Filtros Activos: Conceptos Básicos

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1 Filtros Activos: onceptos Básicos J.I.Huircan Universidad de La Frontera January 5, 0 Abstract Se revisan los conceptos básicos de ltros activos, presentando procedimientos básicos de implementación mediante Ampli cadores Operacionales, diseño simple y basado en los ltros clásicos Butterworth y hebyshev. Introduction Los ltros juegan un importante rol en la electrónica actual, principalmente en el área de comunicaciones y procesamiento de señal. Estos se pueden clasi car en ltros análogos, digitales y de capacitor conmutado (híbrido, el cual contiene elementos análogos y digitales). Un ltro es un dispositivo de dos puertas capaz de transmitir una banda de frecuencias limitada. Estos pueden ser pasivos, construidos en base a resistencias, bobinas y condensadores o activos, construidos con resistores, condensadores y Ampli cadores Operacionales. Sus principales características son: Pequeño tamaño y peso. Uso en el rango de las frecuencias de audio (0KHz) Valores de resistencias y condensadores razonables a frecuencias muy bajas. Tiene elevadas características de aislamiento. Puede proveer ganancia si se requiere. A continuación se dará un marco teórico para los ltros activos, sus especi- caciones y diseño.

2 Tipos de Filtros y Especi caciones de Respuesta en Frecuencia Los ltros se representa mediante la función de transferencia H(s), la cual se expresa en términos de su ganancia o atenuación, así se tiene V o(s) V i (s) () V i (s) H(s) V (s) o Figure : Red de dos puertas, ltro activo. Donde V i (s) es la enta de ltro y V o (s), la salida. La transmisión del ltro se encuentra evaluando H(s)j sj!, así en términos de magnitud y fase se tiene H(j!) jh(j!)j e j(!) () El espectro de la señal de salida será obtenido por jv o (j!)j jh(j!)j jv i (j!)j (3) De acuerdo al criterio de selección de frecuencia de paso o de rechazo, existen cuatro tipos de ltros.. Pasa Bajos (BandPass Filter) Tienen ganancia ha frecuencias i menores que la frecuencia de corte!, la cual es expresada en o [Herz] y corresponde a la frecuencia en la cual la seg ganancia es dividida por p (cae en 3dB): La banda de paso estará dada para 0 <! <!. La ganancia disminuira a medida que se supere!, de acuerdo a la Fig., esta zona se llama banda de rechazo. H(j ) [/seg] Figure : Respuesta en frecuencia de un ltro pasabajos. La función de transferencia para un ltro de orden n y ganancia será

3 b 0 s n b n s n (4) :: b 0. Pasa Altos (HighPass Filter) Permite el paso de frecuencias superiores a!. Su función de transferencia se obtiene a partir de (4) reemplazando s s, su respuesta en frecuencia se indica en la Fig. 3. Luego se tiene b o s n b n s n j :: b s 0 s (5) Donde b n, a n s n s n a n s n :: a 0 (6) i bi b 0 ; i ; ; :::; n: H(j ) [ /seg] Figure 3: Respuesta en frecuencia de un ltro pasaaltos. Para n, se tiene b 0 s j b s b s b 0 0 s b bo s b 0 b b 0 s s s s a s a o s s.3 Pasa Banda (BandPass Filter) Este ltro deja pasar las frecuencias que se encuentran dentro una de banda B (expresado en [seg] o en Herz), cento en! o, atenuando todas las otras frecuencias. La Fig. 4 muestra la respuesta en frecuencia del ltro cento en! o cuyo ancho de banda está de nido por (7). La función de transferencia se obtiene de (4) como B!! (7) b o s n b n s n j s :: b! (8) o s o Bs 3

4 H(j ) B o [/seg] Figure 4: Respuesta en frecuencia de un ltro pasabandas. Así, el orden del ltro pasabanda se incrementará al doble. Se de ne el factor de calidad Q de acuerdo (9) el cual mide la selectividad del ltro. Un Q muy alto indica que el ltro es muy selectivo con banda de paso muy pequeña. Q! o B f o (9) B La ganancia será la amplitud de la función de transferencia a la frecuencia! o p!!. Note que! o corresponde a la media geométrica, pues está en escala logarítmica. Usando (8), para un pasabajos de n, se obtiene el pasa banda de n. H (s) j s s b! 0 s o Bs Bs s Bb 0 s! o s! o Bs b 0.4 Rechaza Banda (BandReject Filter) Llamado elimina banda o ltro Notch, deja pasar todas las frecuencias excepto una única banda, la cual está de nida por B, como se indica en la Fig. 5. H (j ) B o [/seg] Figure 5: Respuesta en frecuencia de un ltro rechaza banda. La función de transferencia se obtiene haciendo la sustitución indicada en (0) donde las características de banda son iguales al ltro pasabanda. b o s n b n s n :: b o j s Bs s! o (0) 4

5 Usando (0), para un ltro pasabajos de n de (0), se obtiene el ltro rechaza banda. H (s) s b 0 j s b 0 s! o s B b 0 s! o Bs s! o Bs s! o b 0 3 Especi caciones de un Filtro 3. Respuesta en Frecuencia La respuesta en frecuencia se expresa a través de su curva de ganancia o atenuación versus frecuencia, ya sea con escala lineal o logaritmica. En escala logaritmica la ganancia esta expresada en db y la frecuencia e décadas u octavas. H(j ) 0 db H(j ) db 0 db H(j ) db -3 db -3 db [ ] seg [ ] [ seg ] seg (a) (b) (c) Figure 6: (a) Respuesta lineal. (b) Respuesta a ganancia normalizada. (c) Respuesta Normalizada en ganancia y frecuencia. Si la ganancia se normaliza respecto de la ganancia máxima, se tiene una curva de ganancia ó 0 [db]. La frecuencia de corte!, se puede normalizar o hacer igual [seg]. 3. Polos y Respuesta En La Región De Transición En la práctica, la respuesta ideal del ltro no es factible ya que aparece una zona llamada región de transición (o banda de transición). Para lograr una aproximación que represente un ltro ideal, debe incrementarse el número de polos, pero esta cantidad no puede ser in nita dado que no puede implementarse prácticamente. ada polo de H (s) introduce una pendiente de 0 db/década ó 6 db/octava. Si la H (s) tiene dos polos tendrá una pendiente de -40dB/Década en la región de transición, lo que determina el orden del ltro (Fig. 7). 5

6 H (j ) n Banda de Rechazo n 8 n 4 Banda de Paso c c Banda de Transición [/seg] Figure 7: Polos en la región de transición. 3.3 Especi cación básica de un ltro En los ltros análogos, las especi caciones están dadas por rangos de valores. Se tienen cinco parámetros basados en las características de atenuación los cuales se indican en la Fig. 8. (j ) 0 db A PB RW (An cho de ripple) Atenuación A SB Banda de paso Banda de rechazo PB SB Banda de transición Figure 8: Ventana de diseño para un ltro pasabajos. Máxima atenuación en la banda de paso (A P B ) Ripple de la banda de paso o Ancho de ripple (RW ) Mínima atenuación de la banda de rechazo (A SB ) Frecuencia de esquina de la banda de paso (! P B ) Frecuencia de esquina de la banda de rechazo (! SB ) Las respuestas indican una variación (!) (!), dado que los componentes siempre varían, lo que obliga a hablar de una ventana de especi cación o ventana de diseño. uando el diseño cae fuera de esta ventana, éste es descartado. Existe una gran cantidad de herramientas computacionales que permiten trasladar las especi caciones de la Fig. 8 a una función de transferencia H. Para distintas especi caciones existen numerosas funciones que satisfacen las respuestas de ganancia o fase, luego se debe considerar los objetivos de prestación y costo para reducir este número de funciones a una. 6

7 Un método para obtener H es usar funciones prototipos o funciones de aproximación. Estas funciones permiten determinar H(s) mediante una aproximación en el dominio de la frecuencia, para esto jh(j!)j se aproxima a la característica de un ltro pasabajos ideal de acuerdo a un criterio de error predeterminado. 3.4 Funciones de Aproximación Las funciones de aproximación en el dominio de la frecuencia de acuerdo a (), donde S n (!) representa un polinomio de orden n, Butterworth o hebyshev. jh (j!)j p S n (!) () 3.5 Escalamiento Permite plantear el diseño en torno una frecuencia de referencia, para luego trasladar el ltro y los componentes a otros diseños. Esto se consigue haciendo s p; donde p es la variable compleja de la función original y s es la variable de la nueva función. Sea H o (p) la función de transferencia original, entonces la nueva función de transferencia será s H (s) H o (p) j p s H o () Sea la red R de la Fig. 9a, su función de transferencia está dada por (3) : V (s) i R s V (s) o H(j ) R seg H(j ) 0 R 0 seg [ seg ] 0 [ seg ] (a) (b) (c) h Figure 9: (a) Filtro R. (b)! seg i : (c)! 0 h seg i. H (s) sr (3) Si R [] y [F ], se tiene que! [rs] ; escalando para una nueva frecuencia! 0 [rs] ;se tiene que s! p 0p H (s) pr j p s! s R! s! R s R 0 sr 0 7

8 Lo que implica dividir R o por 0, lo cual asegura un desplazamiento de la frecuencia de acuerdo a la Fig. 9c. 4 Funciones Prototipos 4. Butterworth Este ltro tiene una respuesta plana en la banda de paso (llamada máximamente plana), a expensas de la respuesta en la región transición, la cual es de 0 db/década por polo. El módulo de la respuesta en frecuencia del ltro pasabajos, para ganancia, y frecuencia de corte! esta dado en (4). jh (j!)j r (4) n!! Donde n ; ; ::: es el orden. La Fig. 0 muestra jh (j!)j para distintos n. H(j ) n n6 n4 [ seg ] Figure 0: Respuesta del Filtro Butterworth. 4.. Propiedades del Filtro Una respuesta máximamente plana tiene muchas derivadas que son cero en el origen,! 0. Para ganancia unitaria y una frecuencia!!, se tiene que jh (j!)j h p (5) También llamada 3[dB]. Para! >>!, se tiene que o Así, la variación será de jh (j!)j h! n (6) jh (j!)j db h 0 log! n 0n log(!) (7) 0n [db] por década, donde n es el orden del ltro. 8

9 4.. H(s) basada en polinomios de Butterworth Los polinomios de Butterworth se indican en la Tabla. Estos corresponde al denominador de H(s). Table : Polinomios de Butterworth en forma factorizada. n Polinomios de Butterworth s p s 4 s 0:7653s s :8477s 6 s 0:576s s p s s :938s 4. hebyshev Este ltro tiene una ondulación (ripple) en la banda de paso. Mientras mayor es el orden, mayor es la pendiente en la región de transición, pero mayor es el ripple y el número de ondulaciones en la banda de paso. El módulo de la función de transferencia está dado por (8), donde K y, son valores constantes y n (x) es el polinomio hebyshev de go n. La Fig. muestra la respuesta en frecuencia para diferentes n y la tabla, los polinomios correspondientes. K H(j ) RW - K n n4 n6 [ seg ] Figure : Respuesta del ltro hebyshev Pasabajos ( ). jh(j!)j K q n(!! c ) (8) n (!) está dados por n (!) cos n cos (!) 0! (9) n (!) cosh n cosh (!)! > (0) 9

10 De (9) se determina una ecuación de recurrencia para encontrar los polinomios, los que se indican en la Tabla. n (!)! n (!) n (!) 0 () on (!)! y (!)! : Table : Polinomios de hebyshev. n Polinomios de hebyshev!! 4 8! 4 8! 6 3! 6 48! 4 8! RW será la distancia p, tomando la diferencia respecto de 0 [db], RW j db 0 log p () RW queda determinado por la elección de, el cual uctúa entre 0 y. Si, entonces RW p ; es decir, 3 [db] : En la Fig., cuando!! la ganancia cae en 3 [db] respecto del máximo. 4.. Propiedades del ltro Sea K, para!! ; como n() de acuerdo a la tabla, la magnitud es igual al ancho del ripple jh(j!)j p n() p (3) Para! >>! se tiene que n(!) >>, luego en db, jh(j!)j w n (!) (4) jh(j!)j db 0 log 0 log n (!) (5) Para! >>! ; n (!) se puede aproximar a n! n ; así jh(j!)j db 0 log 0 log n! n 0 log 6 (n ) 0 log! (6) De acuerdo a (6), la atenuación para un mismo orden en la región de transición es mayor que 0 [dbdec] ; esto debido al término 0 log 6 (n ). omo es menor que, el valor obtenido resulta ser negativo luego para compensarlo, se puede escoger un valor de n más grande. 0

11 4.3 H(s) basada en polinomios de hebyshev Los polinomios de H(s) se obtienen combinando () con la Tabla. Para una ondulación RW 0:5 [db], 0:349; se obtienen los polinomios de la Tabla 3. Table 3: Polinomios de hebyshev 0.5 db. n Polinomios de hebyshev (0.5 [db]) 0:6593s 0:9405s 4 0:940s 0:398s :806s :376s 6 0:9774s 0:58s :6949s 0:79s 6:369 s 3: 696s 4.4 omparando la respuesta Butterworth y hebyshev Para un mismo orden la respuesta de hebyshev cae con mayor pendiente que el Butterworth, la Fig. muestra la situación tanto en escala lineal como logaritmica para un ltro de n 4 y RW 3 [db] ( ): Sin embargo, a medida que aumenta la frecuencia ambos ltros caen con 80 [dbdec]. H(j ) 0-3 H(j ) db [ seg ] hebyshev con mayor caida hebyshev con mayor caida [ seg ] aida con -80 db/dec (a) (b) Figure : omparación de Butterworth y hebyshev (a) Escala lineal. Logaritmica. (b) 5 Implementación de Filtros La implementación de los ltros requiere de un circuito activo que permite la construcción en forma práctica de una función de transferencia. A partir de (4), (5), (6) y (7), se obtienen las funciones de o orden pasabajo (7), pasaalto (8),

12 pasabanda (9) y rechazabanda (30).! s! Q s! s s! Q s!!o Q s s!o Q s! o s! o s!o Q s! o (7) (8) (9) (30) Donde es la ganancia del ltro, Q el factor de calidad y! la frecuencia de corte inferior o superior y! o representa la frecuencia central. 5. Implementación con Ampli cadores Operacionales Las funciones de transferencia de o orden se implementan con Ampli cadores Operacionales, resistores y capacitores. Existen dos circuitos clásicos, el VVS o Sallen-Key (SK) y el de Múltiple Realimentación (MFB) o Rauch. 5.. ircuitos Pasabajos La Fig. 3 muestra los circuitos SK y MFB, donde (3) y (3) representan las funciones de transferencia. R R R v i _ v o v i R R _ v o (a) (b) Figure 3: (a) Pasabajos SK. (b) Pasabajos MFB. Para el ltro SK se tiene H (s) n s R RB R R R o (3) R s R R Donde,! c R R : Para el ltro MFB, la función de transferencia será

13 H (s) n s R R R R RR R o s RR (3) Donde R R y! c RR : Note que la célula MFB tiene un desfase de 80 o. 5.. ircuitos Pasaaltos Las estructuras SK y MFB se muestran en la Fig. 4, donde las funciones serán (33) y (34) respetivamente. R 3 v i R v R _ o v _ i R v o (a) (b) Figure 4: (a) Pasa alto SK. (b) Pasa alto MFB. H (s) n s R RB s Donde,! c R R : H (s) Donde 3,! c R R 3 : 5..3 ircuitos Pasabandas o (33) R s R R 3 s s 3 3R s R R 3 (34) Las versiones SK y MFB se muestran en la Fig. 5 y la función de transferencia SK está dada por (35) y la MFB por (36). RB R R R R 3 s H (s) (35) s R R R 3 s R R R 3 3

14 R3 R v i R _ v o v i R R 3 _ R v o (a) (b) Figure 5: (a) Pasabanda SK. (b) Pasabanda MFB. Donde RB ; B Para el ltro MFB se tiene Donde R 3 R H (s) R R R 3 s R 3 s, B R y 3! o 5..4 ircuitos Rechaza Banda R 3 R R s 3 R 3 R 3 R y! o R R R 3 : R R (36) R : La Fig. 6a corresponde a un VVS rechaza banda con ganancia unitaria, donde R 3 R jjr : v i R R R3 _ v o v i R R _ v o R (a) (b) Figure 6: Filtro Rechaza Banda. Luego su función de transferencia será s R R H (s) s R s (37) R R Donde, y! o R R : 4

15 El circuito de la Fig. 6b se conoce como ltro Notch, el cual también es rechaza banda. Su función de transferencia se indica en (38). H (s) V o V i Donde y! o R : s R s s 4 R R (38) 6 Diseño Simple de Filtros Activos Para requerimientos básicos es posible implementar los ltros de o orden usando circuitos SK y MFB. 6. Pasabajo y Pasaalto El ltro equal component pasabajo o pasaalto, es un un circuito SK con R R R y, así la función dada en (3) queda RB R H (s) (39) s R B R R s R Luego se desprende que! R y RB : Finalmente, para!, ; ; dados se determina R y. Esta situación es válida para el tro pasaalto SK, considerando la igualación de componentes. 6. Filtros Pasabanda Usando el ltro pasabanda MFB de la Fig.5b; considerando un Q bajo que satisfaga los requerimientos de ganancia, ancho rde banda y frecuencia central, determinando de (36) las expresiones! o R 3 R R ; R3 R y! o Q R ; se tiene que 3 R R 3 Q! o R 3 Q! o Finalmente R onsiderando que se debe cumplir Q! o (Q ) (40) (4) (4) Q > Dados,, Q y! o el diseño queda concluido. (43) 5

16 6.3 Filtro Rechaza Banda Para el diseño de ltros rechaza banda puede utilizarse la con guración N otch, con la red doble-t de frecuencia central! o R y ganancia unitaria. 7 Método de Diseño Basado en polinomios Este método consiste en usar una respuesta de ltro basada en un polinomio. Se selecciona un circuito donde implementarlo. Dado que los polinomios están desarrollados para! r s, y los coe cientes de los polinomios son di ciles de memorizar, se proponen ecuaciones de diseño. Pero para ello deben adaptar los polinomios para que el diseño se pueda realizar para cualquier frecuencia. A partir de los polinomios originales el método genera tablas más sencillas y ecuaciones simples. Un método propuesto W. Smith (997), propone una tabla con los coe cientes de Butterworth y hebyshev junto con circuitos SK equal component, de ganancia distinta de uno. Se diseñan los módulos de segundo orden por sepao y se conectan en cascada para obtener ltros de orden superior. 7. Obteniendo las ecuaciones de diseño Modi cando la función pasabajos equal component dada en (3), se tiene (44). RB (44) R s R R B s omo está normalizada para! [rs], haciendo el escalamiento s! p RB H(p) (45) R! p R R B! p Igualando los coe cientes del denominador de (45) con los coe cientes b, b y b 0 de un polinomio de segundo orden b R! (46) R pb B b R! (47) Esto permite generar una tabla simpli cada y ecuaciones de diseño del ltro. 6

17 7. Tabla para Filtros Butterworth Sea el polinomio de n, Así se despeja s p s ; de acuerdo a (46) y (47) se tiene. R! (48) p p (49) Para n 4 se tiene R 0:59! f k f (50) 0:586 k (5) Etapa Etapa s :8477s s 0:7653s R! R! :8477 0:7653 R 0:59 f k f R 0:59 f k f R 0:53 k B :35 k Los cálculos pueden ser repetidos para n 6. Note que la relación entre R y se mantiene, la relación entre cambiará. 7.3 Tabla para ltros de hebyshev Sea el polinomio de n, 0:6593s 0:94046s ; igualando los coe cientes Luego Para n 4 se tiene 0:6593 R! (5) p0:6593 0:94046 (53) R 0:9! f k f (54) 0:84 k (55) 7

18 Etapa Etapa :806s :376s 0:940s 0:398s :376 :806 R! 0:940 R! R p:806 B 0:398 R p0:940 B R 0:666 f k f R 0:544 f k f R 0:58 k B :660 k Se repiten los cálculos para n 6. Finalmente con los coe cientes k y k se construye la Tabla 4. Table 4: oe cientes para Filtros de Butterworth y hebyshev (6% ripple). Butterworth hebyshev 0.5dB # polos k k k k etapa etapa etapa etapa etapa etapa Procedimiento de Diseño Dados, y f c : Se determina el orden del ltro n Se escogen de la tabla 4 los coe cientes k y k on cada k i se calculan los y R usando (56) y (57) k (56) R k f (57) 8

19 8 Ejemplos de diseño 8. Diseño simple Diseñar un ltro pasabajos de n,, con f 5 [KHz] usando SK equal-component. 0: [F ] R 38 [] f (0: [F ]) 5 [KHz] 0 Luego estandarizando R 330 [], así H (s) R 9: s R s s R 60606s 9: Donde se desprende que f 3: :0 6 4:9 [KH Z ] 0. µ 0 db -6dB H(j ) π4.9 π49k [ seg ] 330 Ω 330 Ω v i 0. µ _ v o -40dB (a) (b) Figure 7: Filtro Equal-component Pasabajos. Diseñe un ltro Notch de y fokhz. Diseñe un ltro Pasa Banda, fo5khz, Q5 8. Diseño usando polinomios Diseñe un ltro Butterworth de n, :5, f :5 [KHz] 9

20 R k! f 0: (0: [] ) k 0:586 Dado [K], 0:586( [K]) 586 [] RB R s R s (0:586 ) 4: s 9: ( 0:586) s H(j ) 4 db Ω Ω v i 0.µ 0.µ _ v o db 0 db π.5k [ seg ] K Ω 586 Ω -6 db (a) (b) Figure 8: (a) Filtro Butterworth pasabajos. (b) Respuesta en frecuencia. El ltro tendrá una ganancia :586 (4 [db]): Diseñe un ltro hebyshev pasa alto con f 3 [KH z ] ; n 4: El ltro requiere circuitos. alculando los valores de R de acuerdo a los coe cientes para n 4, dado 0:0 [F ] y [K]se tiene R R Etapa k f 0: (0:00 6 ) 8:9 [K] k 0:58 ( [K]) 0:58 [K] Etapa k f 0: (0:00 6 ) 5:5 [K] k :660 ( [K]) :66 [K] De esta forma se tiene el ltro de la Fig. 9. 0

21 .5 db db H(j ) v i 0.0µ 0.0µ 5.5K Ω 5.5K Ω _ 0.0µ 0.0µ 8.8K Ω 8.8K Ω _ v o π0.3k π3k 0 db [ seg ] KΩ.66KΩ KΩ 586Ω -80 db (a) (b) Figure 9: (a) Filtro hebyshev de cuarto orden pasa alto. (b) Respuesta. 9 onclusiones El diseño de ltros activos consiste en especi car adecuadamente la respuesta deseada, elegir la función aproximación que satisface los requerimientos y nalmente de nir el circuito activo que permita en la forma más simple la implementación de nitiva. Si los requerimientos no son tan exigentes, se usa el diseño simple. La elección del método dependerá de la precisión del ltro. References [] Savant,., Roden, M., arpenter,. 99 Diseño Electrónico ircuitos y sistemas. Adisson-Wesley [] Smith, S.W The Scientist and Engineer s uide to Digital Signal Processing.alifornia Technical Publishing [3] Malik, R.996. ircuitos Electrónicos. Análisis, Diseño y Simulación. Prentice-Hall