Circuito de resistencias

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1 Circuito de resistencias Curso de Geomecánica Computacional Dr. Alejo O. Sfriso Módulos Matriz de rigidez elemental La matriz de rigidez elemental es In[34]:= Clear RigidezElemento RigidezElemento [ R_ ] := R * - - Ensamblador de matriz de rigidez global Esta rutina forma la matriz de rigidez global a partir de la matriz de rigidez elemental y la matriz de conectividad In[36]:= Clear [ Ensamblador ] Ensamblador Conectividad_ nodos_ elementos_ R_ :=Module i j k ini fin Res RigidezGlobal RigidezGlobal = Table j nodos { k nodos } ; i = ; While i elementos ; ini = Conectividad i ; fin = Conectividad i 2 ; Res = R i ; RigidezGlobal ini ini = RigidezElemento [ Res ] [ [ ] ] + Rigi RigidezGlobal ini fin = RigidezElemento [ Res ] [ [ 2 ] ] + Rigi RigidezGlobal fin ini = RigidezElemento [ Res ] [ [ 2 ] ] + Rigi RigidezGlobal fin fin = RigidezElemento [ Res ] [ [ 2 2 ] ] + Rigi i = i + ; Return RigidezGlobal Condensación de la matriz de rigidez global y del vector de cargas La condensación de la matriz de rigidez implica la eliminación de filas y columnas mediante la utilización de las condiciones de contorno. La información almacenada en estas filas y columnas pasa al término de carga que también es condensado.

2 2 2 Ejercicio resistencias.nb In[38]:= Clear [ Condensador ] Condensador CondicionContorno_ ValorContorno_ RigidezGlobal_ nodos_ := Module i j irc jrc RigidezCondensada Cargas gdl gdl = nodos - Sum CondicionContorno i i nodos ; RigidezCondensada = Table i gdl j gdl ; Cargas = Table i gdl ; i = ; irc = ; While i nodos j = ; jrc = ; If CondicionContorno i Cargas irc = ValorContorno i + Cargas irc ; While j nodos If CondicionContorno j RigidezCondensada irc jrc = RigidezGlobal i j j = j + ; jrc = jrc + ; Cargas irc = Cargas irc - RigidezGlobal i j j = j + ; ; i = i + ; irc = irc + ; i = i + ; ; Return RigidezCondensada Cargas Expansión del vector de tensiones El vector de tensiones debe ser expandido para que cada posición corresponda a la numeración global de nodos

3 2 Ejercicio resistencias.nb 3 In[4]:= Clear Expansion Expansion nodos_ CondicionContorno_ ValorContorno_ TensionCondensada_ := Modu TensionExpandida i it TensionExpandida = Table i nodos ; i = ; it = ; While i nodos If CondicionContorno i TensionExpandida i = TensionCondensada it ; it = it + ; i = i + ; TensionExpandida i = ValorContorno i ; i = i + ; ; Return TensionExpandida Ejercicio del ejemplo Datos de entrada La geometría del problema está definida por: - la cantidad de nodos y elementos - las características de cada uno de los elementos - la conexión entre ellos - las condiciones de contorno tanto esenciales (CCE) como naturales (CCN) Estas variables son los datos de entrada del sistema. Para el problema que se plantea como ejemplo In[42]:= Clear [ nodos elementos ] nodos = 6 ; elementos = 8 ; La resistencia de cada uno de los elementos se almacena en el vector de resistencias elementales. Para el problema del ejemplo es In[45]:= Clear [ R R R5 ] R = { R R5 } ; La conectividad entre los diferentes elementos se establece en la matriz de conectividad que contiene en la fila iésima columna el nodo de partida del elemento iésimo. En la columna 2 está el correspondiente nodo de llegada.

4 4 2 Ejercicio resistencias.nb In[47]:= Clear Conectividad Conectividad = ; Finalmente las condiciones de contorno se almacenan en un vector que tiene un si existe una CCE y un si existe una CCN. El valor numérico de la condición de contorno se almacena en otro vector. Los valores numéricos nulos de las CCN no necesitan ser definidos puesto que es el valor de inicialización de la variable. In[49]:= Clear CondicionContorno ValorContorno ValorContorno = CondicionContorno = Table i nodos ; CondicionContorno [ [ 6 ] ] = ; ValorContorno [ [ 2 ] ] =. ; ValorContorno [ [ 6 ] ] = 2 ; Matriz de rigidez global In[54]:= RigidezGlobal = Ensamblador Conectividad nodos elementos R ; Out[55]//MatrixForm= R + R RigidezGlobal // MatrixForm R R R5 + + R5 R5 R5 + Condensación de matriz de rigidez In[56]:= RigidezCondensada Cargas = Condensador CondicionContorno ValorContorno Rigi RigidezCondensada // MatrixForm Out[57]//MatrixForm= R + R R R R5 + +

5 2 Ejercicio resistencias.nb 5 In[58]:= R =. ; = 3. ; = 2. ; = 7. ; R5 = 2. ; = 5. ; = 4. ; = 9. ; RigidezCondensada // MatrixForm Cargas // MatrixForm Out[59]= Solución del sistema de ecuaciones La solución del sistema lineal de ecuaciones no es parte del ejercicio por lo que Mathematica se encarga. In[6]:= Clear RigidezInvertida TensionCondensada RigidezInvertida := Inverse RigidezCondensada ; TensionCondensada := RigidezInvertida. Cargas ; Con este procedimiento se obtienen las tensiones e intensidades en todos los nodos y elementos de la malla In[63]:= ClearTension Intensidad Tension = Expansion nodos CondicionContorno ValorContorno TensionCondensada ; Intensidad = RigidezGlobal. Tension ; Print MatrixForm Tension MatrixForm Intensidad