Generalización de la Regla de Peletarius

Transcripción

1 NOTAS DE CLASE ~------, Generalización de la Regla de Peletarius. ntroducción. Regla de Peletarius En la integración de funciones racionales se conocen varias reglas para obtenerlas. El método más conocido, y que se explica en bachillerato, es el de descomposición en fracciones mediante identificación de coeficientes. Este procedimiento se basa en la determinación de os numeradores de las fracciones simples, producto de la descomposición. Si las raíces del denominador son simples, el cálculo es inmediato; pero si las raíces son múltiples, esto conduce a la resolución de un sistema de ecuaciones lineales, que puede ser muy laboriosa. Otro procedimiento que se emplea es el llamado método de Hermite. Como es sabido, se obtiene directamente la parte racional de la integral y se tiene que hallar la ntegral de una fracción cuyo denominador está formado por un polinomio de raíces simples (reales o complejas). Este método también se basa en la identificación de coeficientes, previa derivación de la parte racional. Es obvio comentar que este procedimiento resulta en muchas ocasiones, largo y pesado. Con la regla de Peletarius. Jacques Peletier (57-582) (véase [3]), se integran fácilmente funciones del tipo P[x] (x -a)" donde P(x] es un polinomio de grado arbitrario. Debido a que este método es poco conocido, vamos a exponer sus fundamentos con un poco de detalle: Se parte de la conocida relación de la división (.). Raúl Tomás Blanquer nstituto de Bachillerato Blasco báñez Valencia, España ~

2 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vol. 7 - No. 2 Agosto 995 GEl. Pág.99 siendo D el dividendo, d el divisor, el el cociente y Tl el residuo o resto. D Tl d = el + d' (.2) Tomando el como dividendo, por (.) se tiene y en consecuencia, el = e2 d + '2, (.3) Dividiendo (.2) pord y sustituyendo (.4) el r2 (j=e2+(j' (.4) D _ el rl '2' = e d2 d d2 d d2' y así sucesivamente. Al final del proceso se obtiene (.5) Si el polinomio del numerador es de grado menor que n, las expresiones en, r; 'n-l,..., ' son valores numéricos y la fracción inicial queda descompuesta en fracciones simples, aptas para la integración inmediata. Es obvio decir que los coeficientes citados se obtienen automáticamente mediante la aplicación sucesiva de la regla de Ruffini, ya que el divisor d es del tipo x-a. El propósito de este trabajo es extender el método de Peletarius al caso de que los denominadores posean más de una raíz (múltiple o simple). Como se verá a continuación, en los casos usuales el cálculo se reduce considerablemente. Hemos de indicar que este método también sirve para raíces complejas, aunque no es muy aconsejable, en vista de lo tedioso que resulta trabajar en complejos. 2. Denominadores con una raíz simple y otra múltiple En esta parte estudiaremos el desarrollo de funciones racionales del tipo P[x] (x - a)"(x - b) (2.) en las que, como antes, P[x] es un polinomio de grado arbitrario. Para ello, estudiaremos en primer lugar la siguiente descomposición: Proposición.2. Para todo n E N, se cumple \. " ( - )'- (x - a)"(x - b) =;t (a - by (x - a)"-s+l + (b - a)" a, b E R, eon a =: b. (x --b), (2.2)

3 Pág. 00 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vol. 7 - No. 2 Agosto 995 GEl Demostración: Procederemos por inducción.. Comprobemos que se verifica para n = : Se cumple de inmediato = (x - a) (x - b) (a - b) x - a b - a x - b (2.3) que es la expresión obtenida empleando el método de identificación de coeficientes. 2. Supongamos que la fórmula sea cierta para n. 3. Hemos de probar su validez para n + : Dividiendo (2.2) por x - a, " (-)'- (x - a)"+l(x - b) = ~ (a - b)' -(-x-_-a)-n--s+2- + (b - a)" (x - a) (x - b) (2.4) Si tenemos en cuenta el primer paso de la inducción (2.3), resulta t (-)'- (x - a)"+l(x - b) =.= (a - b)' (-)" + (b - a)"+l "+ ( -)'- = ~ (a - b)' x - b ' (x - a) + (b - ar (x - a)("+l)-s+l (b - a)"+l x-b Pasemos ahora a desarrollar la expresión (2.). Aplíquese en primer lugar la regla de Ruffini a la expresión P[x] x-b. De nuevo obtenemos un cociente P [x] y un residuo R: P[x] _ P [ ] R ---.,;~ - X +-- x-b x-b Dividiendo por (x - a)", P[x] P [x] R --_::...:..._- = (x - a)"(x - b) (x - a)" (x - a)"(x - b)

4 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vol. 7 - No. 2 Agosto 995 GEl. Pág. 0 Apliquemos a continuación la regla de Peletarius al primer sumando y la Proposición 2. al segundo, P[x] r. r ----=---- = c (x - ay+(x - b) n x - a... -(x---"--a)-n+ ( -)'- (a - b)' (x - at-s~ (b - at con lo que (2.) queda descompuesta en fracciones simples. Para terminar, damos algunos curiosos resultados que poseen estos tipos de desarrollos. Proposición 2.2 Consideremos afuncián racional (2.), a == b, donde a, by los coeficientes de P[x] sean enteros. Los coeficientes de (2.5) serán enteros si y sólo si P[b] es múltiplo de la - b n. En particular son enteros si la - b = l. Demostración: Al ser a, b enteros, los residuos que resultan de aplicar sucesivamente la regla de Ruffini son enteros también. Además, debido a que R = P[b], resulta que el resto de los coeficientes de (2.5) serán enteros si y sólo si P[b] es múltiplo de la - b ". O El siguiente resultado no es menos curioso: Proposición 2.3 El coeficiente de del desarrollo de las funciones x - b racionales de tipo X"±C" (x - at(x - b) a == b, (donde a, b, c son números enteros, y n, un número natural estrictamente que 2) no puede tomar el valor. mayor Demostración: En virtud de (2.5), el coeficiente de b será x- b" ± C" (b - a)". Si este coeficiente fuera, se verificaría que tr ± C" = (b - a)", lo que contradice el Teorema de Fermat.

5 Pág. 02 EDUCACÓNMATEMÁ'TCA Vol. 7-No.2.Agosto995 GE Dado que hemos de utilizar reiteradamente la fórmula (2.5) en los cálculos a realizar en lo siguiente, daremos a continuación algunas reglas prácticas que pueden facilitar el proceso algorítmico: Si a > b, los coeficientes del sumatorio (o sumatoria) de (2.5) son alternativamente positivos y negativos, empezando por el positivo. Los valores absolutos de estos coeficientes son los inversos de la - b s donde s va creciendo de unidad en unidad de a n, mientras los exponentes de x - a van disminuyendo también de unidad en unidad, a partir de n. Si a < b, tales coeficientes serán todos negativos. y r! El coeficiente de b será siempre positivo si n es par. x- 3. Ejemplos ( En esta sección se dan algunos ejemplos para ilustrar el procedimiento descrito en las secciones precedentes. ) Empecemos con el desarrollo de la función:.x4-2x 3 + 5x 2 + X - (x - 3)3(X - 2) (x - ) (3.) Se procede a dividir el numerador sucesivamente entre los factores del denominador, de menor a mayor exponente. Para ello haremos uso de la regla de Ruffini is 3 3 Sabido esto, la expresión (3.) se descompone en.x4 - Zx3 + 5x 2 + X : = (x - 3)3(X - 2) (x - ) x - 3 (x - 3)2 (x - 3) :----:-:: (x - 3)3(X - 2) (x - 3)3(X - 2) (x - ),. "f' '..

6 EDUCAC6NMATEMÁTCA '. Vol. 7 - No, 2 Agosto 995 GEl. Pág. 03 En todo este proceso subrayaremos con línea punteada los sumandos a emplear en cálculos posteriores. Por (2.3), con lo que (x - 2) (x - ) = x x - ; (x - 3)3(X ~ 2) (x - ) = 4 ~_:_]l!i~:_}l - ~_.: ~~(~ :JJ' (3.3) El primer sumando de esta última expresión se descompone a su vez en 2 = 2 [ _ + + ] (X-3)3(X-2) (x - 3)3 (x - 3)2 X - 3 ( - 2)3 X - 2)] [El coeficiente 2 es el resultado de sumar 7 que aparece en (3.2) y el4 que afecta a la misma expresión en (3.3)]. El segundo sumando de (3.3) sólo es afectado, por el coeficiente -4, con lo que -4 (x - 3)3 (x - ) = -4[~ _~ +~ ~ ~ 2 (x - 3)3 4 (x - 3)2 8 X - 3) 8 x - J. Sumando finalmente todos los términos sin subrayar, obtenemos el resultado.x4-2x 3 + 5x 2 + X -. (x - 3)3(X - 2) (x - ) 37 = --"--- (x - 3)3 3 4_3 ---,~ (x - 3)2 2 x - 3 _ 2 + ~. x-2 2 x-l 2) Descompónganse a continuación la siguiente función racional (3.4) /. '-'... ".. " '.

7 Pág. 04 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vo.7-No.2.Agosto995. GE. Como en el caso anterior, sometemos el polinomio del numerador al desarrollo sucesivo de Ruffini, empezando por el binomio de menor exponente -2 O O 5 - O O O 2 2 O O O O O O :: O 2 O O 2 O s á... ~. Con ello se obtiene el resultado parcial x8-2x 7 + 5x4 - x3 = x _ (x - )4(x + )2(x - 2) x - (x - )2 (x - )3 9 8 i.x_=_!)':~_!_!)~(:_=_~. Desarrollaremos los sumandos subrayados. Empecemos por el último. Para ello, hemos de tener en cuenta que con lo que {~_-t.li_lx_:-_~ = - _J~_-l:Ji 2_i-:'2"_'!)~_~J -!.=:' (3.5) ~ <!_=_U~:!_-t...!L (3.6).~. :.!;,,

8 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vol. 7 - No. 2 Agosto 995 GEl. Pág. 05 [- A su vez, cada sumando de (3.6) se descompone en 8 9 (x - )4(x- 2) = 8 [ = -"9 - (x - )4 + ] - (x - )3 (x - 2) (x - 2). Teniendo presente (3.5) y (3.6), resulta r -9- (x - )4(x- )= -9- L2 (x - )4-4 (x _ )3] + + 8" (x - )2-6 -(X---l-) + 6 ~. Descomponiendo cada sumando de (3.7), (3.7) 9 9 r ] - "6(x - )4(x+ ) = -"6 [-2- (x - )4-4 (x - )3 ~ + 8" (x - )2-6 x X+T. 9 9 [ 2 (XO- )3(x+ ) = 2-2- (x - )3-4 --(x---l)~ x-- 8 y 9 24 (x-l)2(x+ ) = 9 [~ 24 2 (x - )2 9 9 [ 48 (x - ) (x + ) = 48 2 ] x - 2 x + J Finalmente, al sumar los coeficientes de los términos no subrayados, x8-2x7 + 5x4-.x =x =-+- + (x-l)4(x+ )2(x-2)- 4 x-l 6 (x-l)2 4 (x-) (x - )4 36 x + 48 (x + )2 9 x - 2.

9 Pág. 06 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vol. 7 ~No. 2 Agosto 995 GEl. 4. Apéndice Ya hemos indicado en la ntroducción que el método expuesto en lo anterior también servía cuando el polinomio del denominador tuviese raíces complejas; pero no resulta muy recomendable debido a que es bastante laborioso trabajar con números complejos. No obstante, vamos a dar una fórmula con la que en algunos casos se consigue cierta rapidez en los cálculos. Desarrollemos esta función racional (x - a) (x 2 + bx + e) donde x 2 + bx + e es un trinomio con raíces complejas: a y su compleja conjugada o. Para simplificar la notación, hagamos t[x] = x 2 + bx + e = (x - a) (x - ex) Dado que a, a y a son raíces simples, el método de identificación de coeficientes conduce de inmediato a ~ =----~~- (x - a) (x - a) (x - a) (a - a) (a - ex) ---=-- + x-a y con cálculos sencillos se llega a.-::.-.-_ + ~ --=--_ (a - a) (a - a) x-o! (a - a) (a - a) x-a L x + a + b] (x - a) (x2 + bx + e) = [a] G - a - x2 + bx + d' (4.) Ejemplo: Como aplicación de (4.), desarrollemos la siguiente función racional: Se empieza descomponiendo (x - )2 (x 2 + X + ) t. x + 2 ) (x - ) (x 2 + X + ) = 3 Lx - - r + x + ' y dividiendo esta última expresión por x -

10 EDUCACÓN MATEMÁTCA Vol. 7 - No. 2 Agosto 995 GEl. Pág. 07 aplicando Ruffini al último término, 3 x+2 (x-)(x 2 + x+ ) + ya su vez, r (x - ) (x 2 + X + ) = 3 G - - x + 2 Sumando los términos no subrayados, obtenemos finalmente = (x - )2x 2 + X + ) 3 (x - )2 3 x x- 3 x 2 +x+ Otros ejemplos podrían ser funciones racionales, cuyos numeradores fueran polinomios de grado arbitrario y los denominadores tuvieran un trinomio de segundo grado con raíces complejas. Entonces se divide primero el numerador por el trinomio, y luego el cociente que resulta por las raíces reales tantas veces como indica el grado de multiplicidad de las mismas, de igual modo a como se ha hecho en la sección precedente. Con ello se reduce a aplicar reiteradamente la fórmula (4.). Agradecimientos Deseo manifestar mi más alto reconocimiento a mis profesores en el Curso de Orientación Universitaria, por haberme inculcado el estudio de las Matemáticas. Bibliografía [] J. Gil Martos et al. Matemáticas. Santillana. Madrid, 985. [2] F. González et al. Curso práctico de matemáticas. Edunsa. Barcelona, 987. [3] J. Rey Pastor. Teoría defunciones reales. Madrid (S. r.i, 924. [4] R. San Juan. Análisis matemático. Madrid, 963. FN ~~~, ~,~