CONTINUIDAD. CONVERSIÓN ENTRE REGISTROS. Cristina COSCI, Gladys MAY, Javier ESPERANZA, Graciela ECHEVARRÍA, Roberto SIMUNOVICH

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1 CB 25 CONTINUIDAD. CONVERSIÓN ENTRE REGISTROS Cristina COSCI, Gladys MAY, Javier ESPERANZA, Graciela ECHEVARRÍA, Roberto SIMUNOVICH Facultad de Ingeniería y Ciencias Económico Sociales - Universidad Nacional de San Luis - Argentina gcmay@fices.unsl.edu.ar acosci@fices.unsl.edu.ar Nivel Educativo: Educación Superior. Palabras Clave: Registros de representación, continuidad, concepto, Duval. RESUMEN Los cursos de matemáticas que se imparten a nivel universitario requieren de una completa comprensión de los temas de Análisis Matemático, en particular del concepto de continuidad. El presente trabajo muestra los resultados de un estudio donde analizamos los errores que cometen los estudiantes de primer año cuando se les pide realizar conversiones entre registros referidos al concepto de continuidad. El análisis realizado evidencia no sólo la importancia de presentar esta noción mediante distintas representaciones sino el papel que juegan los distintos registros semióticos para reconocer este objeto en diversas situaciones problemáticas. Por otro lado, evidenciamos que a los alumnos se les presenta distintas dificultades cuando realizan la conversión en los diferentes registros. Por lo que, en nuestra investigación, trabajaremos los registros numéricos, gráficos, verbales y simbólicos y las conversiones entre ellos, aplicándose una metodología cualitativa y considerándose el marco teórico: Registros de Representación Semiótica de Raymond Duval. Mostraremos los resultados y conclusiones de una investigación con alumnos de primer año de UNSL sobre el concepto de continuidad y su conversión a los diferentes registros. INTRODUCCION El aprendizaje del concepto de continuidad es uno de los objetivos fundamentales en la enseñanza del Cálculo y su importancia se debe a que es imprescindible para la comprensión de conceptos tales como derivada e integrales de funciones. Es de sumo interés, entonces, analizar las dificultades que conllevan los procesos de enseñanza/aprendizaje del concepto de continuidad de una variable. Por lo que, en nuestra investigación, trabajaremos los registros numéricos, gráficos, verbales y simbólicos y las conversiones entre ellos, ahondando en planteamientos controvertidos que tengan que ver con el concepto aplicándose una metodología cualitativa y considerándose el marco teórico: Registros de Representación Semiótica de Raymond Duval para determinar que y como aprenden los alumnos. La presentación de este tema a los alumnos se realiza mediante una introducción donde se les da gráficas diferentes que ilustran funciones que no son continuas, comparando en cada una de ellas el limite de la función en un punto con el valor de la función en dicho punto que 559

2 induce a la definición de Continuidad de una función en un punto a como lo presenta Dennis Zill (1987, en la pagina 86), que dice: Se dice que una función f es continua en un número a si (i) f(a) esta definida (ii) el lim x a f(x) existe (iii) lim x a f(x) = f(a) Luego los estudiantes realizan distintos tipos de actividades prácticas utilizando las conversiones entre registros, dichos ejercicios son similares a los que analizaremos a continuación. El trabajo que presentamos muestra los resultados y conclusiones de una investigación llevada a cabo con alumnos de primer año de la carrera de Ingeniería Agronómica de la Facultad de ingeniería y Ciencias Económicos Sociales de de la Universidad Nacional de San Luis. MARCO TEORICO Debido a que los objetos matemáticos no son directamente accesibles a la percepción, Duval (1998) enfatiza la importancia de la representación en Matemáticas, estableciendo que no es posible estudiar los fenómenos relativos al conocimiento sin recurrir a ella. Sin embargo, establece que no se deben confundir los objetos matemáticos con su representación y define los registros de representación como un medio de expresión que se caracterizan por sus signos propios y la forma en que éstos se organizan. De la misma manera, establece que es posible representar un concepto matemático en diversos registros de representación. Para la comprensión de un concepto es necesaria la coordinación de los diferentes registros de representación, ya que con la representación en un solo registro (mono-registro) no se obtiene la comprensión integral del concepto. Sin embargo, la conversión entre registros no se realiza en forma espontánea, a menos que se trate de representaciones congruentes entre el registro de partida y el de llegada. Se puede observar que la mayoría de los alumnos no reconocen el mismo objeto a través de representaciones que son dadas en sistemas semióticos diferentes. En particular, el concepto de continuidad admite una gran variedad de registros de representación, por lo que la comprensión integral de esta noción queda evidenciada en la coordinación de sus numerosos registros. Duval (1993) afirma que sólo por medio de las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los objetos matemáticos y caracteriza a un sistema semiótico como un sistema de representación, el cual puede ser un registro de representación si permite tres actividades cognitivas, a saber: La presencia de una representación identificable como una representación de un registro dado. Ejemplo -2x +3y = 6 registro algebraico El tratamiento de una representación que es la transformación de la representación dentro del mismo registro donde ha sido formada. -2x +3y = 6-2x +3y - 6 = 0 560

3 La conversión de una representación que es la transformación de la representación en otra representación de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del significado de la representación inicial. Esta actividad cognitiva es diferente e independiente a la del tratamiento. y -2x +3y = 6 registro algebraico 2 registro gráfico -3 0 x En esta teoría se considera que la comprensión integral de un concepto está basada en la coordinación de al menos dos registros de representación y esta coordinación se pone de manifiesto por medio del uso rápido y la espontaneidad de la conversión cognitiva, logrando articulaciones entre diferentes registros de representación semiótica. Algunos ejemplos de estos registros pueden ser el lenguaje natural, las escrituras algebraicas o los gráficos cartesianos. En general, la enseñanza de las Matemáticas se organiza como si la coordinación de los diferentes registros de representación introducidas o utilizadas se efectuara rápida y espontáneamente. Parece que el objetivo principal en la enseñanza no es el cambio de registro a efectuar sino los tratamientos que podrían realizarse sobre la representación obtenida después del cambio. Los alumnos deben aprender a realizar conversiones en distintos registros como una actividad necesaria, por lo que la coordinación entre dichos registros es de vital importancia para el desarrollo del pensamiento. De acuerdo a este enfoque cognitivo nos planteamos la siguiente pregunta: Qué importancia tienen las diferentes representaciones en la comprensión del concepto de continuidad? El concepto de continuidad admite una gran variedad de diferentes registros de representación, por lo que en este estudio nos interesamos en analizar los distintos registros que se abordan en la aprehensión de este concepto. Los registros que analizaremos son los siguientes: Registro simbólico: Cuando se da la definición de una continuidad mediante expresiones simbólicas sustentadas por las reglas de la lógica formal. Registro analítico: Cuando hacemos referencia a la definición de continuidad mediante una expresión algebraica. Registro verbal: En este caso, el lenguaje común es el utilizado para representar situaciones llamadas del mundo real. Estas pueden ser modeladas en cualquiera de los otros registros. Registro gráfico: Es la representación en el plano cartesiano, incluyendo los convenios implícitos en la lectura de gráficos. Por ejemplo: interpretación de ejes coordenados, de unidades, etc. En consecuencia, para lograr la comprensión del concepto de continuidad de una función de una variable, el profesor debe ayudar a los estudiantes a reconocer en cada registro cuándo se trata o no de una función continua. Por otro lado, la conversión entre estos registros conlleva a la superación de distintas dificultades. Por ejemplo, Duval (1998) nos muestra que no se presenta el mismo nivel de dificultad en los alumnos cuando deben realizar la articulación entre el registro algebraico o analítico y el registro gráfico que la que se manifiesta en el proceso inverso. 561

4 METODOLOGÍA Considerando que este es un estudio exploratorio, diseñamos un cuestionario escrito compuesto de cuatro preguntas relacionadas con los conceptos de continuidad. En el presente trabajo analizamos solamente las preguntas relacionadas con la conversión entre los registros enunciados anteriormente. Este instrumento fue aplicado a mitad del dictado de la asignatura Matemática, durante el ciclo lectivo 2009, del curso de Matemática a 48 estudiantes.los alumnos traían como conceptos previos el de función, visto en la escuela media y durante este curso. Los objetivos específicos de este estudio son: Analizar los errores que los alumnos cometen al identificar una función continua a partir de distintos registros de representación. Determinar si los alumnos son capaces de reconocer los distintos tipos de discontinuidad. DESARROLLO Actividad 1 Dé el concepto de continuidad de una función de una variable real. El objetivo de esta tarea es analizar cual es la conceptualización que tienen los alumnos sobre este concepto. Los alumnos la consideran como una noción intuitiva y por lo tanto evidente, pero en la práctica no es tan evidente y vemos numerosas dificultades que presentan los alumnos cuando se desarrolla este tema. Además se busca a través de este ejercicio el pasaje del registro verbal del concepto de función al registro simbólico, para que los alumnos vayan adquiriendo un rigor apropiado del lenguaje matemático. Esta es una pregunta abierta en donde no se les indica vías de respuesta, tampoco se los induce a que respondan en un determinado registro. Análisis de las respuestas 25% ACTIVIDAD 1 21% 29% 25% Expresan en lenguaje coloquial Cometen errores en la def. Expresan en lenguaje simbólico No realizan la actividad Los alumnos que utilizaron el lenguaje coloquial escribieron: Es la curva que tiene un trazo continuo. Los alumnos que dan la definición en lenguaje simbólico, escriben las tres condiciones, como se les dio en teoría. Dentro del 29% que cometen errores, un 17% les falta 562

5 alguna de las tres condiciones de la definición de continuidad, en particular la última, en la que el límite debe coincidir con el valor de la función en el punto. Otros escriben mal dicha condición Lim = f (a), en vez de Limf (x) = f (a), es decir no colocan la función f(x). x a x a Actividad 2, analizar la continuidad en x = 0. En caso de ser discontinua la función decir que tipo de discontinuidad presenta? Dado el siguiente gráfico de la función f ( x) En este caso la tarea esta presentada en el registro gráfico y el objetivo es determinar si los alumnos son capaces de determinar correctamente en lenguaje coloquial la respuesta o con un grado de mayor pretensión si los alumnos son capaces de realizar el pasaje del lenguaje gráfico al lenguaje simbólico, señalando en particular cuales de las tres condiciones no es la que se cumple para que la función sea continua. y x ACTIVIDAD 2 29% 41% 17% Identifican la discont. Cometen errores 13% No clasifican la discont. No realizan la actividad 563

6 Vemos que un 41 % no tuvo dificultades en identificar que la función presentada tiene una discontinuidad esencial, un 13 % de los alumnos pusieron que la función era discontinua pero no la clasificaron. Los alumnos que contestaron mal cometen errores tales como: Discontinuidad evitable y la redefinen en el punto x = 0, dando al limite en x = 0 el valor cero, Lim f ( x) = 0 ( 10 % de los alumnos ) x 0 Otros responden que la función es continua en x = 0. ( 2 % de los alumnos ) El resto de los alumnos contestan que el límite de la función en x = 0 es 1, Lim f ( x) = 1 x 0 Actividad 3 La siguiente función es discontinua en el punto indicado. Analice el tipo de discontinuidad y de ser evitable redefina la función para que sea continua. f ( x) x 2 = si x 2 x 2 en x = 2 5 si x = 2 En este ejercicio se evalúa si el alumno realiza correctamente el pasaje del registro analítico al registro simbólico, a través del análisis de las tres condiciones que definen si una función es continua. ACTIVIDADA 3 17% 19% 15% 49% Redefinen bien la funciòn Cometen errores Redefinen mal la función No realizan la actividad Solo el 19 % de los alumnos contestan correctamente que es discontinua evitable y la redefinen en el punto x = 2, dando al valor de la función en x = 2 el valor del límite 1 2 f ( 2) = o f (2) = Un 15 % de los alumnos encuentra bien el límite pero no redefinen la función. Casi la mitad de los alumnos contestan mal, cometiendo los siguientes errores: Calculan mal el límite, al no salvar la indeterminación Otros alumnos simplifican mal, errores de calculo. x 2 lim = 2 x 2 x 0 0 (25 %) 564

7 Otros alumnos colocan que la discontinuidad es esencial. Otros alumnos calculan bien el límite, pero redefinen mal la función. Dos alumnos dicen que la función es continua, (no leyeron el enunciado del ejercicio). Hay alumnos que dan mal el valor de la función en el punto. Actividad 4 Realice el gráfico de una función en general que cumpla con las siguientes condiciones: a ) Que sea continua en el punto. b ) Que sea discontinua evitable en el punto: c ) Que sea discontinua esencial en el punto: Con esta tarea se pretende que el alumno pase del el lenguaje coloquial al gráfico. 23% ACTIVIDAD 4 15% 25% Grafican bien. Muy pocos alumnos solo el 15% contestan los 3 ítems correctamente. Un 25 % de los alumnos responden bien dos de los tres ítems propuestos. En esta categoría la mayoría hace bien el ítem a) y c) A la mayoría de los alumnos les cuesta graficar una función que presente una discontinuidad evitable en punto determinado. Los alumnos trabajaron mal presentaron los siguientes errores: Marcan las discontinuidades en cualquier punto y no en los solicitados. Cuando hacen dos o tres ítems mal. ( 20 %) Al graficar funciones continuas 37% Grafican 2 o 3 items mal Al Confundir discontinuidad esencial con evitable. (10 %) Cuando hacen continua la función en x = 0 Grafican bien 2 items No realiza la actividad CONCLUSIONES Del análisis efectuado a las tareas solicitadas a los alumnos deducimos las siguientes reflexiones: 565

8 El presente trabajo se considera importante dado que al conocer las dificultades de los conocimientos de los alumnos, se puede repensar la planificación de la enseñanza para los años posteriores Podemos inferir que se produce una comprensión del concepto de continuidad a un nivel que podríamos llamar intuitivo, pero no siempre logran establecer las coordinaciones correctas entre los diversos tipos de registros lo que haría que se lograra una comprensión a un mayor nivel de abstracción. Una de las dificultades de los alumnos en el concepto de continuidad, es la de no poseer los conceptos previos necesarios como el de función y limite de una función. Esta afirmación esta fundada en los errores que cometen los alumnos al desarrollar estas actividades. A los alumnos se les presenta mayores dificultades cuando deben realizar la conversión del registro coloquial al gráfico (actividad 4). Posiblemente debido a que en la guía de actividades y en los libros de textos son escasos este tipo de ejercicios. En general, el concepto de continuidad lo interpretan bien en varios registros, no así con el concepto de discontinuidad, donde confunden discontinuidad esencial con evitable o viceversa. Consideramos que debemos continuar la investigación sobre este tipo de problemática para tratar de lograr una enseñanza más eficaz que sirva a nuestros alumnos de base para la adquisición significativa de conceptos relacionados con el concepto de continuidad. BIBLIOGRAFÍA Artigue M. (1995). Ingeniería didáctica. En P. Gomez (Ed.). Ingeniería didáctica en educación matemática: Un esquema para la investigación y la innovación en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. México. Grupo Editorial Iberoamérica. (pp ) Duval, R. (1993). Registres de reprësentation sémiotique et fonctionnement cognitif de la pensée. Annales de Didactique et de Science Cognitives 5 (p ). Duval, R. (1998). Registros de Representación semiótica y funcionamiento cognitivo del pensamiento. En F. Hitt (Ed.), Investigaciones en Matemática Educativa II, (pp ). México: Departamento de Matemática Educativa. Cinvestav. Gatica, N. Carranza, M., May G., Cosci C. (2002). El concepto de función en los libros de textos universitarios XV Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa. (pp ) Buenos Aires. May, G., Gática, S. N., Cosci, C., Renaudo, J. A. (2003) "Conversión al registro Gráfico en un problema aplicado el Concepto de función: Una Experiencia con Alumnos de Primer Año de las Carreras de Ingenierías". Publicación: Revista EPSILON; nº55 (p ).Editada S.A.E.M THALES Facultad de Matemática; España. Zill, Dennis. (1987) Cálculo con Geometría Analítica. Ed. Grupo Editorial Iberoamerica (p ) 566