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1 88 CAPÍTULO 9: Álgebra. Matemáticas º de ESO. LENGUAJE ALGEBRAICO.. Letras números Ya sabes que: A nuestro alrededor nos encontramos con multitud de símbolos cuo significado conocemos, como las señales de tráfico o algunos logotipos. El lenguaje algebraico consigue que podamos epresar mensajes en los que las letras representan variables de valor desconocido. Utiliza letras, números operaciones para representar una información. Ya has utilizado el lenguaje algebraico para indicar el área de un rectángulo de base b altura h: A = bh; la longitud de una circunferencia de radio r: L = πr, por ejemplo. Para cada situación podemos utilizar la letra que queramos, aunque, cuando hablamos de algo desconocido, la letra más utilizada es la. La mitad de la edad de una persona / El doble de un número menos. Las epresiones que nos permiten reflejar mediante letras números una situación se llaman epresiones algebraicas. Epresa las siguientes frases en lenguaje algebraico: El propio Al-Khwarizmi usó originariamente la palabra cosa, (por ejemplo, en lugar de decía "el doble de una cosa"), que en árabe suena como ša" que se tradujo al español como "ei". De aquí procede la actual. El triple de un número La producto de dos números consecutivos ( +) La edad de Pedro hace años La diferencia de dos números a b. Epresa las siguientes frases en lenguaje algebraico: a) El triple de un número más su mitad. b) La edad de una persona dentro de 0 años. c) La seta parte de un número menos su cuadrado. d) La diferencia entre dos números consecutivos.. Un mago le propone un juego a Adela: Piensa un número, súmale, multiplica el resultado por, réstale 0 réstale el número. Dime qué te sale. Adela dijo 9. Y el mago le contestó de inmediato: El número que pensaste es 5. Adivina cómo lo supo el mago.. Quieres ser tu ahora el mago? Inventa un juego escríbelo, para poder adivinar el número pensado... Coeficiente parte literal Ya sabes que: Una epresión algebraica puede estar formada por uno o varios sumandos que se denominan términos o monomios. Una suma de monomios es un polinomio. En un monomio la parte literal son las letras se llama coeficiente al número por el que van multiplicadas. En la epresión, el coeficiente es la parte literal. En 9 el coeficiente es 9 la parte literal. Para poder sumar o restar dos monomios deben ser semejantes, es decir, tener igual parte literal. Suma 9 + = 6. En cambio no se puede sumar 5 + pues no son semejantes Señala los coeficientes, las partes literales el número de monomios de la epresión algebraica: 6a b + c + 8 Esta epresión algebraica tiene términos o monomios: 6a, b, c 8. Los coeficientes son +6,, + +8 respectivamente. Las partes literales son a, b c. El último término no tiene parte literal. Señala en el polinomio calcula su suma cuáles son los coeficientes. Los coeficientes son 8, 5 ; s suma es... Valor numérico de una epresión algebraica Si a las letras de una epresión algebraica se les da un valor concreto, se puede calcular el valor numérico de dicha epresión. Calcula el valor numérico de la epresión + cuando vale. TEORÍA. Matemáticas º de ESO. Capítulo : Álgebra Autora: Adela Salvador / Revisor: Sergio Hernández.es

2 89 Ha que sustituir en la epresión, por su valor,. Por tanto: + = + =, que es el valor numérico cuando vale... Equivalencia simplificación de epresiones algebraicas La epresión algebraica 5 + es equivalente a la epresión 9, que es su epresión más simplificada.. Señala el coeficiente, la parte literal el número de términos o monomios de los polinomios siguientes: a) b) a + 6b 9c c) d) Calcula el valor numérico de los siguientes polinomios: a) 6 + para =, =. b) a para a = 5. c) 5a + 9b c para b =, a = c = +.. ECUACIONES DE PRIMER GRADO.. El lenguaje de las ecuaciones Ya sabes que: Una ecuación es una igualdad entre dos epresiones algebraicas. Si tenemos dos epresiones algebraicas: + 5 +, las unimos con el signo igual obtenemos una ecuación: + = 5 +. Las epresiones que ha a cada lado del igual se llaman miembros de la ecuación. Todas las ecuaciones tienen dos miembros: la epresión que está a la izquierda del signo igual se llama primer miembro la que está a la derecha, segundo miembro. Las letras que contienen las ecuaciones algebraicas (las "partes literales" de sus dos epresiones) se llaman incógnitas, que significa literalmente "desconocidas". Si todas las letras son iguales, se dice que la ecuación tiene una sola incógnita. 6 = es una ecuación con una sola incógnita, mientras que + = o 8 = 9 son ecuaciones con dos incógnitas: e. El grado de una ecuación es el maor eponente que aparece en alguna de sus incógnitas. = + es una ecuación de primer grado, mientras que + 5 = 8 es una ecuación de tercer grado a que el monomio 5 tiene grado ( + = ). 6. Copia en tu cuaderno la siguiente tabla complétala: Ecuación Primer miembro Segundo miembro Incógnitas 5 = 6 8a + = Indica el número de incógnitas de las siguientes ecuaciones: a) = + ; b) = c) 8a + 9a = d) + =. 8. Indica el grado de las siguientes ecuaciones: a) 5 6 = + 8; b) 9 + = c) + = d) + 5 = 6.. Ecuaciones equivalentes. Resolución de ecuaciones Solución de una ecuación: Una solución de una ecuación es un número que, cuando la incógnita toma ese valor, se verifica la igualdad, es decir, los dos términos de la ecuación valen lo mismo. Algunas ecuaciones solo tienen una solución, pero otras pueden tener varias. Resolver una ecuación es encontrar todas sus posibles soluciones numéricas. Si te fijas en la ecuación: = 5 + 9, verás que al darle valores a la igualdad no siempre se cumple. Por ejemplo, para =, el primer miembro vale = +, mientras que el valor del segundo miembro es: = =. Luego no es solución de la ecuación. Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

3 90 Para = 6, el primer miembro toma el valor: 6 = = 9; el segundo miembro: = = 9. Por tanto 6 es una solución de la ecuación. Si se desconoce la solución de una ecuación, resulta mu pesado resolverla probando un número tras otro. Por eso lo que se hace habitualmente es transformarla en otras ecuaciones equivalentes más sencillas. Ecuaciones equivalentes son las que tienen las mismas soluciones. = es equivalente a = 8, puesto que la solución de ambas ecuaciones es = 6. Para obtener ecuaciones equivalentes se tienen en cuenta las siguientes propiedades: Si se suma o se resta a los dos miembros de una ecuación una misma cantidad, se obtiene una ecuación equivalente. Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación por una misma cantidad (distinta de cero), se obtiene una ecuación equivalente. Sabías que todas las soluciones de todas las epresiones algebraicas posibles, de cualquier grado, forman lo que se denomina los "números algebraicos"? Por ejemplo, son algebraicos todos estos números:,, /, /5, ;, etc. Aunque la inmensa maoría de los números que utilizamos en nuestra vida cotidiana son algebraicos, debes saber que realmente ha muchos, muchísimos más números "no algebraicos" que a irás conociendo, aunque alguno a conoces como al número π. Resuelve la ecuación + 9 = 5 transformándola en otra más sencilla equivalente. Transformar una ecuación hasta que sus soluciones se hagan evidentes se llama "resolver la ecuación". Siguiendo estos pasos intentaremos resolver la ecuación: + 9 = 5. ) Sumamos a los dos miembros restamos a los dos miembros 9: = 5 9. ) Hacemos operaciones conseguimos otra ecuación que tiene en el primer miembro los términos con en el segundo, los términos sin : = 5 9. ) Efectuamos las sumas en el primer miembro en el segundo: =. ) Despejamos dividiendo los dos miembros por : de donde =. 5) Comprueba que todas las ecuaciones que hemos obtenido en este proceso son equivalentes que su solución es =. Resuelve la ecuación 6 =. ) Sumamos para pasar a un miembro los términos con al otro miembro los términos sin : = + +, ) Hacemos operaciones: 6 + = + ) Efectuamos las sumas: 9 =. Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra El procedimiento utilizado en las actividades es un método universal para resolver cualquier ecuación de grado, es decir, donde aparece sin elevar a otro eponente como en. Las ecuaciones de primer grado tienen siempre una única solución, pero en general, las soluciones no tienen porqué ser números enteros como en los ejemplos. ) Despejamos dividiendo los dos miembros por : =. La solución de la ecuación es =. 5) Comprobamos que en efecto es la solución: 6 = 6 = ; =. 9. Averigua cuál de los números es la solución de la ecuación escríbelo en tu cuaderno: Ecuación Posibles soluciones Ecuación Posibles soluciones + 5 =,, a 6 =, 6, + 6 =,, b = 8 b,, 6 0. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5 = b) + 9 = 5 6 c) = d) 9 =. Elige entre las siguientes ecuaciones todas las que sean equivalentes a la ecuación 6 = + 0. a) 0 = 5 c) 6 = 5 e) = e) = g) 8 =. Escribe dos ecuaciones equivalentes a cada una de las ecuaciones siguientes: Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

4 9 a) 5 = b) = 5 c) 5 + = d) = 5. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MEDIANTE ECUACIONES.. Procedimiento Ya sabes que: Muchos problemas pueden resolverse mediante una ecuación. Busca un número que sumado con su siguiente dé como resultado 9. Para resolverlo, sigue los siguientes pasos: Paso : Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema Lee con mucho cuidado el enunciado, pregúntate: Qué te piden? Qué datos tienes? Nos piden un número. La incógnita es ese número. Llama a ese número. Su siguiente, será +. Nos dicen que la suma de ambos es 9. Paso : Busca una buena estrategia. Es un problema que queremos resolver mediante una ecuación. Escribe en lenguaje algebraico el enunciado del problema plantea una ecuación: + ( + ) = 9. Pregúntate si efectivamente resuelve el problema releendo el enunciado. Paso : Lleva adelante tu estrategia Ahora sí, ahora resuelve la ecuación. Para resolver una ecuación conviene seguir un orden de actuación que nos aude a no cometer errores, para ello seguimos el procedimiento que acabamos de aprender. Quita, si los ha, paréntesis denominadores: + + = 9. Para poner en el primer miembro los términos con, en el segundo los que no lo tienen, haz lo mismo a los dos lados, resta a los dos miembros: + + = 9, luego + = 9. Opera: = 8. Despeja: Para despejar la, se hace lo mismo a los dos lados, se dividen por ambos miembros: / = 8/, por tanto, =. Paso : Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. En efecto, comprueba que: + 5 = 9.. La suma de tres números consecutivos es igual al doble del maor más. Calcula dichos números.. La madre de Álvaro tiene el triple de la edad de su hijo, éste tiene años menos que su madre. Cuántos años tienen cada uno?.. Problemas numéricos En un pequeño hotel ha 50 habitaciones simples dobles. Si en total tiene 8 camas, cuántas habitaciones son simples cuántas son dobles? Sigue los pasos para la resolución de problemas. Paso : Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema Llama al número de habitaciones simples. El número de habitaciones dobles es. El número de camas es 5. Paso : Busca una buena estrategia. Escribe en forma de ecuación la información del enunciado: + ( ) = 5. Paso : Lleva adelante tu estrategia Resuelve la ecuación. Quita paréntesis: + 68 = 5. Para poner en el primer miembro los términos con en el segundo los términos sin, resta 68 a los dos miembros: = Opera: = Para despejar la divide los dos miembros por : = / =. Paso : Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Ha habitaciones simples. Luego ha = 0 habitaciones dobles. Por tanto el número de camas es 5 pues: + 0 = 5. En una granja ha 50 animales entre gallinas conejos, entre todos los animales suman 0 patas. Cuántas gallinas ha en la granja? Paso : Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema Llama al número de gallinas, como ha 50 animales en total, conejos tendremos 50. Como una gallina tiene patas un conejo, tendremos en total + (50 ) patas. Paso : Busca una buena estrategia. Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

5 9 Como sabemos que el número total de patas es 0, podemos escribir esta ecuación: + (50 ) = 0 Paso : Lleva adelante tu estrategia Resuelve la ecuación. Quita paréntesis: + 00 = 0 Si restamos 00 en ambos lados obtenemos: = 0 00 Operando obtenemos: = 80 Dividiendo por en ambos lados resolvemos la ecuación: / = 80/ luego = 0. Paso : Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Ha 0 gallinas 0 conejos pues 50 = 50 0 = 0. Las patas de 0 gallinas 0 conejos suman = = Un mago le dijo: Piensa un número, súmale, multiplica por el resultado, resta 0 divide por. Dime que te sale. Dijo 5. Y el mago le contestó de inmediato: El número que pensaste es. Adivina como lo supo el mago. (Sugerencia: escribe previamente la cadena de operaciones). 6. Piensa un número, multiplícale por 0, réstale el número que has pensado divide el resultado entre 9. Has obtenido el número que pensaste! Busca el truco: escribe algebraicamente, llamando al número, la epresión algebraica de las operaciones realizadas, adivina como lo supo el mago.. Si la suma de tres números consecutivos es 6, de qué números se trata? (Sugerencia: ilustra la situación con una balanza equilibrada. Mantenla equilibrada hasta conseguir la ecuación equivalente que nos dé el resultado). 8. Hemos comprado 8 libros iguales hemos pagado con un billete de 50. Si nos han devuelto 0, cuánto costaba cada libro?.. Problemas de geometría Muchos problemas de geometría se pueden resolver por métodos algebraicos, utilizando ecuaciones. Se quiere dibujar un triángulo de 55 cm de perímetro, de forma que un lado sea el doble de otro, el tercero sea el triple del menor menos 5 cm. Paso : Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema Dibuja un triángulo, pensando en los datos del enunciado. Llamamos al lado menor, de esta forma puedes definir los otros dos lados. El lado mediano es. El lado maor es 5 Paso : Busca una buena estrategia. Como el perímetro es 55, se puede plantear la ecuación: + + ( 5) = 55 Paso : Lleva adelante tu estrategia Se resuelve la ecuación: = ; + + = 60; 6 = 60. Luego = 60 / 6 = 0 es la longitud del lado menor. Los otros dos lados miden = 0 5 = 5. Solución: Los lados del triángulo miden 0 cm, 0 cm 5 cm. Paso : Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Sumando los tres lados, = 55, obtenemos el perímetro del triángulo, 55. Tienes un rectángulo de altura cm de base +. Si a la base de este rectángulo le quitan cm a la altura le añaden 5 cm, se convierte en un cuadrado. Qué dimensiones tiene? Paso : Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema Dibuja un rectángulo con las condiciones del problema. La epresión + epresa los cm que le quita a la base + 5 epresa los 5 cm que le añaden a la altura. Paso : Busca una buena estrategia. Si se ha formado un cuadrado como los lados son iguales ambas epresiones deben ser equivalentes: + = + 5 Paso : Lleva adelante tu estrategia Resuelve la ecuación: + + = + + 5; = ; = Solución: = cm es la longitud de la altura del rectángulo. Por tanto, + = cm mide la base del rectángulo. Paso : Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. En efecto, a la altura le sumamos 5, + 5 = 9, a la base le restamos, = 9, se obtiene un cuadrado. 9. Cada uno de los lados iguales de un triángulo isósceles es igual al doble del tercer lado menos cm. Calcula su medida si el perímetro del triángulo es 8 cm. 0. Calcula el área de un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos suman 0 cm el cateto maor mide cm más que el menor.. Calcula la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, sabiendo que el ángulo maor es igual al triple del menor menos 6º. Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

6 9.. Otros problemas Si tenemos billetes de 5 de 0 que suman en total 0, cuántos billetes tenemos de cada clase? Paso : Antes de empezar a actuar, intenta entender bien el problema Llama al número de billetes de 5 el resto,, será el número de billetes de 0. Paso : Busca una buena estrategia. Plantea la ecuación que epresa la suma en euros de los dos tipos de billetes: ( ) = 0 Paso : Lleva adelante tu estrategia Para resolver la ecuación, lo primero, quita paréntesis: = 0 Deja en el primer miembro todos los términos con, en el segundo los que no tienen : = Haz operaciones: 5 = 0 Despeja la incógnita: = ( 0) : ( 5) = + 8 Por tanto, tenemos 8 billetes de 5, 8 = es el número de billetes de 0. Paso : Comprueba el resultado. Piensa si es razonable. Comprobamos que 8 5 = 0 0 = 0. Y que, en efecto, = 0. Solución: Tenemos 8 billetes de 5 billetes de 0.. Dos motocicletas salen al mismo tiempo de dos puntos que distan 0 km, en la misma dirección pero en sentido contrario. La primera lleva una velocidad de 60 km/h la segunda, de 80 km/h. Cuánto tiempo tardarán en cruzarse? Auda: Haz un diagrama para comprender el enunciado Solución: Tardan horas en cruzarse.. Dos coches salen de dos puntos situados a 560 km de distancia, uno al encuentro de otro. El primero lleva una velocidad de 0 km/h el segundo de 90 km/h. Cuántas horas tardan en cruzarse?. Si en el monedero tenemos 6 monedas de 0 cent de 0 céntimos de euro, en total reunimos, cuántas monedas de cada clase tenemos? 5. Si un bolígrafo vale el triple del precio de un lápiz, he comprado un total de lápices bolígrafos, he pagado en total 5,50, cuántos bolígrafos cuántos lápices he comprado? 6. Nieves tiene una pareja de hámsteres con una camada de varias crías. Le regala a un amiga la mitad de las crías. A un segundo amigo le regala la mitad de las crías que le quedan más media cría. La única cría que le queda se la regala a un tercer amigo. Cuántas crías formaban la camada?. Dos amigas, Maite Ana, fueron a visitar una granja en la que había gallinas conejos. Al salir Ana le preguntó a Maite: Sabes cuántas gallinas cuántos conejos había. No, dijo Maite, pero había en total ojos patas. Averigua el número de gallinas de conejos de la granja. 8. De un depósito lleno de líquido se saca la mitad del contenido, después la tercera parte del resto quedan aún 600 litros. Calcula la capacidad del depósito.. ECUACIONES DE º GRADO Ha ecuaciones de segundo grado que a sabes resolver. El curso próimo estudiarás como resolverlas todas. Pero en este curso vamos a aprender a resolver algunas. Por ejemplo, el siguiente problema a sabes resolverlo: Se aumenta el lado de una baldosa cuadrada en cm su área ha quedado multiplicada por, Qué lado tenía la baldosa? Planteamos la ecuación: ( + 9) = 6 Esta ecuación si sabes resolverla! + 9 = 9 =, luego el lado es de cm. Ha otra solución, + 9 = 9 = 5= 9 = 9/5, que no tiene sentido como lado de un cuadrado. Vamos a estudiar de forma ordenada estas ecuaciones... Concepto de ecuación de º grado Una ecuación de segundo grado es una ecuación polinómica en la que la maor potencia de la incógnita es. Las ecuaciones de segundo grado se pueden escribir de la forma: a + b + c = 0 donde a, b c son números reales, con a 0. Ejemplo : Son ecuaciones de º grado por ejemplo = 0; = 0; 5, = 0. Ejemplo : Los coeficientes de las ecuaciones de º grado son números, por lo tanto pueden ser fracciones o raíces. Por ejemplo: Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

7 9 ;, +,5 0, = 0; ; Indica si son ecuaciones de segundo grado las siguientes ecuaciones: a) c) 5 = 0 e) 0 b) = 0 d) 6 8, = 0 f) 0 0. En las siguientes ecuaciones de segundo grado, indica quiénes son a, b c. a) 8 + = 0 b) = 0 c) 5 = 0 d) + 5= 0.. Resolución de ecuaciones de º grado incompletas Llamamos ecuación de º grado incompleta a aquella ecuación de segundo grado en la que el coeficiente b vale 0 (falta b), o el coeficiente c vale 0 (falta c). La ecuación de º grado 5 = 0 es incompleta porque el coeficiente b = 0, es decir, falta b. La ecuación de º grado 5 = 0 es incompleta porque no tiene c, es decir, c = 0. Las ecuaciones de º grado incompletas se resuelven de una manera u otra dependiendo del tipo que sean. Si el coeficiente b = 0: Despejamos la incógnita normalmente, como hacíamos en las ecuaciones de primer grado: a + c = 0 a c = c a Si el coeficiente c = 0: Sacamos factor común: a + b = 0 (a + b) = 0. Para que el producto de dos factores valga cero, uno de los factores debe valer cero. c a b Por tanto = 0, o a + b = 0 a = b a Ejemplos: En la ecuación 50 = 0 falta la b. Para resolverla despejamos la incógnita, es decir, : 50 = 0 = 50 = 50/ = 5 Una vez que llegamos aquí, nos falta quitar ese cuadrado que lleva nuestra incógnita. Para ello, haremos la raíz cuadrada en los miembros de la ecuación: 5 5 Así hemos obtenido las dos soluciones de nuestra ecuación, 5 5. En efecto, 5 50 = 5 50 = 0, (5) 50 = 5 50 = 0 En la ecuación = 0 falta la c. Para resolverla, sacamos factor común: = 0 ( ) = 0 Una vez que llegamos aquí, tenemos dos opciones ) = 0 = 0. ) = 0 =. Así hemos obtenido las dos soluciones de la ecuación = 0 =. Resuelve la ecuación de º grado = 0: Solución: Se trata de una ecuación de º grado incompleta donde falta la b. Por lo tanto, despejamos la incógnita: = 0 = = / = Las raíces son 6 6. Resuelve la ecuación de º grado + = 0: Solución: Se trata de una ecuación de º grado incompleta donde falta la c. Por lo tanto, sacamos factor común: + = 0 ( + ) = 0 obtenemos las dos soluciones: = 0 + = 0 =.. Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado incompletas: a) + 9 = 0 b) 8 = 0 c) 8 = 0 d) + 5 = 0.. Resolución de ecuaciones de º grado completas Se llama ecuación de segundo grado completa a aquella que tiene valores distintos de cero para a, b c. Para resolver las ecuaciones de segundo grado completas, usaremos la fórmula: c a Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

8 95 b b ac a Esta fórmula nos permite calcular las dos soluciones de nuestra ecuación. Llamaremos discriminante a la parte de la fórmula que está en el interior de la raíz: = b ac Resuelve la ecuación de segundo grado = 0 Solución: Primero debemos saber quiénes son a, b c: a = ; b = 5; c = 6 Sustituendo estos valores en nuestra fórmula, obtenemos: b b ac a Por lo tanto, nuestras dos soluciones son: 5 5 ; Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra 5 En efecto, = = 0, = = 0, luego son soluciones de la ecuación.. Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado completas: a) = 0 b) + 5 = 0 c) 8 + = 0 d) = 0 5. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 5.. Concepto de sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas se puede epresar de la forma: a b c a' b' c' Donde a, b, a' b' son números reales que se denominan coeficientes c c' también son números reales llamados términos independientes. Llamamos solución del sistema al par de valores (, ) que satisfacen las dos ecuaciones del sistema. Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen la misma solución. Son sistemas de ecuaciones lineales: 5 ; ; ; No es un sistema lineal porque tiene términos en Tampoco lo es porque tiene un término en Razona si son o no sistemas de ecuaciones lineales los siguientes sistemas: a) b) c) d) / 5.. Resolución de sistemas por el método de sustitución El método de sustitución consiste en despejar una incógnita de una de las ecuaciones del sistema sustituir la epresión obtenida en la otra ecuación. Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podemos calcular la incógnita despejada. Con el valor obtenido, obtenemos el valor de la otra incógnita. Vamos a resolver el sistema por el método de sustitución: Despejamos de la segunda ecuación: Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

9 Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández 96 lo sustituimos en la primera: ( ) = 6 = = 6 = = ( )/( ) = Con el valor obtenido de, calculamos la : = = =. Solución: 5.. Resolución de sistemas por el método de igualación El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema e igualar los resultados obtenidos. Así, obtenemos una ecuación de primer grado en la que podremos calcular la incógnita despejada. Con el valor obtenido, calculamos el valor de la otra incógnita. Vamos a resolver el sistema por el método de igualación: Despejamos la misma incógnita de las dos ecuaciones que forman el sistema: Igualamos ahora los resultados obtenidos resolvemos la ecuación resultante: 6 6 ) ( Con el valor obtenido de, calculamos la : = = () = Solución: 5.. Resolución de sistemas por el método de reducción El método de reducción consiste en eliminar una de las incógnitas sumando las dos ecuaciones. Para ello se multiplican una o ambas ecuaciones por un número de modo que los coeficientes de o sean iguales pero de signo contrario. Vamos a resolver el sistema por el método de reducción: Multiplicamos la segunda ecuación por - para que los coeficientes de la sean iguales pero de signo contrario sumamos las ecuaciones obtenidas: ) ( 6 sumamos = = ( )/( ) = Con el valor obtenido de, calculamos la : = = + = = / = Solución:. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a) 6 5 b) 6 0 c) Resuelve los siguientes sistemas por el método de igualación: a) 8 6 b) 5 c) 5 6. Resuelve los siguientes sistemas por el método de reducción: a) 5 b) 5 c) 0 RESUMEN

10 9 Epresión algebraica Epresiones que reflejan una situación mediante letras números Valor numérico de una epresión algebraica Número que se obtiene al sustituir las letras por números hacer las operaciones. Ecuación Igualdad entre dos epresiones algebraicas. = + 5 Ejemplos Área de un rectángulo = base por altura: A = b a El valor numérico de para = es: + ( ) + 5 = = Incógnitas Letras de valor desconocido que contienen una ecuación En = + 5 la incógnita es. Grado de una ecuación Solución de una ecuación Resolver una ecuación Ecuaciones equivalentes Pasos para resolver una ecuación: Pasos para resolver un problema mediante ecuaciones Ecuación de segundo grado Resolución de ecuaciones de º grado incompletas Resolución de ecuaciones de º grado completas El maor eponente de la incógnita. Número por el que se puede sustituir la incógnita para que la igualdad sea cierta. La ecuación = + 5 es de primer grado. La ecuación = es de segundo grado. Solución de = + 5 es = 6. Es hallar su solución. = = + 5 +; = 6 Tienen las mismas soluciones 5 = + es equivalente a: = + 5 Quitar paréntesis Quitar denominadores Agrupar los términos con en un miembro los términos sin en el otro. Operar Despejar la. Leer el enunciado. Escribir la ecuación. Resolver la ecuación. Comprobar la solución. Es una ecuación algebraica en la que la maor potencia de la incógnita es. Tiene la forma: a + b + c = 0 donde a, b c son números reales, con a 0. Si b = 0, a + c = 0, despejamos la incógnita: Si c = 0, a + b = 0: = 0 Se usa la fórmula: b b a b ac a Sistema de ecuaciones lineales a b a' b' Métodos de resolución c c' c. a ( ) = /. 6 = /. =. = +. = 5. = / Hallar un número que sumado a da lo mismo que su doble menos. ) Comprender el enunciado ) + = ) = ; = 0; = 0 ) 0 + = = 0 8 = 0: 9 5 = 0 ( 5) = 0 = 0; = = 0: =, = Sustitución: despejar una incógnita sustituir en la otra ecuación. Igualación: despejar la misma incógnita de las dos ecuaciones. Reducción: sumar las dos ecuaciones, multiplicándolas por números adecuados. Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

11 98 Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra EJERCICIOS Y PROBLEMAS. Matemáticas º de ESO Lenguaje algebraico. Si llamamos a la edad de Luis, epresa algebraicamente: a) Lola tiene la edad que Luis tenía hace años. b) Jordi tiene la edad que Luis tendrá dentro de años. c) Los años que faltan para que Luis cumpla 0 años. d) Carmen tiene la mitad de la edad de Luis.. En una granja ha un número de ovejas desconocido. Indica en lenguaje algebraico el número de patas de orejas que ha.. Escribe en lenguaje algebraico a) La edad de Cristina es doble que la que tendrá su hermano dentro de 5 años b) La edad de Rafa es la tercera parte que la que tenía su hermana hace años.. Escribe en tu cuaderno utilizando epresiones algebraicas: a) Raquel tiene cromos b) Pepe tiene 0 cromos más que Raquel c) Teresa tiene el triple de cromos que Pepe d) Carmela tiene el mismo número de cromos que Raquel Pepe juntos e) Marta tiene la mitad de cromos que Teresa. 5. Copia en tu cuaderno relaciona cada enunciado verbal con su epresión algebraica: a) Sumar 9 al triple de un cierto número ) + ( + ) b) Restamos a la mitad de un número ) + 9 c) El triple de un número más el doble del siguiente ) 8 d) Lo que nos devuelven si pagamos 0 por una cierta compra ) / e) El perímetro de un octógono regular. 5) f) La edad de hace años 6) 0 6. Calcula el valor numérico de las siguientes igualdades para el valor indicado de : a) = 0,5 + para = b) =,6 para = 0,5 c) = +,5 para =,. Simplifica las siguientes epresiones: a) a b a b + a b b) 5 + c) d) + e) ab + 8ab 6ab 8. Realiza las operaciones siguientes a) b) ( 5 ) ( + 5) c) ( ) ( + 5) d) a 5a + a 8a + b Ecuaciones de primer grado 9. Encuentra el número que falta: a) O + = 5 b) O + = c) O = 6 d) O = 0. Si Clara tiene años sabemos que aún no ha cumplido los 5, indica quién de las siguientes personas puede ser la madre de Clara: Persona Edad en años Julia 9 María Federica Elisa + 9. Resuelve mentalmente las siguientes ecuaciones escribe la solución en tu cuaderno: a) + = b) = c) /5 = d) / + / = /. Elige entre las siguientes ecuaciones todas las que sean equivalentes a la ecuación 6 = + 9. a) + 0 =,5 c) 8 = 5 e) = 0 g) = i) 0,5 = b) 6 + = 60 d) 5 6 = + 9 f) 6 9 = h) = 5 j) =,5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) 5 = d) + 9 = g) + = i) 5 = 5 b) = + 6 e) 5 + = + 5 h) = + 8 k) + = 8 c) = f) = i) 6 = + 9 l) 0 = +. Escribe tres ecuaciones equivalentes a = Escribe tres ecuaciones que tengan como solución =. Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

12 99 6. Resuelve las ecuaciones siguientes: (Sugerencia: ilustra las ecuaciones mediante balanzas). a) 5 = 9 b) 8 = c) = d) 9 = 6. Resuelve en tu cuaderno las siguientes ecuaciones: a) + = 5 b) = 6 c) 5( ) = 0 d) 5 = 9 8. Resuelve las siguientes ecuaciones: a. + = 5 b. 5 = + c. / = d. ( ) = Resuelve las ecuaciones siguientes: a) = b) ( + ) = c) / + = d) ( + ) = Resuelve las ecuaciones: a) / ( ) = b) ( ) + = c) = + / d) = + /. Resuelve: a) / = ; b) = 9; c) + = ; d) =. Practica en tu cuaderno resolviendo las siguientes series de ecuaciones: ª serie ) + = 6 ) + 6 = ) 5 = + ) = + 5) + 8 = 6) + 6 = 8 ) + = 8) 8 + = 6 9) = + 0) = + ª serie ) = 6 ) = ) = ) = 5) 6 = 6) = 9 ) = 8) = 0 9) 8 = 0) 9 = 5 ª serie ) = 6 ) = 6 ) 6 = 8 ) 8 = 5) = 6) = 6 ) = 8) = 6 9) 9 = 0) 8 = 6 ª serie ) /5 = ) / = ) / = ) /5 = / 5) /0= / 6) / = ) / = / 8) / = /9 9) /5 = 0) / = / 5ª serie ) + = 6 ) + = 6 ) 6 = ) + = 5) + = + 6) + = 5 + ) + = + 8) + = + 9) + + = ) 6 + = + 6ª serie 5) / = 5) /5 + = 5) / + / = 5) /5 + /5 = 9 55) / + / + = 5 56) / + / + = 6 5) + /5 = 58) / + 5/ + = 5 59) 5 + / = 60) + / = 9 ª serie 6) + ( ) = 9 6) 5 ( + ) = 5 6) + ( + 5) = ( + ) 6) ( 5) = ( ) 65) 5 ( ) = 6 ( + 6) 66) ( 5) ( + )= 6) ( + ) + = (5 + 6) 68) 5 ( ) = 6 69) ( ) = 8 5 0) 5 ( + ) = 5 8ª serie ) / + /6 = ) /6 + / + / = 5 ) ( )/5 = ) / = 5) ( + 9)/ = 6) ( + 9)/ = ) ( )/5 = 8) 5 + / = 6 9) / + 5/6 = / + 80) / + / + 5 = 8 + /6 9ª serie 8) ( ) = (+ )/ 8) ( + )/ + ( +5)/ = 8) (+5)/ = ( +)/6 8) ( + 5)/ = / ) (+)/ + (5 + )/6 = (9+)/ 86) ( + )/5 + = ( + )/ 8) ( + )/ + ( + )/ = + 88) ( )/ + = ( + )/5 89) ( + )/5 ( 5)/ = + 90) ( )/ ( + )/5 = ( + )/5 0ª serie 9) + 8 = 6 9) 5 + ( ) = (5 8) 9) 5( ) + (8 5) = 5 9) = ) 8 (5 ) + = 6 (8 ) + ( + ) 9 96) 6( + 5) = ( 8) + 9) = ) + ( 5 9) = ( 8) 99) (6 9) = (5 + 8) + 00) 5 + (6 ) = ( 8) + Problemas. Si un repartidor de pedidos ha dejado los /5 de los paquetes que llevaba en la primera casa, aún le quedan 00 kg Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

13 00 por repartir, cuántos kilos tenía en un principio?. Resuelve mentalmente los siguientes problemas: a) Cuántos cromos tengo si el doble de los que poseo es 0? b) Cuántas canicas tengo si al darme tendré? c) Cuántos discos tengo si al regalar 5 me queda una docena? d) Manuel, dentro de 6 años tendrá 8. Cuántos años tiene ahora? 5. En una granja ha 0 animales entre gallinas conejos, entre los dos, suman 80 patas. Cuántas gallinas ha en la granja? 6. Halla el número tal que su doble más tres sea igual que su triple menos dos.. Repartimos 50 entre tres personas de forma que la primera recibe el doble que la segunda ésta el triple que la tercera. Cuánto le corresponde a cada una? 8. El ángulo maor de un triángulo mide el doble que el menor éste 0 grados menos que el mediano. Cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo? (Recuerda que los tres ángulos de un triángulo suman 80 grados) 9. Si al quíntuplo de un número le restas tres obtienes. Cuál es el número? 0. Un número su siguiente suman 8. Cuáles son esos números?. Un bolígrafo cuesta el triple que un lápiz. He comprado cinco lápices cuatro bolígrafos me han costado,0. Cuánto cuesta un lápiz? Y un bolígrafo?. En mi monedero llevo diez monedas, unas de 50 céntimos otras de 0 céntimos. Si tengo,90 en total, Cuántas monedas de cada tipo tengo?. El perímetro de un rectángulo es de 0 metros la altura es 5 centímetros más larga que la base. Cuánto miden la base la altura del rectángulo?. Laura dice que si al triple de la edad que tiene le restas la mitad, el resultado es 0. Qué edad tiene Laura? 5. Un hijo tiene años su padre 5. Cuántos años deben de pasar para que la edad del padre sea el doble que la del hijo? 6. Calcula la longitud del lado de un triángulo equilátero sabiendo que su perímetro es de 8 cm.. Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que el perímetro es 8 m cada lado igual mide cm más que el lado desigual. 8. Si a la tercera parte de un número le sumas dos, obtienes el mismo resultado que si al número le sumas uno divides entre dos. 9. Hemos comprado artículos entre mesas sillas. Cuántas hemos comprado de cada si cada mesa cuesta 0 cada silla 60 en total nos ha costado50? 0. El perímetro de un triángulo isósceles mide 0 centímetros. El lado desigual mide la mitad de uno de sus lados iguales. Cuánto mide cada lado?. Cuadrados mágicos: En el cuadro Melancolía del famoso pintor alemán Alberto Durero (-58) aparece este cuadrado mágico en el que todas las filas, columnas diagonales suman lo mismo, además ese mismo resultado se obtiene sumando las cuatro casillas centrales. Además, las dos casillas del centro de la línea inferior indican el año en el que este cuadrado mágico fue resuelto, 5. Confecciona un cuadrado mágico de casillas, colocando los dígitos del al 9 de forma que todas las filas, todas las columnas, todas las diagonales sumen lo mismo.. DIOFANTO: Diofanto fue un famoso matemático griego del siglo III d. C. En el epitafio de su tumba escribió: Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Caminante! Aquí acen los restos de Diofanto. Los números pueden mostrar oh maravilla! La duración de su vida, cua seta parte constituó la hermosa infancia. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida cuando se cubrió de vello su barba. A partir de ahí, la séptima parte de su eistencia transcurrió en un matrimonio estéril. Pasó, además un quinquenio entonces le hizo dichoso el nacimiento de primogénito. Este entregó su cuerpo su hermosa eistencia a la tierra habiendo vivido la mitad de lo que su padre llegó a vivir. Por su parte, Diofanto descendió a la sepultura con profunda pena habiendo sobrevivido cuatro años a su hijo. Dime, caminante, cuántos años vivió Diofanto. a) Escribe en lenguaje algebraico el epitafio de la tumba de Diofanto b) Resuelve la ecuación. Comprueba que Diofanto vivió 8 años. Ecuaciones de segundo grado. Resuelve las siguientes ecuaciones de º grado a) = 0 b) + = 0 c) + 5 = 0 d) + = 0 e) 6 5 = 0 f) 9 = 0 Sistemas lineales Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández

14 0. Resuelve los siguientes sistemas por el método de sustitución: a) 6 8 b) 9 6 c) AUTOEVALUACIÓN DE º DE ESO. Los coeficientes de la epresión algebraica 8,,5 +, son: a) 8,,,5 b) +8,,,5 + c) + 8,,5. El valor numérico de la epresión algebraica a + b, cuando a = 5 b =, es: a) b) c) 6. La solución de la ecuación, + 5, 8, = 9, +, es: a) 0/ b) +6/0, c) 0/,. La ecuación = tiene de soluciones: a) b) c) 5. La suma de las edades de dos personas es de 50 años su diferencia, 8 años. Cuál de las siguientes ecuaciones nos permite calcular sus edades? a) + +8 = 50 b) 8 = 50 c) 50 + = 8 6. El perímetro de un rectángulo es 0 cm. Si la base es el triple de la altura menos 5 cm, las dimensiones del rectángulo son: a) 0 b) 0 9 c) 5 0. Tres números suman. El mediano es el doble del menor, el maor es triple del menor menos 8. Cuál de estas ecuaciones nos permite hallar los números? a) + + = b) + + = + 8 c) + + = 8 8. Tenemos 0 monedas de. Si en total tenemos 0, de cada clase de monedas, tenemos: a) 9 b) 0 0 c) 6 9. Tres personas se reparten una cantidad de dinero: la primera se queda con 50 más que la segunda la tercera se lleva tanto como la primera la segunda juntas menos 00. Si la cantidad a repartir es 000, el resultado del reparto es, respectivamente: a) 950, b) 50, A qué distancia de sus respectivos puntos de salida se cruzarán dos coches que salen en sentido contrario desde dos ciudades que distan 50 km, si el primero va a 00 km/h el segundo a 80 km/h? a) 0 km 00 km b) 00 km 0 km c) 0 km 0 km Matemáticas º de ESO. Capítulo 9: Álgebra Revisores: Pedro Luis Suberviola Sergio Hernández