PARA CONSTRUIR CUALQUIER TIPO DE TRIÁNGULOS Y POLIGONOS REGULARES. DANIEL BEJARANO SEGURA Licenciado en Matemáticas y Física

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1 MÉTODO DABEJA PARA CONSTRUIR CUALQUIER TIPO DE TRIÁNGULOS Y POLIGONOS REGULARES DANIEL BEJARANO SEGURA Licenciado en Matemáticas y Física dabejase@yahoo.es

2 MÉTODO DABEJA PARA CONSTRUIR CUALQUIER TIPO DE TRIÁNGULOS Y POLIGONOS REGULARES El método nace en la necesidad creada en el grado octavo, desarrollando el pensamiento espacial, con la construcción de triángulos y polígonos regulares, los cuales se construían con el método de regla y compás siendo este el único empleado por los docentes en la institución educativa. Además se identificaban las siguientes falencias en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: El no encontrar un método diferente al de regla y compás para la construcción de triángulos y polígonos regulares, que estuvieran en diferentes posiciones en el plano cartesiano sin necesidad de efectuar varias gráficas. El poco empleo que se da a los números reales en las construcciones geométricas que aparecen en los textos escolares que posee la institución ya que sus ejemplos y ejercicios propuestos emplean los números enteros positivos para las medidas de los lados, dejando a un lado los racionales y los irracionales, permitiendo así que el concepto de continuidad se olvide por la falta de práctica. La no utilización de los recursos tecnológicos como las calculadoras científicas y el papel milimetrado para facilitar las operaciones básicas y la graficación de figuras en el plano con mayor exactitud. Identificar conceptos trigonométricos a partir de la construcción de triángulos en grados inferiores. En los software existentes se construyen los triángulos y polígonos regulares, mostrando sus características importantes pero esto no tiene gran influencia en los educandos ya que no saben que procesos utiliza el software para la construcción limitando ese potencial del niño a la simple observación de la construcción con dos o tres movimientos hechos con el Mouse. Estos interrogantes hicieron que desde la práctica pedagógica se desarrollará un método que pudiera construir triángulos y polígonos diferente al método de regla y compás, que pudiera realizar cualquier construcción identificando en el software su proceso y que permitiera a los docente de básica primaria (que no son licenciados en matemáticas) realizar estas prácticas de construcción por aproximación empleando una o dos cifras decimales, permitiendo que el proceso geométrico se abordará desde los primeros grados de educación.

3 El método se basa; a través de un punto de coordenadas cartesianas, la medida del lado, el ángulo de rotación respecto de la horizontal, el cual puede tomar valores de 0 360º y un ángulo interno dado igual a, permite construir cualquier tipo de triángulo y polígono regular, dependiendo del número de lados del mismo, presentando pequeñas variaciones en el proceso para la construcción de los triángulos isósceles y escálenos. Los casos de construcción se presentan a continuación: Construcción de un triángulo equilátero. Construir un triángulo equilátero si: P 1 (x 1, y 1 ) L= a cm º Htal. = (180/n), n= al número de lados. Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P 2 (x 2, y 2 ) y P 3 (x 3, y 3 ) siguiendo el siguiente proceso: n= 3, entonces = (180/3), = 60º y = ( + ). x 2 x 1 = LCos x 2 = LCos + x 1 componentes vectoriales de un Vector De igual manera para la componente en Y Luego, y 2 - y 1 = LSen y 2 = LSen + y 1 entonces, P 2 (x 2, y 2 ) x 3 x 1 = LCos (+ ) y y 3 - y 1 = LSen (+ ) x 3 = LCos (+ ) + x 1 y 3 = LSen (+ ) + y 1

4 así, P 3 (x 3, y 3 ) Encontrando los dos puntos para graficar el triángulo equilátero. Ejercicios: Construir los siguientes triángulos equiláteros. a) Sea: P 1 (-2, -2) L= 8 cm. = 60º Htal. =60º b) Si = 105º Htal. P 1 (0, -2) =60º L= 23 cm. Construcción de un cuadrado. Construir un cuadrado si: P 1 (x 1, y 1 ) L= a cm º Htal. = (360/n), n= al número de lados. Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P 2 (x 2, y 2 ), P 3 (x 3, y 3 ) y P 4 (x 4, y 4 ) siguiendo el siguiente proceso: n= 4, entonces = (360/4), = 90º y = ( + ). x 2 = LCos + x 1 y y 2 = LSen + y 1 entonces, P 2 (x 2, y 2 ) x 3 = LCos (+ ) + x 2 y y 3 = LSen (+ ) + y 2 entonces, P 3 (x 3, y 3 ) x 4 = LCos (+ 2) + x 3 y y 4 = LSen (+ 2) + y 3 entonces, P 4 (x 4, y 4 ) ya que los ángulos internos se van sumando.

5 Encontrando los demás puntos para graficar cualquier cuadrado. Ejercicios: Construir los siguientes cuadrados. a) Si, L= 6 cm. P 1 (-3, 1) = 45º Htal. =90º b) Sea P 1 (3/5, 3) L= 11/4 cm. = 0º Htal. =90º Construcción de un pentágono. Construir un pentágono si: P 1 (x 1, y 1 ) L= a cm º Htal. = (360/n), n= al número de lados. Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P 2 (x 2, y 2 ), P 3 (x 3, y 3 ), P 4 (x 4, y 4 ) y P 5 (x 5, y 5 ). Siguiendo el siguiente proceso: n= 5, entonces = (360/5), = 72º y = ( + ). x 2 = LCos + x 1 y y 2 = LSen + y 1 entonces, P 2 (x 2, y 2 ) x 3 = LCos (+ ) + x 2 y y 3 = LSen (+ ) + y 2 entonces, P 3 (x 3, y 3 ) x 4 = LCos (+ 2) + x 3 y y 4 = LSen (+ 2) + y 3 entonces, P 4 (x 4, y 4 ) x 5 = LCos (+ 3) + x 4 y y 5 = LSen (+ 2) + y 4 entonces, P 5 (x 5, y 5 ) Encontrando los demás puntos para graficar cualquier pentágono. Ejercicios: Construir los siguientes pentágonos.

6 a) Si, L= 5 cm. P 1 (-2, 3) = 35º Htal. =72º b) Sea L= 9/2 cm. P 1 (4,-3). = 155º Htal. =72º Luego, con los demás polígonos regulares de más lados se pueden construir siguiendo el mismo método. Generalizando así: Para construir cualquier polígono regular de n-lados partiendo de P 1 (x 1, y 1 ) L= a cm º Htal. = (360/n), n= al número de lados y = (180/n) para triángulo equilátero, entonces para la consecución de cada punto se tendrá: X n = LCos (+ k ) + x n-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4 } a partir de n=2 con K= 0 x 2 = LCos + x 2-1 = x 2 = LCos + x 1 x 3 = LCos (+ ) + x 3-1 = x 3 = LCos (+ ) + x 2 x 4 = LCos (+ 2) + x 4-1 = x 4 = LCos (+ 2) + x 3 x 5 = LCos (+ 3) + x 5-1 = x 5 = LCos (+ 3) + x 4... En general. X n = LCos (+ k ) + x n-1 De igual forma para las componentes en y, luego; y n = LSen (+ k ) + y n-1 con K= {0, 1, 2, 3, 4 } a partir de n=2 con K= 0 y 2 = LSen + x 2-1 = y 2 = LSen + x 1 y 3 = LSen (+ ) + x 3-1 = y 3 = LSen (+ ) + x 2 y 4 = LSen (+ 2) + x 4-1 = y 4 = LSen (+ 2) + x 3 y 5 = LSen (+ 3) + x 5-1 = y 5 = LSen (+ 3) + x 4... En general. y n = LSen (+ k ) + y n-1 Entonces, P 2 (x 2, y 2 ), P 3 (x 3, y 3 ), P 4 (x 4, y 4 ), P n (x n, y n ). Para triángulos isósceles y escálenos se hace necesario incluir variantes en el método, ya que por conocimiento general poseen características diferentes respecto al triángulo equilátero, veamos a continuación las variantes en el método. Construcción de un triángulo isósceles. Construir un triángulo isósceles si:

7 P 1 (x 1, y 1 ) L 1y2 = a cm º Htal. = iº, i 60º Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P 2 (x 2, y 2 ) y P 3 (x 3, y 3 ) siguiendo el siguiente proceso: = ((180- )/2). Propiedad de triángulos isósceles Luego, x 2 x 1 = LCos y y 2 - y 1 = LSen x 2 = LCos + x 1 y y 2 = LSen + y 1 entonces, P 2 (x 2, y 2 ) x 3 x 1 = LCos (+ ) y y 3 - y 1 = LSen (+ ) x 3 = LCos (+ ) + x 1 y y 3 = LSen (+ ) + y 1 así, P 3 (x 3, y 3 ) Variante: Para encontrar el valor del lado tres L 3 diferente a L 1y2 se emplea, L 3 = (x 3 x 2 ) 2 + (y 3 y 2 ) 2 valor distancia entre dos puntos. Construyendo así el triangulo y sí se plantea como ejercicio se podrá resolver el triangulo con el perímetro y demás partes del triángulo. Ejercicios: Construir los siguientes triángulos isósceles. a) Sea: = 50º Htal. P 1 (2, 5) L 1y2 = 5 cm. =65º b) Si P 1 (-3, -4) L 1y2 = 8 cm. = 25º Htal. =45º

8 Construcción de un triángulo escaleno. Para construir un triángulo escaleno también existen variantes pero se conserva el principio del método: Sea P 1 (x 1, y 1 ) L 1 = a cm., L 2 = b cm. a b º Htal. = iº Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P 2 (x 2, y 2 ) y P 3 (x 3, y 3 ) siguiendo el siguiente proceso: Luego, x 2 x 1 = L 1 Cos y y 2 - y 1 = L 1 Sen x 2 = LCos + x 1 y y 2 = LSen + y 1 entonces, P 2 (x 2, y 2 ) x 3 x 1 = L 2 Cos (+ ) y y 3 - y 1 = L 2 Sen (+ ) x 3 = L 2 Cos (+ ) + x 1 y y 3 = L 2 Sen (+ ) + y 1 así, P 3 (x 3, y 3 ) Variante: Para encontrar el valor del lado tres L 3 y los ángulos internos se emplea, L 3 = (x 3 x 2 ) 2 + (y 3 y 2 ) 2 distancia entre dos puntos. Para el ángulo se emplea la ley de senos, respecto a y los lados L 2 y L 3 (Sen / L 2 ) = (Sen / L 3 )

9 = sen -1 ((L 2 Sen ) / L 3 ). Y para el ángulo, la propiedad fundamental de ángulos internos de un triángulo + + = 180º = 180º-(+ ) Construyendo el triangulo con cada una de sus partes principales los puntos, lados y ángulos. Ejercicios: Construir los siguientes triángulos isósceles. a) Sea: P 1 (5, -7) L 1 = 8 cm. L 2 = 6 cm. = 43º Htal. =18º b) Si = 112º Htal. P 1 (-9, -3 L 1 = 7 cm. L 2 = 9 cm. =35º el método permite emplear los números reales, la calculadora científica como herramienta tecnológica para cálculos rápidos, el papel milimetrado para el diseño de planos cartesianos con unidades, décimas y centésimas, abordando en ellos la construcción de triángulos y polígonos regulares por aproximación de una o más cifras decimales en grados de básica primaria motivando al estudiante al diseño de sus propios triángulos y polígonos vistos en diversas posiciones para desarrollar aún más su pensamiento espacial ya que sus gráficos los encuentran fácil de crear, comprendiendo como los software de geometría diseñan estos polígonos con igual exactitud. Al practicar el método el estudiante refuerza conceptos y procedimientos de: plano cartesiano, manejo de herramientas matemáticas, números reales, componentes vectoriales, rotación de figuras en el plano, relación del método de regla y compás y demás. Para el docente el método sirve como herramienta pedagógica con la cual se logrará además de los conceptos propios del método, hacer que la clase de matemáticas sea divertida, afianzar sus propios conocimientos en el caso que no sea licenciado en el área de las matemáticas en especial a los docentes de básica primaria ya que lo invita a cambiar y conocer diversas formas fáciles de enseñar las matemáticas.