GEOMETRÍA. Primero algunos ejercicios de calentamiento:

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1 GEOMETRÍA María del Rosario Velázquez Camacho 20 a 23 de Julio de 2011 Primero algunos ejercicios de calentamiento: Ejercicio 1. Sobre los lados AB y AC de un triángulo ABC se construyen externamente los triángulos equiláteros ABP y ACQ respectivamente. Demostrar que CP = BQ. Ejercicio 2. Si en un triángulo ABC, Y es un punto sobre BC y X sobre AC de tal manera que AY es perpendicular a BC y BX es perpendicular a AC. Si el ángulo ABC = 50 y el ángulo BAC = 60, cuánto mide el ángulo BT Y? Ejercicio 3. Considere un triángulo ABC en el cual AC > AB. Si un rayo con origen B corta a AC en D de tal manera que los ángulo ABD y ACB son congruentes, deduzca que AB 2 = AC AD Ejercicio 4. En un triángulo equilátero XY Z se dividen los lados en tres partes iguales. Llamemos a las divisiones A, B, C, D, E y F, cuál es el área del hexágono ABCDEF si el área del triángulo XY Z es 18. Ejercicio 5. En el triángulo ABC, D y F están sobre AB y E sobre AC de manera que DE BC, F E DC, si AF = 4 y F D = 6. Encontrar DB. Ejercicio 6. Inscribimos un cuadrado en un triángulo rectángulo de lados 3, 4, 5 como se muestra en la figura. Qué fracción del triángulo ocupa el cuadrado? 1

2 Puntos y Rectas Notables en el Triángulo Mediana Línea recta que une el vértice de un tríangulo con el punto medio del lado opuesto. Mediatriz Línea recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a este. Altura Línea recta que pasa por el vértice y es perpendicular al lado opuesto. Bisectriz Línea recta que divide un ángulo en dos ángulos congruentes. 2

3 Ejemplo 1 La bisectriz es el lugar geométrico 1 de los puntos en el plano tales que equidistan 2 a dos rectas fijas. Demostración = ) Sean AB y AC dos rectas con l su bisectriz. Sea P un punto sobre su bisectriz. Se trazan P Q y P R de manera que P Q AC y P R AB, R y Q en las rectas AB y AC respectivamente. Demostrar que P Q = P R. P está en l, es decir QAP = RAP, como P Q AC y P R AB entonces AQP = 90 = ARP, luego también se tendrá que QP A = RP A y como AP = AP, entonces AQP ARP por criterio de congruencia ALA, por lo que P Q = P R. =) Sean AB y AC dos rectas. Si D es un punto en el plano, Q y R en AB y AC respectivamente tales que DQ = DR y DQ AB y DR AC, probar que D está en la bisectriz de BAC. DRA y DQA son triángulos rectángulos entonces AD 2 = AR 2 + DR 2 y AD 2 = AQ 2 +DQ 2, de donde AR 2 +DR 2 = AQ 2 +DQ 2, pero como DR = DQ entonces DR 2 = DQ 2, por lo que AR 2 = AQ 2, entonces AR = AQ. Así que ahora tenemos AQ = AR, DQ = DR, AD = AD Entonces DRA DQA, por criterio de congruencia LLL, por lo que QAD = RAD, por lo tanto AD es bisectriz de BAC. 1 Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedades geométricas. 2 Tienen la misma distancia. 3

4 Ejemplo 2 La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos en el plano tales que equidistan a dos puntos fijos. Demostración = ) Sea AB un segmento con mediatriz l. Sean P que está en l y M es el punto medio de AB. Demostrar que P equidista de A y B. P M AB entonces P MB = 90 = P MA, P M = P M y como M es punto medio entonces AM = BM, entonces P MA P MB por criterio de congruencia LAL. De donde P A = P B por lo que P equidista de A y B. =) Sean AB un segmento, P un punto en el plano tal que P A = P B. Si M es punto medio de AB, demostrar que P M AB. Se tiene que P A = P B, AM = BM ya que M es punto medio y P M = P M, entonces P MA P MB por criterio de congruencia LLL, entonces P MB = P MA, pero como P MB + P MA = 180 porque A, M y B son colineales, de donde P MB = P MA = 90. Por lo tanto P Mes mediatriz de AB. Ejemplo 3 El baricentro 3, corta a cada mediana en razón 2:1 Demostración Sea G el punto de intersección de BM y AL. Probar que AG GL = BG GM = CG GN = 2 1 L y M son puntos medio de BC y AC, respectivamente. Entonces LM AB y AB LM = 2 1 LMG = ABG y MLG = BAG por ser alternos internos. Entonces LMG ABG por criterio de semejanza AA. Luego AB LM = AG LG = BG AB MG y como LM = 2 1, entonces 2 1 = AB LM = AG LG = BG MG, por lo que AG LG = BG MG = 2 1. Análogamente se prueba que CG NG = Punto de intersección de las medianas. 4

5 Ejercicios I Ejercicio 1. La bisectriz interna y la bisectriz externa de un ángulo son perpendiculares. Ejercicio 2. Las bisectrices internas de un triángulo concurren. 4 Al punto de concurresncia se le llama Incentro y es el centro de la circunferencia Inscrita. 5 Ejercicio 3. Las mediatrices del triángulo concurren. Al punto de concurrencia se le llama Circuncentro y es el centro de la circunferencia Circunscrita 6. Ejercicio 4. Las medianas del triángulo concurren en el baricentro. Ejercicio 5. Las alturas del triángulo concurren. El punto de concurrencia se llama ortocentro. Ejercicio 6. Sea ABC un triángulo. Sean P, Q y R los puntos medios de los lados AB, BC y CA, respectivamente. Sea S el punto de intersección entre el lado AB (o su prolongación) y la bisectriz del ángulo P QR. Demostrar que el triángulo P RS es isósceles. Ejercicio 7. P es cualquier punto del interior de un triángulo ABC. Sean A, B y C los puntos medios de los segmentos P A, P B y P C respectivamente. Demuestra que los triángulos ABC y A B C son semejantes en razón 2:1 Ejercicio 8. La mediana AL del triángulo ABC divide a este en dos triángulos de áreas congruentes. Ejercicio 9. congruentes. Las medianas dividen al triángulo en seis triángulos de áreas Ejercicio 10. En un paralelogramo ABCD, si P es el punto de intersección de las diagonales. Demuestre que cualqueir recta que pasa por P divide al parelelogramo en dos figuras que tienen la misma área. Ejercicio 11. Considere un triángulo equilátero ABC de lado 2, y D, E, puntos sobre los lados BC y CA, de manera tal que el segmento DE sea tangente al círculo inscrito del triángulo. Encuentre el perímetro del triángulo CDE. 4 Las tres líneas se cortan en el mismo punto. 5 Que es tangente a los tres lados del triángulo. 6 Que pasa por los tres vértices del triángulo. 5

6 Ejercicio 12. Con seis reglas con los extremos perforados y cinco pernos se construye un dispositivo como el que se muestra en la figura, dos de las reglas tienen longitud b y las otras cuatro tienen longitud a, de manera que a < b. Se observa que al moverlos brazos b, los vértices marcados con las letras P y Q se juntan o separan según el valor del ángulo αentre las longitudes b sea mayor o menor. Demuestra que no importa la abertura del ángulo α, el producto de las distancias OP OQ es constante. Ejercicio 13. Consideremos el círculo con centro O, A y B puntos en la circunferencia tales que AOB = 60. Sean M un punto cualquiera en el arco AB, P, Q,, R, S, los puntos medio de los segmentos AM, OB, OA, BM, respectivamente. Demuestre que P Q es perpendicular a RS. 6

7 Ángulos en una circunferencia Es aquel que está formado por dos radios de la circun- Ángulo Central. ferencia. Es aquel que está formado por dos cuerdas de la circun- Ángulo Inscrito. ferencia. Ángulo Semi-inscrito. Es aquel que está formado por una cuerda y una tangente a la circunferencia. Teorema. Los ángulos inscritos y semi-inscritos que abarcan el mismo arco son congruentes y miden la mitad del ángulo central que abarca dicho arco. Teorema. El punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el circuncentro de dicho triángulo. Proposición. Sea AB es diámetro de una circunferencia C, si P es un punto sobre C, entonces el triángulo AP B es un triángulo rectángulo con ángulo recto en P. 7

8 Cuadriláteros Cíclicos Definición. Un cuadrilátero es cíclico si está inscrito 7 en una circunferencia. Teorema. Un cuadrilátero ABCD es cíclico si y sólo si se cumple alguna de las dos afirmaciones siguientes a) ABC + CDA = 180 b) ADB = ACD Demostración = ) Sea un cuadritátero cíclico, probar que ABC + CDA = 180 o ADB = ACD ABCD es cíclico, seaα = COA tomando el arco que contiene al punto D y sea β = COA tomando el arco que contiene el punto B. Se tiene entonces α + β = 360 Por otro lado, sabemos que ABC = 1 2 α y CDA = 1 2β, entonces ABC + CDA = 1 2 α β = 1 2 (α + β) = 1 2 (360 )= Sus vértices están todos sobre la misma circunferencia. 8

9 También, como ABCD es cíclico ABD y ACD abarcan el mismo arco (AD), entonces ABD = ACD =) Sea ABCD un cuadrilátero tal que BCD+ DAB = 180, demostrar que ABCD es cíclico. Sea C la circunferencia circunscrita al triángulodemostración BCD, sea E la intersección de AB y C. Sabemos entonces que DCB + DEB = 180 y BCD + DAB = 180, entonces BCD + DAB = DCB + DEB, pero BCD = DCB luego DAB = DEB y como A, B y E son colineales, entonces A = E. Por lo tanto ABCD es cíclico. La demostración es similar si se supone que ADB = ACD Teorema de Ptolomeo Si ABCD es un cuadrilátero cíclico entonces AB CD + BC AD = BD AC 9

10 Demostración Sean P la intersección de las diagonales AC y BD y E en BP tal que DAE = CAB. DAE = CAB y ADE = ACB, entonces DAE CAB por criterio de semejanza AA. De donde DA CA = AE AB = DE CB AD BC = AC DE Por otro lado ACD = ABE y BAE = BAC = DAE = P AE + EAD = P AD así que CAD BAE de donde CA BA = AD AE = CD BE, por lo que AC BE = AB CD Luego AB CD + AD BC = AC BE + AC DE = AC(BE + DE) = AC BD NOTA: El recíproco del Teorema también es cierto. Ejercicios II Ejercicio 1. Dado un triángulo ABC con circunferencia circunscrita de centro en O y un punto P cualquiera de la circunferencia circunscrita distinto de A. Demostrar que la intersección de la circunferencia de diámetro AO y el segmento AP es el punto medio de este segmento. Ejercicio 2. Dos rectas perpendiculares entre si cruzan dos lados AB, CD y BC, AD del cuadrado ABCD en los puntos E, F, G, H, respectivamente. Sea O la intersección de dichas rectas. Demuestra que EG = F H. Ejercicio 3. Sea ABCD un rectángulo. Se trazan exteriormente los triángulo equiláteros AP B, BQC, CRD y DSA. Si L, M, N, O son puntos medios de AS, AP, BQ y RD respectivamente. Demostrar que LMNO es un cuadrilátero cíclico. Ejercicio 4. Una circunferencia con centro O se encierra entre dos tangentes paralelas, una tercera tangente corta a las dos primeras en P y Q respectivamente. Muestra que P OQ = 90 Ejercicio 5. Dos circunferencias se intersectan en P y Q, una recta que separa a P y Q corta a la primera circunferencia en A y B y a la segunda en C y D, con C entre A y B y con B entre C y D. Muestra que AP D + BQC = 180. Ejercicio 6. Dos circunferencias se cortan en A y B, por A se traza una recta que corta a la primera circunferencia en C y a la segunda en E. La tangente en C a la primera circunferencia y la tangente en E a la segunda circunferencia, se intersectan en D. Muestra que BCDE es un cuadrilátero cíclico. 10

11 Ejercicio 7. Sea ABC un triángulo tal que el ángulo ABC es recto y AC = 2BC. a) Construya un punto D diferente de B tal que DC = BC y AD = AB. b) Pruebe que D pertenece a la mediatriz de AB. Ejercicio 8. Sea ABCD un cuadrilátero cíclico con AD+BC = AB. Muestra que las bisectrices de ADC y BCD concurren en AB. Ejercicio 9. En un cuadrado ABCD, M es el punto medio de AB. Una línea perpendicular a MC por M intersecta a AD en K. Demuestra que BCM = KCM. Ejercicio 10. En la figura estan trazadas las bisectrices de ángulos interiores de ABCD, las cuales se intersectan en E, F, G y H como se muestra. Probar que EF GH es cíclico. Ejercicio 11. En un triángulo ABC sean M, N y P puntos sobre BC, CA y AB respectivamente. Se trazan circunferencias circunscritas a los triángulos AP N, BMP y CNM. Demuestra que las circunferencias tienen un punto común. Ejercicio 12. ABC triángulo con D y E pies de altura desde A y B. Sea M en la prolongación de BE, tal que EM = AD y N la intersección de la prolongación de BC con la perpendicular a BM por M. Prueba que NCA es un triángulo isósceles. Ejercicio 13. Una línea P Q paralela al lado BC de un triángulo ABC, corta a AB y a AC en P y Q, respectivamente. La circunferencia que pasa por P y es tangente a AC en Q corta de nuevo a AB en R. Demostrar que RQCB es cíclico. Ejercicio 14. Sea AB diámetro de una circunferencia que tiene centro O. Sea L un punto sobre la circunferencia y M el pie de la perpendicular al diámetro AB que pasa por M. N pie de la perpendicular a LO que pasa por M. Demostrar que la longitud del segmento LN es la media armónica de a y b, en donde a es la longitud de AM y b la longitud de MB. Es decir, probar LN = 2ab a+b. 11

12 Ejercicio 15. Sea ABC un triángulo con L, M, N puntos medios de los lados BC, CA, AB, respectivamente. Muestre que LAC = M BA si y sólo si CNA = ALB. Ejercicio 16. El ortocentro de un triángulo acutángulo es el incentro del triángulo órtico. 8 Ejercicio 17. En el triángulo ABC, sean AK, BL, CM las tres alturas y H el ortocentro. Sea P el punto medio de AH. Si BH y MK se intersectan en el punto S, y LP y AM se intersectan en el punto T, muestre que T S es perpendicular a BC. Ejercicio 18. H es el ortocentro del triángulo ABC. La altura por A corta al lado opuesto en D y corta al circuncírculo en K. Demostrar que HD = DK. Ejercicio 19. Pitágoras. Utilizando el Teorema de Ptolomeo, demuestra el Teorema de Ejercicio 20. Usando el Teorema de Ptolomeo, encuentra la razón entre la diagonal y el lado de un pentágono regular. Ejercicio 21. Sea ADE un triángulo rectángulo con el ángulo recto en D, sea C punto medio de AE. Se traza una circunferencia que pasa por A y C y tiene centro O sobre AD. Prueba que AO AD = AC 2 8 El triángulo formado por los pies de altura. También llamado Triángulo Pedal. 12

13 Incírculo, Excírculos y Circuncírculo Definimos anteriormente la Circunferencia Inscrita (Incírculo) como la circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo y cuyo centro es el punto de intersección de las bisectrices internas del triángulo. También tenemos que la Circunferencia Circunscrita (Circuncírculo) es la que pasa por los tres vértices del triángulo y tiene centro en el punto de intersección de las mediatrices. Definición. Un Excírculo o Circunf erencia Excrita es una circunferencia que es tangente a uno de los lados del triángulo y a las prolongaciones de los otros dos lados, su centro (excentro) se ubica en el punto de intersección de una bisectriz interna y las bisectrices externas de los otros dos ángulos. Al haber tres lados en el triángulo entonces hay tres Excírculos. En la figura, se muestran las circunferencias excritas y la circunferencia inscrita al triángulo ABC. Los centros de los Excírculos se nombraron como E a, E b, E c dependiendo del lado al que son tangentes. Definición. El semiperímetro es igual a la mitad del perímetro. Si a, b, c son las longitudes de los lados BC, CA, AB, respectivamente entonces el semiperímetro de ABC es s = a+b+c 2. 13

14 Dado un triángulo ABC, si x = AY = AZ, y = BZ = BX, y z = CY = CX Las igualdades son ciertas pues se están tomando segmentos tangentes al incírculo desde los vértices del triángulo ABC. Entonces, se tienen los siguientes resultados: Proposición. s = x + y + z A saber, si p es el perímetro del triángulo ABC, entonces p = AB+BC+CA = AZ+BZ+BX+CX+CY +AY = x+y+y+z+z+x = 2(x + y + z) y como s = p 2(x+y+z) 2, entonces s = 2 = x + y + z Proposición. x = s a; y = x b; z = s c A saber, s a = (x + y + z) a = (x + y + z) (y + z) = x Análogamente se prueban las otras dos igualdades. Proposición. Si P, Q y R son puntos de tangencia del excírculo opuesto a A sobre BC, AC y AB respectivamente, entonces s = AR = AQ A saber, AR = AQ, BP = BR y CP = CQ ya que son segmentos tangentes desde los vértices del triángulo hacia el excírculo. 14

15 Luego p = AB + BC + CA = AB + BP + P C + CA = AB + BR + AC + CQ = AR + AQ = 2AR = 2AQ de donde s = AR = AQ Ejercicios III Ejercicio 1. Si r es el radio del incírculo y s el semiperímetro del triángulo ABC, entonces el área del triángulo 9 ABC es (ABC) = r s Ejercicio 2. Si r a, r b y r c son los radios de los excírculos opuestos a los lados A, B y C del triángulo ABC, entonces s = r a (s a) = r b (s b) = r c (s c) Ejercicio 3. Si O es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC, D el pie de la altura desde A y E en la circunferencia de modo que AE sea diámetro. Si R es el radio del circuncírculo y h a es la longitud de la altura AD, probar que h a = bc 2R. Donde b y c son las longitudes de AC y AB, respectivamente. Ejercicio 4. (ABC) = abc 4R Ejercicio 5. (ABC) = s(s a)(s b)(s c) Ejercicio 6. Dado un triángulo ABC, sean x = AP, y = BQ, z = CR, con P, Q, R, puntos de tangencia del incírculo sobre los lados del triángulo AB, BC, CA, respectivamente. Probar que (ABC) = xyz r Ejercicio 7. Si r, r a, r b y r c son los radios del incírculo y los excírculos del triángulo ABC, entonces 1 r = 1 r a = 1 r b = 1 r c Ejercicio 8. Dado un triángulo ABC, con AC > AB. La circunferencia inscrita a dicho triángulo tiene radio r y centro I y es tangente a BC en P. La circunferencia excrita al triángulo ABC con radio r a y centro E, es tangente a BC en el punto Q. Demuestre que a) r r a = BP P C b) BP = QC c) P Q = b c Ejercicio 9. En el ejercicio anterior. Si ABC es un triángulo isósceles con AB = AC, entonces r r a = ( a 2 )2 9 Área del triángulo ABC se denota por (ABC) 15

16 Potencia Definición. Si P es un punto en el plano y se traza una recta que corte a la circunferencia C en los puntos A y B, entonces se define la potencia desde P hacia C como el producto P A P B. Teorema. La potencia desde P hacia C es independiente de los puntos de intersección. Es decir, si se trazan dos rectas desde P que corten a C en A y B una y en C y D la otra, entonces P A P B = P C P D Demostración ABCD es un cuadrilátero cíclico, entonces CDB+ BAC = 180, pero también tenemos que BAC+ CAP = 180 pues A, P, y E son colineales. Entonces CDB = CAP. También tenemos que AP C = DP B pues son un ángulo común a dos triángulos. Luego CAP BDP por criterio de semejanza AA. De lo anterior se tiene CA BD como se quería demostrar. = P C P B = P A P D, de donde P A P B = P C P D, Teorema. Si O es el centro y r es el radio de la circunferencia C, la potencia desde P hasta C es igual a OP 2 r 2. 16

17 Demostración Sea T el punto de tangencia desde P hacia la circunferencia C. Sean A y B las intersecciones de una recta que pasa por P y la circunferencia C. Primero demostraremos que P A P B = P T 2 P T A = T BA pues ambos abarcan el arco AT. También se tiene que BP T = T P A por ser un ángulo común en dos triángulos. Luego BP T T P A, de donde P B P T = P T P A, por lo que P A P B = P T 2. Ahora, ya que T es punto de tangencia y OT es radio, se tiene P T O = 90 y OT = r. Entonces P T O es un triángulo rectángulo. Así que por el Teorema de Pitágoras se tiene que P T 2 = OP 2 OT 2 = OP 2 r 2, pero como P T 2 = P A P B, entonces P A P B = OP 2 r 2 que es lo que se quería demostrar. Ejercicios IV Ejercicio 1. Dos circunferencias que se cortan en M y N tienen una tangente común que es tangente a una circunferencia en P y a la otra en Q. Demuestra que los triángulos MNP y MNQ tienen la misma área. Ejercicio 2. Sean C y D dos circunferencias que se intersectan en dos puntos distintos P y Q. Una recta que pasa por el punto P intersecta a dichas circunferencias en los puntos A y B respectivamente. Sea Y el punto medio de AB, y sean X y Z los puntos de intersección de QY con C y D respectivamente. Prueba que Y es también punto medio de XZ. 17

18 Ejercicio 3. Sea ABC un triángulo isósceles con CA = AB. Sean X, Y y Z los puntos de tangencia del incírculo con los lados BC, CA y AB respectivamente. Si CZ corta al circuncírculo en L y Y L corta a BC en M, muestre que XM = MC. Ejercicio 4. En la siguiente figura se supone que AB = 5, BD = 5, BC = 7 y AC = 9. Encuentre la razón AD DC. Ejercicio 5. Sea E un punto sobre una circunferencia de diámetro AB. Por los puntos B y E se trazan las rectas tangentes t 1 y t 2, respectivamente, que se cortan en el punto M. Sea C el punto de intersección de las rectas AE y t 1. Demuestre que M es el punto medio de BC. Ejercicio 6. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia llamemos P al punto de intersección de las diagonales AC y BD, y sea M el punto medio de CD. La circunferencia que pasa por P y que es tangente a CD en M corta a BD y a AC en los puntos Q y R, respectivamente. Se toma un punto S sobre el segmento BD de tal manera que BS = DQ. Por S se traza una paralela a AB que corta a AC en un punto T. Prueba que AT = RC. Ejercicio 7. En la figura, desde el vértice del cuadrado está trazada una tangente, la cual tiene una longitud igual al doble del lado del cuadrado. Encuentre el radio de la circunferencia en función del lado del cuadrado. 18

19 Ejercicio 8. Sean A, B, C y D circunferencias tales que A es tangente exteriormente a B en el punto P, B es tangente exteriormente a C en Q, C es tangente exteriormente a D en R y D es tangente exteriormente a A en S. Supón además que A y C no se cortan ni tampoco B y D. a) Prueba que los puntos P, Q, R y S están todos sobre la misma circunferencia. b) Supón además que A y C tienen radio 2, B y D tienen radio 3 y la distancia entre los centros de A y C es 6. Determina el área del cuadrilátero P QRS. Ejercicio 9. Sea ABCD un cuadrado en el que las diagonales AC y BD son perpendiculares. Sean P, Q, R y S los puntos medios de los segmentos AB, BC, CD y DA respectivamente. Sean W, X, Y y Z los pies de las perpendiculares trazadas desde P, Q, R y S hacia CD, DA, AB y BC respectivamente. Demuestra que P, Q, R, S, W, X, Y y Z están todos sobre una misma circunferencia. Ejercicio 10. Sean T A y T B dos tangentes a un círculo desde un punto exterior T. Sea P un punto del arco AB (el menor). Denotemos por M, N, Q a los pies de las perpendiculares desde P a T A, T B y AB, respectivamente. Demuestra que P Q 2 = P M P N 19

20 Ejercicios para que practiques un poco más... Ejercicio 1. Si un cateto de un triángulo rectángulo es el diámetro de una circunferencia, probar que la recta tangente a la circunferencia en el punto donde ésta intersecta a la hipotenusa, bisecta 10 al otro cateto. Ejercicio 2. Dado un triángulo ABC acutángulo en el cual D, E y F son los pies de las alturas de BC, AC y BA, respectivamente. Demostrar que la altura AD es bisectriz del ángulo F DE. Ejercicio 3. Sea ABCD un cuadrilátero y sean P y Q los puntos de trisección 11 de la diagonal BD. Sea E la intersección de la recta que pasa por A y P con el segmento BC y sea F la intersección de la recta que pasa por A y Q con el segmento DC. Demostrar que ABCD es un paralelogramo si y sólo si E y F son los respectivos puntos medios de los segmentos BC y CD. Ejercicio 4. Se trazan dos circunferencias tangentes externas C y C, si DE es tangente común externa a C y C en D y E respectivamente, sean C en C y B enc, de manera que C y B entán sobre la línea de los centros de C y C. Trazar las rectas CD y BE, estas se cortan en el punto A. Probar que a) A está sobre la recta tangente común interna a C y C. b) CAB es recto. Ejercicio 5. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AB y E es el punto de trisección de BC más cercano a C. Si ADC = BAE, encuentra el valor del ángulo BAC. Ejercicio 6. Sean M y N los pies de las alturas correspondientes a los lados AC y AB de un triángulo arbitrario ABC, respectivamente. Sea L punto medio de BC y P un punto sobre la recta NL tal que NL = LP. Probar que el ángulo MNP es de 90. Ejercicio 7. Sea ABCD un paralelogramo y C la circunferencia circunscrita al triángulo ABD. Sean E y F las intersecciones de C con los lados (o sus prolongaciones) BC y CD respectivamente (E distinto de B y F distinto de D). Demuestra que el circuncentro del triángulo CEF está sobre C. Ejercicio 8. En el triángulo ABC, D es el punto medio de AB y E es el punto de trisección de BC más cercano a C. Si ADC = BAE, encuentra el valor del BAC. 10 Corta en su punto medio. 11 Que cortan al segmento en tres segmentos congruentes. 20

21 Ejercicio 9. Sea ABC un triángulo acutángulo no isósceles. Sea D el pie de la altura desde A, y sean M y N los puntos medio de AB y AC respectivamente. Además, sean R y S los puntos de intersección de AC con MD y de AB con N D respectivamente. Demuestra que A, D, R y S están sobre una misma circunferencia. Ejercicio 10. Sea ABCD un trapecio con base mayor AB tal que las diagonales AC y BD son perpendiculares. Sea O el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo ABC y sea E el punto de intersección de las rectas OB y CD. Demuestra que BC 2 = CD CE Ejercicio 11. Sea AB el diámetro de un círculo con centro O. Sea C un punto de la circunferencia tal que OC y AB son perpendiculares. Se toma un punto P sobre el arco BC. Sea Q la intersección de las rectas CP y AB, y sea R la intersección de la recta AP con la perpendicular a AB por Q. Demuestra que BQ = RQ. Ejercicio 12. Demuestra que el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo, trazado a uno de los vértices de él, es perpendicular a la recta que une los pies de las alturas desde los otros dos vértices del triángulo. Ejercicio 13. Sobre la tangente por B a una circunferencia de diámetro AB, se toman dos puntos C y D. Si AC corta a la circunferencia en F y AD corta a la circunferencia en E, demuestra que AC AF = AD AE Ejercicio 14. Sea C una circunferencia de centro O y sea H una circunferencia que pasa por O y corta a C en A y B y cuyo centro se encuentra en el interior de C. Sea D (distinto de O) un punto que está en el interior de la circunferencia C. La recta AD corta nuevamente a la circunferencia C en E. Demuestre que DB = DE. Ejercicio 15. En una circunferencia está inscrito el triángulo equilátero ABC. En el arco BC se ha tomado al azar el punto M y se han trazado las cuerdas AM, BM y CM. Demuestre que AM = BM + CM. 21