Análisis empírico de la duración del ciclo del Indice de Producción Industrial (IPI)

Transcripción

1 Insiuo Nacional de Esadísica Boleín Trimesral de Coyunura, n. 83 Marzo 2002 Análisis empírico de la duración del ciclo del Indice de Producción Indusrial (IPI) Juan Bógalo Román 1 Subdirección General de Cuenas Nacionales Insiuo Nacional de Esadísica 1 Agradezco las discusiones manenidas con Enrique M. Quilis sobre las écnicas uilizadas en ese rabajo y ano a él como a Silvia Relloso sus minuciosas revisiones. Las opiniones expresadas corresponden al auor y no reflejan necesariamene las del INE.

2 1.Inroducción y planeamieno del problema Ineresados por el crecimieno como mecanismo para aumenar el bienesar económico, el análisis del ciclo se cenra en cuanificar la duración de las eapas de expansión y en prever con suficiene anelación un giro económico, un cambio de eapa. En definiiva, se raa de deecar los punos de giro (máximos y mínimos) de la señal cíclica de una serie emporal y esimar la duración del ciclo (iempo ranscurrido enre dos punos de giro consecuivos de igual signo) 1 para realizar inferencias y poder obener una disribución de probabilidad empírica de la misma. En consecuencia, se esima, en primer lugar, de forma esadísicamene apropiada una señal cíclica y poseriormene se idenifican sus punos de giro. Para esimar un componene cíclico se modelizará una serie emporal mediane modelos ARIMA-AI y su poserior filrado del componene de ciclo-endencia permiirá obener una señal cíclica lo más níida posible. Para idenificar los punos de giro se van a uilizar méodos no paraméricos por su sencillez, su carácer poco exigene sobre las hipóesis de los daos y porque permien esablecer con rapidez hechos sobre los que consruir modelos más sofisicados. Ejemplos de esos procedimienos se encuenran en Abad y Quilis (1996a, 1996b). Para resolver el problema inherene a esos méodos no paraméricos consisene en la imposibilidad de realizar una inferencia acerca de las esimaciones realizadas (inervalos de confianza, disribución de los esimadores en el muesreo, conrases de hipóesis), se uiliza como solución el méodo de remuesreo boosrap para obener una disribución empírica, no condicionada a priori, del esimador en el muesreo y, a parir de ella, realizar las inferencias necesarias. Con el fin de eviar la eapa de modelización y manener el espíriu no paramérico del méodo, Carlsein (1986) y Künsch (1989) proponen remuesrear bloques de observaciones de igual amaño según un esquema de muesreo aleaorio simple con reposición, pudiendo dichos bloques solaparse (Künsch) o no (Carlsein). En ese rabajo se uiliza el méodo de remuesreo boosrap de bloques solapados propueso por Künsch (1989) con el fin de examinar la duración del ciclo de una serie emporal, caracerizado a ravés de la idenificación de sus punos de giro mediane el procedimieno de Abad y Quilis (1996a, 1996b). De esa manera, será posible esablecer inervalos de confianza para las esimaciones y describir la disribución del esimador en el muesreo. Un ejemplo de ese procedimieno se encuenra en Abad y Quilis (1998). Además, para calcular las probabilidades de la duración del ciclo de forma objeiva, sencilla y conrasable, es conveniene que la disribución empírica se ajuse a una disribución eórica. Por ello, poseriormene se realiza un ajuse de la disribución boosrap de las duraciones al modelo de variable discrea logi según el procedimieno descrio en Peña (1987). 2 En ese rabajo se considera el ciclo en érminos de mínimo-máximo-mínimo, mmm.

3 El presene rabajo se organiza de la forma siguiene: en la segunda sección se exponen las diversas meodologías esadísicas uilizadas. En la ercera sección se aplican las mismas a la serie del Indice de Producción Indusrial, IPI, y se examinan los resulados empíricos obenidos. A coninuación, en la cuara sección se esima un modelo logi para la disribución boosrap de las duraciones. Y finalmene, en la quina sección se presenan las principales conclusiones alcanzadas.

4 2. Meodología esadísica 2.1 Esimación de la señal cíclica. El procedimieno uilizado para esimar la señal cíclica de las series emporales consa de res eapas: corrección de los efecos asociados a las observaciones aípicas y efecos de calendario, exracción basada en modelos ARIMA del componene de ciclo-endencia y, por úlimo, esimación del ciclo mediane un filro de paso en banda aplicado a la serie de ciclo-endencia obenida en la eapa anerior. A coninuación se describe brevemene cada fase, enconrándose en Gómez (1998a) una exposición écnica y en Quilis (1999a) una aplicación complea. Se considera que la serie emporal observada, en logarimos, Z puede expresarse de acuerdo con la siguiene expresión: [1] Z = TD + E + O N, + donde TD represena el efeco del ciclo semanal, E represena el efeco de la Pascua móvil, O represena una combinación de modelos de inervención asociados a facores de ipo exraordinario que afecan a la serie de manera no recurrene y N caraceriza el comporamieno esocásico de la serie. La expresión formal de los efecos de las observaciones aípicas, derivada del análisis de inervención (Box y Tiao, 1975) es: k Th h (B)I, h= 1 [2] O = V donde I es una variable binaria de ipo impulso que adopa un valor uniario en la T h observación T h y nulo en los resanes, siendo T h la observación en que iene lugar el aconecimieno aípico. El filro V h (B) recoge los efecos dinámicos asociados a la observación anómala, siendo su expresión general: [3] v h Vh (B) = 0 δ 1. 1 δb Se consideran en ese rabajo res posibilidades: δ=0, aípico adiivo; δ=1, cambio de nivel; y 0<δ<1, aípico ransiorio, asumiéndose por defeco δ=0.7. Dadas sus caracerísicas, los aípicos adiivos y ransiorios son aribuidos a la señal irregular de la serie y los cambios de nivel se asocian a la endencia, en ambos casos con un carácer deerminisa.

5 La especificación del érmino esocásico sigue una represenación auorregresiva, inegrada y de media móviles (ARIMA) de ipo muliplicaivo (Box y Jenkis, 1970): 12 θq (B) θq (B ) [4] N = a, 12 d 12 D φ (B) φ (B )(1 B) (1 B ) p P donde φ p (B) y θ q (B) son, respecivamene, polinomios de orden p y q en el operador de desfases B, y φ P (B 12 ) y θ Q (B 12 ) son polinomios de orden P y Q en B 12. Las expresiones (1-B) d y (1-B 12 ) D son operadores de diferenciación regular y esacional conrolados por los parámeros d y D respecivamene. Por úlimo, a es una secuencia de ruido blanco gaussiano con esperanza nula y desviación ípica consane σ a. A su vez, el érmino esocásico N admie una descomposición según la hipóesis de los componenes subyacenes en ciclo-endencia (P ), esacionalidad (S ) e irregularidad (I ): [5] N = P + S I. + Una vez esimado el modelo ARIMA con análisis de inervención, AI, descrio en [1]- [4], es posible exraer una señal de ciclo-endencia aplicando filros de error cuadráico medio mínimo compaibles con dicho modelo ARIMA, siguiendo la propuesa de Maravall (1987, 1993a, 1993b, 1994). De esa forma se obiene una esimación del componene endencial adapada a las propiedades de la serie al y como vienen recogidas en el modelo ARIMA y, gracias al principio de descomposición canónica, lo más libre posible de elemenos irregulares de ipo ruido blanco. La expresión general de ese proceso de filrado es: [6] Pˆ = Vp (B, F)Nˆ = k pπ(b) Π(F) Ψp (B) Ψp (F) Nˆ donde k p es un parámero que normaliza a la unidad la función de ganancia del filro en la frecuencia cero, Π(B) es la expresión auorregresiva del modelo ARIMA de N, Ψ p (B) es la expresión de medias móviles del modelo eórico de la endencia (compaible con el de N ) y Nˆ es la esimación del componene esocásico obenida de eliminar de la serie observada Z sus elemenos deerminisas O. Una exposición deallada de esos filros se encuenra en Maravall (1987). El componene de ciclo-endencia así obenido permie la esimación de una señal cíclica al aplicar a aquél un filro de paso en banda diseñado desde el dominio de la

6 frecuencia. Dicho filro es la adapación simerizada de uno de la familia Buerworh, especificado para aproximar con una precisión dada a priori a uno cíclico de ipo ideal. Dealles de ese procedimieno se encuenran en Gómez (1998a, 1998b). De esa forma, la señal cíclica se obiene según la expresión: [7] Ĉ = H c (B, F)Pˆ = H c (B, F)k pπ(b) Π(F) Ψp (B) Ψp (F) Nˆ donde H c (B,F) es el filro cíclico mencionado y Ĉ es la señal cíclica. Ese méodo en dos eapas puede ser inerpreado de forma bayesiana y, además, evia la inducción de ciclos espurios y modula la esimación de la señal cíclica en función de las propiedades de baja frecuencia de la serie emporal analizada. 2.2 Remuesreo boosrap. En cuano al procedimieno de remuesreo boosrap uilizado, a coninuación se expone sucinamene el méodo propueso por Künsch (1989). Sea Z = {Z : = 1 T} una serie emporal esacionaria. Esa serie es dividida en T-b+1 bloques solapados de igual amaño b: [8] Y = (Z, Z +1,, Z +b ) = 1 (T-b) La replicación boosrap consise en formar una nueva serie exrayendo T/b bloques según un esquema de muesreo aleaorio simple con reposición. Repiiendo ese proceso H veces se dispone de una colección de series emporales arificiales: Z (h) = {Z (h) : = 1 T, h = 1 H}. Si θ es una deerminada caracerísica del proceso generador de la serie observada y θˆ = S(Z) es un esimador, se dispondrá de una disribución boosrap del mismo aplicando S(.) a las H réplicas obenidas: [9] (h) ˆθ = S(Z (h) ). De esa forma, ambién pude obenerse el esimador boosrap de θ:

7 [10] ˆ boo 1 H ˆ (h ) θ = θ. H h= 1 En el conexo de ese rabajo, Z es la señal cíclica esimada, Ĉ, de una serie emporal y θ es la duración de sus ciclos considerados desde un mínimo hasa el siguiene (mmm). Dichos punos de giro (máximos y mínimos cíclicos) son idenificados de forma no paramérica mediane el programa <F> (Abad y Quilis, 1997).

8 3. Resulados empíricos. La meodología expuesa en la sección anerior se va a aplicar al Indice de Producción Indusrial, IPI. El inervalo muesral abarca desde 1961:1 hasa 2000:12, resulando 480 observaciones. La serie se ha obenido de la base de daos Tempus del INE enlazándose para el periodo 1961:1 hasa 1974:12 con los daos de la base MEI de la OCDE. El IPI es el indicador más imporane para el seguimieno de las ramas indusriales y uno de los más relevanes para la economía en su conjuno. Los programas uilizados para esimar los modelos ARIMA-AI y para exraer el componene endencial son, respecivamene, TRAMO y SEATS (Gómez y Maravall, 1996, 1998a). La modelización ARIMA-AI de series largas y no homogéneas es una area delicada. El modelo idenificado de forma auomáica por TRAMO es (1,1,1)(0,1,1) 12 con un valor esimado para el parámero AR(1) de 0.15 con un -raio de 1.63 lo cual implica que no es significaivo y se ha opado por un modelo de líneas aéreas (0,1,1)(0,1,1) 12. Se examina, a coninuación, la esimación de cada componene de la ecuación [1]. Efeco del ciclo semanal. Tabla 1: Esimación del efeco del ciclo semanal Parámero Esimación Desviación ípica -raio Lunes Mares Miércoles Jueves Viernes Sábado Duración del mes Examinando la Tabla 1 se aprecia que los efecos diferenciales más noables, a nivel diario, se concenran en los lunes y jueves con signo posiivo y en los sábados con signo negaivo, observándose ambién un efeco de la duración del mes con signo posiivo. Efeco de la Pascua móvil. Tabla 2: Esimación del efeco de la Pascua móvil Parámero Esimación Desviación ípica -raio Efeco Pascua Se aprecia un efeco negaivo muy significaivo y de mayor magniud que los efecos de calendario considerados individualmene.

9 Efeco de las observaciones anómalas. Tabla 3: Esimación del efeco de las observaciones anómalas Fecha Tipo Esimación Desviación ípica -raio 1974:1 Transiorio :8 Adiivo :4 Adiivo Exisen pocos valores aípicos, concenrados en el año 1974, no exisiendo ningún cambio de nivel y, por lo ano, careciendo la endencia del IPI de un componene deerminisa en el periodo analizado. Componene esocásico: N. El modelo elegido y esimado por TRAMO es el conocido como líneas aéreas. La esimación del modelo [4] por máxima verosimiliud exaca juno con odos los efecos deerminisas descrios anes arroja los siguienes resulados: Tabla 4: Esimación del modelo ARIMA de la pare esocásica Parámero Esimación Desviación ípica -raio θ θ σ a Los coeficienes son alamene significaivos y no exise problema de correlación enre ellos, pues su coeficiene de correlación es

10 El análisis de los residuos del modelo esimado ofrece los siguienes resulados: 1. No exisen problemas de fala de normalidad como así lo aesigua el conrase de Jarque y Bera: Tabla 5: Conrase de Jarque y Bera de los residuos del modelo ARIMA Esadísico Esimación Inervalo confianza (α=5%) Normalidad : Asimería : Curosis : El conrase de rachas aplicado a los residuos y a su función de auocorrelación simple no rechaza la hipóesis nula de aleaoriedad de los mismos: Tabla 6: Conrase de rachas Nº de rachas Inervalo confianza (α=5%) Auocorrelación : 25 Residuos : Sin embargo, el resulado del esadísico Q de Ljung y Box aplicado a los residuos es conradicorio. Se rechaza la hipóesis nula de ausencia de esrucura, con un nivel de significación del 5%, para los reardos superiores a 12 de la función de auocorrelación simple. Tabla 7: Esadísico Q de Ljung y Box de los residuos Reardo Q Valor críico (α=5%) Y, aunque ese mismo esadísico Q aplicado a los residuos al cuadrado mejora los p- valores para los reardos superiores a 12, coninúa rechazando la hipóesis nula de ausencia de esrucura, nivel de significación del 5%, para esos mismos reardos.

11 Tabla 8: Esadísico Q de Ljung y Box de los residuos al cuadrado Reardo Q Valor críico (α=5%) El examen pormenorizado de la función de auocorrelación de los residuos explica ese comporamieno. En efeco, los coeficienes en orno al reardo 24 son esadísicamene significaivos lo que jusifica los resulados señalados en las Tablas 7 y 8. Ese comporamieno se debe a la fala de homogeneidad del IPI en un periodo an amplio (40 años) que es especialmene visible en su paua esacional (véase el Gráfico 1). Por esas razones, se ha opado, con las cauelas de rigor, por manener el modelo seleccionado. El modelo ARIMA-AI idenificado, esimado y diagnosicado aneriormene permie realizar una descomposición de la serie del IPI en sus componenes esocásicos subyacenes de endencia, esacionalidad e irregularidad, según los principios de la descomposición canónica basada en modelos ARIMA de forma reducida, véase Maravall (1987, 1993a, 1993b, 1994) y Gómez y Maravall (1998c), enre oros. En ese caso, una vez uilizado el programa TRAMO como preprocesador de los efecos deerminisas (calendario, Pascua móvil y observaciones anómalas), se uiliza el programa SEATS para realizar la exracción de los componenes esocásicos.

12 En el siguiene gráfico se muesran los componenes esocásicos esimados por el programa SEATS: Gráfico 1: Indice de Producción Indusrial: componenes esocásicos subyacenes 140 LINEALIZADA 140 TENDENCIA ESTACIONALIDAD IRREGULARIDAD El modelo eórico, obenido por SEATS, para la endencia canónica es un IMA(2,2) no inverible: [11] (1-B) 2 P = ( B-0.901B 2 ) a P, ; a P, iid (0, ) El componene esocásico de la endencia así obenida permie esimar una señal cíclica para el IPI aplicando un filro de paso en banda. En ese rabajo se uiliza una versión simérica del filro de Buerworh de la angene que selecciona las oscilaciones comprendidas enre dos y ocho años, con olerancia 0.1 en la banda cíclica y 0.01 en la de rechazo. El programa uilizado para ello ha sido el TRACE (Gómez 1998b). La señal cíclica obenida se puede observar en el siguiene gráfico:

13 Gráfico 2: Señal cíclica del IPI 1,08 1,06 1,04 1,02 1,00 0,98 0,96 0,94 0, La aplicación del programa de fechado <F> (Abad y Quilis, 1997) direcamene a la señal cíclica obenida permie idenificar 21 punos de giro (11 máximos y 10 mínimos), como se aprecia en el Gráfico 3. En la siguiene abla se muesran las disinas fases cíclicas según la cronología de punos de giro idenificada por dicho programa. Tabla 9: Fechado de los punos de giro FECHA DURACION Máximo Mínimo Máximo Mínimo Ciclo 1961: : : : : : : : : : : : : : : : : : Mediana Media La duración asociada a un puno de giro se define como el número de meses ranscurridos enre dicho puno de giro y el inmediaamene anerior de signo conrario. Se

14 observan nueve flucuaciones compleas en érminos de mínimo-máximo-mínimo, mmm, cuya duración mediana y media es de 50 y 47 meses respecivamene. Gráfico 3: Señal cíclica y punos de giro Con el fin de poder realizar inferencias acerca de la duración media del ciclo del IPI, 1,08 1,06 1,04 1,02 1,00 0,98 0,96 0,94 0, ,5 1,0 0,5 0,0-0,5-1,0-1,5 se realiza un remuesreo boosrap de la serie objeo del fechado siguiendo la propuesa de Künsch (1989) de remuesreo con reposición de bloques solapados. La elección del amaño del bloque, b, es uno de los aspecos críicos de la propuesa de Künsch. Por ello, se oma como amaño del bloque una medida de su parón de recurrencia: la mediana, por ser ese esadísico más robuso que la media para una sola muesra. La duración mediana del ciclo es de 50 meses y la suma de las duraciones medianas de los máximos y mínimos es de 40 meses. Se opa por elegir un amaño del bloque inermedio: b=45. En ese rabajo se han efecuado H=1000 réplicas boosrap de la señal cíclica obenida, considerando bloques solapados de 45 observaciones. Cada una de esas réplicas ha sido fechada con el programa <F> y se han abulado las duraciones del ciclo mmm en érminos medios. Los principales esadísicos de la disribución boosrap de la duración media de los ciclos mmm aparecen en la abla siguiene.

15 Tabla 10: Ciclo boosrap Esadísico Valor Media Mediana Máximo Mínimo Desviación ípica 8.21 Rango inercuaril 9.81 En el gráfico siguiene se muesra el hisograma de la disribución boosrap de la duración mmm de los ciclos. Gráfico 4: Hisograma de la disribución boosrap de las duraciones cíclicas A la visa del hisograma, se aprecia que la disribución boosrap es unimodal y se inuye que es asimérica y lepocúrica, por ano no sería gaussiana. Para verificarlo se realiza el conrase de normalidad de Jarque y Bera.

16 Tabla 11: Conrase de Jarque y Bera de la disribución boosrap Esadísico Esimación Inervalo confianza (α=5%) Normalidad : Asimería : Curosis : Los resulados del conrase de normalidad de Jarque y Bera (Tabla 11) son conundenes: la disribución boosrap no es normal, es muy asimérica por la derecha y basane lepocúrica. Ese resulado se puede comprobar gráficamene comparando la función de densidad esimada con función kernel gaussiana frene a la disribución normal como se muesra en el Gráfico 5. Como la disribución boosrap no es normal, el cálculo de inervalos de confianza de la duración del ciclo mmm se realiza por medio de los perceniles. En la siguiene abla aparecen los más imporanes. Tabla 12: Perceniles de la disribución boosrap % percenil Así, el inervalo boosrap del 50% es [ ] que engloba ampliamene la esimación media inicial de 47.1 meses, resulado de aplicar el programa <F> a la serie original de la señal cíclica, siendo además esa esimación inicial muy semejane a la esimación boosrap de la duración media de los ciclos mmm, 46.6 meses.

17 Gráfico 5: Funciones de densidad Esimada Normal

18 4. Modelo logi de probabilidad. Para calcular las probabilidades de la duración media del ciclo de forma objeiva, sencilla y conrasable, es conveniene que las disribuciones empíricas se ajusen a una disribución eórica. En esa sección se demuesra que la disribución boosrap de las duraciones puede aproximarse al modelo de variable discrea logi. Para realizar ese ajuse, se consideran los pares (x i, y i ) donde x i represena la duración del ciclo e y i es una variable dicoómica que oma el valor uno si la duración del ciclo no ha sido superior a x i meses y cero en oro caso. A esos pares se les asocia una probabilidad p i al que: [12] p = Pr ob(y = 1) = Pr ob(duración x ) i i i es decir, p i es la probabilidad de que el ciclo dure x i meses o menos. La ecuación de la curva logísica de probabilidad iene la expresión: [13] p i 1 = 1+ exp( β 0 m k = 1 β k x k i ) y en su forma lineal, el llamado modelo logi, es: m p i k [14] log = β0 + βk x i + εi 1 p i k= 1 donde β 0, β 1,,β m son los coeficienes de regresión, x i k son las variables explicaivas, omando en ese rabajo m=3, y ε i es un érmino de error. Tomando la disribución empírica de las duraciones y realizando los cálculos con el paquee informáico SAS, el modelo logi esimado es: [15] 1 = 1+ exp( x x p x ). Los conrases sobre los coeficienes de regresión de forma individual, con la hipóesis nula de que los coeficienes de regresión valen cero, se rechaza para cada uno de ellos, incluso con niveles de significación menores que α=0.05, como se puede observar en la siguiene abla.

19 Tabla 13: Conrases de los coeficienes de regresión Coeficiene Esimación Error de muesreo -raio p-valor β β β β El conrase sobre el ajuse del modelo, con la hipóesis nula de que no exisen diferencias significaivas enre las probabilidades observadas y las esimadas, realizado con el esadísico deviance no deja lugar a dudas sobre la bondad del ajuse realizado, confirmando de forma global los conrases individuales, ambién, incluso con niveles de significación menores que α=0.05, según se aprecia en la Tabla 14. Tabla 14: Conrase sobre la bondad del ajuse Deviance g.l. χ 2 (0.05) p-valor Y, el es de Kolmogorov-Smirnov, con la hipóesis nula de que la duración del ciclo iene una disribución logísica, con un nivel de significación α=0.05 viene a corroborar odo ello como se desprende de los resulados de la siguiene abla. Tabla 15: Tes de Kolmogorov-Smirnov Esadísico Nivel críico (α=0.05) p-valor Además, comparando la función de disribución empírica de las duraciones con las probabilidades obenidas por el modelo de regresión logi esimado, se observa que el ajuse es muy bueno como así lo aesigua el siguiene gráfico.

20 Gráfico 6: Funciones de disribución Empírica Logísica Como se ha dicho, con el modelo de regresión de variable discrea logi ajusado, se pueden calcular de forma más objeiva, sencilla y conrasable las probabilidades de la duración del ciclo mmm del IPI y las probabilidades de finalización del mismo (probabilidades condicionadas). En la siguiene abla se muesran algunas probabilidades de finalización calculadas con el modelo esimado. Tabla 16: Probabilidades de finalización del ciclo Meses hasa el próximo mínimo Meses ranscurridos desde el úlimo mínimo

21 5. Conclusiones En primer lugar, de ese rabajo se obienen las siguienes conclusiones generales: La combinación de méodos de descomposición de series emporales basados en modelos y de filros fijos de ipo Buerworh ofrece una ineresane perspeciva aplicada, debido a las buenas propiedades de la señal cíclica esimada: suavidad, niidez, homogeneidad y represenación especral. El remuesreo boosrap consiuye una forma sencilla de afinar el análisis cíclico, al menos como una primera aproximación. En paricular, la información que proporciona posibilia el ajuse de modelos logi que ofrecen una esimación de la probabilidad de un nuevo puno de giro, eso es, de la finalización del ciclo a unos meses visa. Como conclusiones específicas más imporanes del rabajo se señalan las siguienes: El componene esacional del IPI presena una fala de homogeneidad. El valor reducido del coeficiene esacional del modelo ARIMA (θ 12 = ) indica una gran variabilidad de la esacionalidad, disinguiéndose dos grandes eapas. La primera abarca el periodo de 1961 a 1973 y se caraceriza por ser la esacionalidad del mes de agoso no inferior al 80% respeco de la media. En la segunda, de 1974 a 2000, esa variación es inferior al 80% y cabe señalar que, a parir de 1985, la esacionalidad en el reso del año es más acusada que en los años aneriores. El ciclo del IPI puede ser caracerizado, en mediana, por unas fases de expansión y de recesión de 20 meses de duración, aproximadamene siméricas. La duración media boosrap del ciclo compleo se cifra en 47 meses, al que se puede asociar el inervalo de masa del 50% [41 51]. La paua cíclica es relaivamene heerogénea. El coeficiene regular del modelo ARIMA no presena un valor elevado (θ 1 = ), eso muesra que la endencia es relaivamene inesable, presenando res ramos bien diferenciados en su pendiene, lo que a su vez origina oras anas eapas en la señal cíclica. Esas son: : se caraceriza por presenar ciclos regulares, muy níidos y homogéneos : represenada por una débil señal cíclica y que se corresponde con una endencia consane y de poca pendiene : los ciclos son níidos pero heerogéneos ano en duración como en ampliud.

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