Matrices y Determinantes

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1 ONTENIDOS.- MP ONEPTUL DE L UNIDD....- DEFINIIÓN....- TIPOS DE MTRIES....- OPERIONES ON MTRIES... SUM... PRODUTO DE UN NÚMERO REL POR UN MTRIZ... PRODUTO DE MTRIES... 6 POTENI DE UN MTRIZ UDRD INVERS DE UN MTRIZ....- EJERIIOS DE EUIONES Y SISTEMS MTRIILES DETERMINNTE DE UN MTRIZ UDRD DETERMINNTE DE UN MTRIZ DE ORDEN DOS DETERMINNTE DE UN MTRIZ DE ORDEN PROPIEDDES PLIIONES DE LOS DETERMINNTES ª PLIIÓN: ÁLULO DE L MTRIZ INVERS ª PLIIÓN: REGL DE RMER EUIONES MTRIILES... 6 Objetivos fundamentales.- onocer los fundamentos del álgebra matricial sus aplicaciones..- Resolver ecuaciones matriciales..- Saber calcular determinantes de orden..- alcular la matriz inversa (Gauss / Determinantes).- onocer la regla de ramer para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. ipri Matrices Determinantes

2 .- MP ONEPTUL DE L UNIDD Unidad Matrices Determinantes Operaciones Tipos de matrices Determinantes de orden Suma, resta multiplicaciones Potencia Inversa (Gauss) Inversa (determinates) Regla de ramer Resolución de Sistemas Ecuaciones Matriciales Grafos.- DEFINIIÓN Una matriz de dimensión (u orden) m n es un conjunto de mn números reales distribuidos en una tabla de m filas n columnas (se acostumbra a encerrarlos entre paréntesis). a a j a n a m n i aij a in am amj a mn También se suele representar en la forma, aij, i,..., m, j,..., n en la que el elemento a ij se encuentra en la intersección de la fila i con la columna j. Diremos que dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión los elementos que están en la misma posición son iguales. EJERIIOS:. En un IES ha 7 alumnos en ºESO, alumnas. En ºESO ha 8 alumnos 9 alumnas. En ºH. ha 69 alumnos 68 alumnas, en ºH. ha 6 alumnos 8 alumnas. a) Representa mediante una matriz, los datos anteriores. Dicha matriz la representaremos por la letra. b) Eplica el significado de los elementos a, a a. c) signa subíndices a las entradas con valor superior a 6 e inferior a. Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II

3 d) uántos cursan ºH.?. Si el IES anterior es un centro comarcal en el que se reúnen estudiantes procedentes de tres pueblos P, P P, atendiendo a su procedencia seo, obtenemos la siguiente matriz : P P P H 9 8 M 9 8 a) uántos alumnos preceden del pueblo? b) Qué significado tiene el elemento b? Y si consideramos la actividad profesional principal de los padres de esos alumnos su lugar de origen, tenemos la matriz : P P P Funcionario gricultor Manufacturero a) Eplica el significado de los términos c, c c. b) signa subíndices a los elementos de la matriz de valor inferior a. c) Qué valor numérico corresponde a las entradas de la matriz c, c c. En la matriz siguiente se representan los gramos de vitaminas, de dos alimentos. Qué alimento tiene más vitamina? Y? Qué alimento tiene maor cantidad de vitaminas? El gráfico siguiente nos muestra las relaciones que se establecen en un grupo de seis personas. onstrue una matriz que indique las relaciones anteriores, indicando con la eistencia de relación entre dos personas con la no eistencia de relación. 6. Una red de cinco procesadores puede relacionarse según el siguiente esquema: Procesador Procesador Procesador Procesador Procesador onstrue una matriz que indique las relaciones entre los procesadores, indicando con la eistencia de relación entre dos procesadores con la no eistencia de relación. Es posible una comunicación total entre todos los procesadores? ipri Matrices Determinantes

4 6. El grafo adjunto representa los caminos que comunican diversas localidades, con sus respectivas distancias. Halla la matriz de las distancias más cortas. 7 km D E km km 8 km 6 km km.- TIPOS DE MTRIES Matriz traspuesta Se llama matriz traspuesta de a la matriz que resulta de intercambiar ordenadamente las filas por t las columnas. Se representa por. Matriz nula Una matriz es nula si todos sus elementos son cero. Matriz cuadrada Una matriz es cuadrada si tiene igual número de filas que de columnas. Diagonal principal: Los elementos a ii de una matriz cuadrada forman la diagonal principal. Matriz simétrica Una matriz cuadrada es simétrica cuando aij a ji, esto es, cuando t. Matriz triangular Una matriz cuadrada es: - triangular superior cuando todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. - Triangular inferior cuando todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero. Matriz diagonal Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que no estén en la diagonal principal son cero. Matriz identidad Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son unos..- OPERIONES ON MTRIES Suma Sobre la dimensión: tienen que ser de igual dimensión Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II

5 a ij b ij ij ij ij ij a b a b Propiedades: Eactamente las mismas que tiene la suma de números reales. onmutativa: sociativa: Eistencia de elemento neutro: O O Eistencia de elemento simétrico: EJERIIOS: 7. Dadas las matrices 8, halla: a) d) e) b) t t c) t 8. Efectúa las siguientes operaciones: 9. alcula a, b, c d para que se cumpla: a b a 7 a b c d d cd. omprueba con un par de ejemplos que la traspuesta de una suma de dos matrices es igual a la suma de las dos matrices traspuestas.. En el Instituto ha chicas chicos en ºESO, en ºESO ha chicas chicos, mientras que en el Instituto, en ºESO ha chicas 9 chicos, en ºESO ha 7 chicas 8 chicos. Ordena estos datos en forma de matrices calcula el número de chicas chicos por curso en los dos Institutos juntos. Producto de un número real por una matriz Se multiplica dicho número por todos los elementos de la matriz. aij aij a EJERIIOS:. Realiza las siguientes operaciones: ij ipri Matrices Determinantes

6 a) b). Dadas las matrices:, calcula: a) b) 6 c). En un Instituto ha estudiantes en ºH. en ºH. Ordena estos datos en una matriz calcula el número de estudiantes aprobados por curso si este año se sabe que lo hicieron el 7% en cada curso. Producto de matrices Para poder multiplicar dos matrices se tiene que cumplir la siguiente condición sobre la dimensión de las matrices: nº de columnas del primer factor = nº de filas del segundo factor Para multiplicar dos matrices (que cumplan la condición anterior), ha que efectuar el producto de cada fila de la primera matriz por todas las columnas de la segunda. Propiedades: Que no cumple: onmutativa: Divisores de cero: ó ancelativa: (para ) Que cumple: - sociativa: - Distributiva: - Elemento neutro: I e I mn n mn m mn mn EJERIIOS:. alcula todos los productos posibles entre las matrices: 7,, 7 6. Dadas las matrices : Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II 6

7 halla: a) b), 7. Para las matrices:,, D realiza las siguientes operaciones: a) b) c) d) D e) f) D t g) t t h) D t i) t j) DD t k) DD Potencia de una matriz cuadrada I ipri n) n... con n EJEMPLO: Ángel, eatriz, elia Diego son cuatro radioaficionados que pueden comunicarse según se indica en el siguiente grafo: : Ángel : eatriz : elia D D: Diego La matriz que representa las comunicaciones entre ellos (matriz de adacencia) es: D M D ada elemento de esta matriz representa el número de formas que tienen de comunicarse directamente dos de éstos radioaficionados. sí, a significa que Ángel puede comunicarse directamente con eatriz. alculamos M : M M M Matrices Determinantes 7

8 ada elemento de dicha matriz indica el número de formas posibles que tienen de comunicarse dos de estos radioaficionados a través de un intermediario. sí, por ejemplo, el número que aparece en el elemento a indica que elia puede comunicarse con ella misma, por medio de un intermediario, de dos formas distintas: una a través de Ángel la otra a través de eatriz. Del mismo modo, si calculamos M, obtendremos el número de formas que tienen de relacionarse dos radiaficionados mediante dos intermediarios. M demás, si sumamos estas tres matrices, M, M, M, obtendremos las formas que, en total, tienen de comunicarse todos los radioaficionados entre sí, bien directamente o bien a través de intermediarios: M M M En general, dado un grafo de n vértices dada M, su matriz de adacencia, las sucesivas potencias de M M, M, M,... muestran el número de formas en que dos vértices del grafo pueden n relacionarse (a través de,,,, n intermediarios), su suma M M... M, el número total de formas que todos los vértices tienen de relacionarse entre sí. EJERIIOS: 8. on las matrices, , calcula: a) b) c) d) t e) 9. alcula, siendo.. Una fábrica decide distribuir sus ecedentes en tres productos alimenticios, a cuatro países de África P, P, P P según se describe en la matriz M (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas (E E) para el transporte de los productos a los países de destino como indica la matriz M (en euros por tonelada). P P P P P M P 7 M E P E P 6 Efectúa el producto de las matrices responde a las cuestiones: i) Qué representa el elemento a de la matriz producto? Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II 8

9 ii) Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto con la empresa E? iii) Indica qué elementos de la matriz producto te permiten decir cual es la empresa que más barato transporta el producto a todos los países.. Los consumos anuales de agua mineral, pan leche de familias (F, F, F) vienen epresados en la matriz. La evolución de los precios de los años 99 a 998 viene reflejada en la matriz. i) Hallar, si es posible, e indicar qué información proporciona el producto matricial. ii) Qué información nos da el elemento c de la matriz producto? pan agua leche F 8 6 pan F 8 6 agua 8 F 6 leche Una fábrica de calzado deportivo dispone de zapatillas para atletismo (), balonmano () tenis (T), en dos modelos: Mujer (M) hombre (H). El número de pares eistentes en el almacén viene definido por la matriz E. El precio, en euros, de cada uno de los pares viene definido por la matriz P. M H T 7 P M 9 8 E 6 H 9 T 6 Se pide: ) Obtener, si es posible, las matrices P E D E P ) Qué información proporcionan los elementos c de d de D ) Qué elemento de o D nos informa de la valoración de todas las zapatillas de balonmano?. Efectúa las siguientes operaciones con matrices: a) b) c) d). Dado el grafo de la figura: ipri Matrices Determinantes 9

10 D alcula su matriz de adacencia R. alcula R. Qué representan los elementos de esta matriz respecto del grafo?. Hallar la matriz M de las coneiones señaladas en el grafo adjunto, entre cuatro pueblos,, D: D alcular además M (la matriz que indica el número de itinerarios de dos etapas para ir de un pueblo a otro) M (la matriz que indica el número de itinerarios de tres etapas para ir de un pueblo a otro). Qué indica la matriz M M M?.- INVERS DE UN MTRIZ Sobre la dimensión: la matriz ( como consecuencia su inversa) tienen que ser cuadradas Una matriz es invertible (o que tiene inversa), si eiste una matriz, que se representa por que verifica: I - Método directo para calcular : Resolviendo el sistema de ecuaciones lineales que resulta. - Método de Gauss-Jordan ( I) transformaciones de Gauss I Transformaciones elementales de Gauss: Multiplicar una fila por un número distinto de cero ( Fi Fi) Sumar a una fila un múltiplo de otra ( Fj Fj pfi) Intercambiar filas ( Fi Fj) EJERIIOS: 6. alcula, si eiste, la inversa de: a) b) c) 6 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II

11 7. Encuentra e tales que, siendo: 8. Halla la inversa de la inversa de. 9. Utilizando los métodos vistos en clase, calcula las matrices inversas de: comprueba que I I. omprueba además que: a) b) c). alcula, utilizando el método de Gauss-Jordan, las inversas de las matrices: comprueba que I I..- EJERIIOS DE EUIONES Y SISTEMS MTRIILES. Si, resuelve las ecuaciones: a) X b) X. alcula X e Y en el sistema: X Y X Y. Epresa matricialmente los siguientes sistemas: a) resuélvelos. b) z z z ipri Matrices Determinantes

12 . Epresa en forma matricial resuelve por los dos métodos vistos en clase: a) b) c) 8 9. Obtén la matriz X en las siguientes ecuaciones matriciales: a) X h) X b) X i) X I X c) X j) X X I d) X k) X X e) X t l) X X f) X X t m) X X g) X X n) X 6. Resuelve la ecuación matricial X, donde: 7. Encuentra una matriz X que verifique X siendo 6 8. Siendo 9,, D 8 resuelve la ecuación matricial X D. 9. Dadas las matrices halla una matriz X tal que X.. Determinar una matriz X tal que X, siendo,. 6.- DETERMINNTE DE UN MTRIZ UDRD cada matriz cuadrada se le puede asociar un número real, llamado determinante de la matriz, que se obtiene a partir de los elementos de la misma. Debido a la complejidad de la fórmula general a que sólo vamos a calcular determinantes de orden, no es preciso dar una epresión general Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II

13 que defina el determinante de una matriz de orden n. Si la matriz es, se simboliza por det o. Menor complementario Se define el menor complementario del elemento a ij de una matriz a ij, se escribe determinante de la matriz que resulta de suprimir la fila i la columna j de la matriz. djunto de un elemento Se llama adjunto del elemento ij i j a, al número ij M. ij M ij, al Regla de Laplace (desarrollo del determinante por una fila o columna) El determinante de una matriz es la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus adjuntos correspondientes. 6.. Determinante de una matriz de orden dos omo el determinante de una matriz de orden coincide con el número que representa la matriz, aplicando lo visto en el apartado anterior se tiene que el determinante de una matriz de orden es: a a det aa aa a a EJERIIOS:. alcula el determinante de las siguientes matrices di cuáles de ellas son regulares (tienen determinante distinto de cero): a) b) c) 6 7. Indica para que valores de son regulares las siguientes matrices: a) b). Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 9 b) Determinante de una matriz de orden Definición El determinante de una matriz de orden es la suma de los productos de los elementos de cualquier fila o columna por sus adjuntos correspondientes. Efectuando el desarrollo correspondiente se obtiene la regla de Sarrus: ipri Matrices Determinantes

14 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II Productos con signo + Productos con signo EJERIIOS:. alcula los determinantes de las siguientes matrices: a) 6 b) c) d) 7 8 D. Indica cuáles de las matrices del ejercicio anterior son regulares. 6. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 6 b) 7 7. alcula todos los adjuntos de las siguientes matrices: a) b) Propiedades. Si una matriz tiene una fila o una columna de ceros, el determinante es cero.. Si se intercambian dos filas o dos columnas, cambia el signo del determinante.. El determinante de una matriz con dos filas o columnas iguales es cero.. Si multiplicamos una fila o columna por un número real, el valor del determinante queda multiplicado por dicho número.. Un determinante, con una fila o columna formada por la suma de dos números, puede descomponerse en suma de otros dos determinantes que tienen las mismas filas o columnas restantes, en lugar de aquella, otra formada por los primeros segundos sumandos, respectivamente. 6. El determinante de una matriz no cambia si a una cualquiera de sus filas o columnas se le suman o restan los elementos de otra paralela a ella, multiplicados por una constante. 7. Un determinante es cero si alguna de las filas o columnas que lo componen es combinación lineal de otras paralelas a ella.

15 8. El determinante de un producto de matrices es igual al producto de los determinantes de cada factor. det det det 7.- PLIIONES DE LOS DETERMINNTES 7.. ª plicación: cálculo de la matriz inversa Matriz adjunta: La matriz adjunta de la matriz a ij es la matriz ij sustituir el elemento a ij por su adjunto correspondiente, ij. EJERIIO: 8. alcula las matrices adjuntas de las matrices del ejercicio 7. dj que resulta de álculo de la inversa: dj t EJERIIOS: a 9. onsideramos la matriz : a a) Para qué valores de a tendrá inversa la matriz? b) alcúlala para a para a.. Halla las matrices inversas de las siguientes: a) b). alcula la matriz inversa, cuando eista: a) b) c) ª plicación: regla de ramer La epresión matricial del sistema de m ecuaciones n incógnitas ipri Matrices Determinantes

16 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II 6 m n mn m m n n n n b a a a b a a a b a a a es X, donde n m a ij, n X b m b. Sistema de RMER: X es un sistema de RMER es regular Regla de RMER (válida sólo para sistemas de RMER): det n i c b c donde el determinante del numerador está formado por las columnas de, sustituendo la i ésima por la columna b de términos independientes. Los problemas de aplicación de la regla de ramer se verán en la unidad siguiente!! 8.- EUIONES MTRIILES. [Junio de ] Dadas las matrices 7 ; Se pide: alcular la matriz inversa de la matriz inversa de. Hallar una matriz X tal que X [Septiembre de ] Dadas las matrices 6 8 ; alcular una matriz X tal que X. [Reserva de ] Dadas las matrices. Se pide: º) alcular la matriz inversa de. º) alcular una matriz X tal que X + =.. [Junio de ] Determina una matriz X tal que + X =, siendo

17 ipri Matrices Determinantes 7 8 ; ;. [Reserva de ] Dadas las matrices ; 7 8 Halla otra matriz X tal que X. 6. [Septiembre de ] onsiderando las matrices,. alcular una matriz X que verifique: X X 7. [Reserva de ] onsiderando las matrices una matriz que verifica: a) alcular b) alcular la matriz inversa de la matriz producto. 8. [Junio de ] Dadas las matrices ; ) Halla la matriz inversa de. ) Resuelve la ecuación matricial X =. ) alcula la matriz X. 9. [Septiembre de ] Dadas las matrices ) Halla la matriz inversa de. ) Resuelve la ecuación matricial X = +. ) alcula la matriz X.. [Reserva de ] Dadas las matrices e, I ) Halla la matriz inversa de I. ) Resuelve la ecuación matricial X = X.

18 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II 8 ) alcula la matriz X.. [Reserva de ] Dadas las matrices, ) Halla las matrices inversas de. ) Resuelve la ecuación matricial X =. ) alcula la matriz X.. [Junio de ] ) Resuelve la ecuación matricial X. + t = X., siendo t la matriz transpuesta de. ) Halla la matriz X sabiendo que [Septiembre de ] ) Resuelve la ecuación matricial X. + X. t =, siendo t la matriz transpuesta de. ) Halla la matriz X sabiendo que. [Reserva de ] ) Resuelve la ecuación matricial X + - = +, siendo - la matriz inversa de. ) Halla la matriz X sabiendo que [Reserva de ] ) Resuelve la ecuación matricial X. + X =. ) Halla la matriz X sabiendo que 6. [Junio de ] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X = I. X ) Halla la matriz X sabiendo que e I = 7. [Septiembre de ] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X + -. X = I siendo - la matriz inversa de.

19 ipri Matrices Determinantes 9 ) Hallar la matriz X sabiendo que e I = 8. [Reserva de ] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X. X = ) Hallar la matriz X sabiendo que [Reserva de ] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X. = ) Halla la matriz X sabiendo que - 7. [Junio de 6] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X X =. X + ) Halla la matriz X sabiendo que. [Septiembre de 6] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X. = X ) Halla la matriz X sabiendo que. [Reserva de 6] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X.. X =. ) Halla la matriz X sabiendo que. [Reserva de 6] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X. X = ) Halla la matriz X sabiendo que. [Junio de 7] ) Despeja la matriz X en la ecuación:.x.x =.X ) Halla X sabiendo que = = =

20 Matemáticas plicadas a las iencias Sociales II. [Septiembre de 7] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X. + = ) Halla la matriz X sabiendo que = = 6. [Reserva de 7] ) Despeja la matriz X de la ecuación:.x = I.X ) Halla la matriz X siendo I la matriz identidad de orden = 7. [Reserva de 7] ) Despeja la matriz X de la ecuación: + X +.X = ) Halla la matriz X sabiendo que = = 6 8. [Junio de 8] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X - =. X ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que 9. [Septiembre de 8] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X. X = ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que 8. [Reserva de 8] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X. X = ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que - -. [Reserva de 8] ) Despeja la matriz X en la ecuación:. X - = -. X ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que. [Junio de 9] ) Despeja la matriz X en la ecuación:.x +. X = I

21 ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que e I. [Septiembre de 9] ) Despeja la matriz X en la ecuación: ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que X. [Reserva de 9] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X X ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que. [Reserva de 9] ) Despeja la matriz X en la ecuación: X X X ) Halla la matriz X de la ecuación anterior sabiendo que ipri Matrices Determinantes