Relación de problemas: Tema 12

Transcripción

1 Relaión de probleas: Tea.-Calular la veloidad de un tren y la reuenia propia de su silbato si el jee de estaión peribe el a 4 (74 Hz) uando se aera el tren, y el re 4 sostenido (69 Hz) uando se aleja. Apliando la expresión del eeto Doppler, y resolviendo el problea respeto del jee de estaión, que es un observador inerial, se tiene (donde el subíndie india la uente y o el observador). Se onsidera que la veloidad del sonido en el aire es 34 s. o Aerándose : v = o Alejándose : = v + = 658,769 Hz; v =,844 s.- Una onda plana inide on un ángulo diedro de 3º sobre la superiie de separaión plana de dos edios y, en los que las veloidades de propagaión son v = 8 /s (inidente) y v = /s. a) Calular el ángulo de reraión. b) Id. si la onda pasa del edio al on el iso ángulo de inidenia. sinθ sinθ v La ley de la reraión india que = θ = arsin sinθ. v v v Sustituyendo valores θ = 48,594º, θ = 9, 47º. 3.- Dos uerdas uy largas on densidades lineales de asa µ = 5 g/ y µ = µ, unidas por un extreo se tensan on una uerza de N. Una onda arónia de aplitud y reuenia Hz se propaga de la priera a la segunda uerda, relejándose y reratándose en el punto de unión on la isa aplitud. a) Calular la reuenia y la longitud de onda de las ondas relejada y reratada. b) Esribir las uniones de onda de estas dos ondas, así oo la de la onda inidente. a) Puesto que la reuenia no abia al pasar de un edio a otro = = Hz. La veloidad de propagaión en ada edio es: T = = 44,74, = 3,68. µ s s Calulando las longitudes de onda se tiene = =,447, =,36.

2 b) Los núeros de ondas de los dos edios son: π rad rad k = k = 4,5, k = 9,869. rad La reuenia angular es ω = 68,39 s La euaiones de las ondas son: y =,sin 68,39 t 4,5 x inidente ( ) ( ) ( ) y =,4sin 68,39 t + 4,5 x relejada y =,4sin 68,39 t 9,869 x transitida donde se ha supuesto que la onda inidente se propaga de izquierda a dereha. Hay que tener en uenta que I A y que la intensidad inidente es igual a la relejada ás la transitida pues la energía no se auula en la separaión de los edios ni se disipa. I + I A + A A A I = I + I = = = A = A = =,4. R T R T R I I R T R T I I AI AI 4.- En una uerda de de longitud y densidad lineal de asa 5 g/, tensada on una uerza de N y ija por abos extreos se establee una onda estaionaria. a) Calule la longitud de onda del arónio undaental y la veloidad de propagaión de dos ondas arónias uya superposiión sea diho arónio. b) Si la aplitud de la onda estaionaria es de, esriba la expresión orrespondiente al segundo arónio. ) Calule las reuenias y longitudes de onda orrespondientes al sonido en el aire a una teperatura de 7ºC orrespondientes a los dos odos de vibraión anteriores. Datos: R=8,3 J ol - K -, asa oleular edia del aire 8,8 g/ol, γ aire =,4. a) Arónio undaental: = L = L = T T = = = 63.5 / s µ L

3 b) Deterineos ω y k para el segundo arónio: = L = = = = 63.5 Hz ω = π = rad / s π k = = π = 6.8 La unión de onda de la onda estaionaria es (obviando el desase): ( x, t). os( t ) sen ( 6.8x) ψ = ) La veloidad del sonido en el aire es: a M = γ RT M = asa oleular del aire a = / s (Veloidad del sonido en el aire para esta teperatura.) -Prier arónio: = = 3.6 Hz a Longitud de onda del sonido en el aire: a = =. -Segundo arónio: = = 63.5 Hz a Longitud de onda del sonido en el aire: a = = Una onda plana se propaga en un edio absorbente de oeiiente de absorión β=,5 -. Calule la distania que debe reorrer la onda para que su intensidad se reduza a: a) la itad. b) /8 de su valor iniial. ) / de su valor iniial. d) / de su valor iniial. e) / de su valor iniial. Para un edio absorbente se tiene que la intensidad a una distania x es: 3

4 β x ( ) = donde = ( = ) I x I e I I x I β x I Despejando x = e x = ln I β I a) I I I = ln ln.3863 x = β I / = β = b) I I I = x ln ln = β I /8 = β = ) I I = x = ln = 4.65 β d) I I = x = ln = 9.3 β e) I I = x = ln = 3.8 β 6.- Un avión supersónio vuela a 3 de altura on una veloidad de,7. a) Deterine el ángulo de Mah. b) Calule el tiepo que transurrirá desde que el avión sobrevuela diretaente enia de un observador situado en tierra hasta que éste esuha el bang supersónio. x = distania reorrida por el sonido en tiepo t. x = distania reorrida por el óvil en tiepo t. 4

5 a) x x v x / t x = ; v = = = =.7 t t x / t x x senα = = α =.689rad = 36.39º x.7 b) t = tiepo que tarda el bang en llegar al oyente desde que el avión pasó por enia de él. l osα = l = h osα h Coo el rente de onda de Mah viaja a la veloidad del sonido: l l = t = = h os α =.736 s t 7.- Un ohe patrulla de la guardia ivil está parado en una reta de una autopista. Lleva instalado un radar que eite ondas eletroagnétias que eite ondas de de longitud de onda, que se relejan en el ohe que avanza inauto haia la patrulla. La intererenia de las ondas eitidas y relejadas provoa en el reeptor del ohe patrulla pulsaiones de 6 Hz de reuenia. Si la inraión por exeso de veloidad se penaliza on por ada k/h que sobrepase los, alule la ulta que se le aveina al ondutor iprudente. Se trata de un problea de eeto Doppler ás pulsaiones. = bat = reuenia de las pulsaiones o batidos = 6 Hz =3 k/s 5

6 = reuenia del radar del ohe patrulla. = reuenia peribida en el ohe patrulla tras rebotar en el vehíulo iprudente. Abas reuenias son pareidas y al superponerse en el ohe patrulla se oran pulsaiones de reuenia bat. Con la expresión del eeto Doppler: = F v v F = F = v = = 3 Hz = = v = v = v = vf = v 9 v La reuenia de los batidos es: bat = ( ) = bat + = 3.5 v = 5 / s = 87. k / h v = 67. Multa =67. = Hz 8.-Una onda de 4 W/ de intensidad atraviesa un espesor de de un aterial uyo oeiiente de absorión es de -. Calular: a) La intensidad de la onda eergente. b) La relaión de aplitudes entre las ondas inidente y eergente. a) I x β x = Ie I, = 353,35 W ( ) ( ) 6

7 b) A x I x A x = A e β, A(,) = e =,368 β x ( ) ( ) ( ) A 9.- El ondutor de un tren que irula a la veloidad de 3 s, on el aire en ala, ve a otro tren en la isa vía. Al toar abos el silbato, de la isa reuenia = 4 Hz, el ondutor deteta 5 batidos por segundo. Cuál es la veloidad del otro tren? Interpretar los resultados. v = v = v = v v ( ) ( ) ( ) o o vo v = ( v + ) = ( v ) = dos asos de = 5 o o 395 a) = ( ) + 5 = 45: = 33,875 / s 4 = 45 b) = ( ) 5 = 395: = 6,5 / s 4 En abos asos los dos trenes se están oviendo en el iso sentido. En el prier aso el tren on el silbato va ás rápido que el del observador y aerándose a éste. En el segundo aso el tren del observador va ás rápido que el del silbato, alejándose de éste..- a) Calular la reuenia undaental y los prieros uatro arónios de un tubo de 5, si el tubo está abierto por abos extreos y si está errado por un extreo. b) Cuántos arónios pueden ser peribidos por una persona de audiión noral, en ada uno de los asos anteriores? Toe la veloidad del sonido 333 /s. a) Tubo abierto por un extreo y errado por otro. Se ora una onda estaionaria on un nodo en el extreo errado y un vientre en el abierto. Las ondas estaionarias que se oran uplen la ondiión n L = ( n + ), n =,, L Despejando la longitud de onda se obtiene n =, n =,,.... n + ( ) = n = = n +, n =,,... 4L Las reuenias uplen on ( ) Partiularizando para los ino prieros valores de n se obtiene {555;665;775;3885;4995} Hz Tubo abierto por abos extreos. n 7

8 Se ora una onda estaionaria on vientres en abos extreos. Las ondas n estaionarias que se oran uplen la ondiión L = n, n =,,3.... L Despejando la longitud de onda se obtiene n =, n =,,3.... n Las reuenias uplen on = n = = n, n =,,3... L Partiularizando para los ino prieros valores de n se obtiene {;;333;444;555} Hz n b) De las anteriores todas son audibles por una persona noral puesto que el rango de ; Hz reuenias del oído estándar es [ ].-Un tubo reto de alantarilla está atranado a una distania desonoida de su extreo. El agua ha sido extraída de su interior, utilizando una boba. Soplando por un extreo, se oye un sonido de 8 Hz. A qué distania (oo ínio) está el atranque? (Sea v = 33 /s la veloidad del sonido en el aire). Las reuenias peritidas en un tubo abierto por un extreo y errado por otro son n = ( n + ), n =,,.... Despejando L se obtiene L = ( n + ), n =,,... 4L 4 n y partiularizando para n = L =,375.- La unión de onda estaionaria de una uerda ija por sus extreos, expresada en el SI, es ψ(x,t)=,3 sen(,x) os( t). a) Deterine la aplitud, reuenia, longitud de onda y veloidad de propagaión de dos ondas progresivas uya superposiión sea esta onda estaionaria. b) Esriba las uniones de onda orrespondientes a dihas ondas progresivas. ) Halle la distania internodal. d) Si la expresión dada orresponde al terer odo de osilaión de la uerda, uál es la longitud de ésta? a) Sabeos que para dos ondas arónias planas de la ora: ( x t) = Asen ( t ± kx + ) ψ ω ϕ,, El signo india que la onda se propaga en el sentido positivo del eje x. El signo + india que la onda se propaga en el sentido negativo del eje x. La onda estaionaria es de la ora: 8

9 ( ω ) ( ) ψ = Asen t os kx A =.3 A =.5 ω ω = rad / s = = Hz π π π k =. = = π k = = / s b) Las ondas viajeras que produen la onda estaionaria son: ψ ψ ( x, t) =.5sen( t.x + ϕ ) ( x, t) =.5sen( t +.x + ϕ ) Usando la identidad trigonoétria: a b a + b sena + senb = os sen ϕ ϕ ϕ + ϕ ψ + ψ =.3os.x + sen t + ϕ.3os.x ϕ ϕ sen t + ϕ = + π os x = sen x + π senx = os x ϕ ϕ π ϕ + ϕ π ψ + ψ =.3sen.x + os t + Igualando on la unión de onda total: ϕ ϕ π ϕ ϕ π sen.x + = sen.x + = ϕ os t + ϕ π ϕ os + ϕ π + = = Operando on () y (): ϕ + ϕ = π ϕ + ϕ = π ϕ = ϕ = ϕ = π ( ) ( ) ( t) ( ) 9

10 Las uniones de onda son ψ ψ ) ( x, t) =.5sen( t.x + π ) ( x, t) =.5sen( t + kx) La distania es /=π d) De auerdo on el dibujo anterior: L = 3 = 3π 3.- Un día en el que la teperatura es de 3 K, llega un sonido de intensidad -4 W/ y s de duraión proedente de una explosión que tiene lugar a de distania. a) Calule la potenia y la energía total de la explosión suponiendo que la tierra absorbe toda la energía inidente. b) Calule en el punto de reepión la densidad de energía ondulatoria en el aire y la aplitud de la onda si esta se supone arónia y onoroátia, de Hz de reuenia. (Masa oleular del aire: 8,8 g/ol). a) Puesto que I=P/S y oo las ondas son esérias S = 4π L P = IS = 4π L I = 4π =.5664W E oo P = E = Pt = 4π = J t

11 b) En prier lugar aluleos la veloidad del sonido en el aire a la teperatura dada: = γ RT M Toaos el aire oo un gas ideal diatóio: 7 γ = R P 7 = 5 v R = 5 = /s Puesto que la relaión entre la intensidad y la densidad volúia de energía (ρ E ) I 7 3 I = ρe ρe = =.8788 J / Por últio, la aplitud la alulaos a partir de la relaión I I I = ρω A A = = ρω ω ρ ω = π = π rad / s Suponiendo el aire un gas ideal a P= at=.93 Pa PV = nrt ; n = M oleularaire RT RT PV = RT P = ρ = =.45 Kg / M ol V M ol PM ol ρ 4 3 Sustituyendo: A = Una uente sonora, que eite on una reuenia de 44Hz, se enuentra desribiendo una trayetoria irular de diáetro on veloidad angular onstante de 3rps. Calule el intervalo de reuenias que esuhará un observador estaionario situado a del entro de la trayetoria de la uente, y en el plano de la trayetoria.

12 Dibujando una vista desde arriba teneos lo siguiente: Los valores extreos en la reuenia peribidos por el observador tienen lugar uando el ódulo de la veloidad relativa FUENTE-OBSERVADOR sea áxio o ínio. Los puntos de tangenia A y B son en los que se produen el valor ínio (A) y áxio (B) de la reuenia esuhada por el observador. Apliando la relaión del eeto Doppler teneos: - Punto A: = v v observador v = / s v = v uente v = ωr = 8.84 / s ω = 3 π rad / s = 34 / s Operando: = Hz - Punto B: = = Hz v v v v = / s = v

13 5.- Dos uentes sonoras, idéntias y sinronizadas en ase, eiten ondas planas on reuenia 45 Hz. Se oloa un iróono que dista de una uente y, de la otra. a) Se registrará sonido? b) Íde si las uentes están en ontraase. ) Íde si el desase entre las uentes varía uy lentaente. d) Repita los apartados anteriores si ahora las uentes eiten ondas esérias. = 45 Hz = =.8 = 34 / s La dierenia de aino entre las dos ondas es: r r = r r =. =.5 a) Las uentes eiten en ase: Se superponen destrutivaente porque las ondas llegan desasadas en edia longitud de onda. Nótese que las ondas son planas y el edio es no absorbente, entones la aplitud de las ondas es onstante. No se registra sonido. b) Las uentes eiten en ontraase: El desase de / debido a la eisión y la dierenia de aino de.5 provoan una intererenia onstrutiva. Se registra sonido de aplitud áxia. ) El desase varía lentaente. Se alternará entre intererenia onstrutiva y destrutiva suesivaente. Se alterna entre esuhar sonido y silenio. d) -Fuentes en ontraase: Coo las ondas ya no son planas, la aplitud de las dos ondas en el iróono no es la isa. Por tanto, aunque las ondas se superponen destrutivaente, oo la aplitud no es la isa, se registrará un sonido débil. -Fuentes en ase: Se esuhará un sonido de aplitud áxia. -Se alternará entre esuhar sonido débil y uerte, pero siepre se esuhará sonido. 3

14 6.- Dos baros A y B se aeran uno al otro oviéndose a la veloidad respeto a tierra de ódulo 7 /s. El viento sopla on 5 /s (respeto a tierra) en la direión y sentido del baro A. En ada baro hay sendas orquestas de Jazz. El oboe de A toa el la (44 Hz). Entones los úsios de B se ainan según diho tono y lo toan tabién. Cuál será la reuenia que se esuha en A? Cuando las ondas del baro A llegan al B, hay un auento en la reuenia esuhada en B debida al eeto Doppler. Cuando las ondas vuelven de nuevo a A, vuelve a haber un auento de reuenia. Apliando dos vees la euaión del eeto Doppler inluyendo la veloidad del edio se tiene: ob = ob = 458,5 Hz + v + v v v ( ) ( ) ( ) ( ) oa = oa = 477,783 Hz + v v v + v 7.- Una uente puntual eite ondas sonoras esérias de longitud de onda = on una potenia P = -4 W, a una distania d = de una pared vertial. a) Calule la reuenia del sonido si la teperatura abiente es de T = 7 ºC. b) Calule la intensidad ísia de la onda sonora en un punto de la pared situado en la noral que ontiene a la uente. ) Deterine el tipo de intererenia produida en el punto edio de la reta ediatriz, entre la onda sonora direta y la relejada por la pared. d) Calule la aplitud y la intensidad resultante en el punto anterior en unión de los valores del punto de la pared. (NOTA: R = 8,3 J ol K ; γ aire =,6 ) γ P a) La veloidad del sonido en un gas es =, y on la ley de los gases ideales ρ 3 kg PV = nrt = RT, donde M = 8,8 es la asa oleular del aire. La M ol veloidad es γ RT = = 37,49. Coo = = 37, 49 Hz. M s b) La intensidad en la pared es I pared P P -8 W = = =,989. S 4π d ) Se produe la superposiión de dos ondas arónias de la isa reuenia y dierente aplitud. Adeás se produe un abio de ase en la relexión de la onda en la pared. Sea p el punto de superposiión de la onda direta y relejada. Coo =, la onda que llega diretaente al punto p tiene la isa ase que la inidente porque entre la uente y p hay una distania. La que llega a la pared reorre una distania, y está en ase on la uente. La onda relejada en la pared sure un 4

15 abio de ase de π rad. Cuando llega a p la onda relejada reorre una distania, y no se desasa respeto a la onda relejada en la pared. Por tanto, abas ondas están en ontraase, o la intererenia es destrutiva. Sin ebargo, la aplitud total no será ero pues las ondas direta y relejada reorren dierente distania, y por tanto tienen dierente aplitud. P P d) La intensidad de la onda direta es I = = = 4I pared. 4π ( d ) d 4π 4 P P 4 4 La intensidad de la onda relejada es I = = = I pared. d 4π d 9 9 4π d + Coo la relaión entre intensidad y aplitud para una onda eséria es I = 4I pared A = Apared A I 4. Coo están en ontraase, la aplitud I = I pared A = Apared inal es A A A = = Apared = Apared Una onda estaionaria en una uerda está representada por la siguiente unión de onda: π x y ( x, t ) =, os sin ( 4π t) (x,y en etros; t en segundos). a) Esribir dos uniones de onda viajeras que al superponerse produen la onda estaionaria anterior. b) Cuál es la distania entre los nodos de la onda estaionaria? ) Cuáles son la veloidad y la aeleraión áxias de un punto de la uerda situado en x =? a) Si dos ondas arónias de la isa reuenia y aplitud se superponen viajando en sentidos opuestos se produe una onda estaionaria. Sean dos ondas arónias en las y A sin ωt kx φ y = A sin ωt + kx + φ. La ondiiones anteriores = ( + ) y ( ) superposiión de abas es ( ω φ ) ( ω φ ) ( α ) ( ω β ) y = y + y = A sin t kx + + A sin t + kx + = Aos kx + sin t + T φ φ φ + φ A = A α = β = En este aso onreto rad π rad ω = 4 π ; k = s A A = A A = =,. φ = φ = α = β =. 5

16 Por tanto las uniones de onda son π π y =, sin 4 πt x, y =, sin 4π t + x. ( ) ( ) b) La distania entre dos nodos adyaentes es la distania entre dos eros onseutivos del ator ultipliativo que depende de la distania. Deterinando las posiiones para las que diho ator es ero π x π x os = =, ± π, ± π... ± nπ xn = ± n. Por tanto dos posiiones onseutivas distan x = x x =. ) Derivando la unión de onda arónia se obtiene: y π x v( x, t ) = =, 4 π os os( 4π t) t Partiularizando para x = y alulando el valor áxio π vax ( 6, t) =, 4 π os =,53. s Derivando de nuevo la unión de onda respeto del tiepo se tiene y π x a ( x, t) = =, ( 4π ) os sin ( 4π t ). t Partiularizando para x = y alulando el valor áxio ( ) ( ) π aax 6, t =, 4π os = 35,87 s n+ n 9.- Al pulsar una uerda tensada on una uerza de 5 N y sujeta por abos extreos se produe un sonido que, analizado, presenta un espetro onteniendo la reuenia undaental (de aplitud A ), y los arónios priero y segundo (de aplitudes / y /4, respetivaente, de la undaental). a) Calule la reuenia undaental y la aplitud de la vibraión del punto entral de la uerda. b) Esriba la euaión de la onda estaionaria orrespondiente a los dos arónios anteriores. (Datos de la uerda: longitud=5 ; radio= ; densidad=.5 3 kg/ 3 ). a) La densidad lineal de la uerda es, para un trozo de longitud arbitraria L, V V πr L kg µ= = =ρ =ρ =ρπr =4,7 L L V L L La veloidad de propagaión en la uerda es T = = 7,8366. µ s Coo las reuenias peritidas son de la ora n = n, n =,,..., la reuenia L undaental es, para el valor n =, = 7,8366 Hz. 6

17 En el punto entral la ontribuión a la aplitud inal es áxia para el arónio undaental, ero para el prier arónio, y áxia para el segundo arónio. La superposiión es A = + A =,5 A 4 b) Las reuenias angulares de las vibraiones peritidas son ωn = π n, n =,,.... L Los núeros de ondas peritidos son k = π π n n, n,... = n = Sustituyendo se tiene: rad rad ω = 95, 9 Hz, k =,5664 y ω 3 = 37,94 Hz, k3 = 8,8496. Las uniones de onda son: A A y ( ) ( ) = sin,5664 x sin 95,9 t, y3 = sin ( 8,8496 x) sin ( 37,94t ). 4.- Un iróono y un altavoz se sujetan a los extreos una barra reta de de longitud, suergiendo a ontinuaión el onjunto horizontalente en un lago a de proundidad. El altavoz eite un tono puro de 5 Hz de reuenia. Si se iza la barra lentaente, anteniéndola horizontal, alule las proundidades a las que el iróono registra un áxio de intensidad. La veloidad del sonido en el agua a la teperatura del experiento es =5 /s. Desde el altavoz al iróono llegan dos ondas: La direta () y la relejada en la superiie del agua (). La dierenia de aino reorrido por las ondas y es: L L r = + x L = + x L 4 Suponiendo que la atenuaión es despreiable (es deir, suponiendo ondas planas), la ondiión de intererenia onstrutiva es: 7

18 L r = n + x L = n 4 L + 4x = n + L ( ) ( ) L + 4x = n + L 4x = n + L L x = ( n + L) L = n + nl x = n + nl Dando valores teneos que: n = no tiene sentido n = x =.339 n = x = n = 3 x =.685 > Por tanto las soluiones on x < son: x = (.339, ) 8