MECÁNICA DE FLUIDOS. Curso del Trimestre 07-I

Transcripción

1 MECÁNICA DE FLUIDOS Curso del Trimestre 07-I Notas complementarias al libro de teto: Fenómenos de Transporte por Bird, Stewart, Lightfoot (Reverte, 1982), para actualizar el contenido de acuerdo a la nueva edición en inglés (John Wiley & Sons, 2002) Prof. Alberto Soria López

2 0. Los Fenómenos de Transporte * CANTIDADES: Mecánica de fluidos transporte de momentum Transferencia de calor transporte de energía Transferencia de masa transporte de masa de especies químicas ** SISTEMAS: Material sistema lagrangiano sistema cerrado Volumen sistema euleriano sistema abierto ESTUDIO SISTEMÁTICO DE FENÓMENOS DE TRANSPORTE Los mecanismos que subyacen en los tres fenómenos dependen en común de la estructura de la materia (movimientos e interacciones moleculares) Semejanza en mecanismos, ecuaciones y métodos matemáticos NIVELES DE DESCRIPCIÓN Estudio de las manifestaciones ocurridas cuando se transfiere una cantidad de interés* en un sistema elegido** Ejemplo: Columna de absorción de pared mojada L e G s Moléculas de líquido v z ρl ρg G e L s Moléculas de gas NIVEL GLOBAL NIVEL LOCAL NIVEL MOLECULAR Balances globales balances locales Leyes de conservación Ecuaciones de cambio en partículas volumen espacio fase 2

3 1. Viscosidad y mecanismos de transporte de momentum 1.1 Ley de Newton de la viscosidad EJEMPLO: Flujo entre dos placas planas Viscosidad = Propiedad física que cuantifica la resistencia al flujo y Y t < 0, no hay movimiento y V V t = 0, la placa inferior se mueve a velocidad constante V, por adherencia el fluido en contacto con la placa se mueve también con la misma velocidad v (y=0,t=0)=v y V t pequeños, el fluido cercano a la placa adquiere velocidad v (y,t). El flujo es transitorio y V t grandes, todo el fluido se mueve con velocidad v (y), independiente del tiempo. Por adherencia el fluido en contacto con la placa superior no se mueve, v (Y) = 0. El flujo es estacionario En la última situación, la fuerza necesaria para mantener V de la placa, es constante. Al aumentar la fuerza F, aumenta la velocidad V, en tanto que para mantener una velocidad constante, al reducir Y, debe aumentarse la fuerza F. Entonces podemos proponer que F V (1.1) A Y La constante de proporcionalidad es la viscosidad. Es decir que F V = µ (1.2) A Y 3

4 Esta fuerza por unidad de área se transmite a través de todo el fluido, imprimiéndole movimiento. Así, la placa superior debe sujetarse firmemente, pues si se deja suelta, acabará por moverse como una balsa en la superficie de un río, como se ve en la siguiente Figura: y V Si la placa superior no se sujeta adquiere, a t grandes, la velocidad de la placa inferior y de todo el fluido Cuál es la fuerza/área en algún plano al interior del fluido? En el ejemplo del flujo entre dos placas planas, a régimen estacionario, la fuerza/área es una constante a través de todo el fluido. Podemos verlo porque la fuerza necesaria para mantener fija la placa superior es, precisamente, igual y de sentido contrario a la que se ejerce sobre la placa inferior, es decir que un balance (simplificado) de las fuerzas en dirección, para todo el fluido entre las placas, a régimen estacionario, es F + F = 0 (1.3) placa superior placa inferior Entonces, la fuerza que ejerce la placa superior es F y el fluido que está en contacto con esta placa, ejercerá una fuerza F sobre ella. Balances similares pueden hacerse para diferentes porciones del fluido, abarcando desde la placa inferior hasta algún plano y = y0, encontrando que el fluido por arriba del plano ejerce una fuerza F sobre el fluido por debajo del mismo y de manera correspondiente, que el fluido debajo del plano, ejerce una fuerza F sobre el fluido arriba del plano. Además podemos dividir entre el área A para darnos cuenta de que por todo el fluido se transmite una fuerza/área constante. Llamaremos esfuerzos viscosos a esta razón de fuerza/área en cualquier plano del fluido, y los denotaremos por τ y, es decir que F A = τ (1.4) y y dv dy V = Y τ y Plano y = y 0 Por otra parte, en el perfil lineal estacionario de la velocidad del fluido, podemos verificar la igualdad: 4

5 dv 0 V V = = (1.4) dy Y 0 Y Entonces escribimos la Ecuación (1.2), para cualquier plano del fluido, como dv τ y = µ (1.5) dy Conocida como Ley de Newton de la viscosidad. Ésta es en realidad una relación de comportamiento de un conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen. Pero hay fluidos que se comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una relación lineal (con ordenada al origen nula) entre los esfuerzos viscosos τ y y el gradiente de dv velocidad dy. Acerca de la notación de τ y, y aprovechando el ejercicio: 1. La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada, en este caso, la del eje coordenado. 2. La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección del eje coordenado y es normal al plano y = y 0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo τ y. 3. El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección. Entonces, considerando a τ y como una fuerza aplicada: Primer índice: dirección de la superficie τ ik Segundo índice: dirección de la fuerza O considerando a τ y como un flujo de cantidad de movimiento: Primer índice: dirección de la propagación de momentum τ ik Segundo índice: dirección del momentum Dimensiones, unidades y valores de la viscosidad: M F 2 t Lt L Pa s 2 L t 2 1 m i s µ = viscosidad dinámica, = ( i ) ν µ ρ = = viscosidad cinemática, ( ) Ejemplos numéricos: Aire a 20 0 C, 5 µ = Pai s Agua a a 20 0 C, 3 µ = Pai s Glicerina a 20 0 C, µ = 1.00 Pai s 5

6 Ejercicios de tarea E1.1. Buscar Tablas de viscosidad de fluidos en los manuales de la biblioteca y hacer en fotocopias un banco de propiedades, tan completo como se pueda. E1.2. Dos placas planas están separadas una distancia Y = 0.1 m y fluye agua al desplazar la placa inferior a una velocidad V = 1 m/s. Si se sustituye el agua por aire, cuál debe ser la separación entre las placas, para que con la misma fuerza, la placa inferior se mueva a la misma velocidad V? 2.2 Generalización de la ley de Newton de la viscosidad (a tres coordenadas del espacio) El gradiente de la velocidad La velocidad de los flujos es un campo vectorial que depende de la posición y del tiempo: v (, y, z, t) v = vy (, y, z, t) (1.6) vz (, y, z, t) dv de modo que el término, que hemos llamado el gradiente de la velocidad, es más bien dy uno de los elementos de dicho gradiente. El operador nabla, en notación vectorial y coordenadas cartesianas, es: = y (1.7) z de modo que el gradiente de la velocidad es: v vy vz v vy vz v = ( v vy vz) y = y y y (1.8) v vy vz z z z z en tanto que su divergencia es: v v vy vz i v = vy y z = + + (1.9) y z v z así, mientras el gradiente de v es un arreglo matricial 3 3, la divergencia de v es un escalar. 6

7 El tensor de esfuerzos viscosos Los esfuerzos viscosos del ejemplo anterior, τ y, son en realidad, sólo una componente de los esfuerzos que pueden eistir en un caso general, donde hay tres componentes de la velocidad. En un flujo general, el tensor de esfuerzos viscosos es el arreglo: τ τy τz τ = τ y τ yy τ yz (1.10) τ z τzy τ zz que se puede también epresar como τ ik, (para i = 1, 2, 3; k=1, 2, 3) donde los ejes coordenados ( y z ) se representan de manera equivalente como ( ). Además, los esfuerzos fuera de la diagonal principal tienen dirección tangencial al plano considerado [porque la dirección de la (normal a la) superficie es ortogonal a la dirección de la fuerza], en tanto que los esfuerzos de la diagonal principal, los τ ii (para i = 1, 2, 3) son normales al plano. Además, los esfuerzos viscosos son simétricos, es decir, que el elemento en la posición ik del arreglo (1.10) es igual al elemento en la posición ki del arreglo, es decir que τ ik = τ ki. Esto se T escribe en notación tensorial (tensores y vectores en negritas) como τ = τ [donde τ T es la transpuesta del arreglo (1.10)] y se cumple si su relación lineal con el gradiente de la velocidad (que no es simétrico) se propone, más bien, en términos de funciones simétricas lineales de v. Entonces podemos proponer el caso más general: τ T 2 = µ + ( ) + µ + κ ( v v i ) 3 v δ (1.11) donde δ ik es el tensor unitario o delta de Kronecker, dado por δ = δ ik = (1.12) µ = viscosidad dinámica κ = viscosidad dilatacional o volumétrica Generalmente no se requiere conocer κ porque muchas veces los líquidos se consideran incompresibles y entonces i v = 0 y para muchos gases se puede proponer como aproimación un resultado encontrado válido para gases monoatómicos ideales que cumplen κ = 0. Además la presión es también una fuerza normal a la superficie, que no ha sido considerada en los esfuerzos viscosos τ ii. Habría que sumarla para tener un tensor de esfuerzos totales o tensor de presiones π ik, de modo que π ik = pδik + τik (1.13) Nota sobre los signos de τ El signo negativo en (1.11) es compatible con la observación hecha al definir τ y, es decir, que los esfuerzos viscosos se toman en la dirección positiva del eje coordenado, para el fluido más cercano al eje coordenado (debajo del plano y = y0, ver discusión del flujo entre dos placas 7

8 planas) y se toman negativos para el fluido más lejano al eje coordenado (arriba del plano y = y 0 ). En algunos tetos se propone lo contrario ( τ y positiva arriba y negativa abajo del plano y = y0 ), lo cual es compatible con un signo positivo para la ley de Newton de la viscosidad, resultando en conjunto un resultado idéntico al de la convención que aquí usamos. 1.3 Dependencia de la viscosidad con la presión y la temperatura Se usa un enfoque derivado de la ley de estados correspondientes, para lo cual es necesario conocer las constantes críticas de cada material pc = presión crítica Tc = temperatura crítica µ c = viscosidad crítica p T µ Con estos datos se definen las propiedades reducidas pr =, Tr = y µ r = y se utiliza pc Tc µ c la Gráfica correspondiente del teto. Hay pocos datos de la viscosidad crítica, pero puede estimarse de dos maneras: (1) Si se conoce un valor de la viscosidad a una presión y temperatura reducidas, se localiza el punto en la Gráfica, se encuentra la viscosidad reducida y se despeja la viscosidad crítica (cuanto más cerca el punto del valor requerido, mejor). (2) Se usan relaciones empíricas, cuidando las conversiones de unidades, para estimar µ c. (3) Para fluidos multicomponentes se usan propiedades pseudocríticas. 1.7 Transporte convectivo de momentum Además del transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la transferencia de movimiento entre las moléculas, también eiste un flujo de momentum debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo del fluido. Esta transferencia de movimiento tiene que ver con el flu másico ρv, que atraviesa un plano dado del fluido. El flu másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de velocidad normal a dicho plano, así en el plano y tenemos: 8

9 y y ρv ρv = ρv y e y ρ v y El flu másico atravesando el plano = 0 es ρ v El flu másico atravesando el plano = 0 es cero, pero el que atraviesa el plano y = y0 es ρ vy El flu convectivo de momentum es el producto del flu másico por la velocidad, es decir ρvv. Entonces, el flu convectivo de momentum atravesando el plano = 0 es ρvv, el flu convectivo de momentum atravesando el plano y = y0 es ρvyv y por etensión a la coordenada z, se tiene también el flu convectivo de momentum atravesando el plano z = z0, como ρvzv. Cada uno de estos flues es un vector, tiene tres componentes, que corresponden a las direcciones de las componentes de la velocidad. El flu combinado de momentum φ es la suma del flu molecular de momentum, que corresponde a los esfuerzos totales más el flu convectivo de momentum: φ= π+ ρvv = pδ+ τ+ ρvv (1.14) Así, la componente ϕ y del flu combinado de momentum tiene el significado: y ϕ = flu combinado de momentum en la dirección, atravesando una superficie perpendicular a la dirección y Y se epresa como: ϕ = π + ρvv = pδ + τ + ρvv (1.15) y y y y y y Aquí hay que recordar que δ y = 0, lo cual elimina el efecto de la presión en esta componente [ver la definición de δ ik en la Ecuación (1.12)]. Esto es así debido a que la presión es una fuerza normal a la superficie considerada. Ejercicios de tarea E1.3. Problema 1.A del teto E1.4. Problema 1.B del teto 9

10 E1.5. E1.6. Problema 1.C del teto Encuentra las componentes no cero del flu combinado de momentum si la velocidad de flujo de un fluido newtoniano en coordenadas cartesianas y la presión son, respectivamente: V 1+ t 2y v = V p = P 1+ t 0 ( + 2y) 0 Donde P 0 y V son constantes. Autoevaluación 1 1. Cuáles son las unidades de momentum por unidad de área por unidad de tiempo en términos de fuerza? 2. Escribe la ley de Newton de la viscosidad y nombra cada uno de sus elementos. 3. Dibuja un sistema coordenado (, y, z), luego representa los esfuerzos viscosos τ, τy, τ z en el punto ( 0, y 0,0), así como el plano considerado. 4. Escribe la epresión del flu combinado de momentum y nombra cada uno de sus términos. 5. Encuentra las componentes del flu combinado de momentum si V 2 ( 1 y ) v = 0, p = Py 0. 0 Donde P 0 y V son constantes. Auto-evaluación 2 1. Define el concepto de viscosidad (no fórmulas). 2. Qué es un esfuerzo cortante? 3. Qué significa la condición de adherencia? 4. Qué es el régimen transitorio? 5. Qué le pasa a la viscosidad de un líquido cuando aumenta la temperatura? 6. Qué le pasa a la viscosidad de un gas cuando aumenta la temperatura? 7. En qué dimensiones se mide la viscosidad? 8. Qué es 1 poise? 9. Define la cantidad de movimiento o momentum lineal de un fluido v? 10. Qué diferencia física hay entre ( v ) y ( ) 10

11 2. Balances de momentum en envolturas y distribuciones de velocidad con flujo laminar Flujo laminar El fluido se desplaza ordenadamente, como en láminas o capas Flujo turbulento El fluido se desplaza aparentemente con desorden, siguiendo patrones muy complejos con movimientos transversales a la dirección de flujo principal 2.1 Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad). Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en cada una de sus superficies (o caras). El balance de momentum es: Flujo de momentum Flujo de momentum Fuerza de gravedad Tasa de cambio combinado entrando combinado saliendo + actuando sobre = del momentum a la envoltura de la envoltura el sistema en el sistema El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal. Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una componente de velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en la dirección de dicha componente. Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura 1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a la geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen y determina la dirección de los ejes coordenados. 2. Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las direcciones) en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s) correspondiente(s) a dichas direcciones] 3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura. 4. Identifica las componentes del flu combinado de momentum en la dirección del flujo y anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando corresponda. 5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo. 11

12 6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) espesor(es) de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la derivada como el cociente incremental de una función y obtener así la ecuación diferencial correspondiente. 7. Sustituye las componentes del flu combinado de momentum por los términos que correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las especificaciones para cada término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)]. 8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad ( de qué coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios de la presión se producen en la dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección seleccionada. 9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos y su determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se requiere una condición de frontera adicional para la velocidad. 10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flu de momentum (en la dirección elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente. 11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad. 12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la distribución de velocidad (el perfil de velocidad). 13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la velocidad máima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una superficie sólida que lo limite o la disipación viscosa. Condiciones a la frontera En las fronteras del flujo se encuentran otros materiales, sólidos o fluidos, o bien el mismo fluido entrando o saliendo del sistema. Las condiciones a la frontera son reglas que se asignan al comportamiento de la velocidad o de los esfuerzos en las fronteras del sistema. Las que se usan más frecuentemente son: a. Interfases sólido-fluido: La velocidad del fluido en contacto con el sólido iguala la velocidad del sólido. Esta condición se subdivide en (i) condición de adherencia, para la igualdad de las componentes tangenciales de la velocidad y (ii) condición de impenetrabilidad, para la igualdad de las componentes normales. b. Interfases líquido-líquido: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos totales π son continuas. c. Interfases líquido-gas: Se satisface la condición de adherencia y si no hay transferencia de masa, también la condición de impenetrabilidad. Además las componentes del tensor de esfuerzos viscosos τ son cero. Esto es una aproimación razonable porque la viscosidad de los gases es muy inferior a la de los líquidos. 12

13 Al integrar los balances diferenciales también se usan frecuentemente otras reglas para determinar unívocamente la solución (la distribución de velocidad). Las más usadas son: d. Los esfuerzos viscosos están acotados ( τ ik no se hacen infinitos) en todo el campo de flujo. e. Las variables de campo (presión, velocidad y esfuerzos viscosos) cambian continuamente en todo el campo de flujo. 2.2 Flujo de una película líquida descendente Haremos este ejercicio seleccionando un sistema coordenado distinto al del teto, para mostrarte que los resultados no dependen físicamente de dicha selección, cuando se respetan las convenciones de signos establecidas en el Capítulo 1. También usaremos el concepto de flu combinado de momentum en los balances. Esto es una de las mejoras de la segunda edición del teto. El propósito es que desarrolles una habilidad sintética que te permita tratar posteriormente los problemas en términos de dicho flu combinado, para epresarlo luego en términos de sus partes, haciendo las simplificaciones pertinentes de una manera adecuada. Lee el enunciado del problema en el teto. 1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano, pero localizamos el origen en contacto con el sólido; la coordenada es ascendente y la coordenada z sigue siendo descendente (ver Figura). vz ( ) z L 2. La componente de la velocidad que no se anula sigue siendo v z y cambia desde cero (en contacto con la pared sólida) hasta un valor máimo (en contacto con el aire). Entonces, a régimen estacionario tenemos vz ( ) la componente de velocidad en dirección z depende de la coordenada. 3. La envoltura debe ser delgada en la dirección que es aquella en la que cambia la componente v z y amplia en las direcciones y y z, de las cuales no depende v z. Entonces dibujamos la envoltura: 13

14 + β z = 0 y = W Dirección de la gravedad y = 0 z = L 4. Haremos un balance de momentum en la dirección z, que es la del flujo. Entonces las componentes del flu combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z, es decir, ϕz, ϕyz, ϕ zz. Anotamos estos flues en las caras correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z: ϕ z ϕ zz ϕ yz ρg cos β ϕ yz ϕ zz ϕ z 5. Cada uno de los flues combinados se multiplica por el área de la superficie donde el flu entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z: 14

15 ( WL) + ( L ) + ( W ) ϕ ϕ ϕ ( WL) ( L ) ( W ) ( WL ) z yz y= 0 zz z= 0 ϕ ϕ ϕ z + yz y= W zz z= L + ρg cos β = 0 (2.1) 6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando es cociente incremental de los términos con ϕ z y se toma el lim 0, para obtener la ecuación diferencial: dϕ ϕ yz ϕ z y= 0 y= W ϕ zz ϕ + + z= 0 z= L + ρg cos β = 0 d W L (2.2) 7. Los flues combinados son, en general: ϕz = τz + ρvv z ϕyz = τyz + ρvv y z (2.3) ϕzz = p + τzz + ρvv z z 8. Pero al considerar que 0 v = 0 vz ( ) y p = p( ), (2.4) los flues combinados se reducen a ϕz = τ z ϕyz = 0 (2.5) ϕzz = p + ρvv z z Sustituimos ahora los flues combinados en (2.2) para obtener: dτ ( p+ ρvzv z z) ( p+ ρv ) z 0 zvz + = z= L + ρg cos β = 0 d L (2.6) Sin embargo, tanto p como v z son funciones solamente de, por lo que su contribución al balance es la misma al evaluarlos en z = 0 y en z = L. Entonces su diferencia es cero y podemos escribir el balance diferencial de momentum en dirección z como: dτ z = ρ g cos β d (2.7) Este balance es idéntico al del teto. El cambio del sistema coordenado no afectó este resultado. Por qué? 9. La Ecuación diferencial (2.7) requiere una condición a la frontera para τ z y posteriormente, al sustituir la relación de Newton de la viscosidad, requerirá una condición a la frontera para la velocidad. En la interfase de la película con el aire podemos proponer τ z = 0, para = δ (2.8) En tanto que, en la interfase de la película con el sólido proponemos una condición de adherencia: = 0, para = 0 (2.9) vz 15

16 Las condiciones a la frontera (2.8) y (2.9) difieren de las del teto debido a nuestra selección de sistema coordenado, pero físicamente el significado es idéntico. 10. Al integrar la ecuación (2.7) y sustituir la condición a la frontera (2.8) tenemos: τz = ρg cos β( δ ) (2.10) A diferencia del resultado del teto, los esfuerzos viscosos son aquí negativos. Esto indica que la propagación del momentum sigue ahora la dirección negativa del eje coordenado, lo cual es físicamente idéntico al resultado del teto, ya que hemos invertido el sentido del eje coordenado en nuestro ejercicio. 11. Sustituimos ahora la relación de Newton de la viscosidad en la ecuación (2.10): dvz τ z = µ (2.11) d para obtener una ecuación diferencial para la velocidad: dvz ρg cos β = ( δ ) (2.12) d µ 12. Integramos esta ecuación para la velocidad y sustituimos la condición a la frontera (2.9) para obtener la distribución o perfil de velocidad: ρgδ 2 cos β vz = 2 (2.13) 2µ δ δ Esta ecuación tampoco coincide, matemáticamente, con la del teto. Sin embargo la coincidencia debe darse en cuanto al significado físico del problema, pues es natural que si mi representación geométrica es distinta, mi resultado matemático esté en términos de la definición de mis variables. Para comprobar la identidad física del problema, podemos hacer el cambio de la variable de nuestro resultado (2.13) por la variable, que coincide con el eje coordenado del teto, es decir que proponemos = δ (2.14) Al sustituir este cambio de coordenada en (2.13) obtenemos, después de simplificar: 2 2 ρgδ cos β vz = 1 (2.15) 2µ δ que es el resultado del teto y confirma que nuestro desarrollo es, en todo punto, físicamente equivalente al desarrollo del teto. 13. Podemos ahora utilizar la distribución de velocidad (2.13) o la (2.15) para obtener, con cualquiera de las dos epresiones, los siguientes parámetros físicos: a. Velocidad máima que es el valor máimo que alcanza la velocidad. En este problema es la velocidad cuando = δ en la Ecuación (2.13): ρ gδ2 cos β vz,ma = (2.16) 2µ b. Flujo volumétrico que es el volumen de fluido que atraviesa la superficie transversal por unidad de tiempo. Se obtiene integrando la velocidad en dicha superficie. El elemento diferencial de área es ddy, de modo que W gw 3 cos Q = δ vzddy = ρ δ β (2.17) 00 3µ de donde puede despejarse el espesor de la película δ. También puede obtenerse el flujo másico, multiplicando el flujo volumétrico por la densidad w= ρq y la 16

17 velocidad media de flujo, dividiendo el flujo volumétrico entre el área de la sección transversal: Q ρ gδ 2 cos β vz = = (2.18) δ W 3µ c. Fuerza del fluido sobre la superficie sólida, tiene en general una componente tangencial y una normal a la superficie sólida. Con la distribución de velocidad podemos encontrar la componente tangencial de la fuerza F z, al integrar los esfuerzos tangenciales (o esfuerzos cortantes) en toda la superficie del sólido. Es importante recordar la convención que usamos, sobre la aplicación de los esfuerzos: se consideran positivos en un plano, para la acción del material más cercano al eje coordenado sobre el material más alejado del eje coordenado. En el plano = 0, al integrar τ z obtendremos la fuerza que ejerce la superficie sólida sobre el fluido, en tanto que al integrar τ z obtendremos la fuerza que el fluido ejerce sobre el sólido. Esto es nuevamente, inverso al desarrollo del teto, debido a la elección invertida del eje coordenado, pero el resultado debe ser físicamente equivalente. Entonces, utilizando la distribución de velocidad (2.13): WL WL dvz Fz = τ z dzdy = µ dzdy (2.19) 00 = 0 00 d = 0 que integrado resulta la epresión del teto. d. Disipación viscosa, es la degradación de energía mecánica a calor, debida a la resistencia viscosa al flujo. Equivale a la rapidez de la pérdida de trabajo efectuado por las fuerzas viscosas, integrado para todo el volumen de fluido: v WLδ 2 dv WLδ z dvz τ z µ 000 d 000 d E = ddzdy = ddzdy (2.20) Al sustituir la distribución de velocidad e integrar tenemos δwl Ev = ( δρgcos β) 2 (2.21) 3µ e. Rapidez de trabajo: lo que produce el perfil de velocidad parabólico, epresado por (2.13) o (2.15), es la presencia de la superficie sólida que frena el movimiento del líquido. Si dicha superficie pudiera desplazarse sin ofrecer resistencia, viajaría a la velocidad media de flujo, junto con todo el fluido. Podemos calcular la rapidez de trabajo (virtual, puesto que la superficie sólida no se mueve) del fluido sobre la placa, como el producto de la fuerza que ejerce el fluido sobre la placa por su velocidad media de flujo: WL W δ v = Fz vz = ( δρgcos β) 2 (2.22) 3µ Notamos que W v es igual a E v en este caso particular. Esto ocurre sólo con los flujos estacionarios, pues los efectos de aceleración de los flujos transitorios inducen una diferencia. Este flujo se ha resuelto bajo el supuesto de flujo laminar, pero eperimentalmente se pueden identificar tres regímenes de flujo: laminar sin ondulaciones de la superficie, laminar con ondulaciones y turbulento. La ocurrencia de uno de estos regímenes está asociada al valor de su número de Reynolds, definido como 17

18 4δ v z ρ Re = (2.23) µ de modo que ocurre un flujo a. laminar sin ondulaciones importantes, si Re < 20 b. laminar con importantes ondulaciones, si 20 < Re < 1500 c. turbulento, si Re > Ejercicio de tarea E2.1. Repite el ejercicio de esta Sección, proponiendo el sistema coordenado como se muestra en el siguiente diagrama: vz ( ) β z L Dirección de la gravedad 2.3 Ecuación de la hidrostática Un fluido en reposo está también sujeto a esfuerzos, que son hidrostáticos. Consideremos un tanque de almacenamiento, sin flujos de entrada y salida. Haremos un balance de envoltura siguiendo el procedimiento que hemos señalado. 1. Elegimos un sistema coordenado cartesiano y localizamos el origen en el fondo del tanque. La coordenada importante es la vertical, z, que tomamos positiva en el sentido ascendente. 2. En este caso la velocidad es cero, pero la presión cambia con la profundidad en el p = p z. tanque, es decir que ( ) 18

19 3. La envoltura será delgada en la dirección z y amplia en y y, como se muestra en el diagrama: W z z = z 0 L z y Fondo del tanque 4. Haremos un balance de momentum en la dirección z. Entonces las componentes del flu combinado de momentum a considerar son aquellas cuyo segundo índice es z, es decir, ϕz, ϕyz, ϕ zz. Anotamos estos flues en las caras correspondientes de la envoltura, agregando la componente gravitacional en dirección z: ϕ zz z 0+ z ρg ϕ z = 0 ϕ yz y= 0 ϕ yz y W = z ϕ z = L ϕ zz z0 y Fondo del tanque 5. Cada uno de los flues combinados se multiplica por el área de la superficie donde el flu entra o sale y se aplica el balance de momentum en la dirección z: 19

20 ( W z) + ( L z) + ( WL) ϕ ϕ ϕ z = 0 yz y= 0 zz z ( W z) ( L z) ( WL) ϕ ϕ ϕ z = L yz y= W zz z + z ( WL z) ρ g = (2.24) 6. Se divide entre el volumen de la envoltura, se agrupan los términos formando el cociente incremental de los términos con ϕ zz y se toma el lim z 0, para obtener la ecuación diferencial: ϕz ϕ yz 0 z ϕ ϕ y 0 yz = = L = y= W dϕzz + ρ g = 0 (2.25) W L dz 7. Los flues combinados son, en general: ϕz = τz + ρvv z ϕyz = τyz + ρvv y z (2.26) ϕzz = p + τzz + ρvv z z 8. Pero al considerar que ϕz = 0 ϕ yz = 0 (2.27) ϕzz = p la ecuación diferencial queda: dp = ρg (2.28) dz Podemos interpretar esta ecuación diciendo que En condiciones hidrostáticas los cambios de la presión son debidos solamente a los efectos gravitacionales. 9. La presión es atmosférica en la superficie libre del líquido en el tanque, que se encuentra a una altura H del fondo del mismo. Es decir que: p = patm para z = H (2.29) 10. Integrando (2.28) y utilizando (2.29) para determinar la constante de integración, tenemos: p = patm + ρg( H z) (2.30) que se puede arreglar también como P ( z) = p( z) + ρgz = patm + ρgh = constante, (2.31) p z definiendo la presión modificada ( z) P, como la suma de la presión interna ( ) más el peso de la columna de líquido desde el plano z hasta el origen de coordenadas. Esta suma, en condiciones hidrostáticas, es una constante igual a la presión en el fondo del tanque. Cualquier cambio en la presión modificada se verá reflejado en una imposibilidad de mantener las condiciones hidrostáticas, es decir, se verá reflejado en la ocurrencia de un flujo. 20

21 Ejercicios de tarea E2.2. Encontrar la presión modificada P ( z) para un tanque de almacenamiento en condiciones hidrostáticas, si el origen de coordenadas se localiza al nivel del líquido en el tanque y la dirección de la coordenada vertical es descendente. E2.3. Hacer un balance de momentum en la dirección transversal al flujo (dirección ), para el flujo de una película líquida descendente ( 2.2) y demostrar que los cambios de presión son hidrostáticos. Justificar la Ecuación (2.4b) propuesta allí. Autoevaluación Desarrolla un balance de envoltura para la componente del momentum del ejercicio de la tarea. Sugerencia: Considera las coordenadas de la tarea y la misma envoltura, pero considera los flujos de momentum adecuados y la fuerza de gravedad como corresponda. 2.4 Flujo a través de un tubo circular Hemos de notar que el único aspecto nuevo es la geometría del tubo, que se adapta mejor al uso de un sistema de coordenadas cilíndricas. Este sistema debe colocarse con el origen en el eje aial del tubo. Podría estar dirigido hacia arriba o hacia abajo, pero es preferible localizarlo en el etremo del tubo por donde entra el fluido y dirigir la coordenada aial en la dirección de la velocidad del flujo. Así la distribución de velocidad será positiva (Ver las Figuras y del libro de teto). Consecuencia de la geometría seleccionada (coordenadas cilíndricas) en el balance de momentum es que los flujos combinados en dirección z, entrando por la superficie r y saliendo por la superficie r+ r de la envoltura, dan: 2πrLϕ 2πrLϕ (2.32) ( rz ) ( rz ) r r+ r que al dividirse entre el volumen de la envoltura ( 2 r rl) 2πL ( rϕ ) ( rϕ ) π dan: rz r rz r+ r (2.33) 2π Lr r Aquí el término 2π L es constante y se ha epresado como factor común en el numerador. El radio r del numerador no puede factorizarse, puesto que está evaluado en la cara interna de la rϕ y está evaluado en la cara eterna de la envoltura, para el primer término del corchete ( ) envoltura en el segundo término ( rϕ rz ) ; por lo tanto no se trata de una constante, sino de r+ r una variable que toma dos valores distintos. Al simplificar la epresión (2.33) eliminando las constantes 2π L en el numerador y el denominador, y tomando el límite cuando r 0, obtenemos ( rϕrz ) ( rϕrz ) r r+ r 1 lim = ( rϕrz ) (2.34) r 0 r r r r Ejercicios de tarea rz r 21

22 E2.4. Por una columna de pared mojada escurre un líquido por gravedad, si el gas que ocupa la región central de la columna está estancado, (a) encuentra la distribución de velocidad en el líquido, sabiendo que el espesor de la película de líquido es δ = constante. (b) encuentra la velocidad máima de flujo, la velocidad media de flujo y la fuerza tangencial que ejerce el líquido sobre la δ pared. (c) Si el espesor es mucho menor que el radio, es decir si << 1, R encuentra que la distribución de velocidad es equivalente a la del líquido escurriendo por una pared plana vertical. R R líquido L δ gas estancado E2.5 Problema 2.E del teto E2.6. Ejercicio de la 2.4 desarrollado en el teto E2.7. Problema 2.F del teto 22

23 3. Ecuaciones de balance en flujos isotérmicos 23

24 4. Distribuciones de velocidad con más de una variable independiente 4.1 Flujo transitorio de un fluido de Ostwald de Waele Un espacio semi-infinito está ocupado por un fluido de potencias. En el plano y = 0 se tiene una placa plana, que se desliza tangencialmente a partir de un determinado instante t = 0, con una rapidez constante V. Encontrar la distribución de velocidad v ( y, t ) aplicando un método de combinación de variables. Formulación del problema: La componente importante del tensor de esfuerzos viscosos para el fluido de Ostwald de Waele, en este problema, está dado por n 1 v v τ y = m (4.1) y y y el balance de momentum en dirección, en un sistema coordenado cartesiano da: v τ y ρ = (4.2) t y de donde tenemos: n 1 v m v v = (4.3) t ρ y y y Pero en el semiplano superior ( y > 0), la velocidad v ( y, t ) disminuye cuando y aumenta, entonces v v = (4.4) y y y la ecuación de gobierno se convierte en: n v m v = (4.5) t ρ y y Con las condiciones iniciales y de frontera: v ( y > 0, t = 0) = 0 v ( y = 0, t 0) = V (4.6) v y = 0 ( ) El método de combinación de variables será aplicable si eiste una variable combinada η ( yt, ), que reduce el problema planteado en (4.5) y (4.6) a una EDO con dos condiciones de frontera compatibles. Proponemos que p η ( yt, ) = Cyt (4.7) De modo que la solución es solamente función de η : v η ( y, t) (4.8) Entonces 24

25 v dv η p 1 dv = = Cpyt t dη t dη v dv η p dv = = Ct y dη y dη v dv dv d v = = y y y dη dη dη de donde la ecuación (4.5) da: n n n 1 2 p 2 2p p Ct nc t Ct 2 n np 1 n 1 2 mn C t + = 2 dv dv d v dη ρ py dη dη (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) 25