MATEMÁTICA. Programa de Estudio. Octavo Año Básico

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1 MATEMÁTICA Programa de Estudio Octavo Año Básico Propuesta presentada a resolución del Consejo Nacional de Educación MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIDAD DE CURRICULUM Y EVALUACIÓN DICIEMBRE 2009

2 INDICE Página Presentación 03 Características del programa de estudio I. Estructura y componentes 05 II. Instrumentos curriculares 09 III. Relación entre objetivos fundamentales, aprendizajes esperados y 11 niveles de los mapas de progreso Fundamentos del programa de estudio I. Orientaciones didácticas para el programa de Matemática, 8º año 14 básico II. Orientaciones para la evaluación en los programas de estudio. 20 III. Oportunidades para el desarrollo de los objetivos fundamentales 24 transversales en el programa Visión Global del Año Objetivos Fundamentales de 8º año básico 28 Contenidos Mínimos Obligatorios 29 Aprendizajes esperados por semestre y unidad: Cuadro sinóptico 30 Semestre 1: Unidad 1: Números 33 Unidad 2: Geometría 45 Semestre 2: Unidad 1: Datos y Azar 56 Unidad 2: Álgebra 72 Orientaciones para planificar con el programa de estudio 84 Anexos: Anexo 1: Objetivos Fundamentales por Semestre y Unidad. 89 Anexo 2: Contenidos Mínimos Obligatorios por semestre y unidad. 90 Anexo 3: Relación entre Aprendizajes Esperados, Objetivos 92 Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO). Bibliografía 94 2

3 PRESENTACIÓN El presente programa de estudio ha sido diseñado con el propósito de apoyar a las profesoras y profesores en la realización de una enseñanza orientada al logro de los Objetivos Fundamentales definidos en la actualización curricular de Educación Básica y Media del año Los programas de estudio son un instrumento curricular que busca orientar el trabajo pedagógico que realizan los docentes, y se caracterizan por ser un material flexible y adaptable a los diferentes contextos educativos. Respecto a los programas anteriores del, los presentes contienen algunas innovaciones que buscan responder a la opinión y sugerencias de los docentes, recogidas principalmente a través de estudios de seguimiento a la implementación curricular 2 : - Definen indicadores para los aprendizajes esperados de cada unidad, que precisan el alcance de estos y apoyan su evaluación. - Proveen, para cada unidad, un ejemplo de experiencia de aprendizaje desarrollado en detalle. - Proponen, para cada unidad, una tarea de evaluación que puede corresponder a una actividad completa o a un desafío que puede incluirse como ítem de una prueba, con sus respectivos criterios para evaluarlas. - Promueven el uso de estos programas en relación a los mapas de progreso del aprendizaje 3, considerando a estos últimos como un referente para describir el crecimiento o mejoramiento del aprendizaje. - Ofrecen orientaciones generales para la planificación de la enseñanza y uso de estos programas de estudio. - Se organizan en semestres y en unidades dentro del semestre. - Muestran la relación entre el programa y los demás instrumentos curriculares. - Presentan un cuadro sinóptico de aprendizajes esperados, que permite tener una visión global de la organización propuesta para el año y de los aprendizajes a lograr. - Desarrollan el enfoque didáctico y evaluativo del programa. 1 Decretos Supremos 254 y 256 de Desde la implementación de la reforma curricular, el Ministerio ha realizado estudios de seguimiento con diversos propósitos. Entre ellos se pueden citar: estudio de cobertura curricular, estudio de uso de los programas y los textos escolares, estudio de evaluación de aula, estudio cualitativo a través de grupos focales para conocer la opinión de los docentes sobre los programas de segundo ciclo básico. Información disponible en: Se espera que estos programas puedan facilitar, por una parte, la tarea de planificación y evaluación y, por otra, contribuir al desarrollo de prácticas pedagógicas más desafiantes y pertinentes para los alumnos y alumnas, en concordancia con el Marco para la Buena Enseñanza. Los profesores y las profesoras tendrán la responsabilidad y el reto de nutrir esta información inicial, complementándola, enriqueciéndola y adecuándola sobre la base de sus saberes pedagógicos y didácticos y, a sus propios contextos educativos. Estas adecuaciones deben considerar ciertas decisiones estratégicas para un efectivo trabajo pedagógico, como son: la selección de aquellas estrategias didácticas desafiantes, la definición de 3 Disponibles en 3

4 los procedimientos para realizar la evaluación de los aprendizajes y la comunicación de sus avances y resultados, la selección de los recursos didácticos, el uso de los textos escolares, la planificación concreta de los aprendizajes y actividades, entre otros muchos factores que contempla la operacionalización curricular y que se describen en el Marco recién señalado 4. Se espera que este material contribuya a implementar los Objetivos Fundamentales, estimulando el trabajo cooperativo entre los docentes del establecimiento, fortaleciendo la observación y el análisis de los aprendizajes, y promoviendo una enseñanza desafiante y vinculada a las necesidades y fortalezas de los alumnos y alumnas. De este modo, se espera que los programas sean una invitación abierta y flexible para el trabajo individual y colectivo entre docentes, que contribuya a crear oportunidades de aprendizaje que permitan desarrollar al máximo las potencialidades de cada estudiante. 4 El Marco para la Buena Enseñanza se encuentra disponible en 4

5 CARACTERÍSTICAS DEL PROGRAMA DE ESTUDIO I. ESTRUCTURA Y COMPONENTES Este programa, como todos los programas de estudio elaborados por el, está articulado en torno a aprendizajes esperados. Los aprendizajes esperados son expectativas de logro que se estima son alcanzables en períodos de tiempo acotados (un semestre o una unidad) dentro de un año escolar. El conjunto de aprendizajes esperados de un año da cuenta de los Objetivos Fundamentales del nivel. Al igual que los programas anteriores, los nuevos programas de estudio proponen una organización didáctica del año escolar que se expresa en una secuencia pedagógica, aprendizajes esperados, y en orientaciones metodológicas y sugerencias de evaluación para apoyar la planificación de la enseñanza y el trabajo docente de aula. No obstante, presentan algunas innovaciones que se describen a continuación: 1. Capítulo de Fundamentos El programa incorpora un capítulo de fundamentos que expone su enfoque didáctico y evaluativo, y las oportunidades para trabajar los Objetivos Fundamentales Transversales, entregando orientaciones para realizar una enseñanza coherente con los propósitos formativos del sector y los Objetivos Fundamentales del nivel. En este capítulo se desarrolla con detenimiento el enfoque evaluativo que es común a todos los programas de estudio, y se explica cómo estos se pueden articular con los mapas de progreso del aprendizaje. Estas orientaciones han sido elaboradas de acuerdo con el enfoque de evaluación para el aprendizaje, que considera que el proceso de evaluación es parte constitutiva de la enseñanza y una oportunidad para promover aprendizajes. 2. Organización del año Una novedad importante de estos programas es que se estructuran en semestres, para facilitar la articulación de esta propuesta con la organización del tiempo escolar. Cada semestre se organiza en unidades, que constituyen agrupaciones de aprendizajes en torno a un tema o habilidad que les da sentido, y que tienen una duración acotada, aproximadamente de un mes o mes y medio de tiempo. La secuencia que se propone entre semestres y unidades, ha sido diseñada considerando que los estudiantes avanzan gradualmente en su aprendizaje, y que durante el primer semestre deben abordarse aquellos conocimientos y habilidades que son la base para el logro de los aprendizajes propuestos en el segundo semestre. No obstante lo anterior, y de acuerdo con la naturaleza de las unidades que se proponen, cada docente puede realizar 5

6 modificaciones a esta secuencia si lo considera pertinente. Para tener una visión global de la organización anual se presentan los Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos para el nivel, y un cuadro sinóptico, que muestra los aprendizajes esperados del año distribuidos temporalmente en semestres y unidades. 3. Componentes de cada Unidad. Cada unidad se estructura según los siguientes componentes: a) Aprendizajes esperados e indicadores: Cada unidad se organiza en torno a un conjunto de aprendizajes esperados relacionados entre si. Los aprendizajes esperados corresponden a aquellos conocimientos, habilidades y actitudes que se espera que cada estudiante logre durante dicho período de trabajo. Son el norte de la enseñanza y en base a ellos se desarrollan los demás componentes de la unidad. Para observar los aprendizajes esperados y precisar su alcance, para cada uno de ellos se han definido indicadores, que representan sus componentes constitutivos puntuales. Los indicadores se pueden utilizar de múltiples formas, como recurso para analizar los trabajos de los alumnos y alumnas y como guía para clarificar la extensión y profundidad de los aprendizajes esperados. b) Ejemplos de experiencias de aprendizaje: A diferencia de los programas anteriores, que presentaban actividades genéricas y ejemplos de actividad, estos programas ofrecen ejemplos de experiencias de aprendizaje. Estas constituyen situaciones pedagógicas que contemplan una o más etapas de realización, y que están diseñadas para conducir al logro de determinados aprendizajes esperados. Las experiencias de aprendizaje se organizan considerando actividades de inicio, desarrollo y cierre. Las experiencias sugeridas son ejemplos que orientan sobre cómo abordar determinados aprendizajes esperados. Contienen indicaciones al docente que orientan sobre el tratamiento de los contenidos para el logro de los aprendizajes, y muestran oportunidades para abordar los OFT y realizar una evaluación formativa durante la experiencia. Se ha considerado importante que las experiencias de aprendizaje sean detalladas y con orientaciones claras para el desempeño en el aula. En vez de múltiples ideas de actividades, se ha privilegiado esta vez ofrecer unos pocos modelos, pero desarrollados de forma más completa, que sirvan como referencia para que cada docente elabore nuevas actividades que recojan su propia experiencia y sean adecuadas a su realidad. Por tal razón, es importante destacar que las experiencias de aprendizaje no abordan el total de aprendizajes esperados de la unidad, por el contrario para dar cuenta de todos los aprendizajes, el profesor o profesora debe diseñar sus propias actividades, adecuadas a su contexto educativo, su experiencia y los recursos con que cuenta. Para la construcción de las experiencias de aprendizaje se han considerado los siguientes criterios, comunes para todos los sectores, y que los profesores 6

7 o profesoras pueden aplicar en la construcción de sus propios ejemplos: - Coherencia con los aprendizajes esperados de cada semestre, los objetivos fundamentales transversales, el enfoque curricular del sector y las orientaciones didácticas del programa. - Énfasis en el desarrollo de habilidades cognitivas que exigen elaboración por parte del alumno o alumna, tales como: investigación, comunicación, resolución de problemas, análisis, interpretación y síntesis. - Pertinencia con la edad e intereses de los alumnos y alumnas, y desafiantes en términos cognitivos. - Variedad, en cuanto a metodología y recursos didácticos, considerando estrategias centradas en el estudiante y en el docente, trabajo individual y grupal, y recursos diversos que estén a disposición de la mayoría de los establecimientos del país (textos escolares, software, guías didácticas, Internet, etc.). - Resguardo en cuanto a sesgo cultural, socioeconómico o de género. c) Sugerencias de evaluación: Luego de las experiencias de aprendizaje, se presentan sugerencias de evaluación que orientan sobre cómo observar el aprendizaje de los alumnos y alumnas. Son ejemplos específicos que tienen la forma de actividades, tareas o buenas preguntas que permitan poner en evidencia el logro de los aprendizajes. Al igual que en el caso de las experiencias de aprendizaje, las sugerencias de evaluación no son exhaustivas y no abordan todos los aprendizajes esperados de la unidad. Se busca que sirvan como modelo para que cada docente o equipo de trabajo diseñe nuevas actividades de evaluación. Para su construcción, se han considerado los siguientes criterios, comunes para todos los sectores, y que los docentes pueden aplicar en la construcción de sus propios ejemplos: - Coherencia con los aprendizajes esperados de cada semestre, los objetivos fundamentales transversales, el enfoque curricular del sector y las orientaciones didácticas del programa. - Coherencia con el enfoque de evaluación para el aprendizaje. - Variedad, permitiendo que los estudiantes expresen sus aprendizajes a través de distintos tipos de desempeños. - Énfasis en habilidades cognitivas que exigen elaboración por parte del alumno o alumna. - Énfasis en situaciones y preguntas que permitan a los estudiantes mostrar diversos niveles de desempeño. - Interesantes y desafiantes para los alumnos y alumnas, considerando temáticas y estrategias pertinentes con la edad de los niños y niñas o jóvenes del nivel. - Entrega de información individual aunque la tarea sea grupal. - Resguardo en cuanto a sesgo cultural, socioeconómico o de género. 4. Anexos Para quienes se interesen por conocer la forma en que se han considerado los Objetivos Fundamentales (OF) y Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO) de los Marcos Curriculares, en los anexos se incluyen tres cuadros: el 7

8 primero muestra en qué semestre y unidad se abordan los distintos OF; el segundo muestra en qué semestre y unidad se abordan los CMO; y, finalmente, se presenta un cuadro que detalla para cada aprendizaje esperado los OF y CMO que lo originan. ESQUEMA GRÁFICO DE LA ESTRUCTURA Y COMPONENTES DEL PROGRAMA Indicadores CAPÍTULO FUNDAMENTOS Orientaciones Indicadores didácticas para el sector y nivel Orientaciones sobre la evaluación Oportunidades para trabajar los OFT VISIÓN GLOBAL DEL AÑO ESCOLAR Objetivos Fundamentales Contenidos Mínimos Obligatorios Cuadro sinóptico con Aprendizajes esperados por semestre y unidad SEMESTRE 1 SEMESTRE 2 Unidad 1 Unidad 2 Unidad 1 Unidad 2 Aprendizajes Esperados Indicadores Ejemplos de Experiencias de Aprendizaje. Indicaciones al docente Oportunidades de Evaluación OFT Ejemplos de tareas de evaluación ANEXOS y BIBLIOGRAFÍA 8

9 II. INSTRUMENTOS CURRICULARES Los programas de estudio forman parte de un conjunto de instrumentos curriculares que el Ministerio de Educación pone a disposición de los docentes, directivos y sostenedores para apoyar la implementación del currículum. Los marcos curriculares de Objetivos Fundamentales y Contenidos Mínimos Obligatorios definen el aprendizaje que se espera que todos los alumnos y alumnas del país desarrollen a lo largo de su trayectoria escolar. Tienen un carácter obligatorio y son el referente en base al cual se construyen los planes de estudio, los programas de estudio, los mapas de progreso, los textos escolares y se elaboran las pruebas SIMCE. Los Planes de estudio definen la organización del tiempo de cada nivel escolar. Consignan las actividades curriculares que los alumnos y alumnas deben cursar y el tiempo semanal que se les dedica. Los Programas de estudio entregan una organización didáctica del año escolar para el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en los marcos curriculares. En los programas de estudio del se definen aprendizajes esperados, por semestre o por unidades, que corresponden a objetivos de aprendizajes acotados en el tiempo. Se ofrecen además, ejemplos de actividades de enseñanza y orientaciones metodológicas y de evaluación para apoyar el trabajo docente de aula. Estos ejemplos y orientaciones tienen un carácter flexible y general para que puedan adaptarse a las diversas realidades de los establecimientos educacionales. Los Mapas de Progreso describen el crecimiento típico de las competencias consideradas fundamentales en la formación de los estudiantes dentro de cada sector curricular, y constituyen un marco de referencia para observar y evaluar el aprendizaje promovido por el curriculum nacional. Los mapas describen en 7 niveles de progreso las competencias señaladas, en palabras y con ejemplos de desempeño y trabajos de alumnos y alumnas ilustrativos de cada nivel. Los Niveles de logro del SIMCE son descripciones de los desempeños que exhiben los alumnos y alumnas en los sectores curriculares evaluados por el SIMCE al final de cada ciclo escolar. Los niveles de logro se han construido en base a los desempeños efectivos de los alumnos y alumnas en la prueba, en relación a los Objetivos Fundamentales del marco curricular y las competencias descritas en los Mapas de Progreso. Los Textos Escolares desarrollan los Contenidos Mínimos Obligatorios definidos en los marcos curriculares para apoyar el trabajo de los alumnos y alumnas en el aula y fuera de ella, y les entregan explicaciones y actividades para favorecer su aprendizaje y su autoevaluación. Para los profesores y profesoras, los textos constituyen una propuesta metodológica para apoyar la implementación del currículum en el aula, y los orientan sobre la extensión y profundidad con que pueden ser abordados los contenidos del marco curricular. 9

10 INSTRUMENTOS CURRICULARES CURRICULUM NACIONAL Marcos Curriculares Definen el aprendizaje que se espera que todos los alumnos y alumnas del país desarrollen a lo largo de su trayectoria escolar. APOYOS A LA IMPLEMENTACIÓN Planes de Estudio Programas de estudio Textos escolares Definen la organización del tiempo de cada nivel escolar. Entregan una organización didáctica del año escolar para el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en los marcos curriculares. Desarrollan los contenidos definidos en los marcos curriculares para apoyar el trabajo de los alumnos y alumnas en el aula y fuera de ella. REFERENTES PARA LA EVALUACIÓN Mapas de progreso Describen el crecimiento de las competencias consideradas fundamentales en la formación de los estudiantes y constituyen un marco de referencia para observar y evaluar el aprendizaje promovido por los marcos curriculares. Niveles de logro Describen los desempeños que exhiben los alumnos y alumnas en los sectores curriculares que al final de cada ciclo escolar evalúa el SIMCE 10

11 III. RELACIÓN ENTRE OBJETIVOS FUNDAMENTALES, APRENDIZAJES ESPERADOS Y NIVELES DE LOS MAPAS DE PROGRESO Una pregunta frecuente de las profesoras y los profesores es por la relación que existe entre los Objetivos Fundamentales de los marcos curriculares, los aprendizajes esperados e indicadores de los programas de estudio, y los niveles y ejemplos de desempeño de los mapas de progreso del aprendizaje. La respuesta es simple, se trata de descripciones del aprendizaje con distinto grado de detalle, y que tienen distintos usos que son complementarios. Los Objetivos Fundamentales (OF) corresponden a los conocimientos, habilidades y actitudes que se espera que los alumnos y alumnas aprendan año a año. Los OF van acompañados de Contenidos Mínimos Obligatorios (CMO), que definen con mayor detalle los conocimientos, habilidades y actitudes que se debe enseñar para que los alumnos y alumnas puedan lograr los objetivos de aprendizaje. Aunque se sabe que no todos los alumnos y alumnas logran los objetivos de un año determinado, los OF ofrecen un organización que ordena el sistema escolar nacional. El mapa de progreso es la descripción más gruesa: en siete niveles, y en una página, describe la trayectoria de los estudiantes en los 12 años de escolaridad obligatoria en un ámbito o dominio relevante del sector. Se trata de un continuo que los estudiantes recorren a diferentes ritmos, y por ello, no corresponden exactamente a lo que todos los alumnos logran en un determinado grado escolar. Considerando la diversidad en el crecimiento del aprendizaje, los mapas de progreso están asociados a una expectativa, que corresponde a dos años de escolaridad. Por ejemplo, el nivel 1 corresponde al logro que se espera para la mayoría de los niños y niñas al término de Segundo Básico; el nivel 2 corresponde al término de Cuarto Básico, y así sucesivamente. El nivel 7 describe el aprendizaje de un alumno o alumna que al egresar de la Educación Media es sobresaliente, es decir, va más allá de la expectativa para Cuarto Medio, que describe el nivel 6 en cada mapa. Los mapas describen competencias, es decir desempeños de los alumnos y alumnas que articulan conocimientos, habilidades y actitudes. Los ejemplos de desempeño de los mapas ilustran el tipo de actividades que los alumnos y alumnas realizan cuando tienen logrado el nivel de aprendizaje o competencia descrita, son ejemplos que ayudan a visualizar la complejidad o exigencia del nivel. Son una selección no exhaustiva que podría incluir otras evidencias del aprendizaje. Como herramienta cotidiana orientan sobre la expectativa nacional y le ofrecen un marco global para conocer cómo crece el aprendizaje y observar el progreso de sus alumnos y alumnas 5. Los mapas se han elaborado asumiendo que en un mismo curso los alumnos y alumnas muestran distintos niveles de logro, y que una pedagogía para ser 5 En la página web del se encuentra disponible el documento Orientaciones para el uso de los Mapas de Progreso del Aprendizaje y otros materiales que buscan apoyar el trabajo con los mapas ( 11

12 efectiva, debe responder a esta diversidad. Los aprendizajes esperados de los programas de estudio son más puntuales. Corresponden a conocimientos, habilidades y actitudes que se logran en semestres y unidades acotadas en el tiempo. El conjunto de aprendizajes esperados de un año da cuenta de los Objetivos Fundamentales de los marcos curriculares. Los indicadores de los aprendizajes esperados son sus elementos constitutivos. A diferencia de los ejemplos de desempeño de los mapas, pretenden ser exhaustivos, y se han elaborado para observar el logro del aprendizaje esperado que describen. Estas relaciones se ilustran en el cuadro que sigue: 12

13 Marco Curricular Objetivo Fundamental 8º Básico Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar las medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan. Programa de estudio Semestre 1 Aprendizaje esperado 1 Aprendizaje esperado 2 Aprendizaje esperado 3 Aprendizaje esperado 4 Aprendizaje esperado: Comprenden el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. Semestre 2 Aprendizaje esperado 1 Aprendizaje esperado 2 Aprendizaje esperado 3 Aprendizaje esperado 4 Indicadores: Establecen estrategias para escoger muestras, en forma aleatoria de un determinado tamaño, desde una población específica. Utilizan un recurso tecnológico, por ejemplo una calculadora, para generar números aleatorios y usarlos para extraer una muestra desde una población específica. Argumentan acerca de la importancia de extraer muestras en forma aleatoria para las conclusiones que se puedan realizar acerca de una población. Mapa de progreso de Datos y Azar Nivel 7 Usa modelos probabilísticos para resolver Nivel 6 Produce información aplicando la distribución Nivel 5 Organiza información a través de histogramas Nivel 4 Organiza datos en gráficos y tablas, reconociendo las aplicaciones, ventajas y desventajas de distintos tipos de representación. Extrae e interpreta información desde tablas de frecuencias con datos agrupados en intervalos. Comprende los conceptos de representatividad y aleatoriedad de una muestra y sus efectos en conclusiones e inferencias acerca de una población determinada. Comprende que a través del modelo de Laplace es posible predecir el valor de la probabilidad de ocurrencia de un evento simple, sin realizar el experimento aleatorio. Resuelve problemas simples de probabilidades, conjetura y verifica resultados usando el modelo de Laplace y también las frecuencias relativas. Nivel 3 Reconoce aquellas variables que aportan Nivel 2 Organiza datos simples relativos a situaciones Nivel 1 Organiza datos simples acerca de objetos 13

14 FUNDAMENTOS DEL PROGRAMA DE ESTUDIO I. ORIENTACIONES DIDÁCTICAS PARA EL PROGRAMA DE MATEMÁTICA, 8º AÑO BÁSICO Organización curricular Los Programas de Matemática están organizados en cuatro unidades por nivel. Cada una de ellas atiende a los aprendizajes esperados de uno o más ejes del Marco Curricular. Cada una de las unidades presenta los aprendizajes esperados, un conjunto de indicadores para evaluar dichos aprendizajes y experiencias de aprendizaje diseñadas con el objeto de ejemplificar la forma en que se sugiere organizar las situaciones de aprendizaje. Este programa se complementa con los Mapas de Progreso del aprendizaje, otro instrumento que se recomienda tener presente, tanto al planificar el trabajo de aula como al evaluar el progreso de los alumnos y alumnas. A continuación se presenta una descripción de los cuatro ejes que conforman el currículum de matemática para los doce niveles de la educación básica y media. Los ejes del currículum: Números. Este eje incluye los aprendizajes referidos a la cantidad y el número, las operaciones aritméticas, los diferentes sistemas numéricos y sus propiedades. Se organiza en torno a los diferentes ámbitos y sistemas numéricos. Avanza en completitud, abstracción y complejidad desde los números naturales hasta los números complejos, pasando por enteros, racionales y reales. Se busca que los alumnos y alumnas comprendan que cada uno de estos sistemas permite abordar un conjunto amplio de problemas y situaciones de la matemática. El pasaje de un sistema de números a otro se motiva a partir de los problemas que un sistema no logra resolver. De este modo, el desarrollo de los números acompaña, y encuentra sus motivaciones, en el desarrollo de las operaciones: la operación inversa a la suma motiva el cero y los negativos; el cuociente y la medición, los racionales; la extracción de raíz, motiva los irracionales y los reales y los números complejos. Así, se relacionan números, operaciones y campos de aplicación de la matemática, permitiendo avanzar en el sentido de la cantidad, en el razonamiento matemático y precisar la forma en que la matemática contribuye a la descripción y comprensión de la realidad. Álgebra. Este eje introduce al alumno y alumna en el uso de símbolos constituyéndose como un lenguaje formal con el cual se pueden desarrollar la abstracción y la generalización. El uso de símbolos y la generalización se desarrolla de manera continua y se inicia con la incorporación de los primeros números. La representación de los números y la notación decimal son pasos importantes en el desarrollo de la abstracción. Las operaciones son procedimientos generales, independientes de los números particulares sobre las que actúan. A partir del quinto nivel se introducen en forma explícita nociones del álgebra mediante la expresión de relaciones generales y abstractas de la aritmética y la medición. El orden de los factores no altera el producto, qué número sumado con n tiene como resultado m, 14

15 son situaciones que permiten poner en contacto con el lenguaje algebraico a cada estudiante desde los primeros niveles del currículo escolar. El álgebra provee de un lenguaje a la matemática, por ende, contribuye a, y se nutre del desarrollo de los ejes de números, geometría y datos y azar. Este eje introduce, también, la noción de función y el estudio de algunas de ellas en particular. Geometría. Este eje se orienta en los primeros niveles, a la comprensión del espacio, al desarrollo de la imaginación espacial, y al conocimiento de objetos geométricos básicos y algunas de sus propiedades. En particular propone relacionar formas geométricas en dos y tres dimensiones, la construcción de figuras y de transformaciones de figuras. Se introduce también, en los primeros niveles, la noción de medición en figuras planas. La geometría avanza, también, en proponer diferentes tratamientos del espacio y la medición. En efecto, el estudio de la geometría se inicia en primer ciclo básico con una representación euclidiana del espacio, para introducir, en el segundo ciclo, la noción de posición e iniciar a los alumnos y alumnas en la geometría cartesiana. En enseñanza media se introducen nociones y procedimientos de la geometría vectorial y de trasformaciones. A lo largo de toda la trayectoria escolar, el eje se relaciona con el de números, a partir de la medición y la representación en el plano cartesiano de puntos y figuras, y con los ejes de álgebra y datos y azar, a partir del uso de fórmulas y la representación gráfica de funciones y de distribución de datos. Progresivamente se introduce el concepto de demostración, a partir de los argumentos que pueden justificar construcciones o relaciones. Datos y Azar. Este eje introduce el tratamiento de datos y modelos para el razonamiento en situaciones de in certeza. El tratamiento de datos estadísticos se inicia en primero básico y el estudio del azar comienza en quinto año. El eje incluye los conocimientos y las capacidades para recolectar, organizar, representar y analizar datos, el desarrollo de modelos para realizar inferencias a partir de información muestral en variados contextos, y la capacidad de interpretar situaciones en las que interviene el azar. Desde la Educación Básica, se busca desarrollar habilidades de lectura, análisis crítico e interpretación de información presentada en tablas y gráficos. A su vez, se intenciona la habilidad para recolectar, organizar, extraer conclusiones y presentar información. Son también temas de estudio algunos conceptos básicos que permiten analizar y describir procesos aleatorios, así como cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos equiprobables. En Educación Media, el estudio de Datos y Azar se propone desarrollar conceptos y técnicas propias de la estadística y la teoría de probabilidades que permitan realizar inferencias a partir de información de naturaleza estadística, y distinguir entre los fenómenos aleatorios y los deterministas. El razonamiento matemático es un aspecto central, que se aborda transversalmente en los cuatro ejes curriculares del sector. Resolver problemas, representar y modelar situaciones diversas, formular y verificar conjeturas, y verificar la validez de procedimientos y relaciones, está en el núcleo de los aprendizajes esperados y, por tanto, debe ser intencionado en el diseño pedagógico. Por tal razón, se sugiere organizar las experiencias de aprendizaje en torno a problemas, modelamiento de situaciones o proposición y exploración de relaciones, que desafíen a los y las estudiantes a buscar distintas estrategias, interpretar y comunicar 15

16 procedimientos y resultados, así como verificar, argumentar o demostrar cuando corresponda. Respecto al lenguaje matemático, cabe señalar que el lenguaje de conjuntos se utiliza sólo en aquellos casos en que su aporte es pertinente o necesario. Se promueve su uso como una eficaz y precisa herramienta para comunicar tanto ideas como conceptos matemáticos, en tanto sea de utilidad para el logro de algún Objetivo Fundamental. En este sentido, es importante precisar que, de manera coherente con el marco curricular, el programa de estudio no prescribe aprendizajes esperados relacionados con teoría de conjuntos, sino que solo incorpora el aprendizaje de símbolos y conceptos pertenecientes al lenguaje conjuntista que permiten ampliar el vocabulario matemático de los alumnos y alumnas. Orientaciones y recomendaciones didácticas Este sector está concebido como una oportunidad para que los alumnos y alumnas desarrollen aprendizajes para la vida, ya que la Matemática constituye un área de la cultura poderosa en la comprensión, explicación y predicción de situaciones y fenómenos. Nociones como número, forma, probabilidades, entre otras, se introducen para el modelamiento y el análisis de esas situaciones y fenómenos. El papel que desempeña el conocimiento y el razonamiento matemático en el desarrollo del pensamiento y las capacidades del ser humano para interactuar de un modo consciente con su entorno, es una componente importante del rol que juega la matemática en el currículum escolar. De este modo de pensar se derivan algunas de las orientaciones que articulan los programas de estudio: a. El uso del contexto. Es importante que la matemática sea presentada como una disciplina culturalmente situada, con historia, con impacto en otras áreas del conocimiento científico o tecnológico, con consecuencias y aplicaciones. La pregunta acerca del origen de los modelos matemáticos y su ubicación histórica en el desarrollo del pensamiento de la humanidad, son anclas importantes del conocimiento que proponemos a nuestros alumnos y alumnas. El uso de metáforas y representaciones cercanas a los y las estudiantes, son un recurso didáctico altamente recomendado, especialmente en las etapas de exploración. A su vez, se sugiere el uso de las aplicaciones de la matemática a otras áreas del conocimiento y en la vida diaria, como un apoyo en la construcción del conocimiento matemático. Este enfoque puede ser complementado con el necesario regreso o acceso al contexto matemático, enfatizando el poder de la generalización y la importancia de los modelos abstractos: la Matemática tiene muchas aplicaciones, precisamente, por su abstracción e independencia de situaciones concretas. b. Un conocimiento integrado. Los programas de estudio son una invitación a la construcción de un árbol de conocimiento integrado y con conexiones múltiples en cada uno de los y las estudiantes. Frente a cada nuevo objetivo o aprendizaje esperado es posible preguntarse: desde dónde venimos?, para dónde vamos?, cómo se aplica?, con qué se relaciona?, etc. A más conectado, mayores son las probabilidades de que ese conocimiento, modelo o procedimiento esté disponible en el momento que la vida del que aprende lo requiera. 16

17 Se puede pensar que el aprendizaje esperado es el centro desde el cuál se pueden mirar el resto de los aprendizajes matemáticos de cada estudiante. Desde allí, hay un antes, un después y múltiples conexiones. El currículum ha sido elaborado considerando que en cada eje el aprendizaje progresa desde lo más simple a lo más complejo, y que los entendimientos y habilidades desarrolladas en un nivel son la base y requisito para lo que los alumnos y alumnas aprenderán en el nivel siguiente. De este modo, el docente puede mirar el antes y el después y generar situaciones de aprendizaje que con centro en lo que se busca ofrecer al estudiante actualizan conocimientos anteriores y anticipan formas y oportunidades posteriores. La integración de los aprendizajes matemáticos también se expresa en las articulaciones y relaciones que el o la docente puede establecer entre aprendizajes de distintos ejes curriculares, y en las aplicaciones a situaciones o fenómenos provenientes de otros sectores de aprendizaje. c. Razonamiento matemático y resolución de problemas. La matemática se construye a partir de regularidades que subyacen a situaciones aparentemente diversas. Esta propuesta curricular enfatiza el razonamiento por sobre la acción mecánica. Se recomienda hacer uso frecuente de preguntas y situaciones que inviten a buscar regularidades, a analizar los procedimientos por medio de los cuales se resuelve un problema, a justificar y cuando sea adecuado, de acuerdo con el nivel e interés de los estudiantes, demostrar las proposiciones y modelos matemáticos. No es la resolución de largas listas de problemas, que se pueden resolver utilizando un procedimiento entregado en clases, lo que se valora como aprendizaje del sector. Por el contrario, es central generar situaciones donde se requiera desarrollar la noción de estrategia, hacerlas explícitas, comparar diversas formas de abordar problemas, así como generar situaciones en las que sea natural que los y las estudiantes formulen y verifiquen conjeturas acerca del comportamiento de los elementos y relaciones con que se trabaja. Desde este punto de vista, la argumentación, la comunicación de resultados y relaciones, la demostración y la búsqueda de patrones, son situaciones que favorecen la reflexión y el razonamiento matemático. La dimensión modelamiento de la matemática ofrece múltiples oportunidades para comprender el sentido de las relaciones y conceptos que se propone al estudiante. La física, la economía, la administración, entre otras disciplinas, hacen uso abundante de modelos matemáticos. Estos modelos pueden servir, tanto de contexto para las relaciones de la matemática como de situaciones en las que se puede aplicar el conocimiento matemático en elaboración. d. Uso del error. Asociado a un ambiente de búsqueda y de creación, está el uso adecuado del error. Desde este punto de vista, un error es una oportunidad magnífica para poner en la situación de aprendizaje una relación posible entre lo que se busca enseñar y el estado del conocimiento del aprendiz. En un clima de construcción, un error puede, en manos de un educador, ser una oportunidad para aprendizajes especialmente significativos. e. Aprendizaje matemático y desarrollo personal. La clase de matemática ofrece abundantes oportunidades para el auto conocimiento y las interacciones sociales. Es una oportunidad para la meta cognición: cómo lo hice?, cómo lo hicieron?, de qué otra manera es posible? Adicionalmente, el concepto que cada uno de nosotros tiene acerca de su capacidad para aprender y hacer matemática se ha construido a través de la retroalimentación que la experiencia nos ha brindado. En este aspecto, el reconocimiento, tanto de los esfuerzos como de los logros, es un instrumento poderoso en manos del educador o la educadora. A su vez, la valoración de las diferencias, la 17

18 aceptación de los logros o acciones de los pares, un clima de confianza y la forma que cada uno enfrenta las situaciones de éxito o fracaso, tanto propias como las de los demás, contribuyen a desarrollar en cada alumno o alumna la confianza en sí mismos. De este modo, la clase de matemática puede ser una oportunidad para la formación de los niños, niñas y jóvenes. f. Tecnologías digitales y aprendizaje matemático. El programa propone el uso de software y ambientes creados con tecnologías digitales para ampliar las oportunidades de aprendizaje de los alumnos y alumnas. Estas tecnologías permiten representar nociones abstractas a través de modelos en los que es posible experimentar con ideas matemáticas, y crear situaciones en las que los alumnos y alumnas pueden explorar las características, límites y posibilidades de conceptos, relaciones o procedimientos matemáticos. Los procesadores geométricos, simbólicos y de estadística son laboratorios para explorar relaciones y ponerlas a prueba. Con un procesador simbólico, grandes números o números muy pequeños pueden ser analizados y dotados de sentido, y se puede estudiar el comportamiento de funciones, incluso de alta complejidad. Internet ofrece múltiples ambientes en los que se puede encontrar representaciones dinámicas de una gran cantidad de objetos matemáticos. Los procesadores geométricos, en tanto, permiten la experimentación con nociones y relaciones, sea de la geometría euclidiana, cartesiana o vectorial. Todo esto, en un espacio de alto interés para los niños, niñas y jóvenes, y de alto impacto en cuanto a su formación para una vida cada vez más influida por las tecnologías digitales. g. Clima de la situación de aprendizaje. Apartarse de un modelo de enseñanza frontal y preferentemente expositiva donde el profesor o profesora es quien expone los conocimientos y el estudiante los escucha pasivamente y acercarse a situaciones de alta interactividad entre docentes y estudiantes, entre alumnos y alumnas y entre cada estudiante y el conocimiento que se le propone, exige un clima caracterizado por la confianza y el desafío. Tanto la comunicación de resultados, la formulación de conjeturas, la comunicación de procesos, logros y dudas, supone ese clima y, a la vez, es un ambiente en que los resultados del aprendizaje tienden a ser valorados por los que aprenden y a ser percibidos como aprendizajes significativos y con impacto en las vidas individuales. h. Motivaciones intrínsecas. Muy relacionado con lo anterior, está el tema de las razones por las que estudiamos. Las motivaciones extrínsecas pueden mostrar cierta efectividad en el corto plazo, pero no tienen consecuencias profundas y duraderas. Aprender por temor a la mala nota o al castigo, apunta al miedo a la matemática que luego inhibe la continuación de aprendizajes en esa línea. Aprender para la prueba hace que el conocimiento sea desechable una vez que haya cumplido su propósito. A la inversa, el aprendizaje con base en la curiosidad y la búsqueda interna y personalmente conducida, tiende a lograr aprendizajes con mayor permanencia, conectados con un mayor número de situaciones o señales que luego permiten su recuperación y disponibilidad en diversas situaciones en las que puede ser útil. Por último, la enseñanza de la matemática es una invitación a la innovación, a la búsqueda de formas efectivas de interesar a los alumnos y alumnas y detonar en ellos la energía que el aprendizaje requiere. Una matemática para la vida, con historia y consecuencias, el razonamiento matemático, la comprensión de los procesos por medio de los cuales operamos y razonamos, la meta cognición, el complemento de un ambiente en el que las tecnologías digitales amplían las oportunidades, las 18

19 representaciones que apelan al interés de los y las estudiantes, y la búsqueda de motivaciones intrínsecas, invitan a formas de enseñanza que se apartan de la clase eminentemente expositiva, para abrir espacio a la exploración y la conjetura, pasando de motivaciones centradas en la prueba y en la calificación a situaciones que atraen la atención de niños, niñas y adolescentes. En síntesis, a prácticas de aula generadoras y centradas en el aprendizaje significativo de todos los alumnos y alumnas. El programa de 8º año básico. En este nivel, en la unidad de números se amplía el tratamiento de los números enteros introduciendo la multiplicación y división de éstos. Se propone además, procedimientos para trabajar con productos y cuocientes de potencias de base entera y exponente natural. En álgebra se introduce la noción de función, de variables independientes y dependientes, así como los conceptos de dominio, recorrido, imagen y pre-imagen. En particular, se propone el reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad tanto directa como inversa, y la comparación con variables cuya relación no es proporcional. En el tratamiento de la geometría se trabaja con transformaciones rígidas en el plano, incluyendo la construcción de teselaciones regulares y semi-regulares. Se usa la noción de lugar geométrico para definir la circunferencia y se introduce el número π, que luego se usará para los cálculos de perímetro de la circunferencia, área del círculo y el área y volumen de cuerpos. En datos y azar, se introduce el análisis de información mediante el uso y la interpretación de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos. Se trabaja con medias aritméticas y moda de algunas distribuciones y se propone el uso combinado de esas representaciones con situaciones en las que es posible conjeturar acerca de medidas de tendencia central de una población a partir de datos de una muestra. La noción de probabilidad se expresa mediante el modelo de Laplace y se aplica a situaciones experimentales simples. Como en otros niveles, se enfatiza el uso de situaciones contextuales significativas para los conceptos, modelos y procedimientos tratados. También se enfatiza la integración entre lo tratado en cada eje con los aprendizajes provenientes de los otros ejes, de modo de generar aprendizajes integrados. El uso de tecnologías digitales es, nuevamente, ampliamente recomendado, ya sea en la representación de datos en gráficas, el estudio de funciones o en la generación de construcciones geométricas, incluidas teselaciones y transformaciones en el plano. 19

20 II. ORIENTACIONES PARA LA EVALUACIÓN EN LOS PROGRAMAS DE ESTUDIO. Un supuesto de los programas de estudio elaborados por el es que una evaluación que ayuda a mejorar el aprendizaje es un proceso planificado y articulado con la enseñanza, que ayuda a profesoras y profesores a reconocer qué han aprendido sus estudiantes, conocer sus fortalezas y debilidades y a partir de esto retroalimentar la enseñanza y el proceso de aprendizaje de los alumnos y alumnas. La información que proporcionan las evaluaciones, es útil para que los y las docentes en forma individual y en conjunto reflexionen sobre sus estrategias de enseñanza, identificando aquéllas que han resultado eficaces, las que puedan necesitar algunos ajustes y aquéllas que requieren de más trabajo con los alumnos y alumnas. Este programa de estudio cuenta con indicaciones para la evaluación que se señalan en el desarrollo de las experiencias de aprendizajes, además en cada unidad se ofrecen sugerencias para evaluar los aprendizajes de los alumnos y alumnas en situaciones y contextos desafiantes y variados. Ellas buscan orientar una práctica evaluativa coherente con los aprendizajes del currículum. Las sugerencias de evaluación que se incluyen en este programa no agotan las estrategias ni las oportunidades que cada profesor, profesora o equipo de docentes pueden utilizar para evaluar y calificar el desempeño de sus alumnos y alumnas. Por el contrario éstas deben ser complementadas con otras tareas y actividades de evaluación para obtener una visión completa y detallada del aprendizaje de sus estudiantes. De este modo, los docentes pueden recoger información relevante para observar el logro de aprendizaje de sus alumnos y alumnas durante el desarrollo de cada una de las unidades o semestres. A continuación se explica brevemente la lógica con que están construidas estas sugerencias y se dan orientaciones para su uso. 1) Qué se evalúa en las tareas y actividades de evaluación que propone este programa? Las tareas y actividades incluidas en el programa contribuyen a evaluar el desarrollo de determinados aprendizajes esperados de cada unidad o semestre. Y de este modo, observar el logro de los Objetivos Fundamentales definidos en el marco curricular para este nivel. Más que ayudar a evaluar si los y las estudiantes conocen algunos conceptos puntuales o saben utilizar determinados procedimientos específicos de forma aislada, proponen desafíos que requieren integrar conocimientos y habilidades establecidos en los aprendizajes esperados, en situaciones significativas para los y las estudiantes, a fin de lograr los propósitos formativos del sector. Para evaluar el logro de los aprendizajes esperados las tareas señalan los indicadores que se recomienda utilizar para analizar los desempeños de los alumnos y alumnas y construir el juicio evaluativo. Estos indicadores se pueden utilizar integrados en listas de 20

21 cotejo, rúbricas, como criterios de una pauta de observación o como criterios para asignar puntajes totales o parciales. 2) Qué características tienen las tareas y actividades de evaluación en este programa? Las tareas y actividades de evaluación que se presentan en este programa han sido elaboradas considerando los siguientes elementos como base: Ofrecen estímulos variados, como por ejemplo preguntas, desafíos o ítems, que en sí mismos, pueden constituirse en un escenario o instrumento de evaluación o integrarse a uno mayor complementado con otros estímulos. El conjunto de tareas y sugerencias de evaluación busca ilustrar una variedad de estímulos y situaciones oportunas para que los alumnos y alumnas se desempeñen y puedan dejar evidencias del logro de los aprendizajes esperados. Se desarrollan en situaciones que desafían a los estudiantes a poner en juego sus aprendizajes en forma integrada en contextos cotidianos potencialmente significativos. Presentan situaciones abiertas y que pueden ser resueltas de distintas maneras y con diferente grado de complejidad, para que los diversos estudiantes puedan resolverlas evidenciando sus distintos niveles de aprendizaje. Las tareas ofrecen orientaciones para analizar el desempeño de los alumnos y alumnas, utilizando los indicadores que dan cuenta del aprendizaje esperado que está siendo evaluado. El conjunto de tareas presenta diferentes formas de utilizar los indicadores, tales como listas de cotejo, rúbricas, y pautas de observación. Buscan ser eficientes en el sentido de entregar información relevante y abundante a partir de un estímulo sencillo. Son realizables en cualquier lugar del país y no involucran mayores costos de materiales y tiempo, buscando su mayor utilidad. Debido a que cada docente utiliza distintas estrategias y frecuencias para evaluar y calificar el desempeño de sus estudiantes, se recomienda que tengan en cuenta las consideraciones anteriores al elaborar otras tareas que complementen las que se presentan en este programa de estudio. 3) Cómo aprovechar mejor las tareas y actividades de evaluación que se proponen en el programa? Las sugerencias para la evaluación y las tareas que se presentan en el programa, adquieren su mayor potencial si los profesores y las profesoras tienen las siguientes consideraciones en su uso: 21

22 - Informar a alumnos y alumnas sobre los aprendizajes que se evaluarán. Compartir con los alumnos y alumnas las expectativas de aprendizaje y los indicadores de evaluación que se aplicarán, favorece su logro, ya que así tienen claro que se espera de ellos y ellas. - Analizar los desempeños de sus alumnos y alumnas para fundar juicios evaluativos y retroalimentar la práctica pedagógica. Un análisis riguroso de los trabajos de los y las estudiantes en términos de sus fortalezas y debilidades, individuales y colectivas, ayuda a elaborar un juicio evaluativo más contundente sobre el aprendizaje de su grupo curso. El análisis de esta información es una oportunidad para la reflexión docente sobre las estrategias utilizadas en el proceso de enseñanza, y para tomar decisiones pedagógicas dirigidas a mejorar resultados durante el desarrollo de una unidad, de un semestre o al finalizar el año escolar y planificar el siguiente. - Retroalimentar a sus alumnos y alumnas sobre sus fortalezas y debilidades. La información que arrojan las evaluaciones es una oportunidad para involucrar a los alumnos y alumnas con sus aprendizajes y analizar sus estrategias de aprendizaje. Compartir esta información con los y las estudiantes en forma individual o grupal, es una ocasión para consolidar aprendizajes y orientarlos acerca de los pasos que deben seguir para avanzar. Este proceso reflexivo y metacognitivo de los alumnos y alumnas puede fortalecerse si se acompaña de procedimientos de autoevaluación y coevaluación, que los impulsen a revisar sus logros, identificando sus fortalezas y debilidades y revisando sus estrategias de aprendizaje. - Construir nuevas tareas que complementen las que aquí se presentan, de modo que se articulen con la propuesta pedagógica de los programas de estudio, sin dejar de lado las necesidades particulares de su curso. Utilizar otros instrumentos para evaluar, tales como pruebas escritas, guías de trabajo, informes, ensayos, entrevistas, debates, mapas conceptuales, informes de laboratorio, investigaciones, entre otros, ayudará a que los alumnos y alumnas cuenten con más oportunidades para que evidencien lo que han aprendido; y a que los y las docentes cuenten con mayor evidencia para inferir el logro de los aprendizajes esperados de cada unidad. - Planificar las evaluaciones. Para que la evaluación apoye el aprendizaje, es necesario contar con un plan que se diseñe en forma integrada con la planificación de la enseñanza. En este plan se debe especificar los procedimientos más pertinentes y las oportunidades en que se recolectará la información respecto al logro de los aprendizajes esperados, determinando las tareas que necesita construir y el mejor momento para aplicarlas para retroalimentar el proceso de aprendizaje. - Analizar en el tiempo el mejoramiento del aprendizaje. Para observar los avances en el aprendizaje de los alumnos y alumnas y analizar comparativamente sus trabajos a través del tiempo, es necesario contar con criterios de evaluación estables que se refieran a los aspectos o dimensiones permanentes del aprendizaje del sector. Estos criterios pueden ser extraídos de los ejes y dimensiones descritos en los mapas de progreso del aprendizaje. 22

23 4) Cómo se pueden articular los Mapas de Progreso del Aprendizaje con la propuesta de evaluación de los programas de estudio? Tanto la propuesta de evaluación de los programas de estudio como los Mapas de Progreso 6 apuntan a hacer de la evaluación una instancia que ayude a lograr mejores aprendizajes, dando orientaciones sobre qué conocimientos, habilidades y actitudes son relevantes de evaluar y cómo observarlos en el desempeño de los y las estudiantes. Los Mapas de Progreso ponen a disposición de profesoras y profesores y de las escuelas de todo el país, un mismo referente para evaluar el logro de aprendizajes de los alumnos y alumnas, ubicándolos en un continuo de progreso. Para esto los mapas describen el desarrollo de las competencias propias de cada sector de aprendizaje a lo largo de toda la trayectoria escolar. Los Mapas de Progreso orientan la evaluación, acorde a la propuesta de los programas de estudio, en tanto permiten: Reconocer aquellos aspectos y dimensiones que son esenciales de evaluar e ir observando en el tiempo, los que están señalados en las introducciones de cada mapa de progreso del sector. Clarificar la expectativa de aprendizaje nacional, al conocer la descripción de cada nivel, sus ejemplos de desempeño y el trabajo concreto de estudiantes que ilustran esta expectativa. Contextualizar en una trayectoria formativa los aprendizajes esperados del programa de estudio, asociándolos y ubicándolos en relación a los niveles descritos en los mapas de progreso. Observar el desarrollo, progresión o crecimiento de las competencias de un alumno o alumna, al constatar cómo sus desempeños se van desplazando en el mapa. Analizar las fortalezas y debilidades de los logros de los alumnos y alumnas, en relación a la expectativa nacional descrita en los niveles de los mapas de progreso. Analizar la situación global del curso y la diversidad de logros, en relación a la expectativa nacional descrita en los niveles de los mapas de progreso. Contar con modelos de tareas y preguntas que permiten a cada alumno y alumna evidenciar sus aprendizajes. Cada profesor y profesora posee estrategias para evaluar y calificar el trabajo de sus estudiantes de acuerdo con las necesidades de cada curso y de su establecimiento. Por esto, las tareas y sugerencias de evaluación que presenta este programa, en conjunto con los Mapas de Progreso, ayudan a la apropiación de los principios que posee una evaluación orientada a mejorar el aprendizaje. Estas sugerencias tomarán más sentido para cada profesor o profesora al trabajar con sus estudiantes las actividades sugeridas en el programa de estudio y en tanto conozcan y usen los Mapas de Progreso del Aprendizaje. 6 Para ver los Mapas de Progreso de cada sector puede visitar la página web 23

24 III. OPORTUNIDADES PARA EL DESARROLLO DE LOS OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES EN EL PROGRAMA LOS OBJETIVOS FUNDAMENTALES TRANSVERSALES (OFT) definen finalidades generales de la educación referidas al desarrollo personal y la formación ética e intelectual de alumnos y alumnas, y son un componente principal de la formación integral que promueve el currículum nacional. Tal como señalan los marcos curriculares, los OFT tienen un carácter comprensivo y general orientado al desarrollo personal, y a la conducta moral y social de los alumnos y alumnas, y deben perseguirse en las actividades educativas realizadas durante el proceso de la Educación General Básica y Media (2009, p.20). El marco curricular establece 5 ámbitos distintos de Objetivos Fundamentales Transversales: o Crecimiento y autoafirmación personal o Desarrollo del pensamiento o Formación ética o La persona y su entorno o Tecnologías de Información y Comunicación Para el desarrollo y promoción de los OFT se pueden distinguir dos grandes modalidades de implementación, ambas relevantes para la formación de los estudiantes, y ambas complementarias entre sí. Por una parte, el desarrollo y promoción de los OFT tiene lugar a partir de las dinámicas que acompañan y que ocurren de manera paralela al trabajo orientado al logro de los aprendizajes propios de los sectores curriculares. Por medio del ejemplo cotidiano, las normas de convivencia, la promoción de hábitos, entre otros se comunica y enseña a los alumnos y alumnas, implícita o explícitamente, formas de relacionarse con otros y con el entorno, a valorarse a sí mismos, a actuar frente a los conflictos, a relacionarse con el conocimiento y el aprendizaje, entre otros tantos conocimientos, habilidades, valores y comportamientos. Por otra parte, existen algunos OFT que se relacionan directamente con los aprendizajes propios del sector y se desarrollan de manera conjunta con el despliegue de los objetivos de aprendizaje y contenidos de un sector curricular. Tal es el caso, por ejemplo, de aquellos OFT relacionados con las habilidades de análisis, interpretación y síntesis de información, con la protección del entorno natural, la valoración de la historia y las tradiciones, la valoración de la diversidad, el uso de tecnologías de la información y comunicación, que forman parte constitutiva de los aprendizajes esperados de distintos sectores de aprendizaje. Esta condición de los transversales se entiende bajo el concepto de integración. Esto implica que los OFT y los aprendizajes esperados del sector no constituyen dos líneas de desarrollo paralelas, sino que suponen un desarrollo conjunto, retroalimentándose o potenciándose mutuamente. Por una parte, los aprendizajes propios del sector constituyen en sí mismos un antecedente importante y pertinente para el desarrollo de los OFT. Por otra parte, los OFT forman parte integral de los aprendizajes del sector. 24

25 1. Cómo se integran los OFT en los programas de estudio? Si bien las dos modalidades arriba señaladas son importantes para el desarrollo de los estudiantes, en los programas de estudio se han destacado aquellos aspectos de los OFT que presentan una relación más directa con cada sector en particular. Se ha buscado presentar de manera explícita la relación entre los aprendizajes del sector, las estrategias de enseñanza y los objetivos transversales, con la finalidad de hacer visibles las distintas instancias en las que los OFT están implicados, y en consecuencia, visualizar la multiplicad de posibilidades para su desarrollo. Es necesario remarcar que la alusión a los OFT que se hace en los programas en ningún caso pretende agotar las distintas oportunidades o líneas de trabajo que cada docente y cada establecimiento desarrolla en función de estos objetivos. Junto con esto, resulta necesario señalar que los OFT que se mencionan explícitamente en este programa de ningún modo deben entenderse como los únicos que pueden ser pertinentes al momento de trabajar en este sector. Cada docente y cada establecimiento puede considerar otros objetivos en función de su proyecto educativo, del entorno social en el que éste se inserta, las características de los estudiantes, entre otros antecedentes relevantes que merezcan ser tomados en consideración. La presencia de los OFT en los programas de estudio se expresa en: - Los Aprendizajes Esperados e indicadores de cada unidad, que incluyen aprendizajes relacionados con el desarrollo de los OFT. Estos aprendizajes aparecen destacados en el cuadro sinóptico del año y en los cuadros de aprendizajes e indicadores de cada unidad. - Las experiencias de aprendizaje que se presentan para cada unidad o semestre. En el desarrollo de cada una de estas experiencias se señalan oportunidades para desarrollar los OFT. Por medio de esto se busca visibilizar que la promoción de los OFT puede estar directamente ligada al trabajo orientado a lograr los Aprendizajes Esperados del sector, y las diversas oportunidades que el programa ofrece para desarrollarlos. 2. Cómo se evalúan los OFT? En tanto los OFT constituyen objetivos fundamentales definidos en el currículum nacional, el logro de los mismos debería ser evaluado por los docentes. Esta evaluación debería orientarse a obtener información sobre el grado de desarrollo de los estudiantes en relación a los OFT, para seguir apoyando el desarrollo de los mismos. Cabe resaltar que los indicadores presentados para apoyar la observación de los Aprendizajes Esperados referidos a los OFT, se entregan a modo de ejemplos de comportamientos observables que ilustran el desarrollo del Aprendizaje Esperado. No son exclusivos ni exhaustivos, sino que buscan ofrecer algunos referentes para la observación y monitoreo de estos aprendizajes por parte de los y las docentes. La forma de evaluar los OFT y la decisión si ellos serán objetos de calificación o no, depende del OFT del que se trate, ya que estos objetivos son diversos en términos de sus características, y en consecuencia, la evaluación debe ajustarse a éstas. Mientras algunos 25

26 corresponden a habilidades, otros se vinculan con el desarrollo de los sujetos y con su formación valórica. Lo anterior implica que los instrumentos utilizados para evaluar los OFT deben ser diversos y adecuados al OFT que se busca observar. Por ejemplo, la observación cotidiana de las formas de conducta y de interacción de los estudiantes puede resultar una modalidad apropiada para evaluar el OFT ejercer de modo responsable grados crecientes de libertad y autonomía personal ( ). En tanto, otros objetivos pueden requerir también conocer el discurso o las opiniones de los estudiantes. Tal es el caso, por ejemplo, de OFT tales como apreciar la importancia de desarrollar relaciones igualitarias entre hombres y mujeres ( ). En este caso puede ser útil que el docente conozca en qué medida los alumnos y alumnas valoran las contribuciones que tanto hombres como mujeres realizan en distintos espacios de la vida social. Si bien todos los OFT se pueden evaluar, no todos ellos pueden ser calificados en atención a sus distintas características. A modo de ejemplo, aquellos OFT relacionados con el conocimiento de sí mismo y la autoestima no son calificables, básicamente por el hecho que asignar una nota sobre estos aspectos es cuestionable en sí mismo. Se puede esperar que los estudiantes logren determinado nivel de autoconocimiento y autoestima, pero no se puede exigir determinado nivel de desarrollo en estas dimensiones. En tanto, los OFT referidos a las habilidades de pensamiento, o bien el referido a comprender y valorar la perseverancia, el rigor y el cumplimiento ( ) aluden a aspectos que caben dentro de lo que se les puede exigir a los estudiantes al momento de asignar una calificación. La definición e implementación de los instrumentos de evaluación, así como las decisiones respecto de la calificación de los OFT, son aspectos que en última instancia dependen de las opciones adoptadas al interior de cada establecimiento. Específicamente, estos son aspectos que dependerán de las disposiciones que cada establecimiento defina en su reglamento de evaluación. 3. Qué OFT se integran en el presente programa? En la formación integral matemática no basta solo con focalizar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el desarrollo de habilidades de orden superior asociadas tradicionalmente al razonamiento matemático. Es necesario observar permanentemente el progreso de habilidades y actitudes que juegan un rol igualmente importante en la formación de un pensamiento matemático, tales como la capacidad para trabajar en equipo, la iniciativa personal en el planteamiento de soluciones, la perseverancia, responsabilidad y entusiasmo en el cumplimiento de las tareas, y el interés por el conocimiento. En este contexto, este sector contribuye a la formación de individuos con capacidad para integrarse proactivamente a una sociedad globalizada, demandante y con una creciente explosión tecnológica. Es así como la matemática en la escuela, se transforma en un instrumento que no solo contribuye a desarrollar capacidades propias de la disciplina, sino también, al igual que las otras áreas del conocimiento, realiza su aporte al desarrollo de habilidades y actitudes relevantes para la vida de todo hombre y mujer. Los OFT que tienen mayor presencia en cada unidad se han destacado al interior del programa, siendo los OFT relacionados con el interés por conocer la realidad y el trabajo en equipo los que encuentran un lugar privilegiado en este programa. No obstante lo anterior, el o la docente puede encontrar muchas más oportunidades para su 26

27 desarrollo a partir de los contextos y situaciones matemáticas que se presenten a los alumnos y alumnas. 27

28 VISIÓN GLOBAL DEL AÑO ESCOLAR OBJETIVOS FUNDAMENTALES 1. Establecer estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Utilización estrategias de cálculo que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinar y aplicar sus propiedades y extenderlas a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 3. Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y representar diversas situaciones a través de ellas. 4. Identificar variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional y resolver problemas en diversos contextos que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad. 5. Caracterizar y efectuar transformaciones isométricas de figuras geométricas planas, reconocer algunas de sus propiedades e identificar situaciones en contextos diversos que corresponden a aplicaciones de dichas transformaciones. 6. Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos, utilizar los conceptos de perímetro de una circunferencia, área del círculo y de la superficie del cilindro y cono, volumen de cilindros y conos rectos, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Interpretar información a partir de tablas de frecuencia, cuyos datos están agrupados en intervalos y utilizar este tipo de representación para organizar datos provenientes de diversas fuentes. 8. Interpretar y producir información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 9. Comprender el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias, y utilizar medidas de tendencia central para analizar el comportamiento de una muestra de datos y argumentar acerca de la información que estas medidas entregan. 10. Determinar teóricamente probabilidades de ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y contrastarlas con resultados experimentales. 11. Emplear formas simples de modelamiento matemático, verificar proposiciones simples, para casos particulares, y aplicar habilidades básicas del proceso de resolución de problemas en contextos diversos y significativos, evaluar la validez de los resultados obtenidos y el empleo de dichos resultados para fundamentar opiniones y tomar decisiones. 28

29 CONTENIDOS MÍNIMOS OBLIGATORIOS: Números: 1. Empleo de procedimientos de cálculo para multiplicar un número natural por un número entero negativo y extensión de dichos procedimientos a la multiplicación de números enteros. 2. Extensión del algoritmo de la división de los números naturales a la división de números enteros. Discusión y aplicación de dicho algoritmo. 3. Utilización de estrategias de cálculo mental y escrito que implican el uso de potencias de base entera y exponente natural, determinación y aplicación de propiedades relativas a la multiplicación y división de potencias que tienen base entera y exponente natural, y extensión a potencias de base fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 4. Resolución de problemas en contextos diversos y significativos que involucran las 4 operaciones aritméticas con números enteros, potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural, enfatizando en el análisis crítico de los procedimientos de resolución y de los resultados obtenidos. Álgebra: 5. Planteamiento de ecuaciones que representan la relación entre dos variables en situaciones o fenómenos de la vida cotidiana y análisis del comportamiento de dichos fenómenos a través de tablas y gráficos. 6. Reconocimiento de funciones en diversos contextos, distinción entre variables dependientes e independientes en ellas e identificación de sus elementos constituyentes: dominio, recorrido, uso e interpretación de la notación de funciones. 7. Reconocimiento y representación como una función de las relaciones de proporcionalidad directa e inversa entre dos variables, en contextos significativos. Comparación con variables relacionadas en forma no proporcional y argumentación acerca de la diferencia con el caso proporcional. 8. Análisis de diversas situaciones que representan tanto magnitudes proporcionales como no proporcionales, mediante el uso de software gráfico. 9. Resolución de problemas en diversos contextos que implican el uso de la relación de proporcionalidad como modelo matemático. Geometría: 10. Realización de traslaciones, reflexiones y rotaciones de figuras geométricas planas a través de construcciones con regla y compás y empleando un procesador geométrico, discusión acerca de las invariantes que se generan al realizar estas transformaciones. 11. Construcción de teselaciones regulares y semirregulares y argumentación acerca de las transformaciones isométricas utilizadas en dichas teselaciones. 12. Caracterización de la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y su representación mediante lenguaje conjuntista e identificación de sus elementos: arco, cuerda, secante y tangente. 13. Definición del número pi y su relación con el diámetro y la longitud de una circunferencia. Cálculo de la longitud de una circunferencia y estimación del área del círculo por medio de polígonos regulares inscritos en la circunferencia. 14. Formulación de conjeturas relacionadas con el cálculo del volumen del cilindro y cono; cálculo del área de la superficie del cilindro y cono, y verificación, en casos particulares, mediante el uso de un procesador geométrico. 15. Resolución de problemas en situaciones significativas que involucran el cálculo de la longitud de la circunferencia, el área del círculo, la superficie del cilindro, cono y pirámides y el volumen del cilindro y cono. Datos y Azar: 16. Resolución de problemas en los cuales es necesario interpretar información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, tomados de diversas fuentes o recolectados mediante experimentos o encuestas. 17. Construcción de tablas de frecuencia con datos agrupados en intervalos, en forma manual y mediante herramientas tecnológicas, a partir de diversos contextos y determinación de la media aritmética y moda en estos casos. 18. Discusión respecto de la importancia de tomar muestras al azar en algunos experimentos aleatorios para inferir sobre las características de poblaciones, ejemplificación de casos. 19. Análisis del comportamiento de una muestra de datos, en diversos contextos, usando medidas de tendencia central y argumentación acerca de la información que ellas entregan. 20. Análisis de ejemplos en diversas situaciones donde los resultados son equiprobables, a partir de la simulación de experimentos aleatorios mediante el uso de herramientas tecnológicas. 21. Identificación del conjunto de los resultados posibles en experimentos aleatorios simples (espacio muestral) y de los eventos o sucesos como subconjuntos de aquél, uso del principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de los sucesos o eventos. 22. Asignación en forma teórica de la probabilidad de ocurrencia de un evento en un experimento aleatorio, con un número finito de resultados posibles y equiprobables, usando el modelo de Laplace. 29

30 APRENDIZAJES ESPERADOS POR SEMESTRE Y UNIDAD Cuadro Sinóptico: SEMESTRE 1 UNIDAD 1: Números 1. Establece estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Resuelve problemas que involucre las operaciones básicas con números enteros. 3. Utiliza estrategias de cálculo que implica el uso de potencias de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades y extiende dichas propiedades a las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural. 4. Resuelve problemas que involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 5. Analiza los procedimientos utilizados en la resolución de problemas y los resultados obtenidos. UNIDAD 2: Geometría 1. Caracteriza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas y las reconoce en diversas situaciones y contextos. 2. Realiza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla y compás o procesadores geométricos, y argumenta acerca de las invariables que se producen al realizar estas transformaciones. 3. Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semiregulares. 4. Caracteriza la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y utiliza el concepto de perímetro de una circunferencia en la resolución de problemas en contextos diversos. 5. Calcula el área del círculo en contextos diversos. 6. Utiliza los conceptos de superficie del cilindro, cono y pirámide, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Utiliza los conceptos de volumen del cilindro y cono en la resolución de problemas en contextos diversos. OFT intencionados en la unidad 6. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. 8. Muestra actitud de perseverancia, rigor en la resolución de problemas. 9. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. 30

31 SEMESTRE 2 UNIDAD 1: UNIDAD 2: Datos y Azar Álgebra 1. Interpreta información a partir de tablas 1. Reconoce funciones en diversos de frecuencia, cuyos datos están agrupados contextos, identifica sus elementos y en intervalos y utiliza este tipo de representa diversas situaciones a través de representación para organizar datos ellas. provenientes de diversas fuentes. 2. Identifica variables relacionadas en forma proporcional y en forma no proporcional. 2. Interpreta y produce información, en contextos diversos, mediante el uso de medidas de tendencia central, ampliando al caso de datos agrupados en intervalos. 3. Comprende el concepto de aleatoriedad en el uso de muestras y su importancia en la realización de inferencias. 4. Asigna probabilidades teóricamente a la ocurrencia de eventos, en experimentos aleatorios con resultados finitos y equiprobables, y las contrasta con resultados experimentales. 3. Resuelve problemas en diversos contextos que impliquen proporcionalidad directa e inversa. 4. Plantea ecuaciones que representan la relación entre dos variables en diversos contextos OFT intencionados en la unidad 5. Muestra perseverancia, rigor, flexibilidad y originalidad al resolver problemas matemáticos. 6. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. 5. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. 31

32 SEMESTRE 1 32

33 UNIDAD 1: Números Esta unidad brinda a los y las estudiantes la posibilidad de aplicar sus conocimientos sobre multiplicación y división de números naturales y sobre adiciones y sustracciones de números enteros, a la multiplicación y división de enteros en casos particulares. Por una parte, tendrán la oportunidad de generar y aplicar las reglas de los signos y, por otra parte, de aplicar las propiedades generadas en la resolución de problemas que involucran operaciones con enteros. Es la ocasión para que generalicen los resultados obtenidos, realicen adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones donde intervengan variables enteras, tales como 2 ( a) + 3 ( ( 2a)), y resuelvan problemas donde estén involucradas variables enteras. En esta unidad se extiende el trabajo con potencias de bases naturales, fraccionarias y decimales positivas, a bases enteras con exponentes naturales. Para lograr este propósito, es recomendable diseñar actividades orientadas a la verificación de las propiedades de estas potencias -en casos particulares-, a estimaciones de ellas, y a la resolución de problemas en contextos numéricos donde ellas intervienen. Se presenta la oportunidad de realizar actividades que contemplen un trabajo matemático con estas potencias, específicamente, en la determinación del valor en n general de expresiones del tipo ( 1), la aplicación de este conocimiento para manipular n potencias del tipo ( a) -con a perteneciente a los naturales-, y la generalización de resultados. Se espera que, además, los alumnos y alumnos aprendan a multiplicar potencias de base entera y n n exponente natural. Es decir, multiplicaciones del tipo ( a ) ( b), con a, b, n en los naturales; multiplicaciones del tipo n ( a ) ( b) m ; y del tipo n ( a ) ( a) m, aplicando el conocimiento que n tienen respecto de las potencias de forma ( a) trabajadas anteriormente y generalizando los a n resultados obtenidos. También, trabajarán con expresiones de la forma ( ) (con a, b en los b a n c n a n c m naturales), y divisiones de la forma ( ) ( ), de la forma ( ) ( ), y de la b d b d a n a m forma ( ) ( ) (con a, b, n en los naturales). Por último, trabajarán en casos particulares las b b n m potencias de la forma (( a ) ), con a, n en los naturales, y generalizarán sus resultados. Respecto a la evaluación, es recomendable ir monitoreando el logro de los aprendizajes esperados a medida que se desarrolla la unidad y no sólo al final de ella. De este modo el profesor o profesora podrá conocer si los alumnos y alumnas están aprendiendo los conceptos centrales y a su vez podrá diseñar estrategias para trabajar con la diversidad de niveles de aprendizaje que conviven en el aula. Es importante que estas evaluaciones midan tanto habilidades como conocimientos, que contengan preguntas interesantes y desafiantes pero que a su vez sean pertinentes para su edad, y propongan problemas que demanden la elaboración de estrategias y la utilización de procedimientos por parte de los estudiantes. Es relevante considerar que los problemas en matemáticas no siempre tienen respuesta única y que no solo importa el resultado final. Formular preguntas de este tipo permitirá también al docente observar los distintos niveles de desempeño que muestren los alumnos y alumnas, y diseñar estrategias para ayudarlos a avanzar en su aprendizaje. 33

34 Aprendizajes Esperados e Indicadores Aprendizajes Esperados 1. Establece estrategias para calcular multiplicaciones y divisiones de números enteros. 2. Resuelve problemas que involucre las operaciones básicas con números enteros. 3. Utiliza estrategias de cálculo que implica el uso de potencias de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades y extiende dichas propiedades a las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural. 4. Resuelve problemas que involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. 5. Analiza los procedimientos utilizados en la resolución de problemas y los resultados obtenidos. 6. Trabajan en equipo y muestran iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. Indicadores Argumenta acerca de la validez de las propiedades de la multiplicación y división en el conjunto de los números enteros. Establece estrategias para resolver divisiones en los números enteros a partir de la relación entre la multiplicación y división. Utiliza las propiedades de la multiplicación en el conjunto de los números enteros para resolver problemas asociados a situaciones multiplicativas. Aplica correctamente la regla de los signos y la prioridad de las operaciones en la resolución de problemas de operatoria combinada con números enteros. Expresa como potencia productos en que los factores son potencias de base entera y exponente natural. Estima mentalmente potencias de base entera de un digito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo: estima (-7) 4 como obteniendo un número menor a Argumenta acerca de la validez de las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. Aplica las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural en la resolución de problemas que involucra este tipo de potencias. Conocidas las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural, determina las propiedades de las potencias de base fraccionaria, decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos cotidianos que involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos matemáticos que involucra potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Verifica los resultados obtenidos en función del contexto del problema. Analiza los procedimientos utilizados en términos de los resultados obtenidos. Participa de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. 34

35 Ejemplo de experiencia de aprendizaje: Esta experiencia de aprendizaje se centra en las propiedades de las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural -vistas en 7º básico- y las potencias de base entera y exponente natural. Se espera que los y las estudiantes determinen propiedades, realicen cálculos mentales y escritos utilizando estrategias relativas a estas potencias, y resuelvan problemas. Las propiedades de potencias de base entera y exponente natural que determinan los y las estudiantes son la multiplicación de potencias de igual base, la multiplicación de potencias de base distinta y de igual exponente, potencias elevadas a potencias naturales, la división de potencias de igual base y la división de potencias de base distinta y de igual exponente. A través de esta experiencia se proponen una serie de actividades que facilitan la determinación de estas propiedades. En estas actividades los alumnos y alumnas utilizan procedimientos de cálculo relativos a la multiplicación de números enteros para determinar la relación entre números enteros negativos y -1, y los signos de las potencias de base -1 y exponente natural, generalizando estos resultados a potencias de base entera negativa y exponente natural. Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras experiencias de aprendizaje. El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de cada curso. Tiempo estimado: 6 horas pedagógicas. Recursos: calculadora. Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia: Aprendizajes esperados Indicadores Utiliza estrategias de cálculo que implica el uso de potencias Expresa como potencia productos en que los factores son potencias de base entera y exponente natural. de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades y extiende dichas propiedades a las potencias de Estima mentalmente potencias de base entera de un digito y exponente natural menor de 5. Por ejemplo: estima (-7) 4 como obteniendo un número menor a base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente Argumenta acerca de la validez de las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. natural. Aplica las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural en la resolución de problemas que involucran este tipo de potencias. Conocidas las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural, determina las propiedades de las potencias de base fraccionaria, decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas que Resuelve problemas en contextos cotidianos que 35

36 involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. involucre potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. Resuelve problemas en contextos matemáticos que involucra potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva y exponente natural. CLASE 1: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora pregunta a sus estudiantes qué recuerdan de las potencias, explicándoles que esa materia la trataron en 6º y 7º básico. Pregunta por ejemplo, qué recuerdan sobre sus propiedades y de las aplicaciones que realizaron; también les pregunta por la utilidad que ellas tienen en la vida cotidiana y en las ciencias y tecnología. El o la docente puede utilizar algunos de los ejemplos dados por los y las estudiantes para profundizar en la utilidad de las potencias en la vida cotidiana. Pide a los alumnos y alumnas que realicen cálculos con cantidades grandes en la calculadora y que verifiquen que los resultados que ella arroja están dados en términos de potencias. Luego, explica la utilidad que tiene el cálculo mental y escrito, por ejemplo, cuando se necesita determinar el monto de una compra en un supermercado o verificar el cálculo hecho con una calculadora. Señala que trabajarán el cálculo mental y escrito con potencias y que esto es fundamental a la hora de trabajar con números grandes o pequeños, positivos o negativos, sobre todo aquellos que tienen una cantidad considerable de ceros. Por último, recuerda a los y las estudiantes que los números de la base de las potencias, tratadas en los años anteriores, eran naturales, fraccionarios positivos y decimales positivos, y que el número del exponente era número natural. En esta ocasión trabajarán con potencias de base entera negativa y de exponente natural, y utilizarán lo que aprendan sobre las propiedades de estas potencias en los cálculos mentales y escritos que realicen. DESARROLLO: El o la docente repasa la multiplicación en los números enteros, específicamente, la multiplicación entre enteros negativos y entre enteros positivos y negativos. Actividad 1: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que, usando las propiedades de la multiplicación de enteros, descompongan de manera multiplicativa enteros negativos en dos factores, de manera que uno de sus factores sea -1, por ejemplo, que -3 lo expresen en la forma: 3 = 1 3 Observaciones al docente Se aconseja al docente, en conjunto con sus estudiantes, generalizar resultados de este tipo, de manera que se comprenda que si a es un número entero negativo, entonces a = 1 a, y que este resultado se da para todo tipo de números negativos. 36

37 Actividad 2: A continuación, el o la docente propone que trabajen con potencias de base -1 y exponente natural, y que determinen el signo de ellas cuando el exponente es par y cuando el exponente es impar. Observaciones al docente Se aconseja explicar la importancia que tiene el trabajar con paréntesis cuando se opera con a n y a números negativos, y enfatizar las diferencias que presentan las expresiones ( ) n Actividad 3: El profesor o profesora solicita que conjeturen acerca del signo de las potencias de base entera negativa y exponente natural, y que establezcan resultados para exponentes pares y exponentes impares. Por ejemplo, que conjeturen respecto al signo de la potencia ( 5) 7 o que conjeturen respecto al signo de la potencia ( ) 10 presenten sus resultados. 5, y que Observaciones al docente Se sugiere al docente establecer con sus estudiantes resultados acerca de las potencias ( a )n, caracterizando n como n = 2m, cuando n es par, y como n = 2 m + 1, cuando n es impar. Actividad 4: El o la docente trabaja con sus estudiantes multiplicaciones de potencias de base -1 y exponente natural con el objetivo de establecer propiedades respecto de esta operación. El profesor o profesora repasa las propiedades establecidas en 7º año básico acerca de la n operatoria de potencias de base y exponente natural: a a m, a n : a m, n ( a ) m, ( a b ) n. Solicita a los alumnos y alumnas que apliquen estos resultados y los de potencias de base -1 y exponentes naturales, para establecer estas propiedades, en el contexto de bases enteras negativas, por ejemplo, en ( 4) 7 ( 4 ) 9, en ( 7) 8 : ( 7 ) 3, 4, y en ( 2 ( 6) ) 9. 5 en ( ) 7 Finalmente, el o la docente entrega a sus estudiantes un listado de ejercicios acerca de multiplicaciones, divisiones con potencias de potencias de base entera negativa y exponente natural y potencias de multiplicaciones de números enteros negativos distintos de exponente natural, y les solicita que los resuelvan aplicando las propiedades generadas. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la confianza para resolver problemas y desarrollar la perseverancia y rigurosidad en el trabajo como una contribución a los OFT. Observaciones al docente: evaluación El profesor o profesora puede proponer a los y las estudiantes el siguiente ejercicio para monitorear la comprensión de los conceptos en estudio: ( 5) 7 + ( 5) 7 + ( 5) 7 + ( 5) 7 + ( 5 ) 7 37

38 CIERRE: El o la docente finaliza la clase, preguntando qué dificultades tuvieron al trabajar con potencias de base entera y exponente natural. Por ejemplo, si la aplicación de conocimiento generado para deducir propiedades en operaciones con este tipo de potencias les produce dificultades y cuáles. También pregunta por las dudas que tienen después del trabajo realizado. El o la docente hace un resumen de los resultados obtenidos y resuelve las dudas planteadas en conjunto con los alumnos y alumnas. Informa a sus estudiantes que en la próxima clase, se realizará cálculo mental y ejercicios adicionales de cálculo escrito, los que podrán resolverse utilizando estrategias que implican el uso de potencias del tipo trabajado. CLASE 2: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora resume los resultados obtenidos en la clase anterior, repasa las dudas que presentaron sus estudiantes, y resuelve ejercicios adicionales relativos a las propiedades generadas en potencias de base entera negativa y exponente natural. Explica a sus alumnos y alumnas que en esta clase utilizarán estrategias relativas al uso de las potencias que han trabajado hasta el momento, es decir, de base entera y exponente natural y de bases fraccionaria y decimal positiva, para realizar cálculo mental y escrito. DESARROLLO: El profesor o profesora presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo mental para multiplicar números naturales, por ejemplo, las que tienen más de un cero. Para este tipo de multiplicaciones propone a sus estudiantes que transformen estos números a potencias y apliquen la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. Explica a los alumnos y alumnas que para multiplicar números naturales es conveniente la descomposición en factores primos de esos número. Por ejemplo, que en la multiplicación de 9 por 54, 9 se exprese en la forma 2 3 y 54 en la forma 3 3 2, y que se aplique propiedades de potencias. Observaciones al docente Se sugiere la memorización de algunas potencias de base 2, 3 y 5, y cuadrados de algunos números de dos cifras, por ejemplo, potencias de la forma n 2, donde 2 n 10, de la forma n n 3, donde 2 n 6, y de la forma 5, donde 2 n 4, y cuadrados de la forma 11 n 20 2 n, donde El profesor o profesora presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo mental para multiplicar números enteros, por ejemplo, aquellos que tienen más de un cero: por Para este tipo de multiplicaciones les propone que transformen estos números a potencias, y que apliquen la propiedad de multiplicación de potencias de igual base. Sugiere además que al momento de multiplicar números enteros es conveniente la descomposición en factores primos de esos números, por ejemplo, en la multiplicación 38

39 2 de - 25 por 25, el número -25 se exprese en la forma ( 1) 5 potencias. y que se aplique El profesor o profesora, pregunta a sus estudiantes qué tipo de multiplicaciones les gustaría resolver mentalmente, y en los casos en que sea pertinente, les muestra estrategias para que las utilicen en esos cálculos. El o la docente presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo mental para la división ( 2) 125 de enteros que implican potencias. Por ejemplo, en la división, les sugiere expresar 125 en términos de potencias y descomponer 100 como ; esto implica ( 1) 2 5 que la división pedida se transforma en mentalmente , expresión que es fácil de resolver Observaciones al docente Se sugiere al docente presentar ejercicios de cálculo mental que previamente los haya trabajado, pues en ese proceso se dará cuenta de lo que desea medir, y podrá modificar, en caso de ser necesario, el cálculo que inicialmente tenía pensado preguntar, para alcanzar el objetivo propuesto. El profesor o profesora presenta a sus estudiantes estrategias de cálculo escrito para que sean utilizadas por ellos. Por ejemplo, para la multiplicación de potencias con bases enteras negativas sugiere la descomposición en factores primos y su expresión en la forma (-1) por la factorización; luego, aplicar propiedades. Por ejemplo, para multiplicar ( 15) 3 ( 12) 4, el o la docente sugiere expresar la multiplicación en la siguiente forma: ( 1) 3 5 ( 1) 3 4 y luego aplicar las propiedades adecuadas. El profesor o profesora muestra a sus estudiantes estrategias de cálculo escrito para la división de enteros que implican potencias. Por ejemplo, en la división 3 3 ( 1.024) 625 ( 729) 512, el o la docente sugiere expresar 1.024, 625, 729 y 512 en 5 ( 1.000) términos de potencias, y descomponer en factores primos, explicándoles que estas transformaciones facilitarán el cálculo escrito. El o la docente pregunta a sus estudiantes qué tipo de divisiones entre enteros les gustaría resolver, y les muestra estrategias para que las utilicen en esos cálculos. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los estudiantes la confianza para resolver problemas, la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así como el desarrollo de la iniciativa personal, la creatividad, e intencionar el trabajo en equipo y el respeto a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT Observaciones al docente: evaluación El profesor o profesora puede proponer a los y las estudiantes el siguiente ejercicio para monitorear la comprensión de los conceptos en estudio: expresar en la forma x y z y encontrar los valores de estas incógnitas. 39

40 CIERRE: El profesor o profesora hace el cierre de la clase, preguntando a sus estudiantes las dificultades que se presentan cuando calculan mentalmente expresiones que implican potencias y los problemas que tienen en el cálculo escrito de expresiones aplicando estrategias relativas a las potencias. El o la docente hace un resumen de las actividades realizadas en esta experiencia de aprendizaje y profundiza aquellos aspectos deficitarios que presentan sus alumnos y alumnas en el cálculo mental y escrito. Puede presentar algunos problemas relativos a potencias a modo de desafíos. CLASE 3: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora resume los resultados obtenidos en la clase anterior y pregunta a los estudiantes por las dudas que tienen sobre el cálculo y utilización de las propiedades de las potencias vistas en la clase anterior. Explica a sus alumnos y alumnas que en esta clase recordarán conocimientos aprendidos en 7º básico sobre las potencias de base fraccionaria positiva, decimal positiva y exponente natural y aplicarán sus propiedades. DESARROLLO: Actividad 1: El profesor o profesora propone algunas potencias de base fraccionaria positiva donde los y las estudiantes deben realizar multiplicaciones y divisiones de potencias y recordar y / o proponer la propiedad que se utiliza en dicho cálculo. Por ejemplo: : Actividad 2: El profesor o profesora propone algunas potencias de base decimal positiva donde los y las estudiantes deben realizar multiplicaciones y divisiones de potencias y recordar y / o proponer la propiedad que se utiliza en dicho cálculo. Por ejemplo: 2 2 0,5 : 0,8 ( ) 2 0 ( 0,4) 40

41 Actividad 3: El profesor o profesora propone resolver problemas donde los y las estudiantes deban aplicar los conocimientos que tienen sobre las potencias estudiadas y sus propiedades. Observaciones al docente: El profesor o profesora puede, además, proponer que los alumnos y alumnas resuelvan ejercicios de potencias del texto escolar. Si bien esta potencias fueron trabajadas el año anterior, se sugiere al profesor o profesora estar atento a las dificultades que se puedan presentar en la resolución de estos ejercicios, ya que tal vez los y las estudiantes no recuerden cómo multiplicar o dividir fracciones y decimales o hayan olvidado las propiedades de dichas potencias. En estos casos será necesario reforzar los aspectos que presenten mayores problemas. CIERRE: El profesor o profesora hace el cierre de la clase, preguntando a sus estudiantes las dificultades que se presentan cuando calculan expresiones que implican potencias. Realiza un resumen de las actividades realizadas en esta experiencia de aprendizaje y profundiza aquellos aspectos más débiles en el cálculo mental y escrito. Finalmente, presenta algunos problemas relativos a potencias a modo de desafíos. 41

42 Sugerencia para la evaluación: Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea: Aprendizajes esperados Utiliza estrategias de cálculo que implica el uso de potencias de base entera y exponente natural, verifica y aplica sus propiedades. Indicadores Expresa como potencia productos en que los factores son potencias de base entera y exponente natural. Aplica las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural en la resolución de problemas que involucran este tipo de potencias. Descripción de la tarea o actividad de evaluación: En los dos ítems que se proponen se solicita a los y las estudiantes determinar el valor numérico de expresiones que contienen potencias con exponentes naturales y aplicar propiedades en el cálculo de expresiones que contienen potencias de base entera y exponente natural. Los ítems propuestos pueden ser usados por el o la docente en la construcción de una evaluación sumativa o como evaluación formativa durante la experiencia de aprendizaje. Tarea de evaluación: 2n 1 1. Calcula el valor numérico de la expresión ( 2) n, sabiendo que n puede tomar sólo valores naturales. 2n+ 1, para distintos valores de n 2. Escribe en términos de potencias: la diferencia entre la octava parte de 2 y la mitad de 2 n 1. Si la expresión anterior se representa por A, calcula el valor numérico de 3 ( A 1) para distintos valores numéricos de n, considerando que n puede tomar sólo valores naturales. Pauta de Evaluación Para evaluar el trabajo de los alumnos y alumnas, el o la docente puede utilizar los siguientes criterios de evaluación: Logrado Logrado con reparos Descripción Determina el valor numérico aplicando correctamente las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural así como la información dada en los enunciados de los problemas. Determina un valor numérico aplicando las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. Demuestra falta de comprensión de la información dada en el enunciado del problema lo que le impide el uso correcto de ésta. 42

43 No logrado No logra obtener un valor numérico de las expresiones, demuestra falta de comprensión de las propiedades de las potencias de base entera y exponente natural. Retroalimentación Es importante que la evaluación sea considerada como un proceso esencial en la promoción del aprendizaje. Recoger información sobre el aprendizaje durante la unidad y no solo al final, permitirá al docente hacer los ajustes necesarios en su planificación y orientar a los estudiantes respecto a aquellos aspectos que deben reforzar. Para ello, es muy recomendable no solo poner atención en los resultados, sino también en las estrategias y razonamientos aplicados por los y las estudiantes y su actitud para aproximarse al aprendizaje matemático. El proceso de retroalimentación será clave para motivarlos a avanzar en su aprendizaje y ayudarlos a reflexionar sobre qué y cómo aprenden en este sector. Se recomienda dialogar permanentemente con los y las estudiantes a fin de promover una reflexión, individual y colectiva, sobre los conocimientos, formas de razonamiento y estrategias que los condujeron a los resultados, los errores frecuentes, entre otros. Esto implica, cambiar el foco de la evaluación -que tradicionalmente ha estado puesto en los resultados finales y la calificación- a la observación de los procesos y a los logros en el aprendizaje. La retroalimentación puede realizarse de diversas maneras. Por ejemplo, el o la docente puede entregar a cada alumno o alumna, observaciones con sugerencias que lleven a la reflexión y su posterior mejoramiento, o bien, puede entregar el documento corregido y promover que los y las estudiantes compartan con los compañeros sus resultados, resuelvan dudas y revisen las diversas estrategias utilizadas en la resolución de las situaciones planteadas. El reconocimiento y análisis del error y de sus posibles soluciones por parte de los estudiantes ofrece también una importante oportunidad para aclarar dudas y reflexionar sobre el aprendizaje esperado. En general, los errores que los estudiantes cometen suelen ser diversos, por lo que esta estrategia puede además aportar al respeto de la diversidad al interior del aula. Independientemente del procedimiento que se utilice para registrar las respuestas, la retroalimentación, tanto para el alumno como para la práctica docente, debe estar centrada en los aprendizajes e indicadores considerados en la evaluación así como en las racionalidades y elementos afectivos que hay detrás de cada respuesta dada por los evaluados. Es conveniente que los y las estudiantes conozcan con anticipación qué se va evaluar, y que la retroalimentación entregue información en relación a dichos aprendizajes. Se sugiere iniciar como estrategia de retroalimentación para la tarea aquí sugerida, realizar un intercambio de los trabajos entre compañeros el proceso de retroalimentación promoviendo un intercambio y análisis de los resultados entre todos los estudiantes. 43

44 El o la docente puede incentivar la metacognición mediante preguntas del tipo qué sabes de las potencias?, crees que podrás resolver el ejercicio propuesto con lo que sabes?, podrías adelantar un resultado?, qué conocimientos empleaste en la formulación de tu conjetura?, cómo calificarías los problemas fáciles difíciles o medianamente difíciles? En el caso de las potencias de base entera, el tema de los signos de la base requiere un tratamiento especial, se debe promover que los y las estudiantes establezcan la relación entre el signo del resultado de una potencia de base entera y exponente natural. Esto se puede realizar a partir de un análisis de los errores cometidos por los o las estudiantes en el primer ejercicio, y una reflexión sobre el caso de menos uno elevado a un exponente natural. 44

45 UNIDAD 2: Geometría En esta unidad los alumnos y alumnas estudiarán las transformaciones isométricas, el cálculo de perímetros y áreas de circunferencias y círculos, y los conceptos de superficie y volumen de cilindros y conos. Los aprendizajes de esta unidad requieren de aprendizajes que los y las estudiantes han construido en cursos anteriores, tales como lo que aprendieron sobre ángulos en sexto básico y sobre construcciones geométricas en séptimo básico. Ahora tendrán que aplicar este conocimiento, junto con lo que aprenderán sobre transformaciones isométricas, al cubrimiento de superficies planas con polígonos regulares. Es importante diseñar actividades orientadas a la caracterización de transformaciones isométricas en el plano y al reconocimiento de estas transformaciones en el mundo natural, en expresiones artísticas y en ámbitos científicos y tecnológicos. Esto les permitirá constatar que los seres humanos y animales buscan la simetría en parte de las acciones que emprenden en su vida y que ésta implica la optimización de recursos. Los alumnos y alumnas deberán realizar traslaciones de figuras respecto a un vector dado, rotaciones de figuras respecto a un punto y en un ángulo dado, y reflexiones de figuras respecto a un eje de simetría dado, utilizando una regla, compás y/o procesadores geométricos. Es relevante que los y las estudiantes tengan oportunidad de indagar acerca de los cambios que se producen en las figuras trasladadas, rotadas o reflejadas, y las propiedades que permanecen invariables en las figuras al realizar. Esta es, además, la ocasión que tienen los alumnos y alumnas de establecer un nexo entre congruencia y transformaciones isométricas, y caracterizar la congruencia en términos de estas transformaciones. En la realización de teselaciones regulares y semiregulares -cuyas tesela o baldosas son polígonos regulares de tres, cuatro, seis, ocho y doce lados- se recomienda diseñar actividades centradas en las condiciones que deben cumplir los polígonos regulares que participen en una teselación, en el descubrimiento de aquello que verifica la condición de teselación, y en la determinación de todas las teselaciones posibles. Por ejemplo, la construcción -con regla y compás o un procesador geométrico- de polígonos que participan en cubrimientos del plano o teselaciones. Esta es una oportunidad para que los y las estudiantes descubran la forma de optimizar la realización de teselaciones, indagando acerca de la utilidad que tiene la aplicación de transformaciones isométricas en este proceso y acerca de la presencia de estas transformaciones en las teselaciones regulares y semiregulares. Los y las estudiantes trabajarán también el concepto de lugar geométrico aplicado a la caracterización de la circunferencia y el círculo- y el concepto de número pi en la resolución de problemas que implican determinar el perímetro de la circunferencia. Asimismo, deberán medir la superficie del círculo utilizando fórmulas para el cálculo de su área, y de resolver situaciones en contextos diversos que implican este cálculo. Se profundiza en esta unidad el conocimiento que los estudiantes ya tienen sobre cilindros, conos y pirámides, a través de la determinación de la medida de sus superficies y de la medida del espacio que estas figuras ocupan. Para ello, se recomienda diseñar actividades que impliquen utilizar fórmulas para calcular áreas y resolver problemas en situaciones diversas. En cuanto a la determinación del volumen del cono y del cilindro, se propone aquí el uso de formulas y su aplicación en la resolución de problemas. 45

46 Aprendizajes Esperados e Indicadores Aprendizajes Esperados 1. Caracteriza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas y las reconoce en diversas situaciones y contextos. 2. Realiza transformaciones isométricas de figuras geométricas planas utilizando regla y compás o procesadores geométricos, y argumenta acerca de las invariables que se producen al realizar estas transformaciones. 3. Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semiregulares. 4. Caracteriza la circunferencia y el círculo como lugares geométricos y utiliza el concepto de perímetro de una circunferencia en la resolución de problemas en contextos diversos. 5. Calcula el área del círculo en contextos diversos. 6. Utiliza los conceptos de superficie del cilindro, cono y pirámide, en la resolución de problemas en contextos diversos. 7. Utiliza los conceptos de volumen del cilindro y cono en la resolución de problemas en contextos diversos. 8. Muestra actitud de perseverancia, rigor en la resolución de problemas. 9. Trabaja en equipo y muestra iniciativa personal en la resolución de problemas en contextos diversos. Indicadores Caracteriza vectores en el plano y los reconoce en contextos diversos. Caracteriza la traslación de figuras en el plano y la reconoce en contextos diversos. Caracteriza la rotación de figuras en el plano y la reconoce en contextos diversos. Caracteriza la reflexión de figuras en el plano y la reconoce en contextos diversos. Traslada figuras del plano utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Rota figuras del plano utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Refleja figuras del plano utilizando regla y compás o un procesador geométrico. Argumenta acerca de las invariables que se producen en la realización de transformaciones isométricas. Explica las condiciones que deben satisfacer los polígonos para teselar el plano. Determina las posibles combinaciones de polígonos regulares con las que se puede realizar una teselación. Realiza teselaciones regulares y semiregulares del plano aplicando combinaciones de transformaciones isométricas a diversas figuras geométricas. Identifica las transformaciones isométricas utilizadas en la construcción de teselaciones regulares y semirregulares. Explica las diferencias entre circunferencia y círculo utilizando el concepto de lugar geométrico. Calcula el perímetro de una circunferencia utilizando el concepto del número pi en contextos diversos. Utiliza fórmulas para calcular el área de círculos en contextos geométricos. Resuelve situaciones diversas que implica determinar el área de círculos. Utiliza fórmulas para determinar la superficie del cilindro, cono y pirámide. Resuelve situaciones diversas que implican el área de superficies de conos, cilindros y pirámides. Utiliza fórmulas para determinar el volumen del cilindro y cono. Resuelve situaciones diversas que implican el volumen de conos y cilindros. Es responsable en trabajos grupales. Tiene un orden y método para el registro de información. Termina los trabajos iniciados. Es tenaz frente a obstáculos o dudas que se le presente en problemas matemáticos. Participa de manera propositiva en actividades grupales. Es responsable en la tarea asignada. Toma iniciativa en actividades de carácter grupal. Propone alternativas de solución a problemas matemáticos en actividades grupales. 46

47 Ejemplo de experiencia de aprendizaje: En esta experiencia de aprendizaje se propone que los alumnos y alumnas construyan teselaciones semirregulares utilizando regla y compás. Para concretar estas teselaciones, se sugieren una serie de actividades que consisten en: La construcción de polígonos regulares de 3, 4, 6, 8 y 12 lados. La determinación de los polígonos regulares que cubren el plano. El cubrimiento del plano con polígonos regulares. Aplicación de las transformaciones isométricas en la realización de teselaciones. Esta experiencia de aprendizaje no abarca todos los aprendizajes esperados ni indicadores descritos en la unidad, por lo que debe ser complementada con otras experiencias de aprendizaje. El tiempo propuesto es estimado, ya que esto dependerá de la realidad específica de cada curso. Tiempo estimado: (12 horas pedagógicas) Recursos: Regla, compás, cuaderno de croquis, hojas no cuadriculadas. Aprendizajes esperados e indicadores considerados en esta experiencia: Aprendizajes esperados Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semiregulares. Indicadores Explica las condiciones que deben satisfacer los polígonos para teselar el plano. Determina las posibles combinaciones de polígonos regulares con las que se puede realizar una teselación. Realiza teselaciones regulares y semiregulares del plano aplicando combinaciones de transformaciones isométricas a diversas figuras geométricas. Identifica las transformaciones isométricas utilizadas en la construcción de teselaciones regulares y semirregulares. 47

48 CLASE 1: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora informa a sus estudiantes que en esta experiencia de aprendizaje van a realizar cubrimientos del plano con polígonos regulares, les explica que en contextos matemáticos este proceso se llama teselación, debido a que las piezas que intervienen en este cubrimiento se llaman teselas. Puede mencionar como ejemplos de teselaciones el embaldosamiento que se hace del patio o la cocina de una casa con cerámicas. En estos casos, las teselas que usualmente se usan son baldosas de forma cuadrada. Si bien las más comunes se forman solamente con cuadrados, triángulos equiláteros y hexágonos regulares, es posible construirlas combinando estos y otros polígonos regulares. Cuando ocurre esta mezcla de polígonos, se está en presencia de teselaciones semirregulares y cuando se utiliza un solo tipo de polígono se llaman regulares. El o la docente señala que realizarán teselaciones con polígonos regulares, con regla y compás. Indica además que las actividades que realizarán serán desarrolladas a través de varias clases y que en esta clase trabajarán la construcción de triángulos equiláteros, cuadrados, y hexágonos, octógonos y dodecágonos regulares. DESARROLLO: Actividad 1: El o la docente solicita a sus estudiantes que, utilizando regla y compás, construyan triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octógonos regulares y dodecágonos regulares, de cualquier lado. Observaciones al docente Se sugiere repasar ángulos en polígonos, específicamente, suma de ángulos interiores y exteriores en polígonos, y determinación de la medida de ángulos en polígonos regulares. Actividad 2: El profesor o profesora solicita que utilizando regla y compás, construyan triángulos equiláteros, cuadrados, hexágonos regulares, octógonos regulares y dodecágonos regulares, de lado dado. CIERRE: El o la docente pregunta a sus estudiantes por sus dudas acerca de las construcciones realizadas. Revisan en conjunto las construcciones efectuadas, enfatizando en aquellos aspectos que presentaron dificultades. Señala que la próxima clase van a determinar los polígonos regulares que pueden participar en una teselación. Muestra la siguiente figura,y explica que dos cuadrados y tres triángulos equiláteros de lados iguales pueden hacerlo, haciendo notar que la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice común es 360º, y que esta es una condición que se pide a los polígonos que participan en una teselación. 48

49 CLASE 2: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora explica a sus estudiantes que en esta clase van a determinar los polígonos regulares que satisfacen lo siguiente: la suma de los ángulos interiores que concurren en un vértice es 360º. Por ejemplo, dos cuadrados y tres triángulos equiláteros, ya que aquí los ángulos interiores que representan a los cuadrados son 90º y los de los triángulos equiláteros son 60º. La suma de ellos es 360º (90º+90º+60º+60º+60º). Explica que durante esta clase van a verificar que esta condición es un requerimiento para que se produzca una teselación. Informa, además, que durante esta clase trabajarán en forma grupal e individual. DESARROLLO: Actividad 1: El o la docente solicita a sus estudiantes que verifiquen que una condición que deben satisfacer los polígonos que participan en una teselación, es que la suma de los ángulos interiores representantes de cada uno de ellos sea 360º. Actividad 2: El profesor o profesora solicita que determinen los grupos de polígonos regulares que satisfacen la condición de teselación; por ejemplo, el grupo formado por dos octógonos y un cuadrado. Sugiere, además, que verifiquen que los polígonos que pueden satisfacer esta condición tienen ángulos exteriores que son divisores de 360º. Observaciones al docente El profesor o profesora puede solicitar a los y las estudiantes formar grupos de trabajo y buscar estrategias para encontrar ángulos que sumen 360º. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la confianza para resolver problemas, el desarrollo de la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así como la iniciativa personal, la creatividad, intencionar el trabajo en equipo, y el respeto a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT 49

50 CIERRE: El o la docente realiza, junto a sus estudiantes, un resumen de las configuraciones de polígonos que son candidatas a teselar encontradas por ellos. Pide como tarea para la próxima clase encontrar las configuraciones restantes. CLASE 3: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que exhiban las configuraciones de polígonos regulares que cumplen la condición de teselación que quedaron de tarea. Explica que no es posible con todas estas configuraciones formar una teselación, pero que en esta clase van descubrir con cuáles de las configuraciones de polígonos encontradas se puede teselar el plano. DESARROLLO: El o la docente solicita a los alumnos y alumnas que exhiban todas las configuraciones de polígonos regulares que cumplen la condición de teselación. Recuerda a sus estudiantes que una teselación semirregular es aquella en la que participa más de un polígono regular y da a conocer que el arreglo de los polígonos que participan en ella es idéntico en cada vértice. Observaciones al docente Se sugiere que muestre a los alumnos y alumnas imágenes de una teselación semirregular y que explicite que en ellas la forma que tienen los arreglos en cada vértice es idéntica. Actividad: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que determinen las configuraciones de polígonos regulares con las que es posible teselar; el plano y la cantidad de teselaciones que se pueden formar con cada una de ellas. Observaciones al docente Se sugiere formar grupos de trabajo y aconsejar a sus estudiantes para que realicen un esquema de las configuraciones de polígonos encontradas que cumplen la condición de teselamiento, y que de esos esquemas determinen aquellas que son teselaciones. Se sugiere también que guíe a sus estudiantes para que descubran la configuración que admite dos teselaciones. Observaciones al docente: OFT Se sugiere que en el desarrollo de estas actividades se incentive en los alumnos y alumnas la confianza para resolver problemas, la perseverancia y rigurosidad en el trabajo así como la iniciativa personal, la creatividad, intencionar el trabajo en equipo, y el respeto a opiniones distintas a las propias como una contribución a los OFT CIERRE: El o la docente realiza, junto a sus estudiantes, un resumen de todas la teselaciones regulares y semirregulares que existen. 50

51 CLASE 4: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora hace un resumen de las configuraciones de polígonos regulares que teselan el plano. Informa que en esta clase van construir todas las teselaciones semirregulares utilizando regla y compás. DESARROLLO: El o la docente pide a sus estudiantes que, utilizando regla y compás, construyan todas las teselaciones semirregulares en su cuaderno de croquis o en una hoja no cuadriculada. Observaciones al docente Se sugiere que aconseje a sus estudiantes usar un compás de precisión en la construcción de las teselaciones, y que la teselación se inicie desde el centro de la hoja. CIERRE: El profesor o profesora muestra las teselaciones realizadas por sus alumnos y alumnas, y juntos hacen un resumen de las estrategias encontradas por ellos para teselar. CLASE 5: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora informa a sus estudiantes que en esta clase van a aplicar transformaciones isométricas a los polígonos regulares que intervienen en las teselaciones. DESARROLLO: El o la docente hace un repaso de las siguientes transformaciones isométricas: traslación, rotación y reflexión. Solicita a los alumnos y alumnas que, utilizando regla y compás: a) Construyan algunos de los polígonos regulares que participan de teselaciones semiregulares, por ejemplo, un hexágono regular; que dibujen de manera arbitraria un vector en el plano; y que trasladen la figura construida respecto a ese vector. b) Construyan un polígono regular, distinto al construido en la parte a); que elijan tres puntos del plano, uno dentro del polígono, otro que corresponda a uno de los vértices del polígono, y otro fuera del polígono construido; que construyan un ángulo determinado, por ejemplo, 30º; y que roten respecto a cada uno de los puntos elegidos, y en el ángulo construido, la figura construida. c) Construyan un polígono regular, distinto al construido en la parte a) y b); que dibujen dos rectas, una que pase por uno de los vértices, y otra que pase por fuera del polígono construido; que reflejen respecto a ellas este polígono. CIERRE: El o la docente pregunta a sus estudiantes por las dudas que ellos tienen después de haber aplicado transformaciones isométricas a los polígonos en cuestión, hace un resumen de los métodos empleados en el proceso de aplicación de estas 51

52 transformaciones enfatizando aquellos aspectos en que sus estudiantes presentaron dudas. CLASE 6: (2 horas pedagógicas) INICIO: El profesor o profesora informa a sus estudiantes que en esta clase van a teselar utilizando transformaciones isométricas. Actividad 1: El docente solicita a sus alumnos y alumnas que, utilizando regla y compás: a) Construyan una configuración de polígonos regulares o arreglos de polígonos que forman la base de una teselación, por ejemplo 4, 6, 12; y que la trasladen respecto a un vector dado. b) Construyan una configuración de polígonos regulares o arreglos de polígonos que forman la base de una teselación, distinta a la construida en a), por ejemplo 8, 8, 4; y que la reflejen respecto a un eje de simetría que pase por uno de los lados del octógono que participa de esa teselación. c) Construyan una configuración de polígonos regulares o arreglos de polígonos que forman la base de una teselación, distinta a la construida en a), b) y c), por ejemplo 3, 6, 3, 6 ; y que la roten respecto a uno de los vértices de los polígonos que intervienen en la teselación, y en un ángulo, por ejemplo, de 60º. Actividad 2: El profesor o profesora solicita a sus estudiantes que formen grupos de trabajo y cada grupo elija una teselación para construir, de manera que las ocho teselaciones semirregulares se realicen, pudiendo repetirse alguna de ellas. Entrega las siguientes instrucciones para que construyan sus teselaciones: a) Que la superficie que teselen, igual en todos los grupos, sea una hoja de block de dibujo de las dimensiones más grandes posibles. b) Que elijan medidas de los lados de los polígonos que van a ser parte de la teselación, de manera que las cantidades de arreglos que se forman en ellas sea similar en todas las teselaciones, por ejemplo, las medidas de los lados de los cuadrados y triángulos que participan de la teselación 3, 3, 4, 3, 4 debe ser mayor que la medida de los lados del dodecágono que participa de la teselación 3, 12, 12. c) Que elijan a lo menos una transformación isométrica para construir su teselación. d) Que en todo el proceso utilicen regla y compás. CIERRE: El o la docente muestra las teselaciones semirregulares realizadas por los alumnos y alumnas, y las transformaciones isométricas que se utilizaron en esta actividad. 52

53 Sugerencia para la evaluación: Aprendizajes esperados e Indicadores que se evalúan en la tarea: Aprendizajes esperados Utiliza las transformaciones isométricas como herramienta para realizar teselaciones regulares y semirregulares. Indicadores Identifica las transformaciones isométricas utilizadas en la construcción de teselaciones regulares y semirregulares. Descripción de la tarea o actividad de evaluación: En la siguiente tarea se presenta a los y las estudiantes la secuencia con la que, a partir de un polígono regular y mediante transformaciones isométricas, se obtiene una figura con la que es posible teselar el plano. Se les solicita a los alumnos y alumnas identificar las transformaciones isométricas implícitas en la construcción. Tarea o actividad de evaluación: Las teselaciones de Maurits C. Escher son una forma sencilla de conseguir matrices, y consiste en deformar un polígono regular (triángulo equilátero, cuadrado o hexágono regular). El fundamento de esta técnica es simple: eliminar una parte de un lado del polígono para añadirla en otro. Se repite esta acción siguiendo siempre el mismo criterio hasta que se obtenga la figura que se desea, que encajará con el resto en virtud del proceso de construcción que se haya seguido. Por ejemplo veamos una de las más conocidas de Escher sus lagartijas. A partir de un hexágono regular, los pasos que él siguió son los siguientes: