6 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

Transcripción

1 6 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Sea f() c ( ) para, y f () para los demás valores de. Determinar la constante c de manera que f() sea la función de dendad de una variable aleatoria continua, X. Determinar también la función de distribución acumulativa, F(), y representar ambas. Como + f ( ) d c ( ) d se tiene que la función de dendad es c 8 c c 8 a ( f ( ), ), en otro caso. ( ),, en otro caso. FUNCIONES DE DENSIDAD Y DE DISTRIBUCIÓN CON EXCEL Su gráfica, se puede obtener en EXCEL como gue: el trozo cuadrático del intervalo [, ] se obtiene escribiendo en la celda A de una hoja. A continuación movemos el cursor al etremo inferior derecho de la celda, hasta que aparece + y, con el botón derecho pulsado, desplazamos hasta la celda A. Al soltar el botón derecho aparece el menú contetual 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 99

2 en el que elegimos Series. Aparece el cuadro en el que especificamos un Incremento, que es suficiente aquí. En la celda B insertamos la fórmula de la función para dicho intervalo con argumento A en lugar de ; es decir (/)*A*(-A) por (/)(-). Pinchando con el botón izquierdo en A, propagamos esta fórmula hasta la celda B. Tenemos así las coordenadas de una serie de puntos de la gráfica en [,]. Para representar que fuera de ese intervalo f(), escribimos en la celda A el valor - y en B el valor. En las celdas A y B escribimos y, respectivamente. A continuación construimos el gráfico como ya sabemos: ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

3 Paso Tipo de gráfico Seleccionar XY (Disperón) y el cuarto subtipo Disperón con puntos de datos conectados por líneas. Paso Datos del gráfico Rango de datos: definir las celdas de las dos columnas donde están los datos (los valores de X e Y) (en nuestro caso Hoja!$A$:$B$) Series en: escoger Columnas Paso Opciones de gráfico Títulos Escribir Título deseado para el gráfico, así como para el Eje de valores de X y el Eje de valores de Y Líneas de divión Seleccionar sólo Líneas de divión principales en el eje Y Leyenda Desactivar Mostrar leyenda Paso Colocar el gráfico Como objeto en: Hoja Finalizar Finalmente, eliminamos los marcadores, obteniendo: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

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5 Otra forma: También se puede escribir la misma columna de valores de desde A hasta A. Después, en la celda B, escribimos la definición de f() haciendo uso de las funciones lógicas: SI(O(A<;A>); ; (/)*A*(-A)) y la propagamos hasta B incluve. El resultado es el mismo: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

6 La función de distribución acumulativa es: a F( ) P( X ) f ( ) d, (, ), < > Obtenemos su gráfica igual que antes: Otra forma: También se puede escribir la misma columna de valores de desde A hasta A. Después, en la celda B, escribimos la definición de F() haciendo uso de las funciones lógicas: SI(A<;;SI(Y(A>;A<);(/)*A^*(-A);)). El resultado es el mismo: ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

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8 Una variable aleatoria X tiene una función de distribución F:R R definida por,, a F( ) c, < <,,. a) Determinar la constante c y describir la función de dendad f(). b) Calcular las probabilidades P(X /), P(X < /), P( X < /). La función de dendad es: Entonces: a f ( ) +, F' ( ) c,, f ( ) d, < <,. c d c. Se trata de la distribución uniforme en el intervalo [,]. (Ver el ejercicio resuelto del tema 6 pág. del teto-). Así,, a F( ),,, < <,. a f ( ), F' ( ),,, < <,. En toda distribución continua P(Xa), luego P(X/). En las distribuciones continuas, P(X < a) P(X a) F(a) área bajo la gráfica de la función de dendad f() desde hasta a. Por tanto, P( X < ) F( ) / / f ( ) d d P( X < ) P( < X < ) P( < X < ) d., y / Que P(X</) / se deduce inmediatamente por mple observación de una u otra gráfica: Área del triángulo de base [,/] y altura en la gráfica de f Ordenada correspondiente a / en la gráfica de F, ambas /. 6 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

9 Sea f() c sen para < / y f () para los demás valores de. Determinar la constante c de manera que f() sea la función de dendad de una variable aleatoria continua, X. Determinar también la función de distribución acumulativa, F(), y representar ambas. Como + f ( ) d + c sen d c se tiene que la función de dendad es sen d c [ cos ] c c. a sen, f ( ), en sen, < < sen, otro caso., en < < < otro caso. La gráfica de la función de dendad, obtenida por el primer método, es: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 7

10 Para la función de distribución se tiene que: Si /, F(). Si /< <, Si < /, F( ) F( ) + sen d Si /, F(). ( sen + ) d [ cos ] cos [ cos ] + [ cos + ] cos 8 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

11 El tiempo, en minutos, que una persona espera un autobús es una variable aleatoria T con función de dendad f(t) definida por /, < t <, t a f ( t ) /, < t <,, en otro caso. Calcular la probabilidad de que el tiempo de espera sea a) mayor que un minuto; b) mayor que dos minutos; y c) mayor que tres minutos. El área del rectángulo de base [, ] y altura / es /. Por tanto: P (T > ) P(T > ), y P (T > ). 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 9

12 5 Una variable aleatoria X tiene una función de distribución continua, F(), y una dendad de probabilidad f definida por las propiedades guientes: f() < /; f(/) ; f() es lineal en el intervalo [/; /]; y, para todo R, es f() f(). a) Representar f. b) Determinar F() y representarla. c) Calcular P(X < ), P(X < /), P(X < /), P(X < /) y P(/ < X < 5/8). a) Se tiene que / + k, la condición f() f() implica f(/k) f(/+k); es decir, f(/k) f(/+k), lo que gnifica que la gráfica de f() es métrica respecto a la recta vertical /. Por tanto, f(/) f(/). Como fuera de [/, /] f() es nula, toda la masa de probabilidad está en dicho intervalo, repartida entre un cuadrado de área / y un triángulo que debe tener también área /. Por tanto, el área del triángulo / / h /, luego la altura es h, y el vértice superior del triángulo se encuentra en el punto de coordenadas (/, ). En el intervalo [/, /], es f() a+b, entonces f(/) implica p/+b ; es decir p+b. También f(/) implica a/+b ; es decir a+b 6. Resolviendo el stema se obtiene a 8 y b. Luego en [/, /], es f() 8. En el intervalo [/, /], por metría, es f() p+q, entonces f(/) implica p/+q ; es decir p+q. También f(/) implica p/+q ; es decir p+q 6. Resolviendo el stema se obtiene p 8 y b 7. Luego en [/, /], es f() 8+7. De este modo la ley de la función de dendad es: y su gráfica: a f (, 8, ) 8 + 7,, < > ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

13 b) Integrales inmediatas de f() de hasta (o conderaciones elementales sobre áreas, proporcionan la función de distribución:, <, < a F( ) + 7, <, 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

14 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez c) Por mple observación de la gráfica de la función de dendad, se tiene que ) X P( ) X P( ) X P( ) X P( < < < < Por otra parte: F 8 5 F ) 8 5 X ( P < <

15 6 Una variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre [, ]. a) Calcular P(X ), P(X < ), P( X < ), P( X <). b) Hallar un valor tal que P(X > ) /. Como el área del rectángulo de base [-,] es, su altura ha de ser /6. Así: a, f ( ) / 6,, <,, >, a F( ) ( + ), 6, <,, >. a) En toda distribución continua P(Xa), luego P(X). En las distribuciones continuas, P(X < a) P(X a) F(a) área bajo la gráfica de la función de dendad f() desde hasta a. Por tanto, P( X ) F( ) < f ( ) d P ( X < ) P( < X < ) 6 P ( X < ) P( < X < ) P( < X < ) P( < X < ) b) P( X ) > P( X ) > P( X ) < d < 6 > 5 6, ( + ) < + < <. 6 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

16 7 (DISTRIBUCIÓN DE CAUCHY) Se dice que una variable aleatoria X gue una distribución de CAUCHY su función de distribución es a F( ) + arctg. Determinar f() y representar ambas. Calcular P(X ) y P(X ). f ( ) F' ( ), ( R ) + ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

17 P ( X ) F() + arctg + / 5 P ( X ) F( ) + arctg + arctg + / 6. 8 Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de dendad a ( R) f(). e + e Determinar el valor del parámetro constante a. Ha de ser + + e a + e d M. Esta es una integral impropia que se calcula como gue: a e d a lím + + d a lím M e e e + e M + + ( e M M M M a lím [ arctg e arctg e ] a a M + Entonces: a a. Así, f ( ) e + e M d a lím ) M + M [ arctg e ] M La función de distribución acumulativa es: 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 5

18 F( ) P( X ) lím M + d lím + d lím M M + e e d + e M e + e M + ( e M [ arctg e ] lím [ arctg e arctg e ] [ arctg e ] arctg e M M + ). 6 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

19 9 La función de dendad de una variable aleatoria continua, X, es,, f( ) a cos, <,, >. a) Determinar el valor del parámetro constante a. b) Hallar la función de distribución, F(). c) Representar ambas. + + f a) ( ) d a cos d a cos d a [ sen ] b) Si ], /], entonces F(). Si ]/, /], entonces F( ) P( X ) f ( ) d Por tanto, la ley de F() es:, a F( ) ( sen + ),, c) [ sen ] [ sen + ], <, >. a a.. 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 7

20 8 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez

21 Una variable aleatoria continua, X, tiene por función de dendad,, f () sen, <,, >. a) Determinar la función de distribución, F(). b) Representar ambas. c) Calcular la probabilidad de que X tome sus valores en el intervalo ;. a) Si ], ], entonces F(). Si ], ], entonces F( ) P( X ) f ( ) d [ cos ] [ cos ] +. Por tanto, la ley de F() es:,, a F( ) ( cos + ), <,, >. b) 6EPRVARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 9

22 ESTADÍSTICA J. Sánchez Mª. S. Sánchez Es de observar que estas dos gráficas se obtienen de las dos anteriores trasladándolas / a la derecha. c) + < < ) cos ( ) F( ) X P( ) X P( ) X P(, X P ) ( +