MÓDULO: Enseñanza de la Aritmética. La división en los distintos conjuntos numéricos: el caso de Z

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1 MÓDULO: Enseñanza de la Aritmética La división en los distintos conjuntos numéricos: el caso de Z Clase 3 Introducción Estimados colegas, bienvenidos a esta nueva clase. Continuamos nuestro recorrido trabajando: Sobre el funcionamiento de la división por los conjuntos numéricos, Armando el marco de referencia con el conjunto de números enteros. Comenzamos con una pregunta: Quehacer matemático personal (5) La división entera en Z, forma parte de los contenidos señalados para el nivel secundario en el Diseño curricular de su provincia? Y en los NAP (Núcleos de aprendizajes prioritarios)? Analizar en qué términos se plantea su inclusión y registrarlo en Portafolio personal. Página 1

2 A pesar de que en esos documentos se indica a la división de enteros como uno de los contenidos del nivel secundario, resulta bastante difícil encontrar un trabajo con ella en las aulas. Se trata -como veremos de una noción compleja y que presenta rupturas con respecto a los conocimientos previos de los alumnos-,en particular, la imposibilidad de considerar a los enteros como cantidades. Se suele escuchar a los alumnos diciendo: cómo se puede repartir lo que no tengo? Con frecuencia los autores de libros de texto deciden no incluirlo entre las propuestas de aprendizaje; por su parte, los docentes tampoco han tenido en general oportunidad de trabajar con la división entera en su formación inicial. Por ello, consideramos relevante transitar por un proceso de estudio en este contexto numérico particular, de acuerdo a los objetivos generales del Programa nacional de formación permanente Nuestra Escuela que promueve: Especializar a los docentes en la enseñanza de una Matemática que se reconfigura a partir de los aportes de numerosas investigaciones actuales y trabajos en el marco de su didáctica. Generar momentos de producción matemática con la finalidad de que el docente se vincule con esta disciplina desde un modelo actual de enseñanza, logrando así repensar el aula como un espacio para el hacer y construir matemática. La división en Z En Z, la división está definida para cualquier par de números enteros a y b con b 0. Podemos afirmar que: Página 2

3 En Z, dados a y b (dividendo y divisor respectivamente) con b 0, existen y son únicos c y r (cociente y resto) de manera tal que se verifica que: a = b.c + r y se cumplen las condiciones 0 r < b. Es importante recalcar que la definición de la división en Z estuvo condicionada por la definida previamente en N, tanto por el cumplimiento de algunas propiedades aritméticas -por ejemplo, la relación entre los cuatro elementos de la división como por conservar la posibilidad de utilizarla en situaciones de medida como, por ejemplo situaciones de reparto. De esas consideraciones surge las condiciones sobre el resto: tiene que ser positivo y, por otra, parte menor que el valor absoluto del divisor. Estas condiciones aparecen como muy naturales en N, por tratarse de cantidades (positivas) y asociado generalmente a situaciones concretas; por lo tanto, es difícil reflexionar sobre ellas; es justamente en Z donde tal reflexión se carga de sentido. Por lo tanto, si a y b son dos números naturales con a>b, el cociente y resto que se obtengan en Z deberán seguir siendo lo que se obtenían en N. Sin embargo, en Z también será posible dividir en el caso en que a y b sean naturales con a<b, obteniendo (1) 0 como cociente y al a como resto, acción que no era posible en N. La extensión realizada tiene que asegurar esa estabilidad. Considerando ahora cualquier par de elementos de Z, al igual que en N no se puede afirmar que siempre exista un cociente entero exacto; solo puede obtenerse en el caso en que a sea un múltiplo de b, relación esta que, como se puede observar, se conserva al pasar de N a Z. (1) El número cero, si bien pertenece a Z, no es positivo ni negativo, simplemente actúa como elemento que particiona en dos subclases de números al conjunto de los números enteros. Página 3

4 Planteamos entonces la pregunta: Cómo encontrar el cociente y el resto de una división entre dos números enteros? Partamos de algunos ejemplos. Si se considerara que también en Z la división permite resolver problemas de reparto, podría pensarse que, en el caso en que el dividendo sea un número negativo y el divisor un número positivo, se podría repartir como si se tratara de cantidades, representadas por números positivos. Por ejemplo, al repartir (-10) entre 3, se podría afirmar que le tocan (-3) a cada uno y sobra 1, que sería negativo: -10 = (-3) x 3 + (-1) o sea, se cumpliría la primera de las condiciones enunciadas. También se cumpliría que el resto es menor que el divisor (-1) < 3; sin embargo, el resto no sería mayor que cero. Si se pretende cumplir también con esta última condición, -3 no puede ser el cociente. Pero entonces vale preguntarse: Existirá otro número entero, considerado como cociente, que verifique las condiciones anteriores y que además sea positivo? Para responder a esta nueva pregunta podemos recurrir a la caracterización aritmética que realizamos en la clase anterior de la división en el conjunto de los números naturales: encontrar el mayor múltiplo del divisor que sea menor que el Página 4

5 dividendo o, como decíamos, encuadrar el dividendo entre múltiplos consecutivos del divisor. Ya que, tal como afirman Courant y Robbins (1979), las ampliaciones requieren de nuevas técnicas y definiciones que, aunque libres, resultarían inútiles si no son hechas de manera que las propiedades válidas en el campo original se conserven al ampliar este. En este caso, la propiedad aritmética en el conjunto de los números naturales de la división que pretendemos que se conserve es como ya dijimos: el dividendo se encuadra entre múltiplos consecutivos del divisor. En el ejemplo anterior, vemos que: (-9) = (-3) x 3 es un múltiplo del divisor pero es mayor que -10 y por lo tanto el resto sería menor que 0. En cambio: (-12) = (-4) x 3 es menor que (-10). El cociente será entonces (-4) y el resto 2. Verifiquemos que se cumplen las dos condiciones de la división: -10 = (-4) x y además 0 < 2 < 3. Por lo tanto, entre los dos cocientes posibles, se tomará el que permita asegurar un resto positivo tal como ocurría en el conjunto de los números naturales. Veamos otro ejemplo donde el negativo sea el divisor: 10: (-3) En este caso consideraremos solamente los múltiplos positivos de (-3) ya que se trata de aproximarse con ellos a 10, los que se obtienen multiplicando a -3 por números negativos. Página 5

6 Consideremos: (-3) x (-1); (-3) x (-2); (-3) x (-3); (-3) x (-4) Es decir, los números: 3, 6, 9 y 12 Los múltiplos que encuadran al divisor -y que podrían proveer el cociente- son 9 y 12, pero como no debe superar 10 (dividendo), es necesario tomar 9 que corresponde al múltiplo (-3) x (-3) y, por lo tanto, el cociente será (-3) y el resto 1. En este caso es donde se ve la necesidad de tomar el valor absoluto del divisor para comparar el resto, ya que el divisor es negativo. Estamos considerando el resto como la distancia desde el mayor múltiplo del divisor menor que el dividendo hasta este valor, el del dividendo. Queda claro, a partir del análisis anterior, que el significado tan extendido y disponible de repartir para la división, ya no es un significado de la división en Z. Quehacer matemático personal (6) Para profundizar más: Se sabe que si a y b son dos números naturales con a<b, entonces en Z el cociente es 0 y el resto a. Sucederá lo mismo si tanto el dividendo como el divisor son enteros y a<b? Página 6

7 Discutan sus conclusiones en el Foro habilitado a tal fin. La regla de los signos Los ejemplos analizados previamente: (-10):3 y 10:(-3) permiten una reflexión sobre la conocida regla de los signos : Quehacer matemático personal (7) Respondan: Cómo se relaciona la regla de los signos con estos ejemplos? Las dos divisiones anteriores, no deberían tener igual cociente y resto? Busquen formulaciones de la regla de los signos en libros de texto o en páginas de Internet. En este último caso, analicen si se explicita en qué conjunto numérico se está planteando y cuál es la definición de división que se asume. Sigamos analizando la regla de los signos. Podría pensarse que no es necesario ampliar el trabajo realizado con la división en N al pasar a la división en Z, ya que sería suficiente analizar únicamente el signo del cociente. Por ejemplo, para determinar el cociente de 10:(-3), sería suficiente realizar - (10:3)? Sin embargo, ya vimos que el cociente y resto de 10:(-3) no es el mismo que el de (-10):3, aunque sí lo sea su signo. La regla de los signos informa sobre el signo del cociente de una división de dos números. En el caso en que la división sea exacta, el cociente puede encontrarse Página 7

8 realizando la división en N. Por ejemplo, -6/3 = 6/-3 = - (6/3) = -2 así como (-6)/(- 3) = 6/3 = 2 Sin embargo, sabemos que en Z no todas las divisiones son exactas; entonces, qué dice la regla de los signos en Z? Esta regla solo se refiere al signo del cociente, pero no afirma nada sobre el valor del cociente. Insumo para el Trabajo Final En cada clase se propondrán actividades que luego se constituirán en insumos concretos para el Trabajo Final del módulo. Sugerimos que las vayan resolviendo con tiempo a fin de llegar al final del cursado con el material elaborado. Sobre la regla de los signos Registren aquellos interrogantes que ayudarán a desplegar un estudio más profundo sobre el funcionamiento de la regla de los signos, súbanlo en el Portafolio. El trabajo debe ser compartido con el/la tutor/a. Tiempo para la resolución: dos semanas Interrogante 1 Se sabe que el cociente de 11:4 es 2 y el resto 3. Se podría recurrir a esa división para encontrar el cociente y resto de los mismos números pero cambiando su signo? Es decir, en cuál o cuáles de los siguientes casos se podrá directamente recurrir al cociente y resto de la división en N, cambiando Página 8

9 eventualmente el signo: 11:4 11: (-4) (-11): 4 (-11): (-4) Es interesante relacionar las conclusiones de la tarea anterior con la representación de la división 2 en la recta numérica que provee una forma de anticipar si el cociente será en valor absoluto el mismo que en N o será necesario sumar 1. (2) En la recta se representa el dividendo y los múltiplos del divisor próximos al mismo. También está indicado el resto de la división correspondiente. Interrogante 2 Cómo se puede explicar que, cuando el dividendo es negativo, el cociente que se obtiene en valor absoluto es uno más que el cociente en N? Busquen argumentos generales que justifiquen las conclusiones obtenidas para cualquier división de enteros Divisiones con números de varias cifras Y qué sucede cuando se trata de dividir números de varias cifras? Cómo encontrar el cociente? Página 9

10 Los invitamos a ver el video sobre la división entera en Z, de Vanesa Daza y Nikolaos Makriyannis. Disponible en: En el video, los autores realizan la división de 4712:23 cuyo cociente es 204 y el resto 20 y, a partir de la relación 4712 = 23 x , obtienen el cociente y el resto de las divisiones en las cuales se ha tomado el mismo dividendo y/o divisor negativos. Interrogante 3 Es suficiente este ejemplo para afirmar que cualesquiera sean los números correspondientes al dividendo y divisor se pueden obtener los cocientes y restos recurriendo a los pasos que muestran el video? Nota bibliográfica Nicolás Balacheff (1988, tesis doctoral) introduce en la dimensión personal una clasificación más amplia de tipos de demostración, en la cual el énfasis no está solo en la relación entre los ejemplos usados y el enunciado que se quiere demostrar, sino en el motivo por el que los estudiantes usan los ejemplos. Esta investigación se basa en una experiencia cuyo fin es analizar las respuestas de un grupo de estudiantes a varios problemas cuya consigna era Demostrar. Balacheff identificó dos categorías de demostraciones: las pragmáticas, basadas en manipulaciones o en ejemplos concretos, y las conceptuales, basadas en la formulación abstracta de propiedades matemáticas y de relaciones deductivas entre ellas. Página 10

11 En la categoría de demostraciones pragmáticas describe los tipos de empirismo naif, basado en la verificación del enunciado que hay que demostrar, en unos pocos ejemplos, normalmente elegidos de manera aleatoria; experimento crucial, basado en la selección cuidadosa de un ejemplo con el convencimiento de que si la conjetura es cierta en este ejemplo, lo será siempre y ejemplo genérico basado en la selección y manipulación de un ejemplo que actúa como representante de su clase, por lo que la demostración, aunque sea particular, pretende ser abstracta y tener validez para toda la clase representada. Probablemente porque los resultados proceden de experiencias con estudiantes de secundaria no suficientemente avanzados, la tipología de Balacheff no analiza en profundidad las demostraciones formales. Extraído de: Estrategias de investigación cuando los marcos teóricos existentes no son útiles. Ángel Gutiérrez. Universidad de Valencia. Actas del 5º simposio de la SEIEM (Almería, 2001) Interrogante 4 Se puede considerar al del video un ejemplo genérico? Se trata tanto el dividendo como el divisor de representantes de la clase números naturales? Podríamos decir en principio que sí, ya que ambos son números naturales, pero, valdría la misma conclusión si los números fueron de paridad diferente a la de ellos? O si en lugar de números de 4 y 3 cifras fueron de otras cantidades de cifras? Podríamos afirmar que sí seguiría valiendo la misma afirmación si se modificara la paridad o el número de cifras, ya que ninguna de las manipulaciones realizadas depende de esas dos características. En otras palabras, el primer proceso de algebrización al cual se somete el ejemplo utilizado resulta de generalizar propiedades de los números involucrados. Página 11

12 Sin embargo, no es tan claro que no influya que el dividendo sea mayor que el divisor. Podría no ser válido para un dividendo menor que el divisor? Por ejemplo, es válido para 23:4712, división que, como sabemos, es posible realizarla en Z? Quehacer matemático personal (8) Prueben si las manipulaciones a los números realizadas en el video son también válidas para este último ejemplo. Se puede observar que las manipulaciones que se realizan son características de un segundo nivel de algebrización: sumar 0 a una expresión y remplazarla por la suma de opuestos; o multiplicar por 1 a un cierto número y reemplazarlo por (-1) (-1). Son justamente esas propiedades las que permitirán realizar afirmaciones para cualquier par de números enteros. Se trata ahora de usar propiedades de las operaciones aritméticas involucradas, no ya de propiedades de los números. Verifiquen que los números con los cuales se trabaja son representantes de una clase -en este caso de números naturales permite acercar los razonamientos aritméticos de los alumnos a un tratamiento algebraico. En otras palabras, avanzar en un proceso de algebrización de esta técnica para dividir números enteros exige el tratamiento de un cálculo algebraico que, indudablemente, sería muy importante manipular para la formación matemática de nuestros estudiantes de secundaria. Página 12

13 Para finalizar la clase Por lo tanto en Z, la división es una relación entre cuatro números enteros que deja de tener como restricción que el dividendo sea mayor que el divisor, ya que se puede dividir (poner en relación) cualquier par de números enteros, y encontrar siempre un único cociente y un único resto pertenecientes al mismo conjunto. El cociente puede ser igual, mayor o menor que el dividendo. La división en Z será exacta solamente en el caso en el que dividendo sea un múltiplo del divisor. Seguimos la semana que viene! Bibliografía de referencia Becker, Pietrecola y Sánchez (2001) Aritmética. Editorial Red Olímpica. Argentina. Chevallard, Y., Bosch, M. & Gascón, J. (1997). Estudiar matemáticas. El eslabón perdido entre la enseñanza y el aprendizaje. Barcelona: ICE/Horsori. (pág. 125) Courant y Robbins (1979) Qué es la Matemática. Editorial Aguilar (2da impresión) Madrid, España. Saiz, Gorostegui, Vilotta (2011) Problematizar los conjuntos numéricos para repensar su enseñanza: entre las expresiones decimales y los números decimales. Educación Matemática México. Vol 23 Nº. 1 pp. 123 a 151. Página 13

14 Actividades obligatorias A continuación les presentamos las actividades para esta clase: Foro Relaciones entre los elementos de una división Los esperamos en este foro para compartir sus conclusiones respecto del Quehacer matemático personal (8). Actividades optativas Foro Sobre el Quehacer Matemático Personal (5) (6) (7) En este foro los esperamos para compartir sus producciones, inquietudes, conjeturas sobre las cuestiones planteadas a lo largo de la clase. Foro de consultas Continúa abierto el Foro de Consultas generales del módulo en el cual podrán presentar inquietudes, problemas o dudas en relación con la propuesta de trabajo del módulo. Insumo para el Trabajo Final En cada clase se propondrán actividades que luego se constituirán en insumos concretos para el Trabajo Final del módulo. Sugerimos que las vayan resolviendo con tiempo a fin de llegar al final del cursado con el material elaborado. Página 14

15 Sobre la regla de los signos Registren aquellos interrogantes que ayudarán a desplegar un estudio más profundo sobre el funcionamiento de la regla de los signos, súbanlo en el Portafolio personal. El trabajo debe ser compartido con el/la tutor/a. Tiempo para la resolución: dos semanas. Cómo citar este texto: Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 3: La división en los distintos conjuntos numéricos: el caso de Z. Enseñanza de la Aritmética. Especialización docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de Educación y Deportes de la Nación. Esta obra está bajo una licencia Creative Commons Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0 Autoras del material: El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Irma Elena Saiz y Silvia Catalina Etchegaray Página 15