CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA CALTEP Ejemplos de Validación Caso Bidimensional I. E. Sala F.

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1 CENTRO INTERNACIONAL DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA CALTEP 2000 Ejemplos de Validación Caso Bidimensional I E. Sala F. Zárate Informe Técnico No. IT 381 parte B-1, Octubre 2001

2 CALTEP 2000 Ejemplos de Validación Caso Bidimensional I E. Sala F. Zárate Informe Técnico CIMNE IT-381 B-1, Octubre 2001 Éste informe corresponde a una selección de temas presentados en el Informe Técnico CIMNE IT-381 Centro Internacional de Métodos Numéricos en Ingeniería Gran Capitán s/n, Barcelona, España

3 ÍNDICE 1. INTRODUCCIÓN GEOMETRÍA MALLA Y TIPOS DE ELEMENTOS CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL CONDICIONES DE CONTORNO PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA RESULTADOS PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA

4 1. INTRODUCCIÓN En este documento se describen una serie de ejemplos que han servido para validar el funcionamiento del programa Caltep2000 en el caso bidimensional. Son ejemplos sencillos cuya solución analítica se conoce al menos de forma cualitativa, cosa que permite determinar la validez de los resultados obtenidos en el análisis. Todos los problemas aquí planteados se resuelven sobre el mismo dominio computacional: un cuadrado de lado unidad sobre el que se irán variando las condiciones de contorno. Cada uno de los problemas planteados se resuelve con varios tipos de elementos para poder así comparar su funcionamiento. 2. GEOMETRÍA El dominio sobre el que se resuelven los problemas es particularmente sencillo. Se trata de un cuadrado de lado unidad sobre el que se genera una superficie, tal y como puede verse en la figura. Figura 2-1 Geometría. 3. MALLA Y TIPOS DE ELEMENTOS Los problemas propuestos se resuelven con diferentes tipos de elementos para poder así observar las diferencias de los resultados obtenidos con unos y otros. Los elementos que se utilizan en los diferentes cálculos son triángulos lineales (de tres nodos) y cuadráticos (de seis), cuadrados lineales (de cuatro nodos) y cuadráticos (lagrangianos de nueve nodos y serendípitos de ocho). En todos los casos se genera una malla estructurada con diez elementos por lado. En la tabla siguiente pueden verse el número de elementos y nodos obtenidos para cada una de las mallas 2

5 Elemento Nº elementos Nº nodos TRI TRI QUA QUA QUA El aspecto de las mallas para las que se ha analizado el problema es el que puede verse en las figuras siguientes. Figura 3-1 Malla triángulos. Figura 3-2 Malla cuadriláteros. Si no se dispone de un preprocesador las características de la malla tienen que incluirse en el fichero de datos, proporcionando tanto las coordenadas de los nodos como las conectividades entre ellos, tal y como puede verse a continuación para el caso de elementos cuadrados de ocho nodos: GEOMETRY DEFINITION SCALE = 1.0 $ node x-coord y-coord z-coord M END GEOMETRY DEFINITION SET DEFINITION NAME = MALLA1 ELEMENT TYPE = QU08 MATERIAL NUMBER 1 BEGIN CONECTIVITIES $ element node1 node2 node3 node4 node5 node6 node7 node M END CONECTIVITIES END SET DEFINITION 3

6 4. CARACTERÍSTICAS DEL MATERIAL Para solucionar el problema se considera un único tipo de material de tipo CONDUCTIVITY (utilizado para la transmisión del calor) con las características siguientes: - Conductividad 1.0 en todas las direcciones - Densidad Calor específico Fuente de calor interna Coeficiente de radiación: 0.5 Si se utiliza GID, se define un nuevo material utilizando el menú DATA-MATERIAL. Figura 4-1 Características del material. Si se escribe directamente el fichero de datos, las características del material se introducen en él tal y como se indica a continuación: MATERIAL DEFINITION MATERIAL NUMBER 1 MATERIAL TYPE CONDUCTIVITY X-COND Y-COND Z-COND DENSITY ESPECIFIC HEAT HEAT SOURCE = END MATERIAL En este caso, para poder imponer una condición sobre el contorno se tiene que definir un nuevo material con el coeficiente de radiación MATERIAL DEFINITION MATERIAL NUMBER 2 MATERIAL TYPE RADIATION COEF-RAD 0.5 END MATERIAL y generar sobre el contorno elementos de tipo radiación. 4

7 5. CONDICIONES DE CONTORNO Para poder resolver el problema sólo hace falta imponer condiciones de contorno. En este caso variando las condiciones de contorno se proponen cuatro problemas distintos que se describen a continuación. Los diferentes problemas se resuelven con todos los tipos de elementos. Además, para cada caso se consideran dos tipos de materiales según tenga o no activada una fuente de calor. Si se utiliza GID, para considerar o no una fuente de calor interna se tiene que activar o desactivar la opción ACTIVATE HEAT SOURCE en la definición del material. Si se escribe directamente un fichero de datos, en caso de querer considerar una fuente de calor, debe activarse la opción de generación de calor (por defecto esta desactivada) en la sección de definición de cargas, tal y como se indica a continuación LOAD CONDITION INTERNAL HEAT ON END LOAD CONDITION 5.1 PROBLEMA 1 En este caso se imponen solamente condiciones de contorno de tipo Dirichlet en dos lados paralelos, fijando el valor de la temperatura a 0 en uno y a 10 en el otro, tal y como puede verse en la figura.. φ o = 0.0 φ o = 10.0 Figura 5-1 Condiciones de contorno problema 1. Para imponer estas condiciones con GID sólo hace falta escoger la opción FIXED TEMPERATURE LINE TEMPERATURE e introducir la temperatura correspondiente en cada lado. En el archivo de datos estas condiciones se imponen con la opción FIXED TEMPERATURE, tal y como puede verse a continuación: BOUNDARY CONDITION FIXED TEMPERATURE $ node value M END BOUNDARY CONDITION 5

8 5.2 PROBLEMA 2 En este problema se imponen dos tipos de condiciones de contorno diferentes en dos lados paralelos del dominio. En uno de ellos se prescribe la temperatura mientras que en el otro se fija el valor del flujo por unidad de longitud. Además, para tener en cuenta la interacción con el medio en este último se prescribe el valor de la temperatura del medio exterior, tal y como se puede ver en la figura siguiente. q n = 20.0 φ o = 10.0 φ ext = 5.0 Figura 5-2 Condiciones de contorno del problema 2. Si se utiliza el programa GID la condición de temperatura prescrita se impone utilizando la opción FIXED TEMPERATURE - LINE TEMPERATURE del menú DATA. La temperatura exterior se fija utilizando la opción EXTERNAL TEMEPRATURE-LINE EXTERNAL TEMPERATURE del mismo menú. Para imponer el flujo sobre un lado del contorno se utiliza la opción LOADS LINE FLUX OVER LINE. En el caso de escribir directamente el fichero de datos, para imponer un valor de la temperatura se utiliza, tal y como se ha descrito en el caso anterior, la opción FIXED TEMEPRATURE. La temperatura exterior se prescribe también como una condición de contorno mediante la opción EXTERNAL TEMPERATURE: BOUNDARY CONDITION EXTERNAL TEMPERATURE $ node value M END BOUNDARY CONDITION Para poder prescribir el valor del flujo en el otro lado es necesario incluir esta información en la sección de cargas. Además, como el flujo que se considera es por unidad de longitud debe utilizarse la opción SIDE FLUX, tal y como se describe a continuación: LOAD CONDITION SIDE FLUX $ node1 node 2 value value END LOAD CONDITION M 6

9 5.3 PROBLEMA 3 El problema planteado es estudiar la transmisión del calor en un cuadrado tomando como condiciones de contorno la temperatura prescrita en uno de los lados y el flujo por unidad de longitud en el paralelo, tal y como puede verse en la figura. φ o = 10.0 q n = 20.0 Figura 5-3 Condiciones de contorno problema 3. Si se trabaja con GID, para fijar la temperatura en un lado se tienen que escoger la opción FIXED TEMPERATURE - LINE TEMPERATURE Para imponer un flujo de calor uniformemente repartido por una línea del contorno se utiliza la opción LOADS LINE FLUX OVER LINE. Si se escribe directamente el fichero de datos, la temperatura se puede prescribir fácilmente utilizando la opción FIXED TEMPERATURE y la condición de flujo por unidad de longitud se impone utilizando la opción SIDE FLUX, tal y como se ha descrito en los casos anteriores. 5.4 PROBLEMA 4 Tal y como puede verse en la figura, en este problema se imponen como condiciones de contorno el valor de la temperatura en un lado y un flujo puntual nulo en el lado opuesto. φ o = 10.0 q n = 0.0 Figura 5-4 Condiciones de contorno problema 4. Si se utiliza el programa GID la temperatura se prescribe utilizando la opción FIXED TEMPERATURE. Para imponer el flujo puntual se tiene que mallar primero la geometría para poder así prescribir el valor del flujo en cada uno de los nodos utilizando la opción LOADS POINT FLUX OVER POINTS. 7

10 Si se escribe el fichero de datos, la temperatura se fija utilizando la opción FIXED TEMPERATURE: En este caso, como el flujo se prescribe puntualmente (y no por unidad de longitud), sólo hace falta imponerlo directamente sobre los nodos que corresponda. Para esto se utiliza la opción NODAL FLUX de la sección de imposición de cargas, tal y como puede verse a continuación: LOAD CONDITION NODAL FLUX $ node value END LOAD CONDITION M 6. RESULTADOS A continuación se presentan los resultados obtenidos para cada problema con todos los tipos de elementos. Estos resultados se analizan con un doble objetivo: por un lado, se quiere comprobar que los resultados obtenidos en todos los casos son coherentes con el problema planteado y, por otro, se pretende analizar las posibles diferencias producidas al utilizar en la resolución uno u otro tipo de elemento. 6.1 PROBLEMA 1 Sin fuente de calor Éste es un problema particularmente sencillo en el que se conoce a priori la forma de la solución del problema. Como la única condición de contorno impuesta es el valor de la temperatura en los dos lados verticales, el campo de temperaturas toma valores comprendidos entre los dos valores fijados y varía de forma lineal de un lado al otro formando isotermas verticales. El flujo de calor es constante en todos los puntos, tiene dirección horizontal y sentido hacia el lado donde se ha prescrito la temperatura menor. En este caso los resultados que se obtienen en el análisis son los mismos para cualquiera de los elementos e iguales a los esperados a priori. En las figuras siguientes pueden verse los que se han obtenido utilizando elementos triangulares de tres nodos. Figura 6-1 Distribución de temperaturas. Problema 1 sin fuente de calor, elementos TR03. 8

11 Figura 6-2 Flujo horizontal suavizado. Problema 1 sin fuente de calor, elementos TR03. Figura 6-3 Sentido del flujo horizontal. Problema 1 sin fuente de calor, elementos TR03. Con fuente de calor Al añadir una fuente de generación de calor interna, la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio pero como se encuentra prescrita en dos lados paralelos disminuye al acercarse a éstos formando isotermas verticales. El calor se desplazará de las zonas con temperatura más alta (situadas en el interior del cuadrado) hacia las zonas más frías (en los contornos verticales donde se ha prescrito la temperatura). En este caso, los resultados obtenidos con todos los elementos utilizados en el análisis son coherentes con los esperados. Para los diferentes elementos utilizados se obtiene siempre la misma distribución de temperaturas y el sentido del flujo es coherente con este resultado. 9

12 Figura 6-4 Distribución de temperaturas. Problema 1 con fuente de calor, elementos TR03. Figura 6-5 Sentido del flujo horizontal. Problema 1 con fuente de calor, elementos TR03. En cambio, los valores de la distribución de flujo varían según el tipo de elemento utilizado en la resolución: elementos de mayor orden dan valores del flujo ligeramente superiores. (a) (b) 10

13 (c) (d) (e) Figura 6-6 Flujo horizontal suavizado. Problema 1 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. 6.2 PROBLEMA 2 Sin fuente de calor El campo de temperatura toma el valor 10 en el lado del contorno donde se han impuesto condiciones de tipo Dirichlet y aumenta a medida que nos acercamos al lado opuesto ya que en éste se ha prescrito un flujo de calor positivo, que aporta calor al sistema. La distribución de flujo de calor será uniforme en todo el dominio. En las figuras siguientes puede verse como la distribución de temperaturas obtenida con todos los tipos de elementos utilizados es prácticamente la misma y sólo varían ligeramente los valores. 11

14 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-7 Distribución de temperatura. Problema 2 sin fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos (b) Triángulos de seis nodos (c) Cuadriláteros de cuatro nodos (d) Cuadriláteros de ocho nodos (e) Cuadriláteros de nueve nodos 12

15 En las siguientes figuras puede verse la distribución de flujo obtenida en el análisis. El hecho de que sólo se obtiene una distribución de flujo completamente uniforme para los elementos lineales se explica porque para este tipo de elementos se integra exactamente sin utilizar ninguna cuadratura numérica que puede producir errores. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-8 Flujo suavizado. Problema 2 sin fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. 13

16 Con fuente de calor Al añadir una fuente de calor, la temperatura aumenta en el interior del dominio aunque se mantiene constante e igual al valor prescrito en el contorno donde se ha impuesto la condición de tipo Dirichlet. En las figuras siguientes puede verse como la distribución de temperatura es prácticamente la misma sea cual sea el tipo de elemento utilizado en el análisis. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-9 Distribución de temperatura. Problema 2 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. 14

17 Con todos los elementos utilizados se obtiene la misma distribución de flujo y sólo varían ligeramente los valores que se obtienen, tal y como puede verse en las siguientes figuras. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-10 Flujo suavizado. Problema 2 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. 15

18 6.3 PROBLEMA 3 Sin fuente de calor El valor de la temperatura en el lado donde se han impuesto condiciones de tipo Dirichlet será constante e igual al valor prescrito. Como en el lado paralelo se ha impuesto como condición de contorno un valor del flujo positivo (entrante, que aporta calor al sistema) la temperatura aumenta a medida que nos acercamos a éste, formando isotermas verticales. En todos los casos obtenemos la distribución de temperaturas esperada y se verifican las condiciones de contorno de tipo Dirichlet (exactamente porque se han impuesto de forma fuerte). La única diferencia en los resultados obtenidos con los distintos elementos utilizados en el análisis es que los valores de la temperatura varían ligeramente al cambiar de elementos, tal y como puede verse en la siguiente figura. (a) (b) (c) (d) 16

19 (e) Figura 6-11 Distribución de temperaturas. Problema 3 sin fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. Dadas las condiciones impuestas, el flujo tiene que ser uniforme en todo el dominio e igual al valor prescrito. En la figura siguiente pueden verse los resultados obtenidos con cada tipo de elemento. En todos los casos la distribución del flujo es prácticamente uniforme y sólo se producen ligeras irregularidades debidas, probablemente, a errores de integración. El hecho de que se obtenga un valor del flujo de valor 20 en la dirección horizontal es debido a que cuando se impone como condición de contorno un flujo positivo se entiende como un flujo que aporta calor al sistema y, en este caso, para que el flujo sea entrante tiene que tener sentido contrario al del eje de abcisas. (a) (b) 17

20 (c) (d) (e) Figura 6-12 Flujo suavizado en la dirección horizontal. Problema 3 sin fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. Con fuente de calor Debido a la fuente de generación de calor, la temperatura tiende a aumentar en todo el dominio. El hecho de haber prescrito su valor en uno de los lados que forman el contorno hace que, aunque la temperatura aumenta en el interior del dominio, su valor va disminuyendo a mediad que nos acercamos al lado donde se ha impuesto la condición de tipo Dirichlet. 18

21 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-13 Distribución de temperaturas. Problema 3 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. La distribución de flujo obtenida en el análisis es en todos los casos coherente con la distribución de temperaturas obtenida. El flujo es aproximadamente 20 en el contorno donde se ha prescrito a este valor y aumenta su módulo (aunque tiene sentido negativo) a medida que nos alejamos de este lado ya que el calor se mueve hacia las zonas de menor temperatura situadas a la izquierda del dominio. 19

22 En las figuras siguientes puede verse la distribución de flujo obtenida con cada tipo de elemento. Observamos que la distribución es prácticamente la misma en todos los casos y sólo existen diferencias en los valores que toma. Aunque en ningún caso se obtiene exactamente un valor de flujo saliente 20 en el contorno donde se ha prescrito (cosa que es de esperar, puesto que las condiciones de tipo Neumann sólo se imponen de forma débil) podemos ver como utilizando elementos cuadráticos el valor obtenido se acerca más al impuesto que si se usan elementos lineales. (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-14 Flujo suavizado en la dirección horizontal. Problema 3 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. 20

23 6.4 PROBLEMA 4 Sin fuente de calor Al resolver este problema con cualquier tipo de elemento se obtiene una distribución de temperaturas uniforme e igual a la prescrita y un flujo horizontal nulo en todo el dominio computacional, que son los resultados que cabía esperar dadas las condiciones de contorno impuestas. Los resultados que se obtienen son los mismos con todos los tipos de elementos utilizados en el análisis. Podemos ver los resultados obtenidos con elementos triangulares de tres nodos en las dos figuras siguientes Figura 6-15 Distribución de temperatura. Problema 4 sin fuente de calor, elementos TR03. Figura 6-16 Flujo horizontal suavizado. Problema 4 sin fuente de calor, elementos TR03. Con fuente de calor Si se añade una fuente de calor en el interior, el campo de temperaturas aumenta su valor aunque se mantiene constante en el lado donde se ha impuesto la temperatura de manera que la temperatura máxima se alcanzará en el lado opuesto al que se ha impuesto. El flujo de calor, por tanto, dejará de ser nulo ya que el calor tenderá a moverse de las zonas con mayor temperatura a las más frías. Los resultados que se obtienen con este análisis son los esperados: la temperatura aumenta a medida que nos alejamos del lado en el que se ha prescrito su valor y, dado que las condiciones están impuestas en lados opuestos, el campo de temperaturas va formando líneas verticales de igual valor. 21

24 La distribución de temperatura obtenida con todos los tipos de elementos es la misma aunque utilizando triángulos lineales se obtienen valores ligeramente superiores. En la figura siguiente se muestra la distribución de temperaturas obtenida con triángulos lineales y cuadráticos (que es la misma que con el resto de elementos). (a) Figura 6-17 Distribución de temperatura. Problema 4 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. El sentido del flujo es correcto y coherente con la distribución de temperaturas en todos los casos. (b) (a) (b) Figura 6-18 Sentido del flujo de calor. Problema 4 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. La condición de flujo prescrito no se cumple exactamente en ninguno de los casos, cosa que era de esperar puesto que esta condición, al contrario que la temperatura, no se impone de forma fuerte. De todas maneras, podemos considerar que la distribución es correcta porque el valor del flujo en el lado donde se ha impuesto flujo nulo es sensiblemente inferior al del resto del dominio. Se puede observar que con elementos cuadráticos se obtiene un resultado bastante mejor que con los lineales ya que en el lado donde se ha prescrito flujo nulo se tienen unos valores sensiblemente menores. También podemos observar que los peores resultados se obtienen con los triángulos lineales. 22

25 (a) (b) (c) (d) (e) Figura 6-19 Flujo horizontal suavizado. Problema 4 con fuente de calor. (a) Triángulos de tres nodos. (b) Triángulos de seis nodos. (c) Cuadriláteros de cuatro nodos. (d) Cuadriláteros de ocho nodos. (e) Cuadriláteros de nueve nodos. 23