Tema 3: La lógica o los límites del pensamiento.

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1 Tema 3: La lógica o los límites del pensamiento.

2 1. Qué es la lógica? Primer tratado de lógica: el Organon, de ristóteles. Lógica: ciencia que estudia la inferencia válida. El ser humano es capaz de inferir (deducir) unos conocimientos a partir de otros. La lógica estudia el razonamiento deductivo, pues la inducción no es un razonamiento seguro. Las deducciones se caracterizan por la relación de necesidad entre las premisas y la conclusión: si las premisas son ciertas, la conclusión lo será. Premisas: 1. Todos los hombres son mortales. 2. Sócrates es hombre. Conclusión: Sócrates es mortal. Premisas: 1. Si España es un país asiático, tiene más de 60 millones de habitantes. 2. España es un país asiático. Conclusión España tiene más de 60 millones de habitantes La lógica estudia la relación de necesidad entre las premisas y la conclusión, que viene dada por reglas de razonamiento. - Si toca el timbre nos vamos Un razonamiento no es válido si el paso premisas conclusión no está respaldado por una regla lógica. - Toca el timbre Nos vamos Razonamiento formalmente válido: es válido por su forma, sin importar el contenido. La lógica trata sobre la forma de los razonamientos, no sobre su contenido. - Si toca el timbre nos vamos - Nos vamos Ha tocado el timbre

3 2. La consecuencia lógica. La validez es una propiedad de los argumentos (que el paso premisas-conclusión esté justificado), la verdad es una propiedad de las afirmaciones (premisas, conclusión). La lógica no se interesa por la verdad, sino por la validez de los argumentos. Es una ciencia formal. rgumento válido lleno de afirmaciones falsas: 1. Si Sócrates es marciano, invadirá la Tierra. 2. Sócrates es marciano Sócrates invadirá la Tierra La verdad de premisas y conclusión es una cuestión empírica que no interesa a la lógica, por ser una ciencia formal. La validez de un razonamiento es independiente de la verdad o falsedad de sus premisas o conclusión La formalización es el proceso por el cual la lógica prescinde del contenido de las afirmaciones y se queda con la forma del argumento. Si mañana hace sol, iremos a la playa. p q Si p, entonces q p= mañana hace sol q = vamos a la playa Interpretar un enunciado formal consiste en darle un contenido (decir qué es p, q ). p q = Si entonces Un enunciado es lógicamente falso (contradicción) cuando ninguna interpretación puede satisfacerlo (p y no-p) Un enunciado es lógicamente verdadero (tautología) cuando todas las interpretaciones lo satisfacen (p o no-p) En un razonamiento válido, si las premisas son verdaderas la conclusión es verdadera. La validez proviene de la estructura del razonamiento.

4 3. La lógica proposicional clásica. La lógica tiene un lenguaje propio que le permite atender sólo a la forma de los razonamientos, sin su contenido. sí es más fácil apreciar la relación lógica El lenguaje proposicional. Este lenguaje se compone de: - ariables proposicionales (p, q, r, s, t ) - Conectivas ( ) - Paréntesis. p, q, r, s simbolizan una frase o idea (frase simple afirmativa completa). Las conectivas simbolizan relaciones lógicas Los paréntesis se usan para dejar claras esas relaciones. simboliza la conexión Si entonces Si Juan viene a la fiesta, nos divertimos: p q simboliza la conexión Si y sólo si Sólo si Juan viene a la fiesta nos divertiremos: p q simboliza la conexión y Juan no vino a la fiesta y llegó tarde: p q simboliza la conexión o Juan no vino a la fiesta o llegó tarde: p q simboliza la negación Juan no vino a la fiesta: p Es una disyunción inclusiva: se La capital de Ecuador es Quito p pueden dar ambas opciones. He ido al cine y me ha gustado la película p ^ q He estado en el teatro, pero no me ha gustado la obra p ^ q Me he comprado un libro, un cuaderno, un cd y un bolígrafo p^q ^r ^s Estudiaré inglés o francés p v q a a venir a recogerme mi padre, mi madre o mi abuela p v q v r La disyunción exclusiva se expresa añadiendo una cláusula a la inclusiva (p v q) ^ (no (p ^ q)), de la que podemos prescindir.

5 oy a comerme la pizza y el bocadillo, o el kebab y la hamburguesa (p ^ q) v (r ^ t) No sé qué hubiera sido de mi vida sin estudiar lógica p No vas a tener ni regalo de Navidad ni regalo de cumpleaños p ^ q p= Pablo atiende en clase q= Pablo estudia en casa r= Pablo fracasa en los exámenes s= Pablo es aplaudido (p ^q) v (r ^ s) Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los exámenes y no es aplaudido La mejor comunidad política es la integrada por los ciudadanos de clase media p Era de noche, pero llovía p= era de noche, q= llovía p ^q El condicional establece la condición suficiente, Si vamos a Madrid, entramos en el museo del Prado p q pero no dice que sea necesaria. Si no nos toca la lotería, entonces no nos vamos de viaje a Bután. p q p= se tiene algo en qué pensar Cuando aprobemos el curso, hacemos una fiesta de tres días. p q q= es agradable caminar bajo lluvia Es agradable caminar bajo la lluvia, siempre que se tenga algo en qué pensar. p q Si veo a Eva, le diré que se venga con nosotros, o que nos espere una hora p (q v r) Si compro un décimo y me toca el premio, lo reparto entre mis amigos de clase o de la calle (p ^ q) (r v s) Jugamos a la lotería, y si nos toca nos vamos a los ndes. p= jugamos a la lotería q= Nos toca la lotería r= nos vamos a los ndes p ^ (q r) Como siga aparentando tanta felicidad, empezaré a pensar que sufre considerablemente. p= Sigue aparentando felicidad q= pensaré que sufre considerablemente p q

6 Si un problema no tiene solución, no hay que preocuparse; y si tiene solución, no hay que preocuparse. (Confucio) p= El problema tiene solución q= Hay que preocuparse (p v p) q Puede que vayamos a Miguelturra o a Carrión, pero en ambos casos al llegar descansaremos p= amos a Miguelturra q= amos a Carrión r= descansamos (p v q) r Si la contracción del corazón coincide con la dilatación de las arterias, o bien la contracción del corazón impele sangre a las arterias, o bien la dilatación de las arterias aspira sangre del corazón. Si los empresarios integran la clase de élite de cualquier sociedad y su poder sigue siendo enorme, no se entiende que haya podido darse una intervención pública tan amplia p= coinciden dilatación arterias y contracción corazón q= la contracción impele sangre a las arterias r= las arterias aspiran la sangre p (q v r) p= los empresarios integran la élite de la sociedad q= el poder de los empresarios es enorme r= se entiende que haya una intervención pública tan amplia (p ^ q) r Es falso que estudiando derecho me pueda hacer rico en un día p= Estudiar derecho q= me hago rico en un día (p q)

7 Si hay riesgo de lluvia, baja el barómetro, pero no vemos que baje, por tanto no hay riesgo de lluvia. p= hay riesgo de lluvia q= Baja el barómetro ((p q) ^ q) p Sólo haremos una fiesta si aprobamos todo, y en ningún otro caso p= hacemos la fiesta q= aprobamos todo p q El bicondicional establece una condición suficiente y necesaria. Sólo saldremos de la clase si todo el mundo entiende la lógica p= salimos q= todos entienden la lógica p q Si toca el timbre nos vamos p q Nos vamos si y sólo si toca el timbre p q

8 3.2. Significado de las conectivas lógicas. Las conectivas son funciones de verdad: expresiones que devuelven valores de verdad al introducirles valores de verdad. Pueden expresarse en tablas de verdad. p p p q p^q Una negación siempre tiene el valor de verdad inverso a lo negado No hace sol es falso si hace sol. Una conjunción es cierta cuando son ciertos todos sus componentes (puede haber más de dos) Hoy hace sol y es martes p q p v q p q p q Si entonces condicional Si y sólo si bicondicional y conjuntor o disyuntor negador Una disyunción es cierta cuando es cierto alguno de sus componentes (pueden ser más de dos). Ella habla inglés o francés Si toca el timbre, nos vamos 1er. caso: toca, y nos vamos 2º caso: toca, y no nos vamos 3º: no toca, pero nos vamos La implicación sólo es falsa cuando claramente ocurre lo contrario de lo que dice (-) En las columnas iniciales (de variables individuales) siempre hay que poner todas las posibles combinaciones de - de las variables! 4º: ni toca ni nos vamos Si no puede afirmarse que la implicación sea falsa, es verdadera porque no hay más valores (ppio. tercio excluso)

9 Hace tarta, y se casan Hace tarta, pero no se casan No hace tarta, pero se casan p q p q Sólo me casaré contigo si sabes hacer tarta de chocolate Como no podemos afirmar la falsedad, por tercio excluso ponemos Ni hace tarta, ni se casan Método seguro para columnas iniciales: el número de filas que habrá será 2 elevado a n (n=nº de variables). 9

10 Ejemplo: Realiza la tabla de la expresión (p ^ q) r Primero, una columna para cada variable simple que haya (p,q,r ) p q r p ^ q 1ª columna: mitad, mitad (p ^ q) r Y en las siguientes, la mitad de y que puse en la anterior, hasta completar Cuántas filas pongo? 2 elevado a n (n= nº variables) hora, se va construyendo la expresión poco a poco, desde lo simple a lo complejo Y se rellena mirando la tabla de verdad de la conectiva correspondiente, y las columnas que corresponda Se añaden columnas, hasta completar la fórmula, siempre usando las columnas ya construidas. PRCTICR TBLS DE ERDD 10

11 3.3. Interpretación. Interpretar es asignar significados. Para saber si una fórmula lógica es verdadera o falsa, es necesario interpretarla, darle un valor de verdad a sus variables (p q es falso si p es verdad y q es falso) Una interpretación es una asignación de valores de verdad (/) a las variables proposicionales. Una interpretación I asigna el valor a una variable p: I(p)= ( p en I es ) El nº posible de interpretaciones de una fórmula es 2 n, siendo n = el nº de variables que haya en la fórmula. p tiene dos interpretaciones: / p ^ q tiene 4 interpretaciones, según las combinaciones de los valores de p y q Si en la Interpretación 2 (I 2 ) p es y q es, en I 2 (p^q)= 3.4. De vuelta a la consecuencia lógica. Γ C Γ = premisas C = conclusión se deduce Γ 1 Γ 2 Si hace frío nos abrigamos Hace frío C nos abrigamos p q p^q Para cada argumento (fórmula) hay un nº finito de interpretaciones (aquí, 4) Γ C cuando no hay interpretación que haga a las premisas y a la conclusión (cuando no hay un contraejemplo.

12 3.5. Demostraciones. Como las interpretaciones de una fórmula pueden ser muchas si tiene muchas variables (con 20 serían ), es necesaria otra manera de comprobar la validez de los argumentos. Esa manera es la demostración: un conjunto de reglas que permitan deducir la conclusión desde las premisas. Ejemplo de regla (Modus tollens): Si tengo dos premisas: 1. B Puedo concluir: B Si en el curso de una demostración tenemos lo que una regla requiere (premisas), podemos concluir lo que permite (conclusión) 1 p q 2 p 3 q MP 1,2 1 p ^ q 2 p Simplif. 1 1 p q 2 q 3 p MT 1,2 1 p v q 2 q 3 p Sil. Disy. 1,2 SILOGISMO DISYUNTIO ˇB ˇB ˇBˇC, B. B B. C SIMPLIICCIÓN DEL COIMPLICDOR B, B B B PRODUCTO B. ^B Todas las reglas tienen premisas y conclusión. SIMPLIICCIÓN ^B, ^B B LEYES DE MORGN (ˇB) (^B) ^ B ˇ B EX CONTRDICTIONE QUODLIBET ^ B DOBLE NEGCIÓN MODUS PONENS B. B NEGCIÓN DEL IMPLICDOR ( B) ^ B DICIÓN.. ˇB Bˇ IDENTIDD. MODUS TOLLENS B B. ELIMINCIÓN DEL COIMPLICDOR B B, B. B BSURDO B^ B TEOREM DE L DEDUCCIÓN B. B

13 1 (p v q) 2 p ^ q DM 1 3 p Simplif. 2 1 p q 2 p 3 q E.Co 1,2 1 p 2 p v q dición 1 En cualquier momento de una demostración se puede suponer lo que se desee 1 p q 2 p q Simp. Co. 1 1 ((p ^q) r) 2 (p^q) ^ r Neg. Implic. 1 1 p ^ q 2 p 3 p ^ p Producto 4 p bs p DN 4 1 p ^ p 2 r ECQ 1 Se abre una llave, y debe estar cerrada (y aplicada regla con suposición) antes de acabar. SILOGISMO DISYUNTIO ˇB ˇB ˇBˇC, B. B B. C SIMPLIICCIÓN DEL COIMPLICDOR B, B B B PRODUCTO B. ^B SIMPLIICCIÓN ^B, ^B B LEYES DE MORGN (ˇB) (^B) ^ B ˇ B EX CONTRDICTIONE QUODLIBET ^ B DOBLE NEGCIÓN MODUS PONENS B. B NEGCIÓN DEL IMPLICDOR ( B) ^ B DICIÓN.. ˇB Bˇ IDENTIDD. MODUS TOLLENS B B. ELIMINCIÓN DEL COIMPLICDOR B B, B. B BSURDO B^ B TEOREM DE L DEDUCCIÓN B. B 1 p q 2 q r 3 p 4 q MP 1,3 5 r MP 2,4 6 p r TD 3-5

14 1. ((p q) (r s) (s q) r) p 2. ((r s) (p q) ( p s)) (q r) 3. (p (q r)) (p s) q) s 4. ((s t) (t p) (s w) w) p 5. (((p q) r) (s t) (r s)) (q t) 6. (((p q) r) p) (q r) 7. ((p (q r)) q) (p r) 8. ((p q) (r p)) (p (q r)) 9. ((p q) r) ((r s) t)) ((p q s) t) 10. (p (p q)) (p q) 11. (((q s) t) ( q r) (p s) (t s)) (p r) 12. (( r (p q)) (s p)) ((s q) r) 13. ((p r) (q s)) ((p q) (r s)) 14. (((p q) (r s)) (t p) t (t q)) ( r s) 15. (s q) ((p (q r)) (p (s r))) 16. (p (q r)) ((p q) r) 17. (p ((q r) s)) ((q r) (p s)) 18. ((p q) r) ((p r) q) 19. (((p q) (p (q r)) (q (p r)) 20. ((p q) r) ( (p r) s) ( s r)) ( s r) 21. (p p) q 22. ( p p) p 23. ((p (q t u)) p (r q) ( r t) ( u r)) (r s) 24. ((p q) (q r) (s t) (s p)) (r t) 25. ((p q) r) ((p r) (q r)) 26. ((p q) r) (r s) (q s)) p 27. ((p q) (r p) (s r) ( t s) (r q)) t 28. ((p q) (r p) ( r t) (s r) (t s)) (q u) 29. (( p q) ( q r) (p s)) (s t) 30. ((r s) (p q) ( p s) ( p q)) (q r) 31. (((p q r) s) t ((s t) u) (p (u w)) w) ((p r) q)

15 4. Más allá de los límites del pensamiento. Paradoja: argumento aparentemente válido, con premisas verdaderas y conclusión aparentemente falsa. Difícil encontrar el fallo. El título de esta apartado no es verdadero. Cuando se usa el lenguaje para hablar del lenguaje (en lugar de para referirse al mundo), se crean paradojas. Es verdadera la oración siguiente?: L: La oración L no es verdadera. - Si L es verdad, lo que dice es falso. - Si L es falsa, lo que dice es verdad. 5. Lógica informal. alacias. alacia: argumento aparentemente válido, pero en realidad incorrecto. - alacias formales: no hay relación de consecuencia lógica. - alacias informales: el problema está en las palabras usadas, que son ambiguas, o sólo se usan para despertar emociones y apoyarse en ellas Ejemplos de falacias. Petición de principio. Yo nunca miento, por tanto siempre digo la verdad Es un argumento en el que la conclusión está presente en las premisas (p p). Es válido, pero no aporta nada. Se suele camuflar la presencia de la conclusión en las premisas para aparentar que se ha dicho algo nuevo.

16 firmación del consecuente y negación del antecedente. 1. p q 2. q p (?) - Si me toca la lotería me compro un coche - Me compro un coche Me ha tocado la lotería. (?) No hay relación de consecuencia lógica aquí (son falacias formales) 1. p q 2. No p No q (?) Si es domingo vamos al campo. No es domingo No vamos al campo (?) alacia del hombre de paja Es una falacia informal, consiste en simplificar y tergiversar la posición del adversario para atacar sus razones. - Es recomendable que los adolescentes lleguen a casa a una hora razonable. - Usted está negando el derecho de los jóvenes a disfrutar del aire libre.

17 rgumento ad hominem Descalificar una opinión atacando a la persona que la sostiene, no el contenido de la opinión. - Cada entero positivo tiene un único modo de factorización en números primos. - Eso es falso, usted no acabó la secundaria Sobre la lógica informal. la hora de argumentar, a menudo no basta con que los argumentos usados sean válidos. Es necesario también cuidar los factores psicológicos, que tienen su importancia para convencer a alguien. Retórica: arte de convencer a los demás mediante la palabra.