. El acreedor le concede la refinanciación a una tasa de interés del 21% efectivo semestral. 3.1) Calcule el saldo a refinanciar el 30/9/ ) Calcule el importe de la cuota de la refinanciación. 3.3) Efectúe el cuadro de amortización e intereses. 3.4) Suponga que la cuarta cuota de la refinanciación no se paga en fecha, sino que se abona a los 6 meses de la tercera. Determine el nuevo importe de la cuarta cuota. Ejercicio 2 (35 puntos) La autoridad educativa de un cierto país está interesada en determinar si existe relación entre el tipo de escuela a la que asiste el niño y el nivel educativo del jefe de hogar del niño. El nivel educativo del jefe de hogar se clasifica en dos niveles: universitario (evento U) y no universitario. Las escuelas se clasifican en dos tipos: pública (evento B) o privada. Se estudia un conjunto de niños que asisten a la escuela, obteniéndose la siguiente información: El 20% de los niños proviene de hogares cuyo jefe tiene nivel universitario. El 25 % de los niños que pertenecen a hogares cuyo jefe posee nivel universitario, concurren a escuelas públicas; y el 30% de los niños con jefe de hogar no universitario concurren a escuelas privadas. Parte I (Nota: en esta parte se exigen los planteos de las probabilidades utilizando los eventos, así como el planteo y el desarrollo de las propiedades que correspondan). Calcule la probabilidad de que un niño seleccionado al azar 1) concurra a una escuela pública y pertenezca un hogar cuyo jefe sea de nivel universitario. 2) asista a una escuela privada si el jefe de su hogar tiene nivel universitario. 3) concurra a una escuela privada. 4) pertenezca a un hogar cuyo jefe tiene nivel universitario si concurre a una escuela privada. 5) que concurre a una escuela pública, pertenezca a un hogar cuyo jefe tiene nivel no universitario. Parte II Se seleccionan 3 niños al azar (sin reposición) del conjunto estudiado que tiene en total 500 niños. 11

12 1) Calcule la probabilidad de que sean tres niños que concurren a escuelas públicas 2) Sea X la v.a. que mide la cantidad de niños que concurren a escuelas públicas de los 3 seleccionados. 2.1) Determine el recorrido de X y halle su función de cuantía. 2.2) Calcule la esperanza de X. Ejercicio 3 (11 puntos) Una fábrica de lácteos estudia la cantidad de yogur que surte una máquina al llenar los vasos más pequeños. Llega a la conclusión de que el peso en gramos del yogur por vaso es una variable aleatoria X normal con mediana igual a 125 y desvío estándar igual a 8. 1) Calcule P(X> 145), y señale dicha probabilidad en el esbozo de la función de densidad de X. 2) Cuál es el peso máximo en gramos que tendrá el yogur en un vaso con un 70,19% de probabilidad? 3) Cuál es la probabilidad de que el peso sea inferior a 135 gr. sabiendo que será superior a 113 gr.? Ejercicio 4 (14 puntos) Sea X una variable aleatoria con distribución uniforme en el intervalo (a,b). Se sabe que: f X (x) vale 0,0625 para los x tales que a<x <b F X (20) = 0,75 1) Halle los valores de a y b y determine la función de distribución de X. 2) Calcular P (X>14) de dos formas (utilizando f X y F X ) 3) Determine si la siguiente afirmación es verdadera o falsa, fundamentando analítica y gráficamente. P(16<X<20) = P(14 X 16) + P(20 X 22) PRIMERA REVISIÓN DEL CURSO (6/5/06) Ejercicio 1 ( 14 puntos) El 31/12/05 Prudencio dispone de $ que quiere colocar durante un año y se le presentan las siguientes alternativas: a) Depositarlos en el Banco A a una tasa del 48 % efectivo anual en moneda nacional. b) Depositarlos en el Banco B que paga sobre los depósitos las siguientes tasas de interés en moneda nacional: desde el 31/12/2005 hasta el 30/6/2006: 4% efectiva mensual desde el 01/07/2006 hasta el 31/12/2006: 13,5 % nominal trimestral capitalizable mensualmente. c) Convertir dicho capital en dólares y depositarlos en el banco C que ofrece una tasa en dólares del 1% efectivo semestral. 1) En el caso de optar por la alternativa b), calcular: 1.1)el monto retirado al finalizar el año y el interés ganado. 12

13 (M=82.388,73; I=32.388,73) 1.2) la tasa efectiva anual (en moneda nacional) equivalente a las tasas aplicadas. (0, ) 2) Investigar cuál es la opción más conveniente para Prudencio, suponiendo las siguientes cotizaciones del dólar: U$S 1= $ 25 el 31/12/05 U$S 1= $ 27,5 el 31/12/06 (La opción más conveniente es la b pues 0, >0,48>0,12211) 3) Calcule la tasa real anual que obtendría Prudencio, suponiendo que optara por la alternativa a) y que las tasas de inflación semestrales del 2006 fuesen : 6% en el primer semestre y 8% el segundo. (0, ) Ejercicio 2 ( 26 puntos) Rogelio obtiene un préstamo de $ el 31/12/05, que puede cancelar de diferentes formas. Las tasas de interés aplicadas son: 24% nominal semestral con capitalizaciones mensuales en el año ,64 % efectiva cuatrimestral en el ) Suponga que lo cancelará abonando:$ el 28/2/06, $ el 31/3/06, y un último pago el 30/4/ ) Calcule el importe a pagar el 30/4/06, sin hacer el cuadro de amortización e intereses. (16.042,96) 1.2) Calcule el interés contenido en la primera cuota y efectúe el cuadro de amortización e intereses. (I 1 =2.448) 2) Suponga ahora que lo cancela abonando 12 cuotas de $ cada una, mensuales, vencidas y consecutivas, y una última cuota pagadera a los tres meses de la 12ª cuota. 2.1) determine el importe de la última cuota. (11.747,22) 2.2) calcule el interés contenida en la décima cuota. (649,69) 3) Suponga ahora que lo cancela abonando 10 cuotas bimestrales de $ B cada una, consecutivas y adelantadas. Calcule B. (4.160,79) Ejercicio 3 (10 puntos) En una empresa trabajan 20 personas, de las cuales se tiene la siguiente información: la mitad son hombres (evento H) el 70 % tiene menores a su cargo (evento E) hay 4 mujeres que no tienen menores a su cargo. SE PIDE: 1) Determinar: a) la cantidad de mujeres con menores a su cargo que trabajan en la empresa (6) b) la cantidad de hombres con menores a su cargo. (8) Sugerencia: hacer el diagrama de Venn. 13

14 2) Si se selecciona un empleado al azar determinar la probabilidad de obtener: a) una mujer sin menores a su cargo. (0,2) b) un hombre con menores a su cargo. (0,4) c) un hombre sin menores a su cargo. (0,1) d) una persona que tenga menores a su cargo o una mujer. (0,9) 3) Si para realizar determinado trabajo se seleccionan dos mujeres al azar entre las cuatro que no tienen menores a su cargo ( llamadas A, B, C y D), determinar: a) el conjunto de las alternativas posibles. b) la probabilidad de que una de las mujeres seleccionadas sea D. (0,5) SEGUNDA REVISIÓN DEL CURSO 2006 (15/7/06) Ejercicio 1 (10 puntos) Sean A, B, C subconjuntos de Ω con probabilidad positiva. 1 La probabilidad de que sucedan A y B es Si sucede B, la probabilidad de que suceda A es. 5 B y C son incompatibles. 1 La probabilidad de que ocurra B o C es. 2 Si sucede A, la probabilidad de que suceda C es 0. 2 La probabilidad de que no suceda ni A ni B es. 5 1) Exprese los datos utilizando los eventos y las operaciones que correspondan. 2) Represente los eventos mediante un diagrama de Venn, utilizando toda la información disponible. 3) Calcule P(A), P(B), P(C), P(AUB) y ( ) P AUBUC (Resultados: 8/15; 1/6; 1/3; 3/5; 1/15) Ejercicio 2 ( 20 puntos) En un edificio de apartamentos viven 100 personas mayores de 18 años. Una consultora de medios de comunicación les preguntó si habían visto o no la final del mundial de fútbol por televisión. La información obtenida se presenta en el siguiente cuadro: Miró la final del mundial de fútbol por televisión? Total Sí (evento S) No (evento N) Hombres ( evento 60 H) Mujeres (evento M) Total

15 Nota: Las partes I y II de este ejercicio son independientes. Parte I Considere el experimento consistente en seleccionar al azar una persona de este edificio. Determine: 1) la probabilidad de que haya visto la final del mundial por televisión. (0,75) 2) la probabilidad de que sea una mujer y haya visto la final del mundial por televisión. (0,15) 3) la probabilidad de que siendo hombre haya visto la final del mundial. (6/7) 4) la probabilidad de que sea mujer sabiendo que no vio la final del mundial. (0,6) Nota: en esta parte I se exige el planteo de todas las probabilidades pedidas con los eventos arriba indicados Parte II Considere el experimento consistente en seleccionar al azar tres personas (diferentes) entre las 100 mayores de este edificio, y la v.a. X que indica la cantidad de personas seleccionadas que vieron la final por televisión. 1) Halle la función de cuantía de X. (Los valores de la cuantía en los diferentes puntos del recorrido son: 23/1617; 225/1617; 2775/6468; 2701/6468) 2) Halle la función de distribución de X. 3) Calcule de dos formas distintas la probabilidad de seleccionar más de una persona que haya visto la final por televisión ( utilizando p X y F X ). Se exige la realización de los planteos. (0,84663) 4) Determine el valor de la mediana de la v.a. X. (2) Ejercicio 3 (20 puntos) Nota: Las partes I y II de este ejercicio son independientes Parte I El Gerente Financiero de una empresa estima que el tipo de cambio al 31/12/06 se puede modelizar a través de una variable aleatoria X con distribución normal. Considera que la probabilidad de que no supere los $ 26 por dólar es 0,5 y que la probabilidad de que sea menor que $ 28 por dólar es 0, ) Determine E(X) y V(X). ( 26 y 4) 2) Calcule la probabilidad de que el tipo de cambio supere los $ 25, y señálela en el gráfico de la función de densidad de X. (0,6915) 3) Calcule la probabilidad de que se encuentre entre 24 y 28, y señálela en el gráfico de la función de densidad de X. (0,6826) 4) Cuál es la probabilidad de que se encuentre entre 24 y 28 sabiendo que es mayor que 23? (0, ) 5) Complete la siguiente afirmación: Hay 6,3% de probabilidad de que el tipo de cambio sea inferior a... Además señale dicha probabilidad en el gráfico de la función de densidad de X. (22,94) 15

16 Parte II El subgerente cree que el tipo de cambio al 31/12/06 se puede modelizar a través de una variable aleatoria X, cuya función de densidad se grafica a continuación: f X ( x ) 0,2 a 2 4 b x 1) Calcule a y b sabiendo que P(X<24)=0,2 (a=22; b=32) 2) Con los valores de a y b hallados, y sabiendo además que f X (28)=0,1, señale en el gráfico cada una de las siguientes probabilidades y calcúlelas: 2.1) P (24<X<28) (0,6) 2.2) F X (28) (0,8) EXAMEN DEL 15/7/06 Ejercicio 1 (40 puntos) El 31 de mayo de 2006, Jacinta decide comprar un quiosco en la cercanía de varias escuelas para atender la demanda de alfajores y golosinas de los escolares. Como no puede comprarlo al contado, debe optar entre dos planes de financiación. Plan 1. Financiación en dólares: 7 cuotas mensuales consecutivas de U$S cada una pagadera la primera al 31 de julio del mismo año. La tasa de interés en dólares es 18,27135 % nominal anual capitalizable trimestralmente. Plan 2. Financiación en pesos: 10 cuotas mensuales, iguales y consecutivas, la primera se paga en el momento de comprar el quiosco. 3 cuotas trimestrales, iguales y consecutivas, de $ ,91 cada una, venciendo la primera el 31 de agosto de La tasa de interés en pesos es 15,7625% efectiva trimestral. Se pide : 1) Calcular el valor contado del quiosco en dólares y en pesos uruguayos, sabiendo que el 31 de mayo de 2006 U$S 1 equivalía a $ 25. (U$S 7.150,77; $ ,25) 16

17 2) Calcular la parte de interés y la parte de amortización contenida en la tercera cuota de la financiación en dólares. ( 78,91; 1.021,09) 3) Calcular cuál sería la tasa de devaluación anual para que la tasa efectiva mensual en pesos uruguayos fuese equivalente a la tasa efectiva mensual en dólares. (0,50203) 4) Calcular el valor de las cuotas mensuales en pesos uruguayos. (8.100) 5) Jacinta opta por la financiación en pesos, pero el 30 de noviembre de 2006 se presenta ante el acreedor y se disculpa por no haber hecho el pago del 31 de octubre de 2006, y le pide refinanciar su deuda, ya que ese día tampoco puede pagar. El acreedor accede y le refinancia la deuda en 3 pagos mensuales de amortización constante, el primero de los cuales debe hacer efectivo el 31 de enero de La tasa pactada para esta refinanciación es 7 % efectivo mensual. 5.1) Calcular el saldo a refinanciar el 30 de noviembre de ( ,1) 5.2) Hacer el cuadro de amortización e interés de la refinanciación. (Cuotas: ,97; ,94; ,32) Ejercicio 2 (30 puntos) (Es igual al ejercicio 2 de la revisión) Ejercicio 3 (30 puntos) (Es igual al ejercicio 3 de la revisión) EXAMEN DEL 10/8/06 Ejercicio 1 (34 puntos) El 31/3/2006 una persona contrajo una deuda de $ D que acordó pagar de la siguiente manera: $1.444 el 31/3/2006 $2.000 el 15/4/2006 $5.000 el 15/5/2006 $3.000 el 30/6/2006 1) Determinar el importe de la deuda contraída el 31/3/2006 si para abril la tasa efectiva mensual que se considerará será 2%, para mayo 3% y para junio 4%. (11.000) Luego de pagar puntualmente las dos primeras cuotas, el 31/5/2006 se presenta el deudor y solicita se refinancie la totalidad del saldo impago. El acreedor le ofrece dos planes de refinanciación alternativos, en cualquiera de los cuales utilizará una tasa nominal anual de 38, % con capitalizaciones semestrales. Plan A: pagar $1.959,06 el 31/5/06 y luego 4 cuotas mensuales de amortización constante, venciendo la primera el 31/7/2006. Plan B: cancelar la deuda en 4 cuotas mensuales iguales, venciendo la primera el 31/7/ ) Determine el saldo impago al 31/5/2006. (7.959,06) 17

18 3) 3.1)Desarrolle el cuadro completo de amortización e interés de la refinanciación en el plan A. (Cuotas: 1959,06; 1.865,4; 1635; 1590; 1545) 3.2)En el plan A, cuál es el saldo de la deuda el 31/7/2006, inmediatamente antes de pagar la cuota correspondiente a ese día? (6.365,4) 4) 4.1) Calcule el valor de las cuotas constantes del plan B. (2.205,44) 4.2) En plan B, cuál es el saldo de la deuda el 31/8/2006, inmediatamente antes de pagar la cuota correspondiente a ese día? (6.425,48) Ejercicio 2 ( 16 puntos) Una empresa de transporte aéreo realiza promociones para los usuarios frecuentes de transporte aéreo. Ha clasificado a sus clientes frecuentes en tres categorías excluyentes y necesarias: los clientes que viajan con frecuencia a Buenos Aires (evento B), con frecuencia a Río de Janeiro (evento R), y los que viajan con frecuencia a otros destinos (evento O). De una investigación surge que el 48% de los clientes considerados viaja con frecuencia a Buenos Aires, el 30% lo hace a Río de Janeiro y el resto hacia otros destinos (evento O). En todos los vuelos el pasajero puede optar por viajar en primera clase o en clase turista. Se sabe además que : de los que viajan con frecuencia a Río de Janeiro, el 35% lo hace en primera clase (evento C) el 48% de los que viajan a Buenos Aires lo hacen en clase turista (evento T). el 53,06% de los clientes frecuentes viaja en primera clase. Suponga que se selecciona al azar un cliente frecuente. (NOTA: Se exige el planteo y el desarrollo de las probabilidades utilizando los eventos arriba indicados y las propiedades correspondientes.). 1) Calcule la probabilidad de que viaje en primera clase, sabiendo que viaja frecuentemente a Buenos Aires. (0,52) 2) Calcule la probabilidad de que viaje con frecuencia en primera clase a Río de Janeiro. (0,105) 3) Si el usuario viaja en clase turista, calcule la probabilidad de que su destino sea Río de Janeiro. (0,415424) 4) Calcule la probabilidad de que viaje en primera clase si lo hace hacia otros destinos. (0,8) Ejercicio 3 (27 puntos) Parte I Se tiene la siguiente información referente a las órdenes de compra de una empresa emitidas en el último mes: El 75% de las órdenes de compra son por importes menores o iguales que $ (evento M) El 72,5 % del total de las órdenes han sido debidamente autorizadas por el Gerente de Compras.(evento A) El 20 % de las órdenes de importe mayor que $50.000, no han sido autorizadas. Para estudiar si hay fallas en el control interno, el auditor comienza seleccionando al azar una orden de compra entre las emitidas el último mes. 18

19 (NOTA: Se exige el planteo y el desarrollo de las probabilidades utilizando los eventos arriba indicados y las propiedades correspondientes. Se sugiere realizar el diagrama de Venn). Calcule la probabilidad de que sea: 1) de un importe mayor que $ y que haya sido debidamente autorizada. (0,2) 2) de un importe menor o igual que $ y que haya sido debidamente autorizada. (0,525) 3) que seleccione una orden autorizada, si se trata de un orden de importe menor o igual que $ (0,7) Parte II (Nota: esta parte puede resolverse independientemente de la parte I) Suponga que en total se emitieron 10 órdenes de compra de importe mayor que $ , de las cuales solamente 8 fueron debidamente autorizadas. Considere solamente esas 10 órdenes, y el experimento aleatorio consistente en seleccionar órdenes sucesivamente y sin reposición hasta obtener una que haya sido autorizada. Sea X la variable aleatoria que indica el número de órdenes de compra seleccionadas. 1) Halle la función de cuantía. (Los valores de la f. de cuantía son: 4/5; 8/45; 1/45 y 0) 2) Halle la función de distribución de X y utilizándola calcular P(1<X<3). (8/45) 3) Calcule: el número medio de órdenes seleccionadas, los cuartiles y la varianza de X. (11/9; 1; 1; 1; 88/405) Ejercicio 4 (23 puntos) La devaluación del peso uruguayo frente al dólar durante todo el año 2006 es una variable aleatoria absolutamente continua. Parte I Suponga que el porcentaje de devaluación es una variable aleatoria T uniforme en un intervalo de extremo inferior 1, y cuya media es 5. 1) Determine el extremo superior del intervalo, halle la función de densidad de T y grafíquela. (b=11) 2) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de devaluación del 2006 sea mayor que 3. (2/3) Parte II Suponga que el porcentaje de devaluación es una variable aleatoria X con distribución normal de varianza 4, tal que la probabilidad de que el porcentaje de devaluación sea menor que 6 es 0, ) Calcule el porcentaje de la devaluación esperada para el año ( 5%) 2) Calcule la probabilidad de que el porcentaje de devaluación del 2006 esté entre 3 y 5. (0,3413) Parte III Suponga que el porcentaje de devaluación es una variable aleatoria Y cuya función de densidad tiene el siguiente gráfico: 19

20 f Y ( y) 2a a ) Calcule a. (0,1) 2) Calcule la probabilidad de que la devaluación sea menor que 4, 5% (0,45) 3) Calcule la probabilidad de que la devaluación sea mayor que 1 % sabiendo que es menor que 2%. (0,75) EXAMEN DEL 13/10/2006 Ejercicio 1 (26 puntos) Cierto examen tiene dos únicas modalidades de ejecución: oral (evento O) o escrito (evento E). La probabilidad de que el examen sea oral es del 60%. Si el examen es oral la probabilidad de aprobar es un 70%. La probabilidad de aprobar el examen (evento A) es 74%. Parte I 1) Calcular la probabilidad de que el examen sea oral y se apruebe. (0,42) 2) Calcular la probabilidad de aprobar el examen si es escrito. (0,8) 3) Calcular la probabilidad de que el examen sea escrito y no sea aprobado. (0,08) (Nota: se exige el planteo y el desarrollo de las probabilidades utilizando los eventos arriba indicados y las propiedades que correspondan). Parte II Sea X la variable aleatoria que mide la cantidad de veces que un estudiante determinado rinde el examen hasta que lo aprueba, suponiendo que dicha cantidad no está limitada. Se supone que la probabilidad que tiene el estudiante de aprobar el examen se mantiene constante en un 74%, independientemente de cuántas veces se rinda la prueba. 1) Determinar el recorrido de X. (N*) 2) Indicar si X es una variable aleatoria continua o discreta, justificando la respuesta. 20

21 3) Calcular la probabilidad de que el estudiante rinda el examen 2 veces. (0,1924) 4) Calcular la probabilidad de que el estudiante rinda el examen 3 veces. (0,050024) 5) Calcular la probabilidad de que el estudiante rinda el examen 3 veces sabiendo que lo rinde más de una vez. (0,1924) Ejercicio 2 (34 puntos) El 31 de agosto de 2005, Bill Mc Amion compra una camioneta para realizar las entregas de su supermercado. Le ofrecen la siguiente financiación: 10 cuotas mensuales consecutivas de U$S cada una, pagadera la primera a los 2 meses de la entrega. Una entrega de U$S el 30 de noviembre de Un último pago de U$S 7.811,14 que hará efectivo el 30 de setiembre de Las tasas de interés pactadas son: 9,6 % nominal anual con capitalizaciones mensuales hasta el 31 de agosto de para el resto del tiempo, la tasa efectiva anual es de 11, %. Se pide : 1) Calcular la parte de amortización y la parte de interés del pago de U$S 7.811,14. (7.141,7; 669,42) 2) Calcular el valor contado de la camioneta ( el valor al 30 de agosto de 2005). (60.000) 3) Calcular el saldo de la deuda después de pagar la última de las cuotas de U$S (13.657,41) 4) Calcular: 4.1) la tasa de interés efectiva cuatrimestral correspondiente al período 31/7/06-30/11/06. (0, ) 4.2) el interés contenido en la cuota de U$S (484,31) 5) El día que vence la décima cuota de U$S 5.000, el deudor abona solamente U$S 3.657,41. Por el saldo total de su deuda obtiene una refinanciación en 3 cuotas semestrales de amortización constante, pagadera la primera a los 6 meses de acordada la refinanciación, con una tasa del 12,36 % efectivo anual. Hacer el cuadro de amortización e intereses de la refinanciación. (Cuotas: 5.900; 5.600; 5.300) 21

22 Ejercicio 3 (20 puntos) Sea X una variable aleatoria uniforme continua en un intervalo cerrado, tal que su P 3,5< X <6,5 = 0,5. mediana es 5 y ( ) 1) Hallar la función de densidad de X y graficarla. 2) Hallar la función de distribución de X. 3) Calcular P ( X <6 X >4 ). (0,5) 4) Calcular E( 2X -5). (5) 5) Calcular: V(X) y V( 3 X +2). ( 3 y 27) Ejercicio 4 (20 puntos) Sea Y una variable aleatoria cuyo recorrido es el conjunto de los números pares mayores que 1 y menores que 9, tal que: F 2 = 0,2. ( ) Y P ( Y <5 ) =0,5. F (8 ) = 0,6. Y 1) Determinar el recorrido y hallar la función de cuantía de la variable aleatoria Y. (Los valores de la cuantía son: 0,2; 0,3; 0,1; 0,4 y 0) 2) Hallar la función de distribución de Y e indicar el valor de la mediana. 3) Calcular P ( Y > 3,5 Y >2). (1) 4) Calcular: 4.1) E( 8+5Y ). (35) 4.2) V ( Y ) (5,64) Ejercicio 1 (17 puntos) EXAMEN DEL 31/01/07 ( Período de febrero) Un laboratorio está investigando la eficacia de 2 tipos de vacunas para combatir la gripe en los niños. Según los datos del Ministerio de Salud Pública, se sabe que: el 40% de los niños no fueron vacunados (evento V) el 25% fue vacunado con la vacuna 1 (evento V 1 ) y los restantes niños fueron vacunados con la vacuna 2 (evento V 2 ) el 60% de los niños tuvo gripe (evento G) de los que no fueron vacunados, el 80% tuvo gripe el 60% de los que fueron vacunados con la vacuna 1 no tuvieron gripe Si se selecciona un niño al azar, calcule la probabilidad de que 1) haya sido vacunado con la vacuna 2. (0,35) 2) no haya tenido gripe. (0,4) 22

23 3) no haya sido vacunado y no haya tenido gripe.(0,08) 4) habiendo tenido gripe, el niño haya sido vacunado con la vacuna 1.(1/6) 5) un niño que recibió la vacuna 2, haya tenido gripe. (18/35) Ejercicio 2 (38 puntos) Una deuda de $ D se cancela de la siguiente manera: una entrega inicial de $ 4.166,4 en el momento de contraerla. 3 cuotas iguales mensuales de $ cada una pagadera la primera a los 3 meses de contraída la deuda un pago final de $ a los 6 meses de contraída la deuda. La tasa de interés pactada es del 24,4832 % nominal anual con capitalizaciones trimestrales. 1) Determine D. (50.000) 2) Determine el saldo de la deuda inmediatamente antes de pagar la segunda cuota mensual. (39.411,76) 3) Determine el saldo de la deuda inmediatamente después de haber pagado la última cuota mensual de $ (20.000) 4) El deudor paga en fecha la entrega inicial y las tres cuotas mensuales iguales, pero ya sabe que no podrá hacer frente al pago final de $ Suponga que el día que paga la tercera cuota de $ , obtiene una refinanciación de la deuda bajo las siguientes condiciones: 4 cuotas trimestrales de amortización constante pagadera la primera a los 4 meses de obtenida la refinanciación. La tasa de la refinanciación es el 46,41 % efectivo anual (en pesos). 4.1) Desarrolle el cuadro de amortización e intereses de la deuda refinanciada. (Cuotas: 7.710,16; 6.500, 6.000; 5.500) 4.2) Determine el saldo de la deuda inmediatamente antes de pagar la tercera cuota. (11.000) 5) Suponga ahora que el día que paga la tercera cuota de $ , obtiene una refinanciación de la deuda en dólares, a pagar en 6 cuotas bimestrales iguales, pagadera la primera a los 3 meses de obtenida la refinanciación. El tipo de cambio a la fecha de obtención de la refinanciación era $ 25 por dólar, y se esperaba una devaluación del 1,206% anual. La tasa aplicada en dólares es equivalente a la tasa en pesos de la refinanciación. Determine el valor de la cuota en dólares de esta refinanciación. (169,61) Ejercicio 3 (17 puntos) En el solitario balneario Punta del Santo hay tres almacenes, de los cuales solo uno de ellos vende lechugas. Daniela, que es vegetariana, recorrerá aleatoriamente los almacenes hasta encontrar el que vende lechugas. (Nota: en la resolución de todo este ejercicio es imprescindible el planteo y el desarrollo correspondientes. Se sugiere realizar el diagrama de árbol correspondiente.) 1) Cuál es la probabilidad de que el primer almacén que visita venda lechugas? (1/3) 2) Cuál es la probabilidad de que deba recorrer por lo menos 2 almacenes hasta encontrar el que vende lechugas? (2/3) 23

24 3) Sea la variable aleatoria X: cantidad de almacenes visitados hasta comprar lechugas. 3.1) Hallar la función de cuantía y la de distribución de la variable aleatoria X. 3.2) Calcular P(X>2 / X>1) (0,5) Ejercicio 4 (28 puntos) Parte I El Gerente de Ventas de una empresa estima que las ventas del año 2007 se pueden modelizar a través de una variable aleatoria X con distribución normal. Considera que la probabilidad de que no supere los U$S es 0,5 y que la probabilidad de que sea menor que U$S es 0, ) Determine la esperanza y la varianza de X. (26.000; ) 2) Esboce el gráfico de la función de densidad de X y marque en el mismo la probabilidad de que las ventas superen los U$S Luego calcule dicha probabilidad (0,6915) 3) Esboce el gráfico de la función de densidad de X y marque en el mismo la probabilidad de que las ventas se encuentren entre y Luego calcule dicha probabilidad. (0,6678) 4) Cuál es la probabilidad de que se encuentren entre y sabiendo que son mayores que ? (0,746646) 5) Complete la siguiente afirmación: Hay 97,50% de probabilidad de que las ventas sean menores que U$S... (29.990) Parte II Considere el siguiente gráfico: 2a a : 1) Halle el valor de a para que sea el gráfico de la función de densidad de una v.a. X. (a=0,25) 2) Calcule P(1<X<3) (0,625) 3) Indique si X es una v.a. uniforme, dando las razones correspondientes. PRIMERA REVISIÓN 5/5/07 Ejercicio 1. (14 puntos) 24

25 El 31/12 /06 Leo cobra un juicio ganado contra la Intendencia Municipal de Calamuchita, por lo cual dispone de U$S que desea depositar en un banco. Recorre los bancos A, B y C, obteniendo la siguiente información. a) En el Banco A, el funcionario le dice que si coloca su capital por un año, al cabo del mismo retirará U$S b) El Banco B le ofrece una tasa efectiva mensual en dólares de 0, c) El Banco C le ofrece depositarlo en pesos a una tasa nominal anual con capitalizaciones trimestrales de 18, %. Para los próximos meses se espera una devaluación efectiva anual equivalente al 10%. 1) Calcular la tasa efectiva mensual que paga el Banco A. (0, ) 2) Calcular cuántos meses debería dejar depositado el capital en el Banco B para obtener U$S (10 meses) 3) Indicar cuál es la opción más conveniente para Leo. (Opción C) 4) 4.1) Conociendo la serie de los IPC elaborados por el INE correspondiente a los últimos meses, calcular la tasa real trimestral que obtiene Leo, si el 31/12/06 deposita su dinero por 3 meses en el banco que más le conviene : Diciembre 2006 de Enero 2007 de Febrero 2007 de Marzo 2007 de Abril de 2007 IPC 225,1 229,09 230,49 232,56 235,4 (Solución: 0, ) 4.2) Interpretar el resultado obtenido de la tasa real desde el punto de vista de Leo. Ejercicio 2 (12 puntos) (Nota: las partes I y II de este ejercicio son independientes). Parte I Se presentan tres mujeres (A, B y C) a un concurso de canto lírico para determinar cuál de ellas tendrá el papel protagónico en la próxima ópera y cuál será la cantante suplente. 1) Determinar el espacio de las alternativas posibles. 2) Indicar, fundamentando, si de acuerdo a la definición clásica, es correcta la siguiente afirmación: La probabilidad de que A obtenga el papel protagónico y B quede como suplente es 1/6. Parte II 25

26 Este año el Teatro Solís ha presentado dos óperas: Tosca y La Traviata. Respecto a las personas que han asistido a ambos espectáculos, se sabe que: al 70% le ha gustado la primera (Tosca); al 30% le ha gustado la primera pero no la segunda y al 20% le ha gustado la segunda pero no la primera. Sean los eventos: T: A la persona le gustó Tosca L: A la persona le gustó La Traviata Seleccionada una de estas personas al azar, calcular la probabilidad de que : 1) le hayan gustado las dos óperas. (0,4) 2) le haya gustado por lo menos una de las óperas. (0,9) 3) le haya gustado solamente una de las óperas. (0,5) 4) no le haya gustado ninguna de las óperas.(0,1) (Nota: Se exige el planteo de cada una de las probabilidades utilizando los eventos y las operaciones que correspondan). Ejercicio 3 ( 24 puntos) El 31/01/06 Juan Bueno Ido decide comprar un sofisticado equipo de audio y video. La financiación ofrecida es la siguiente: 11 cuotas mensuales, iguales, vencidas, consecutivas de $1.500 cada una 7 cuotas de $ C cada una, mensuales, consecutivas, venciendo la primera un mes después de la 11ª cuota. un último pago de $ U el 31/08/07. Las tasas pactadas fueron de 12,12 % nominal semestral capitalizable bimestral para el año 2006 y de 15, % efectiva semestral para el año Se sabe además que: el saldo antes de pagar la primera cuota de $ C (12ª cuota de la renta) es de $ ,07 el saldo antes de pagar la segunda cuota de $ C (13ª cuota de la renta) es de $ ,37 1) Hallar el valor contado del equipo al 31/01/06. (25.000) 2) Hallar el valor de C. (1.300) 3) Hallar el interés y la parte de amortización contenidos en la cuota 12. (320,78; 979,22) 4) Hallar el valor del último pago (U). (5.576,72) 26