13 Elementos de física relativista

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1 Soluionario 3 Eleentos de físia relatiista EJERCICIOS PROPUESTOS 3. Calula el tieo que tardaría el baro en los dos asos exuestos en el ejelo del eígrafe, si: D, s y 3 s. t D D 3 9,s ; t B s A 3. Calula la relaión entre los tieos t A y t B, eleados or la luz en reorrer los brazos del interferóetro de Mihelson, en el aso de que existiese el iento del éter on 3, s. t t A B (3, ) (3, ), Vega es una estrella de la onstelaión de la Lira que se enuentra a 7 años luz de la Tierra. a) Deterina la distania en ilóetros desde Vega a la Tierra. b) Si Vega exerientara una exlosión de tio suernoa, india óo obserarían este fenóeno un obserador erano a la estrella y un obserador en la Tierra. 5 a) año-luz 3, , 6 Vega se enuentra a 7 9,6 5,55 b) Un obserador erano a la estrella ería el aonteiiento inediataente. Un obserador en la Tierra tardaría 7 años en erlo Un tren de de longitud arte de una estaión a una eloidad onstante de 5 s. En el iso instante una ersona oienza a andar desde la loootora haia el agón de ola s. Deterina, aliando la transforaión de Galileo, la eloidad y la osiión de la ersona reseto a la estaión al abo de s. La eloidad de la ersona reseto al uelle es 5 3 s, que no aría on el tieo. Reseto a un sistea de referenia fijo en la estaión, S, la ersona está iniialente en x. Al abo de s, su osiión es: x x + t Corueba ediante un ejelo que, uando <<, una buena aroxiaión del térino es '. Sea,: ' (,) (,), , Una nae esaial iaja a una eloidad onstante de,. Al asar era de la Tierra, ide el diáetro de esta. India qué distania edirá suoniendo que el diáetro exato de la Tierra (edido desde la roia Tierra) es,7 7. Corueba si es aetable en este aso la aroxiaión. Soluionario

2 7 (,) 7 6 L' L L,7,7,6 7,6 Utilizando la aroxiaión: (,) L' L ' L 7 6 7,7,7,6,66 Por tanto, la aroxiaión no es tan buena. 3.7 Si una nae que iaja a una eloidad de,6, reseto a la Tierra lanza un haz láser en su isa direión y sentido, deterina la eloidad de este haz reseto a la Tierra. La eloidad de la luz es siere. Haiendo el álulo, se tiene: ' x x + ' x + +,6, Una nae esaial iaja a,7 reseto de la Tierra. Calula qué eloidad debe llear otra nae esaial ara adelantar a la riera on una eloidad relatia de,5. Si se obinan las eloidades, se tiene: ' x x,7 x,7 x ;,5 x,9 x,7 x,7 x 3.9 Deterina la asa inerial de un eletrón que se uee a la eloidad de,9 sabiendo que su asa edida or un obserador en reoso reseto al eletrón es de e 9, 3 g. La asa auenta uando la eloidad se aroxia a la de la luz. 3,3, (,9) g 3. Calula la energía que se odría obtener de la onersión oleta en energía de g de arbón (si eso fuese osible). La onersión de energía se realiza on la siguiente euaión: 3 E (3, ) 9, 3 J 3. Por qué la luz es atraída or los aos graitatorios al igual que lo son objetos on asa? Según la equialenia asa-energía, la radiaión, oo ualquier fora de energía, tiene una asa inerte o inerial. Si la asa inerial es la isa que la asa graitatoria, la radiaión tabién tendrá una asa graitatoria y se erá afetada or los aos graitatorios. Así, la luz desribiría una trayetoria arabólia dentro de los abos graitatorios onstantes, igual que los royetiles. 3. Qué se entiende or asa inerial y or asa graitatoria? Qué ostula la teoría de la relatiidad general sobre estas asas? La relaión Peso Fuerza se denoina asa graitatoria. La relaión ' se denoina asa inerial. g a La teoría de la relatiidad general ostula que abas asas son iguales. Soluionario 5

3 Soluionario onario 3.3 Iagina que unos seres habitan en un undo bidiensional lano. a) Podrían tener notiias sobre la existenia de seres tridiensionales? b) Iagina oo odría ser obserada or ellos la llegada de una nae esféria a su undo. a) Solo odrían tener notiias ediante la interseión de objetos 3D on un lano. b) Se odría iaginar que los ortes de una esfera on un lano son írulos onéntrios que reen hasta un írulo áxio y desués dereen de nueo hasta un unto. EJERCICIOS Y PROBLEMAS SISTEMAS DE REFERENCIA Y TRANSFORMACIÓN DE GALILEO 3. Deuestra, ediante la transforaión de Galileo, que se onseran las longitudes de los objetos. Para silifiar, se suone un segento de longitud L situado en el eje x. Reseto al sistea de referenia S, sus extreos están situados en los untos x y x, de fora que: L x x. Aliando la transforaión de Galileo, las oordenadas de sus extreos, edidas reseto al sistea de referenia S, son: x x t y y S S x x x x x x t La nuea longitud del segento, L, edida en el sistea S, es: z z L x x (x x ) t + t x x L 3.5 Un hobre naega or un río en un bote orriente arriba y llea una bobona de agua edio aía en la oa del bote. Cuando el bote asa debajo de un uente, la bobona ae al agua sin que el hobre se dé uenta. Durante inutos el bote ontinúa aguas arriba ientras que la botella flota aguas abajo. Transurrido ese tieo, el hobre se da uenta de que la bobona ha desaareido y uele aguas abajo on la isa eloidad reseto al agua que antes y la reoge un ilóetro ás abajo del uente. Deterina la eloidad que llea la orriente. Si se intentan referir lo hehos a un sistea de referenia fijo en la orilla, el roblea resulta erdaderaente oliado. Sin ebargo, el roblea se silifia uho si los hehos se refieren a un sistea que se uee on el agua. En ese sistea odeos suoner la suerfiie de un lago de aguas quietas, donde solo se uee el bote. Desde que ae la bobona (que queda flotando inóil si se obsera en este sistea de referenia), el bote se uee durante inutos aguas arriba y otros inutos agua abajo. En los inutos, el uente se habría oido, reseto a la bobona (reuerda que flota inóil en el agua), luego la eloidad del uente reseto al agua (o del agua reseto al uente) es,5 h. 3.6 Un baro está atraado en un uelle. En t s, oienza a alejarse on una eloidad b s. Un asajero que se enuentra sobre la ubierta del baro (que ide 5 ), en la roa, se dirige haia la oa, on una eloidad de s reseto al baro. Mediante la transforaión de Galileo, alula la eloidad del asajero reseto al uelle y su osiión reseto al iso, al abo de s. Suoneos oiientos retilíneos en la direión del eje x. Denoinando S {O', x, y, z } a un sistea de referenia solidario on el baro y S{O, x, y, x} a un sistea de referenia fijo en el uelle, en t s, O O, x x 5. La eloidad de deslazaiento de S reseto a S es b s x x b x x + b + s x x + x t y y; z z; t t 6 Soluionario

4 3.7 Se deja aer un uero en el interior de un asensor desde una altura de. Deterina a qué altura sobre el suelo del asensor se enontrará el uero al abo de,5 s en los siguientes asos. a) El asensor se enuentra arado. b) El asensor sube on un ru de eloidad s. a) Situaos un sistea de referenia en el suelo del asensor y solidario on este. La altura del objeto al abo de,5 s es: h h gt,,9,5,7 b) En este aso, el objeto osee una eloidad iniial haia arriba de, s, ya que está subido en el asensor. En,5 s el suelo del asensor ha subido,5, luego se ha aroxiado al objeto y la altura desde la que aería el objeto sería de,5,5. Aliando la euaión de un rua: h h + t gt,5 +,,5,9,5,7 Es eidente que el resultado debe ser el iso debido al riniio de relatiidad de Galileo. 3. La distania en línea reta desde Madrid a Pala de Mallora es 5. Calula el tieo que tarda un aión en iajar de Madrid a Pala de Mallora y en oler, si la eloidad del aión reseto al aire es de h en los siguientes asos. a) Suoniendo que el iento sola de lado a 6 h en todo el trayeto. b) Suoniendo que el iento, de 6 h, sola a faor en la ida y en ontra en la uelta. a) Si el iento sola de lado, el aión tendrá que orientarse ara ontrarrestar la eloidad lateral del iento, de anera que reorrerá la hiotenusa de un triángulo retángulo on lados 5 y 6t, siendo t el tieo de iaje. De esta anera se uede estableer la euaión: d áx t t t t t ;56 t 9376 t,37h Puesto que tanto a la ida oo a la uelta el iento afeta de la isa anera, el tieo de reorrido será el doble: t total,37,7 h. b) En el aso de que el iento sole a faor la riera arte del iaje, la eloidad del aión reseto al suelo será la sua de la del aión reseto al aire y la del iento, roorionando: h 5 Por tanto, el tieo del iaje de ida será: t ida, h 6 En la uelta, las eloidades se restan orque el iento frena al aión: 6 3 h. El tieo del iaje de uelta será: 5 t uelta,59h 3 Finalente, el tieo total de ida y uelta on el iento en la direión del iaje es: t,77 h. 3.9 Un globo aerostátio asiende a una eloidad onstante de s. Cuando se enuentra a una altura de 5, un aeronauta deja aer un objeto. a) Calula el tieo que tarda en llegar al suelo en un sistea de referenia fijo en el suelo. b) Realiza el iso álulo en un sistea de referenia fijo en el globo. a) Un obserador en un sistea de referenia S(x, y, z) on origen fijo O en el suelo ide lo siguiente: - La osiión iniial del objeto es y La eloidad iniial del objeto que ae es la isa que la del globo, es deir, s. - La aeleraión del objeto es a g 9, s. La osiión del objeto está dada or la euaión: y y + t + ½ a t 5 + t,9 t Llegará al suelo uando y 5 + t,9 t t 3,63 s. Soluionario 7

5 Soluionario onario b) El aeronauta, obserador en un sistea de referenia S (x, y, z ) on origen O en el globo, ide lo siguiente: - La osiión iniial del objeto es y. - La eloidad iniial del objeto que ae es s. - La aeleraión del objeto es a g 9, s. - El suelo iniialente está en la osiión y 5 y se aleja del globo on una eloidad onstante de s -. Las osiiones del objeto y del suelo son resetiaente: y y + t + ½ a t,9 t y y + t 5 t El objeto alanza el suelo uando se ule que abas osiiones se igualan: 5 t,9 t t 3,63 s 3. Desde un ehíulo desaotado, on oiiento retilíneo unifore de eloidad s, se efetúa un lanzaiento ertial on una eloidad iniial de la bala de s. a) Deterina la osiión y la eloidad del objeto lanzado al abo de s en un sistea de referenia ligado al ehíulo, si en t s el aión se enuentra en el origen y se efetúa en ese oento el disaro. b) Realiza los isos álulos ara un sistea de referenia ligado al suelo. ) Cuál es la trayetoria del objeto en ada aso? d) Dónde aterrizará el objeto? a) En un sistea de referenia ligado al aión, el objeto asiende on un rua: ' ' y' y + t + g t + t -,9 t y'(),9, ' Su eloidad en ese oento es: ' + gt 9,, s b) En este sistea: ox s x x + xt y s y y + yt + gt,9, La osiión en t s es (,,) i + j i + ( 9, )j i +,j s - La eloidad del óil es: ( ) x y ) En el rier sistea de referenia, la trayetoria es una línea reta. En el segundo, es una arábola. d) En la aja del aión, orque en abos asos la eloidad en el eje x es la isa que la del aión. TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ Y CONTRACCIÓN DE LONGITUDES 3. Un aión on una longitud roia L (núero exato) uela aralelo al suelo on una eloidad de 6 s (tabién onsiderado un núero exato). a) Deterina lo que se ha aortado el aión ara un obserador fijo en el suelo utilizando la exresión L L, siendo b) Realiza el iso álulo utilizando la fórula aroxiada: Nota: onsidera 3 s un núero exato. a) 6, ; L, , ( 3 ) El aión se ha aortado en, n b), ; or tanto, el resultado sale lo iso. Soluionario

6 3. Un oeta iaja on una eloidad de h. Calula el orentaje del taaño de su ola en reoso que ide un obserador que se enuentre en la Tierra. El oeta se uee a gran eloidad, lo que ilia que la isión que se tenga de él estará afetada or ese heho. La eloidad del oeta en s es 6 s. El taaño aarente de un uero que se uee on ierta eloidad es: L' L L' Por tanto, ide el 99,99999%. L 6 L 6 9, L 3.3 Un ejelo sorrendente de la dilataión del tieo junto on la ontraión de longitud se resenta en la desintegraión de artíulas inestables oo los esones. Estos esones se rean en lo alto de la atósfera or la aión de los rayos ósios que llegan a la Tierra roedentes del esaio y alanzan el niel del ar en grandes antidades. Su eloidad es,99 y se desintegran originando un eletrón on un eriodo de seidesintegraión de 6 s desués de oenzar su existenia, luego, teóriaente, solo ueden reorrer una distania de: y t,99 ( s ) 6 (s) 66 Sin ebargo, oienzan a existir a alturas ees ayores. Resuele este eniga. Exainando el roblea desde el sistea de referenia del esón, en el que su ida edia es 6 s, aunque su ida no se enuentra afetada or el oiiento, su distania a la Tierra aaree aortada en el fator: y y Mientras nosotros, situados en tierra, edios la altura a la ual el esón oienza a existir oo y, el esón la e oo y. Si haeos y 6, que es la distania áxia que el esón uede reorrer en su roio sistea de referenia a la eloidad de,99 antes de desintegrarse, la distania y en nuestro sistea de referenia es: y 6 y 95 (,99) Si exainaos ahora el roblea desde el sistea de referenia de un obserador situado en el suelo, la altura a la que el esón se fora es y, ero su ida en nuestro sistea de referenia se ha alargado: t 6 6 t (,99) 3,6 s En ese tieo (6 ees ayor que uando se enuentra en reoso reseto a nosotros) el esón reorre: y t,99 ( s - ) 3,6-6 (s) Aunque la ontraión de Lorentz-Fitzgerald es real en el sentido de que es orobable ediante ediiones adeuadas, una fotografía de un objeto en oiiento relatio uy ráido estaría distorsionada deendiendo de la direión desde la que se toara la fotografía y de la relaión /. Exlia este heho. La razón es que la luz que alanza la áara (o el ojo en su defeto) roedente de las artes del objeto as alejadas fue eitida antes que la roedente de las artes ás róxias. La áara retrata una iagen en realidad ouesta, ya que el objeto estaba en distintas osiiones uando artieron de él los distintos eleentos de la iagen únia que iresiona la elíula. Este efeto, altera la isualizaión de la ontraión de Lorentz-Fitzgerald auentando la longitud aarente del objeto en direión del oiiento. Debe distinguirse este efeto isual de la roia ontraión de Lorentz-Fitzgerald, que es un fenóeno físio (el efeto isual de objetos en oiiento fue desrito en 959). Soluionario 9

7 Soluionario onario 3.5 Una aja úbia on un oluen en reoso de 7 3 está sobre un aión que se uee or una arretera reta a 5 s. Si la eloidad de la luz en el aío fuese solo de s, uál sería el oluen aarente de la aja ara un obserador al ie de la arretera? En realidad, el aión llea una eloidad de,5 (suoniendo que sea s ). Por tanto: (,5),7 L L ' L En el aso que nos oua, L 3, or tanto, L ',7 3,6, ientras que las otras direiones no se en afetadas. El oluen de la aja sería: V ' L ' L,6 3 3, Deuestra que una irunferenia de radio unidad que se uee on eloidad areerá una elise a un obserador estaionario. Deterina la razón entre los ejes enor y ayor de la elise. Solo se aorta la diensión en la direión del oiiento. Un radio R en esa direión se onierte en R (qué sería el seieje b de la elise); sin ebargo, el radio erendiular no se altera (eranee oo R y sería el seieje a de la elise). Por tanto, la razón entre abos radios sería: b a R R 3.7 India a qué eloidad debe iajar una nae esaial que se dirige a Sirio (estrella que se enuentra a unos años luz de la Tierra) ara que la distania a la estrella se reduza ees. L En este aso, L'. Se ule que L L' L L ( ),9999,9999, India si son erdaderas o falsas las siguientes afiraiones. a) Si una nae se uee reseto a la Tierra a gran eloidad, su longitud aaree auentada ara los triulantes de la nae. b) Si una nae se uee reseto a la Tierra a gran eloidad, su longitud aaree disinuida ara los triulantes de la nae. ) Si una nae se uee reseto a la Tierra a gran eloidad, su longitud aaree auentada ara los obseradores situados en la Tierra. d) Si una nae se uee reseto a la Tierra a gran eloidad, su longitud aaree disinuida ara los obseradores situados en la Tierra. e) Desde el sistea de referenia de la nae, se en los objetos de la Tierra ás ortos y desde la Tierra se e la nae ás orta. Solo son erdaderas la d) y la e). TRANSFORMACIÓN DE LORENTZ Y DILATACIÓN DEL TIEMPO 3.9 En un laboratorio se han ajustado dos relojes idéntios ara que suene un ti ada segundo. Uno de los relojes se uee on una eloidad,6 y el otro se enuentra estaionario. Cuál es el tieo que transurre entre dos ti del reloj óil uando el interalo es edido or el reloj estaionario? El tieo transurrido entre dos ti suesios del reloj óil es: Δ t' Δt,6,5 s Soluionario

8 3.3 Un satélite se enuentra situado en una órbita geoestaionaria a una altura de 36 sobre la suerfiie de la Tierra y, or tanto, da una uelta a esta ada h. a) Cuánto tardará el reloj del satélite en retrasarse s reseto de los relojes terrestres? b) India alguna situaión en la que es neesario tener en uenta este tio de retrasos. a) La eloidad del satélite es: πr π t 7 6 ( 3,6 + 6,36 ) 6 3,5 s El tieo que transurre en un sistea en oiiento sigue la siguiente relaión: Δ t t t' t 3, t 5,7 t Por tanto, ara que Δt deberán asar:,9 s 6años 5,7 b) A esar de lo equeño del retraso, es neesario tenerlo en uenta en los odernos sisteas GPS. 3.3 India en uáles de las siguientes situaiones debe ser tenido en uenta el fenóeno de la dilataión del tieo. a) En la edida de la ida edia de las artíulas eleentales aeleradas a grandes eloidades. b) En la edida de los tieos que tardan los ohes de fórula en dar las ueltas a los iruitos. ) En el ronoetraje del tieo de duraión de un iaje a la Luna or arte de la estaión de seguiiento terrestre. d) En la sinronizaión de los relojes terrestres on los que iajan en los satélites de los sisteas GPS. e) En la edida de los tieos en las distintas ruebas olíias. Solo en las situaiones a) y d). Para el resto de situaiones, los efetos relatiistas son irreleantes. 3.3 Una nae esaial abandona la Tierra a la eloidad de,9. Deterina el tieo que neesita el inutero de un reloj de la nae en efetuar una reoluión oleta si la ediión la realiza un obserador situado en la Tierra. Una reoluión del inutero es, eidenteente, inuto. Es deir, 6 segundos. Para un obserador en Tierra, el tieo en la nae transurre ás lentaente: Δ t' Δt 6 (,9) 3,5 s Soluionario

9 Soluionario onario 3.33 El fenóeno de la dilataión del tieo ha dado origen a la faosa aradoja de los geelos, en la que el enejeiiento biológio es el reloj en los sisteas S y S en oiiento relatio. Suóngase dos heranos geelos, uno de los uales abandona la Tierra a los 5 años en un iaje de ida y uelta a una estrella que dista, años luz a una eloidad de,; or tanto, el tieo de ida y uelta es años. El geelo que queda en la Tierra habrá enejeido años al regreso del otro. El geelo iajero, que se ha oido reseto a la Tierra, habrá enejeido en una antidad: Δ t, 6,6 años Pero el roblea se hae onfuso uando se exaina desde el unto de ista del geelo iajero: ara él, la Tierra tabién se uee reseto a un sistea de referenia fijo en su roia nae. Coo la Tierra tarda en regresar años, el naegante habrá enejeido años y el que eranee en la Tierra solo 6,6 años. Resuele esta aarente aradoja. Los ostulados de la relatiidad eseial se alian úniaente a sisteas ineriales de referenia, que son los que se ueen on eloidades onstantes unos reseto de otros. En este aso, el astronauta que se ha ido y ha uelto ha tenido que estar aelerando durante arte del iaje. Esta aeleraión se uede detetar y sire ara distinguir entre abos sisteas de referenia. Las ediiones de edad no son oarables, uesto que el sistea de la nae esaial no es inerial. Utilizando la teoría general de la relatiidad se orueba que el iajero uele, años as joen. 3.3 Un hobre on un herano geelo abandona la Tierra en una nae esaial ara haer el reorrido de ida y uelta a una estrella que se enuentra situada a años luz. El iaje se realiza a una eloidad onstante de,9. A su regreso a la Tierra, uánto tieo es ás joen que su herano geelo que eraneió en ella todo el tieo que ha durado el iaje? Dato. año-luz 9,6 5 La distania or reorrer en etros ara el iaje de ida y uelta es: e 9,6 El tieo de iaje ara el geelo en tierra es: t e 6 5 7,57 (),9 3, ( s Para el geelo que iaja, el tieo transurrido es: 7,57 6, s,9 años ) Δ t' Δt (,9),9 3, años Por tanto, el geelo en Tierra es,9 3, 5, años ás iejo. COMPOSICIÓN RELATIVISTA DE VELOCIDADES 3.35 Una nae se aleja de la Tierra a una eloidad de,. En un oento dado, la nae disara un royetil en su isa direión y sentido, que se uee reseto a la nae a una eloidad de,6. Deterina on qué eloidad se uee el royetil reseto a Tierra. No se ueden suar sin ás las eloidades, orque se obtendría una eloidad de,, osa iosible. Se debe elear la fórula de oosiión relatiista de eloidades. Sea, la eloidad de la nae reseto a Tierra y ' x,6 la eloidad del objeto reseto a la nae; entones, la eloidad del objeto reseto a Tierra es: ' x x + ' x +, +,6,,6 +,95 Soluionario

10 3.36 Desde la Tierra ueden erse dos galaxias que se alejan de nosotros en direiones ouestas on una eloidad de,6 ada una. Aerigua la eloidad on la que se alejan una de otra. Hay que aliar la euaión de oosiión relatiista de eloidades, ara oder er la eloidad de una galaxia toando a la otra oo sistea de referenia: x +,6 +,6, x, x,6,6, Un hobre situado en la Luna obsera que dos naes esaiales se dirigen haia él en sentidos ouestos a eloidades de,7 y,6 resetiaente. Cuál es la eloidad relatia de las dos naes edida or un obserador en ualquiera de ellas? Utilizando de nueo la fórula de oosiión relatiista de eloidades: x + x +,7 +,6,7,6 +,3, x,9 3.3 Corueba que, uando se utiliza la transforaión de Lorentz, la eloidad de la luz,, es la isa en un sistea de referenia S y en otro S que se uee on eloidad reseto a S. Aliaos la fórula relatiista de sua de eloidades. Sea x la eloidad de un óil en el sistea de ' x referenia S, y x, su eloidad en un sistea de referenia S. Se ule que: x x En nuestro aso, x, luego: ' x Por tanto, la eloidad de la luz no deende del sistea de referenia donde se ida. DINÁMICA RELATIVISTA. EQUIVALENCIA MASA-ENERGÍA 3.39 Un neutrón, uya asa en reoso es,675 7 g se aelera hasta que su asa es uatro ees la del reoso. a) Cuál es la energía inétia del neutrón? b) Teneos ahora de estos neutrones que se frenan desde la situaión itada hasta el reoso. Cuántas bobillas de W odrán luir on la energía de esos neutrones durante un segundo? a) La energía inétia relatiista es: E 3 E 3,675 7 (3, ),5 J b) Si se frenan hasta el reoso, y toda su energía inétia se udiera transforar en energía elétria, se obtendría:,5,5 J Coo W es la transferenia de J de energía or segundo, luirían:,5 5 bobillas durante segundo Soluionario 3

11 Soluionario Soluionario onario Soluionario 3. Exresa la energía total de una artíula en funión de su oento lineal relatiista. 3. Exresa la energía total de una artíula en funión de su oento lineal relatiista. El oento lineal relatiista es: El oento lineal relatiista es: / / + La energía total es: 6 6 / E E + + E + 3. En el aelerador de artíulas del CERN se tienen rotones de es,67 7 g oiéndose a eloidades de,9 dentro de unos tubos. Aerigua la asa que tendrán que utilizar los ientífios en sus álulos ara eitar que se hoque on las aredes. La euaión que hay que utilizar es la de la asa relatiista: g 3,3,9, Una artíula tiene una energía inétia de 6 MeV y una antidad de oiiento de,75 9 g s. Deterina su asa en reoso y su eloidad. Se suone que es neesario utilizar fórulas relatiistas. La energía inétia relatiista es: E C / donde, lo que ilia que La antidad de oiiento relatiista es: / Diidiendo la energía inétia or el oento lineal ultiliada or : E Sustituyendo los alores onoidos, se tiene:,9 3,75 6,6 E ,36,9 ) ( + ;,93,37,93 - g,7,37 3,,93,75 7 9

12 3.3 Calula a qué eloidad tiene que oerse un uero ara que su energía total sea el doble de la que tenía en reoso. La euaión que india la energía total de un uero es: E + La energía en reoso es: E Si la energía tiene que aler el doble, teneos que: ( ) + 3 Desarrollando, se obtiene que: 3 3 ; 3 ; Qué asa tendrá un uero que en reoso tiene una asa de g, uando iaja on una eloidad de,5? La asa de un uero sigue la relaión:,5 6, g 3.5 Un uero C de asa se uee on eloidad onstante ( << ), osee un oento lineal (antidad de oiiento) y una longitud de onda de De Broglie asoiada λ. Por analogía on los fotones, se asoia a la onda de C una freuenia ν dada or: energía de C ν h h h Teniendo en uenta que λ, resulta entones que λ, en desauerdo on la euaión de De ν Broglie. a) Cuál es el fallo del razonaiento que otia este desauerdo? b) Subsanado el fallo, alula la eloidad on la que se roaga la onda aterial del uero C. h a) La relaión de De Broglie india que λ. El origen de la diergenia entre esta euaión y la del enuniado se debe a que la energía inétia que hay que toar es la relatiista, ya que la asa aría on la eloidad. En el aso de los fotones, la asa en reoso es nula y entones su oento lineal se uede exresar oo, y su energía oo E, donde la asa es la asa relatiista. En el aso de la energía inétia lásia, la euaión que se elea es E, en la que la asa es la asa en reoso. h Por tanto, en los fotones se tiene que E hν y, or tanto, λ. ν De Broglie alió esta exresión a todo tio de artíulas. b) Del roio enuniado, se tiene que: λ λν T Soluionario 5

13 Soluionario onario 3.6 Di si es ierto o falso el siguiente arguento y razona la resuesta: El fotón, debido a su eloidad, osee antidad de oiiento. El fotón osee antidad de oiiento debido a que tiene energía y a que la energía inétia está relaionada on la antidad de oiiento según la euaión: E + La afiraión es falsa, orque el enuniado da a entender que tiene energía or tener asa en reoso. 3.7 Una artíula de asa en reoso, g iaja on una eloidad,, siendo la eloidad de la luz en el aío. Cuál es la relaión entre su energía inétia relatiista y su energía inétia lásia? Su energía inétia lásia es: La energía inétia relatiista es: E rel. E (,),3 ( E E rel. ),67,,3,67 3. En un ristal las oléulas se enuentran quietas en iertas osiiones, ientras que en un gas se ueen a gran eloidad. Auenta la asa de un uero al asar de sólido a gas? La asa de los ueros auenta uando la eloidad de sus átoos o oléulas auenta. En un gas las oléulas se ueen uho ás ráidaente que en un ristal y, or tanto, la asa de ada oléula será ayor en estado gaseoso y, en onseuenia, ayor será la asa de todo el uero. 3.9 A qué eloidad debe oerse un eletrón ara que su asa sea igual a la del rotón? Datos. e 9, 3 g;,7 7 g ' ' 9,, ,9 7,9,99999 s 3, s 6 Soluionario

14 PROBLEMA DE SÍNTESIS 3.5 Los agujeros negros son objetos que se desriben ediante odelos teórios. Se trata de restos roedentes de atástrofes estelares. Cuando una estrella uy ásia exerienta una exlosión tio suernoa, si el resto estelar (sus aas ás internas) es suerior a, asas solares, debido a la fuerza graitatoria, exerienta un roeso de onersión en agujero negro (tabién llaado estrella ongelada). La ateria estelar desaaree dentro de una esfera iaginaria llaada horizonte de suesos, de fora que nada, ni siquiera la luz, uede esaar del interior de diho horizonte. En ese sentido, se trataría de un objeto erfetaente negro, ues absorbería toda la luz o ateria que estuiese en sus alrededores y no eitiría ningún tio de radiaión o ateria. Si se udiera obserar el aeraiento de un objeto al horizonte de suesos, se orobaría que este es aelerado hasta la eloidad de la luz, a la ual alanzaría justo en el horizonte de suesos. Pero esta eloidad es un líite inalanzable de la físia. a) Busa inforaión sobre el efeto de area graitatoria que se exerientaría era del agujero negro. b) Busa inforaión, teniendo en uenta la teoría de la relatiidad, sobre oo sería el iaje a un agujero negro desde el unto de ista del iajero que a haia él y desde el unto de ista de un obserador alejado del agujero negro. a) La llaada area graitatoria onsiste en la diferenia de fuerzas de atraión graitatoria que el agujero negro ejere entre untos relatiaente róxios entre si, ero a diferente distania del horizonte de suesos. Un ejelo sería la diferente fuerza graitatoria ejerida sobre los ies y la abeza de la ersona (searados enos de ). Esta area sería uy intensa y deforaría a los objetos que se aroxiaran al horizonte de suesos, estirándolos en direión radial on el entro del agujero negro. Ese esaio-tieo se enuentra eseialente urado era de los agujeros negros. b) Desde el unto de ista de un obserador alejado del agujero, la nae iajera se aroxiaría al horizonte de suesos aelerando su eloidad hasta era de la de la luz. Este obserador externo orobaría que los relojes de la nae atrasan reseto del suyo. Desde el unto de ista de un iajero de la nae, las osas transurren de fora totalente diferente. El iajero no obsera desde su sistea de referenia ninguna ralentizaión de su roio reloj y, si antes no ha sido destruido or las fuerzas de area, odría deterinar su aso a traés del horizonte de suesos del agujero negro. Soluionario 7