TEMA 5: DERIVADAS PARCIALES

Transcripción

1 Matemáticas. Curso 2011/2012 Graos en ADE e Consultoría. Universidade de Vigo. En muchos problemas comunes aparecen funciones de dos o más variables, por ejemplo: w = F D (Trabajo realizado por una fuerza) V = πr 2 h (Volumen de un cilindro circular recto) V = xyz (Volumen de un solido rectangular) z = e x + sen(y) = f (x, y) w = f (x, y, z) = x 2 + 3yz

2 T. W. Schultz calculó que la demanda de azúcar en EE.UU. entre 1929 y 1935 puede describirse aproximadamente por la fórmula f (p, w, t) = p w t, p = precio del azúcar, w = un índice de producción, t = año (t = 0 se corresponde con 1929). La función de Cobb-Douglas f (x 1, x 2,..., x n ) = A x a 1 1 x a x a n n, A, a 1, a 2,..., a n > 0. Definición (Función de n variables con valores reales) f : D R n R (x 1, x 2,..., x n ) f (x 1, x 2,..., x n ) R D = dominio de f {f (x 1, x 2,..., x n ) : (x 1, x 2,..., x n ) R} = rango o imagen de f Observación La manera más común de describir una función de varias variables es mediante una ecuación. A menos que se diga lo contrario el dominio es el conjunto de todos los puntos para los que la ecuación esté definida.

3 Hallar el dominio de las siguientes funciones: 1 f (x, y) = x 1 + y 2 2 g(x, y) = + 9 (x 2 + y 2 ) x 2 +y 2 4 Las funciones de varias variables pueden combinarse de la misma forma que las funciones de una variable: (f ± g)(x, y) = f (x, y) ± g(x, y) (Suma o diferencia). (f g)(x, y) = f (x, y) g(x, y) (Producto). (f /g)(x, y) = f (x,y) g(x,y) si g(x, y) 0 (Cociente). Si f (x, y), g(z) y Rango(f ) Dom(g) (g f )(x, y) = g(f (x, y)) (Función compuesta). Si f (x, y) = 3 x 2 y 2 y g(z) = z calcular la función compuesta g f y su dominio.

4 La gráfica de una función de dos variables f (x, y) es el conjunto de todos los puntos (x, y, z) tales que z = f (x, y) para (x, y) Dom(f ). La gráfica de f (x, y) es una superficie en el espacio. La gráfica de la función f (x, y) = 3 x 2 y 2 es Otra forma de obtener información gráfica acerca de una función son las curvas de nivel. Éstas se obtienen intersecando la gráfica de f (x, y) (cuya ecuación es z = f (x, y)) con planos horizontales (de ecuación z = c para cualquier constante c R) { z = f (x, y), Gráfica de f, z = c, Plano horizontal de altura c. Por tanto la ecuación impĺıcita de cada curva de nivel viene dada por f (x, y) = c. Variando el valor de c obtenemos las distintas curvas de nivel. Cada curva de nivel une los puntos del plano en los que f toma el mismo valor. Observación Si f (x, y, z) es una función de tres variables entonces la ecuación f (x, y, z) = c determina las superficies de nivel.

5 Curvas de nivel famosas: Isobaras: curvas de nivel de la función presión atmosférica Isotermas: curvas de nivel de la función presión temperatura Líneas equipotenciales: curvas de nivel de la función potencial eléctrico. Líneas topográficas: curvas de nivel de la función altitud con respecto al mar. Ejercicio Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y) = 3 x 2 y 2.

6 Ejercicio Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y) = 3 x y. Ejercicio Dibujar las curvas de nivel de la función f (x, y) = y 2 x 2.