8 LONGITUDES, ÁREAS Y VOLÚMENES

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1 8 LONGITUDES, ÁRES Y VOLÚMENES PR EMPEZR 1 Dibuja un trapecio isósceles de 5 centímetros de altura y bases de 18 y 10 centímetros, respectivamente, y calcula su área y su perímetro. omo es isósceles, dos de sus lados deben ser iguales: Su área viene dada por la expresión: ( b) (18 10) 10 cm 5 70 cm 5 cm Para calcular el perímetro calculamos primero la longitud de los lados iguales mediante el teorema 18 cm de Pitágoras: ,4 cm. P ,4 40,8 cm. Un cucuruco de barquillo tiene un radio de 3 centímetros y una altura de 10. Sobre él ay una bola de elado de 6 centímetros de diámetro, y además, interiormente está lleno de elado. alcula el volumen total de elado. El volumen de elado será la suma del volumen del cono y del volumen de la semiesfera que tiene encima. V V cono 1 V esfera r r ,8 cm 3 3 Un panal tiene 100 celdas de centímetros de lado cada una. alcula la superficie que ocupa si las celdas fueran: a) Triangulares b) uadradas c) Hexagonales a) Para calcular el área del triángulo se necesita su altura, que se alla mediante el teorema de Pitágoras: b b b 3 cm, por lo que el panal ocupa S , cm. T b 4 1 b) Área de un cuadrado: l 4 cm, por lo que el panal ocupa S cm. c) Un exágono esta formado por 6 triángulos equláteros como los del primer apartado, por lo que la superficie ocupa el panal es S ,3 cm. Resolución de triángulos rectángulos PR PRTIR Ejercicio resuelto 8.1 Halla los elementos desconocidos del triángulo rectángulo de la figura y comprueba que se cumple el teorema de Pitágoras. omo los ángulos p y p son complementarios, 13 cm 0 tenemos que p p 90 p Se aplican las razones trigonométricas para obtener los catetos: c a cos p 15 cos 0 14,095 cm b a sen p 15 sen 0 5,13 cm Se comprueba que efectivamente se cumple el teorema de Pitágoras: 15 5 y 14,095 5,13 5 3

2 8. Resuelve los siguientes triángulos rectángulos y comprueba que se cumple el teorema de Pitágoras. a) b) cm 10,4 a) b tan 5 5,3 m b) c 71,7 m ta n 55 a,3 5 5,5 m a 10,4 71,7 15 m p p ,4 cm 8.3 alcula la medida de los ángulos agudos de los siguientes triángulos rectángulos. a) b) 45 cm 16,8 cm 8 cm 13,1 cm a) tg p 8 0,6v p = b) sen p 1 3, 1 0,78 p , 8 p p De un triángulo rectángulo conocemos la medida de los otros dos ángulos: p 60 y p 30. Responde razonadamente a las siguientes cuestiones. a) Se puede resolver el triángulo? b) Se pueden allar las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo? a) No, ya que para resolverlo se tiene que conocer, al menos, la longitud de un lado. b) Sí, ya que las razones trigonométricas son invariantes para triángulos semejantes: sen 60 cos 30 3 tan 60 3 sen 30 cos 60 1 tan Resuelve el siguiente triángulo rectángulo. a ,40 7 cm 9 cm tg p 7 9 0,7v p p En el triángulo rectángulo de la actividad anterior: a) Halla la longitud de las proyecciones de los catetos sobre la ipotenusa. b) Halla la altura sobre la ipotenusa. a) plicando el teorema del cateto obtenemos: b) plicando el teorema de la altura obtenemos: n b 7 4,97 cm a 11,40 m n 4,97 7,104 5,55 cm m c 81 7,104 cm a 11,40 33

3 PR PLIR 8.7 a) alcula la longitud del circuito de karts de la figura. b) uál es el menor número de vueltas que ay que dar al circuito para recorrer más de un kilómetro? 100 a) La ipotenusa mide 155,57 m. co s 50 El cateto desconocido mide 100 tg ,17 m. La longitud del circuito es ,5 119,17 374,67 m b),67 vueltas. Habrá que dar tres vueltas para recorrer más de un kilómetro. 3 74, Desde el borde de un acantilado de 50 metros de altura, Ángel observa, bajo un ángulo de 60, cómo una embarcación realiza las tareas de pesca. qué distancia de la costa se encuentra aproximadamente la embarcación? Está a una distancia de 50 tan 60 86,6 m. 8.9 Desde el lugar donde se encuentra Yaiza, puede observar una torre con un ángulo de elevación de 3. Si Yaiza avanza 40 metros en dirección a la torre, la observa con un ángulo de 70. a) alcula la altura de la torre si la estatura de Yaiza es de 1,65 metros. b) qué distancia de la torre estaba Yaiza inicialmente? Sea la altura de la torre y x la distancia inicial a la que se está de la torre. Tenemos que: tg 3 x 0,65x 0,65x,747x 109,88 x 51,78 m 3,36 m tg 70,747x 109,88 x 40 La torre mide 3,36 1,65 34,01 m. álculo de distancias y áreas de figuras planas PR PRTIR Ejercicio resuelto 8.10 Halla la longitud de la circunferencia de la figura. omo el ángulo p abarca un diámetro, el triángulo es rectángulo en. Se utiliza la trigonometría para allar el diámetro de la circunferencia. 7 sen ,14 cm sen 50 sí, la longitud de la circunferencia es: L diámetro r 9,14 8,71 cm 7 cm O 50 34

4 8.11 Halla la longitud de la siguiente circunferencia y el área del círculo que determina. 6,3 Se tiene que 7,6 cm, con lo que el radio de la circunferencia co s 34 es: r 7,5 99 3,8 cm. O 34 Su área es: 3,8 45,35 cm 6,3 cm Su longitud es: L 3,88 cm 8.1 Dado el triángulo de la figura, calcula: 30 cm 65 5 cm a) Su altura,. b) Su área. c) Su perímetro. a) 30 sen 65 7,189 cm b) Área 5 7, ,863 cm c) El lado desconocido se calcula dividiendo el triángulo escaleno en dos triángulos rectángulos: x 30 cos 65 1,68 cm (5 x) (5 1,68) 19 7, 9,86 cm Luego su perímetro será ,86 84,86 cm onsidera el rombo D de la figura. a) alcula el área del rombo. b) alcula el perímetro del rombo. 8 m 16 D El rombo lo podemos dividir en cuatro triángulos rectángulos como este: 14 cm 63º O a) Se calcula el área de uno de los triángulos y se multiplica por 4: 14 O 7,13 cm, con lo que el área del triángulo es Área 7, ,91 cm. tg 63 El área del rombo es 4 49,91 199,64 cm. 14 b) El lado mide 15,713 cm, con lo que el perímetro es 4 15,713 6,85 cm. sen alcula el área de un decágono regular de 1 metro de lado. El decágono se puede dividir en 10 triángulos isósceles como este: α a 1 m El ángulo mide ,5 36, por lo que la apotema del decágono mide a 10 p 1,54 m. tan 18 El área del triángulo mide 1,54 1 0,77 m, con lo que el área del decágono es 7,7 m 35

5 8.15 onsidera un eptágono regular de 8 centímetros de lado. a) alcula la medida del radio de la circunferencia inscrita al eptágono. b) uánto mide el radio de la circunferencia circunscrita al eptágono? c) alcula el área del eptágono. El eptágono se puede dividir en 7 triángulos isósceles como este: a) El ángulo mide ,43. 7 α a 8 cm La longitud del radio de la circunferencia inscrita coincide con la apotema, que mide: 4 4 a p 8,31 cm tan 5,71 tan b) El radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del triángulo: 4,31 8 9, cm c) El área del triángulo es 8 8,31 33,4 cm, con lo que el área del eptágono es 7 33,4 3,68 cm. PR PLIR 8.16 El campo de fútbol sala de un instituto es rectangular. Observa las medidas señaladas en la figura y calcula su área. El lado desconocido del rectángulo mide 35 tan 5 16,3 m. Su área es 16, ,3 m m 8.17 Para conseguir nuevos socios, una ONG a diseñado este cartel publicitario. alcula su área. La superficie de la pancarta es 40 sen 70 86,93 m Una estatua se encuentra delimitada por cinco postes que son los vértices de un pentágono regular de metros de lado. alcula el área de la circunferencia que pasa por los cinco postes. r 36º La circunferencia pedida es la circunscrita al pentágono, que se puede dividir en 5 triángulos como en la figura. El radio de la circunferencia coincide con el lado del triángulo: 1 r 1,7 m. sen 36 Su área será (1,7) 9,09 m. m 36

6 8.19 El dibujo muestra el plano de un local. El local se encuentra en venta, y el precio de cada metro cuadrado es de 3500 euros. uál es el precio del local? D 8 m 6 E m 10 m m F Dividimos la figura en tres regiones: 1) sen 60 1,65 m ) 10 sen ,60 m tan 6 3) 3 1,063 m tan 6 T 1,65 86,60 1, ,313 m El precio es: 109, ,5 euros 10 m 60º 5 m 8 m 1 10 m 3 D 6º E m F Áreas y longitudes de cuerpos geométricos PR PRTIR 8.0 alcula la altura y la diagonal del siguiente ortoedro. 11 cm 7º 7 cm La diagonal de la base mide ,038 cm. La altura de ortoedro mide 13,038 tg 7 6,643 cm. 13,038 La diagonal del ortoedro mide: d 14,633 cm. c os 7 Ejercicio resuelto 8.1 alcula el área de la esfera de la figura. omo el ángulo p abarca un diámetro, el triángulo es rectángulo en. Se utiliza la trigonometría para allar el diámetro de la esfera cos 45 14,14 cm cos 45 sí, el área de la esfera es: 4 r 4 14,14 67,81 cm 10 cm 45º O 8. alcula el área de la siguiente esfera. 8 8,901 cm r 4,450 cm cos 6 4r 48,891 cm O 6º 8 cm 37

7 8.3 La figura muestra un prisma con base un pentágono regular. alcula: a) Su área lateral. b) Su área total. a) El área lateral son 5 rectángulos de área b. Para calcular la altura del prisma se necesita conocer la distancia O, para lo que se divide el pentágono de la base en 5 triángulos isósceles como el de la figura: 1,3 O El lado O mide,1 m, así que la altura del prisma será: co s O,6 m a,6 m,1 tg 73 7,35 m De forma que el área lateral es 5,6 7,35 94,055 m. b) El área total es la suma de las áreas de las bases y del área lateral calculada antes. Para determinar el área del pentágono ay que calcular la apotema: a p 1,3 tan 54 1,789 m. El área del pentágono será: Área,6 5 1,789 11,68 m. El área total: T 11,68 94, ,311 m. 8.4 alcula el área del cono de la figura. ase (6) 130,1 cm 6 g 1 cm cos 60 Lateral rg 6,19 cm 130,1 6,19 356,3 cm g 60 6 cm O PR PRTIR 8.5 Una empresa de refrescos fabrica el siguiente envase con forma de cilindro. Qué cantidad de aluminio se necesita para fabricar cada lata? El área total será la suma del área lateral y de las dos bases. El lateral del cilindro es un rectángulo de base igual a la longitud de la circunferencia: Lateral 3 6 tg ,89 cm. El área de la base es 3 8,7 cm. El área total es: Total 8,7 195,89 5,43 cm. 8.6 El yuntamiento a organizado una campaña de envío de material escolar a países en desarrollo. Han utilizado cajas como las de la figura. alcula la cantidad de cartón que se necesita para montar 100 cajas. Para montar 100 cajas serán necesarios, m de cartón. El área de la parte de abajo, que será igual que la de arriba, de una caja es: ase Lateral. Para determinar el área lateral se necesita la altura del ortoedro, que se obtiene a partir de la diagonal de la base: d 1,5 0,65 1,635 m. Por tanto, la altura del ortoedro es: 1,635 tan 1 0,347 m. 1,5 0,65 0,65 0,347 1,5 0,347,47 m 38

8 8.7 En la pirámide cuadrangular de Keops, el lado de la base mide 30 metros, y el ángulo que forma una cara con la base es de 55. alcula: a) La altura de la pirámide. b) La superficie de cada una de las caras triangulares de la pirámide. a) 115 tan ,37 m 115 b) La altura de cada cara será: 1 00,496 m, con lo que la co s 55 superficie de cada cara será: S 30 00, ,04 m. Volúmenes de cuerpos geométricos PR PRTIR Ejercicio resuelto 8.8 alcula el volumen de un prisma de 5 m de altura y cuyas bases son exágonos regulares de 8 m de lado. perímetro apotema El volumen del prisma es: V ase Para allar la medida de la apotema se utiliza la trigonometría. El ángulo central de cada triángulo mide Se considera el triángulo rectángulo sombreado de la figura. 4 4 tg 30 apotema 6,93 m apot ema tg 30 sí, V = (6 8) 6, ,6 m 3 8 m 60 a 4 m La figura muestra un prisma con base un pentágono regular. alcula: a) Su área lateral b) Su área total c) Su volumen 10 cm a) El área lateral son 5 rectángulos de área b cm, de forma que el área lateral es cm. b) Para calcular el área del pentágono ay que calcular la apotema, para lo que se divide el pentágono de la base en 5 triángulos isósceles como el de la figura: 4 cm 36 a a,75 cm. El área del pentágono será: 4 5,75 7,53 cm tg 36. El área total: T 7, ,05 cm c) El volumen será: V 7, ,3 cm. 4 cm 39

9 8.30 alcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) b) 60 6 cm O 16 cm a) La altura del cono es 6 tg 60 10,39 cm, con lo que el volumen es V 1 3 r 391,78 cm 3. b) El radio de la base es r 8 cm, y la altura, 16 tg 6,46 cm, con lo que su volumen es V 8 6,46 199,75 cm Expresa el volumen de un tetraedro regular en función de su lado a. Las medianas y las alturas de un triángulo equilátero miden a, con lo que el área de la base es: ase a. 4 El baricentro de un triángulo equilátero está a un tercio del lado y a dos tercios del vértice. O 3 a 3 3 a 3 3 a a 0 3 a a 3 Por tanto, su volumen es: V 1 3 ase 1 3 a a a a PR PLIR 8.3 Una empresa que fabrica bombones utiliza para su envasado latas con forma de cilindro circular como muestra la figura. Halla el volumen y el área de dicas latas. El área de la base será: ase ,494 cm. Su altura será: 50 tg 30 8,87 cm, con lo que su volumen será: V 1963,494 8, ,19 cm 3. El área de la caja será la de las bases más la lateral: r r 5 5 8, ,74 cm a) alcula el volumen de la nave con forma de ortoedro que se muestra en la figura m b) Eva tiene dos presupuestos para pintar las paredes y el teco de la nave. Uno de 5 euros el metro cuadrado y otro en el que el total asciende a 900 euros. uál de los dos es más económico? a) V ase 5 (5 tg 37) ,39 m 3 b) La superficie que debe pintar es: ase Lateral (5 10) 5 5 tg tg 37 13,03 m, por lo que si paga el metro cuadrado de pintura a 5 euros, el precio asciende a 13, ,16 euros. Es más económico el segundo presupuesto. 10 m 40

10 8.34 Halla el volumen de un globo terráqueo como el de la figura. 34 cm omo O y O son radios de la esfera, el ángulo O mide 45. Por tanto, O 34 cos cm 4,04 cm. El volumen de la esfera será: V 4 3 r 58 10,35 cm En la figura se puede observar la biblioteca del nuevo centro cultural. Tiene forma de pirámide y su base es un eptágono regular de 3 metros de lado. alcula el volumen de la nueva biblioteca. El eptágono lo podemos dividir en 7 triángulos isósceles como el de la figura: 51,4 a 64,86 3 m a 1,5 tan 64,86 3,115 m ase 7 3 3,115 3,707 m 68 O 3 m 1,5 El lado O mide: O 3,457 m, con lo que la altura de la pirámide mide: 3,457 tan 68 8,556 m. cos 6 4,86 Su volumen será: V 3,707 8,556 49,841 m. MTEMÁTIS PLIDS PR PLIR 8.36 Utiliza en cada caso el plano con las densidades de ocupación para calcular el número de asistentes a un evento. 4 personas/m 3 personas/m personas/m a) b) 10 m 15 m 30 m 8 m a) El área del triángulo amarillo es m, y el área sombreada en azul es: m. sistieron al evento personas. b) Para calcular el área del exágono rosa es necesario conocer su apotema, para lo que dividimos el exágono en seis triángulos ,93 isósceles, de forma que la apotema es: a p 6,93 m, y el área: 166,8 m tg 30. Para calcular el área sombreada en azul se procede del mismo modo, solo que en este caso salen 8 triángulos isósceles, 4 por lo que la apotema será: a p 9,66 m, y el área: 8 8 9,66 166,8 14,84 m tg,5. sistieron al evento 166,8 4 14, personas. 41

11 TIVIDDES FINLES 8.37 PR PRTIR Y PLIR En un triángulo rectángulo, un cateto mide 9 centímetros, y la ipotenusa, 14. uánto mide el otro cateto? Por el teorema de Pitágoras, el cateto medirá: 14 9 x 14 9 x x ,7 cm alcula la medida de los catetos de un triángulo rectángulo isósceles si la ipotenusa mide 10 centímetros. 0 x x 50 7,07 cm Por el teorema de Pitágoras, los catetos medirán: 10 x x 1 Dado el siguiente triángulo rectángulo : 6,6 cm 30,7 cm a) alcula el lado desconocido. Qué resultado as utilizado? b) plica las razones trigonométricas para allar los ángulos agudos p y p. a) plicando el teorema de Pitágoras: c 30,7 6,6 9,98 cm. 6,6 b) cos p 0,15 p ,7 p Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. a) b) , cm 4,5 cm a) p b) p , 5 7,5 cm tg 31 3, tg (0 7 34) 1,17 cm 4,5 7,5 8,75 cm 1,17 + 3, 3,41 cm 8.41 alcula la altura de la cometa con la que está jugando ntonio. 35 sen 53 7,95 m 8.4 alcula el valor del ángulo p del triángulo de la figura si sabemos que tiene un área de 5,17 cm. Se divide el triángulo en dos triángulos rectángulos y calculamos la altura a partir del área: 9 cm 51,17 cm b 51,17 = 6,0 cm b cm sen p 6, 0 0,668v p

12 8.43 Expresa la altura y el área de un triángulo equilátero en función del lado l. a) Utilizando únicamente el teorema de Pitágoras. b) Utilizando únicamente trigonometría. Se divide el triángulo equilátero en dos triángulos rectángulos: a) La altura mide: l l 3 l. l 60 l l Su área será: 1 3 l l 3 l 4 b) La altura mide: l sen 60 l 3. El área será: 1 l sen 60 l Un equipo de baloncesto a repartido banderines como el de la figura para que los socios animen durante el partido. alcula el área de cada banderín. La altura del romboide es: 30 sen 4 0,07 cm, con lo que su área es: b 50 0, ,5 cm El paralelogramo de la figura tiene un área de 37,7 cm. alcula el valor de sus ángulos. b b 37,7 4,715 cm 8 5 cm 37,7 cm sen 4,7 15 0, α 8 cm β a) Dibuja en tu cuaderno un triángulo isósceles de 4 centímetros de base y cuyos lados iguales midan 6 centímetros cada uno. b) alcula el área del triángulo que as dibujado. a) b) Para allar el área triángulo isósceles, primero ay que calcular su altura: 1) ) 6 cm 6 cm 4 cm 6 5,66 cm. b 4 5,66 11,31 cm b 8.47 Halla el área del siguiente trapecio rectángulo. 6 cm 45 8 cm D Se divide el trapecio en un rectángulo y un triángulo rectángulo. La altura del trapecio es: (8 6) tg 45 cm. Área del rectángulo: r 6 1 cm. Área del triángulo: t cm Por tanto, el área del trapecio es 1 14 cm. 43

13 8.48 La base del prisma de la figura es un triángulo equilátero de metros de lado. alcula su área lateral y su volumen. alculemos el área de la base: ase 1 sen m. Su altura será: tg 3 1,5 m. 3 m Su volumen es: V ase 3 1,5,16 m 3. Área lateral 3 1,5 3,75 m 8.49 Se a construido un centro comercial con forma de pirámide cuya base es un paralelogramo. alcula el volumen del centro comercial teniendo en cuenta los datos de la figura. Área de la base: m m ase sen ,09 m ltura de la pirámide: 100 tg 40 83,91 m Por tanto, su volumen es: V 4 04,0 9 83, ,5 m 3 3 PR REFORZR 8.50 Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo mide uánto mide el otro ángulo agudo? Será su complementario, es decir, Los catetos de un triángulo rectángulo miden 3 y 10 centímetros, respectivamente. alcula la medida de la ipotenusa. plicando el teorema de Pitágoras: = 30 1 = 10,44 cm. 8.5 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. a) b) 3,5 cm 4 11 cm 8 cm a) p b) ,55 cm 8 3,5 tg 4 3,15 cm cos p 0,73 p ,5 4,71 cm p co s Halla el área de las siguientes figuras. a) b) 13 cm 7 10 cm 33 1,3 m D a) 10 sen 7 8,91 cm b) 1,3 tg 33 0,84 m Área 13 8,91 57,91 cm Área 1,3 0,84 1,09 m 44

14 8.54 alcula el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) b) 10 m 7 m 51 8 cm a) Área de la base: b) Área de la base: ase 10 0 m ase 4 50,6 cm ltura del prisma: 10 tg 7 5,1 m ltura del cilindro: 8 tg 51 9,88 cm Por tanto, su volumen es: Por tanto, su volumen es: V 0 5,1 101,9 m 3 V 50,6 9,88 496,57 cm alcula el perímetro y el área del parque infantil con forma circular de la figura. 11 El diámetro del parque es: d 1,7 m; por tanto, su radio es: r 6,35 m. cos 30 P 6,35 39,9 m (6,35) 16,68 m 8.56 El tablero de un juego de mesa tiene forma de octógono regular de 30 centímetros de lado. alcula su área. Para calcular el área del octógono ay que calcular la apotema, para lo que se divide en 8 triángulos isósceles como el de la figura: 15 a 36,1 cm tg,5 El área del octógono será: ,1,5 4345,58 cm. a 30 cm PR MPLIR 8.57 omprueba que en un exágono regular, el radio de la circunferencia circunscrita coincide con la longitud del lado. O 60 r 60 l r El exágono lo podemos dividir en seis triángulos isósceles iguales El triángulo es equilátero, es decir, r l, como queríamos probar. 45

15 8.58 onsidera un pentágono regular de 10 centímetros de lado. a) alcula la medida del radio de la circunferencia inscrita. b) uánto mide el radio de la circunferencia circunscrita? c) alcula el área del pentágono. El pentágono se puede dividir en cinco triángulos isósceles iguales como este: a) El radio de la circunferencia inscrita coincide con la apotema: a 5 tg 54 6,88 cm b) El radio de la circunferencia circunscrita coincide con el lado del triángulo: 5 radio 8,507 cm cos 54 c) Área ,88 17,05 cm 7 a 54º 10 cm 8.59 Una empresa comercializa un desodorante formado por un cilindro y media esfera. alcula su volumen con las medidas que se indican en la figura. El volumen será la suma del volumen del cilindro y el volumen de la semiesfera. El diámetro de ambos cuerpos es: d 14 tg 30 8,08 cm, por lo que el radio es de 4,04 cm. V cilindro r ,38 cm 3 V semiesfera r 3 138,1 cm 3 V V cilindro V semiesfera 856,5 cm Diego, que está situado al oeste de una emisora de radio, observa que su ángulo de elevación es de 45. amina 50 metros acia el sur y comprueba que el ángulo de elevación es aora de 30. alcula la altura de la antena. En el esquema se pueden ver tres triángulos rectángulos. Diego 45 x 50 m y 30 La altura se obtiene a partir de dos de ellos: x tg 45 x tg 45 y tg 30 y tg 30 Si se aplica el teorema de Pitágoras al otro triángulo, se obtiene una relación para x e y: y 50 x tg 30º 50 tg 45º ,35 m 46

16 8.61 Una escalera está apoyada sobre la pared formando un ángulo sobre la orizontal de 47. Si la apoyamos un metro más cerca de la pared, el ángulo que forma con la orizontal es de 64. uál es la longitud de la escalera? Si x es la longitud de la escalera, que coincide con la ipotenusa de los dos triángulos rectángulos, y d la distancia inicial a la pared, se tiene: cos 47 d x d x cos 47 cos 64 d 1 d x cos 64 1 x m x cos 47 x cos 64 1 x cos 47 x cos ,44x 1 x 4,1 m 8.6 Desde una cierta distancia se ve un edificio con un ángulo de 68. on qué ángulo se verá el mismo edificio si nos alejamos de manera que estemos al doble de distancia? Si es la altura del edificio y x la distancia, se tiene que tg 68 x y la tangente del ángulo pedido es tg. x Despejando de la primera ecuación y sustituyendo en la segunda, se llega a: tg x t g 68 x tg 68 1, PR INTERPRETR Y RESOLVER 8.63 nimales en un cubo Juan tiene una caja de cartón con forma de cubo. Dentro a metido una araña, una mosca y una libélula; por fuera a puesto una ormiga. Observa en el dibujo dónde a situado cada animal. a) alcula la distancia menor que deberán recorrer la araña y la libélula para llegar asta donde se encuentra la mosca. b) alcula la longitud del camino más corto que debe recorrer la ormiga por el exterior de la caja para llegar al vértice E. c) Describe el camino que debe seguir la ormiga en función del ángulo que forma con la arista D. a) La araña debe recorrer la diagonal de la base para llegar a la mosca: d ,43 cm La libélula tendrá que recorrer la diagonal del cubo para llegar a la mosca: D 4, ,96 cm b) La ormiga deberá ir desde el vértice a la mitad del lado DH, y de aquí al vértice E: l ,08 cm c) El ángulo que forma con la arista D es: tg El camino que recorre es: l ,08 cm. El mismo resultado que se obtuvo en el cos cos( ) apartado anterior. 47

17 8.64 Para medir la lluvia Marina quiere medir la cantidad de agua que a caído en las últimas lluvias. Para ello a utilizado el recipiente con forma de tronco de cono que muestra la figura, en la que el ángulo señalado mide: 38. a) alcula el valor del radio r de la circunferencia superior del recipiente. b) Las marcas del recipiente están a la misma distancia unas de otras. Se necesita la misma cantidad de lluvia para pasar de unas a otras? c) alcula la distancia que separa dos marcas consecutivas del recipiente. d) alcula el volumen del recipiente. e) alcula la capacidad del recipiente en litros. a) partir del triángulo que se puede ver en la figura, el radio superior es: tg r r tg (11 19) 19,99 cm 50 b) No. uanto más arriba, se necesitará menor cantidad de líquido para pasar de una marca a otra. c) El lado del cono l mide: l (30 19,99) 50 50,99 cm. omo ay 10 marcas sobre el lado, la distancia entre ellas será de 5,099 cm. α 50 cm α r 30 cm d) El volumen se calcula restando al cono entero el cono pequeño. El volumen del cono entero es: V ,61 cm tg(11 19) 3 El volumen del cono superior es: V , 99 19, ,9 cm tg( 11 19) 3 50 cm r α_ l El volumen del tronco de cono es: 141 4, , ,69 cm 3 e) Un cm 3 equivale a un ml, por lo que el volumen del recipiente es de 99,46 litros aproximadamente. 30 cm UTOEVLUIÓN 8.1 Resuelve los siguientes triángulos rectángulos. a) b) 11 cm 54 6 cm 6 cm a) , cm cos p b) 6 tg 54 8,6 cm 6 0,54v p ,1 cm cos 54 p p Observa el dibujo. a) Julio mide 1,60 m. Qué altura alcanza la bandera? b) alcula a qué distancia se encuentra laudia del pie de la bandera. a) 1,60 4 tg 31 4 m b) d 4 tg 31 5,15 m tg 5 48

18 8.3 Javier sale de trabajar de un edificio de oficinas, se aleja 40 metros, se gira y observa el edificio con un ángulo de elevación de 76. a) Representa gráficamente la situación. b) alcula la altura del edificio. c) uánto más debería alejarse Javier para observar el edificio con un ángulo de elevación de 50? a) b) 40 tg ,43 m m c) La distancia entre Javier y el edificio deberá ser: x d 40 tg ,6 m, por lo que tendrá tg 50 tg 50 que alejarse 134, ,6 m más. 8.4 Las dos ramas de un compás tienen 10 centímetros de longitud. alcula el radio de la circunferencia que se puede trazar cuando se abren formando un ángulo de cm 50º r 10 sen 5 8,45 cm r 8.5 Observa el mapa; el tesoro se encuentra en algún punto del interior del triángulo. Qué superficie deberán rastrear los piratas para encontrarlo? Para determinar el área, primero se calcula la altura del triángulo: sen 5 0,845 km La superficie que deben rastrear es: b,5 0,845 1,056 km 8.6 alcula el área y el volumen del ortoedro de la figura. Para calcular la altura del ortoedro se necesita conocer la diagonal de la base: d 0 9 1,93 cm, de forma que la altura es: 0 cm 33 9 cm 1,93 tg 33 14,4 cm El área será la suma de las áreas de las bases y las áreas laterales: base lateral ,4 9 14,4 1185,9 cm El volumen del ortoedro será: V base ,4 563, cm 3 ENTRETENIDO onstrucciones con palillos Observa esta construcción: está formada por 7 palillos iguales y en ella podemos ver 3 triángulos equiláteros. Serías capaz de formar otra construcción en la que aparezcan 4 triángulos equiláteros y en la que emplees solamente 6 palillos iguales? El bloqueo que surge a la ora de resolver este problema es que nos limitamos al plano. Has probado a pasar al espacio? En el espacio la solución es inmediata: los 6 palillos corresponden a las 6 aristas de un tetraedro regular. 49