BLOQUE III Geometría

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1 LOQUE III Geometría 7. Semejanza 8. Geometría analítica

2 7 Semejanza 1. Teorema de Tales Si una persona que mide 1,70 m proyecta una sombra de 3,40 m y el mismo día, a la misma ora y en el mismo lugar la sombra de un árbol mide 15 m, cuánto mide de alto el árbol? Se observa que el objeto mide la mitad que la sombra; por tanto, el árbol mide 15 : = 7,5 m P I E N S Y L U L 1 Sabiendo que en el siguiente dibujo = 18 cm, = 4 cm y = 15 cm, alla la longitud del segmento. Qué teorema as aplicado? a b c r s ' ' ' r = 8 : 4 = c = 3 = 6 cm ' P L I L T E O R Í = 0 cm emos aplicado el teorema de Tales. Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4 cm y 3 cm. Dibuja otro triángulo rectángulo en posición de Tales de forma que el cateto mayor mida 8 cm. uánto mide el otro cateto? 3 c = 3 cm b = 4 cm Dos ángulos de un triángulo miden 45 y 60 y otros dos ángulos de otro triángulo miden 75 y 60. Son semejantes ambos triángulos? El 3 er ángulo del 1 er triángulo mide: 180 ( ) = = 75 Es decir, los ángulos del 1 er triángulo miden: 45, 60 y 75 ' 190 SOLUIONRIO

3 El 3 er ángulo del º triángulo mide: 180 ( ) = = 45 Es decir, los ángulos del º triángulo miden: 45, 60 y 75 omo los dos triángulos tienen sus ángulos iguales, son semejantes. 4 5 Los dos triángulos del siguiente dibujo son semejantes. alla cuánto miden a y c a =,5 cm c = 3 cm b = cm r = b : b r = 3 : = 1,5 a = 1,5,5 = 3,75 cm c = 1,5 3 = 4,5 cm En una foto están na y su madre. Se sabe que na mide en la realidad 1,65 m. En la foto na a' c' b' = 3 cm 6 7 mide 6,6 cm, y su madre, 6,88 cm. uánto mide su madre en la realidad? 6,6 6, x x = 17 cm = 1,7 m Un palo vertical de 1,75 m proyecta una sombra de m. Si la sombra de un edificio el mismo día, en el mismo sitio y a la misma ora mide 4 m, cuánto mide de alto el edificio? 4 1,75 x x = 1 m La superficie de una esfera es de 15 m. alla la superficie de otra esfera en la que el radio mide el triple. S = 3 15 = 135 m. Teorema de Pitágoras uáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a) 3, 4 y 5 b) 6, 7 y 8 c) 6, 8 y 10 d) 5, 1 y 13 a) = 5 b) 6 + 7? 8 c) = 10 d) = 13 Son ternas pitagóricas a), c) y d) P I E N S Y L U L TEM 7. SEMEJNZ 191

4 8 En un triángulo rectángulo la altura relativa a la ipotenusa divide a ésta en dos segmentos de longitudes 1,5 cm y 6 cm. alla la longitud de dica altura y dibuja el triángulo rectángulo. = b c ò = b c = 1,5 6 = 3 cm c = 3 cm P L I L T E O R Í a b = 4,5 cm b = 3 cm c a = b + c ò a = b + c a = 4,5 + 3 = 5,41 cm 9 b' = 1,5 cm c' = 6 cm a En un triángulo rectángulo la ipotenusa mide 10 m y la proyección del cateto b sobre ella mide 3,6 m. alla: a) la longitud del cateto b b) la longitud de la proyección del cateto c sobre la ipotenusa. c) la longitud del cateto c d) la longitud de la altura relativa a la ipotenusa e) Dibuja el triángulo rectángulo. 11 En un triángulo rectángulo la ipotenusa mide 5,5 cm, y un cateto, 4 cm. az el dibujo y alla la longitud del otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales. a = 5,5 cm c a) b = a b ò b = a b b = 10 3,6 = 6 m b) c = a b c = 10 3,6 = 6,4 m c) c = a c ò c = a c c = 10 6,4 = 8 m d) = b c ò = b c = 3,6 6,4 = 4,8 m e) Dibujo a = b + c ò c = a b c = 5,5 4 = 3,77 cm 1 Dibuja la interpretación gráfica del teorema de Pitágoras en el caso en que los lados midan 6, 8 y 10 cm b = 4 cm 10 8 b = 6 cm = 4,8 cm c = 8 cm b' = 3,6 cm c' = 6,4 cm a = 10 cm En un triángulo rectángulo los catetos miden 4,5 cm y 3 cm. az el dibujo y alla la longitud de la ipotenusa. Redondea el resultado a dos decimales = 10 ò = SOLUIONRIO

5 13 uáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a), 3 y 4 b) 3, 4 y 5 c) 4, 5 y 6 d) 5, 1 y 13 a) + 3? 4 ò No b) = 5 ò Sí c) 4 + 5? 6 ò No d) = 13 ò Sí 14 En una pirámide cuadrangular la arista de la base mide 3 cm, y la altura, 4 cm. alcula el área lateral de dica pirámide. Redondea el resultado a dos decimales. = 1,5 + 4 = 4,7 cm 3 4,7 L = 4 = 5,6 cm 15 alcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden 8 m, 4 m y 3 m D 3 m 4 m 4 cm 3 cm 4 cm 1,5 cm 8 m plicando el teorema de Pitágoras en el espacio: D = D = 9,43 m 3. Planos, mapas y maquetas Si un plano tiene de escala 1:100 y un mapa 1: , qué escala es mayor? P I E N S Y L U L 1:100 = 0,01 1: = 0, Es mayor la primera 1: Un dormitorio mide en la realidad 5 m de largo y en el plano mide cm. alla la escala del plano. cm : 5 m = cm : 500 cm = 1:50 17 Dadas dos escalas 1:00 y 1:0 000 a) uál es mayor? b) uál corresponde a un plano? P L I L T E O R Í c) uál corresponde a un mapa? a) Es mayor 1:00 b) 1:00 > 1: orresponde a un plano. c) 1:0 000 < 1:1 000 orresponde a un mapa. TEM 7. SEMEJNZ 193

6 18 Un terreno tiene forma rectangular y mide de largo 1 km. Se dibuja un rectángulo semejante de 6 cm de longitud. a) alla la escala. b) El dibujo del terreno es un plano o un mapa? a) Escala 6 cm : 1 km = 6 cm : = = 1: b) omo 1: < 1: es un mapa. 19 En el plano de la página de la izquierda, el salón mide 3 cm Ò,5 cm. alcula en la realidad sus dimensiones y el área. Dimensiones 3 00 = 600 cm = 6 m,5 00 = 500 cm = 5 m Área = 6 5 = 30 m 0 1 Midiendo con la regla en el mapa de la parte superior. alcula la distancia que ay en línea recta de: a) arcelona a La oruña. b) ilbao a ádiz. c) uelva a Oviedo. d) Valencia a Madrid. a) 3, = cm = 85 km b) 3, = cm = 800 km c), = cm = 700 km d) 1, = cm = 300 km alla la altura del yate de la parte superior. ltura:, 300 = 660 cm = 6,6 m 194 SOLUIONRIO

7 Ejercicios y problemas 1. Teorema de Tales Sabiendo que = 7,5 cm, = 10 cm y = 1 cm, alla la longitud del segmento. Qué teorema as aplicado? a r s ' a b a b 15 x 6 9 x =,5 cm b c ' ' 5 Un árbol de 1,6 m proyecta una sombra de 1, m. En el mismo sitio, el mismo día y a la misma ora, la sombra de una antena de telefonía móvil mide 5 m. uánto mide de alto la antena de telefonía móvil? 1 7,5 10 = 9 cm emos aplicado el teorema de Tales. 1, 5 1,6 x x = 69,33 cm 6 El volumen de una esfera es de 7,5 cm 3. alla el volumen de otra esfera en la que el radio mide el doble. 3 Sabiendo que = 3 m, = 6 m y = 4,5 m, alla la longitud del lado. ómo están los triángulos y? ' V = 3 7,5 = 60 cm 3 3 m 4,5 m 6 m ' 4,5 3 6 = 9 cm Los triángulos y están en posición de Tales.. Teorema de Pitágoras 7 En un triángulo rectángulo la ipotenusa mide 7,5 cm, y uno de los segmentos en que la divide la altura correspondiente mide 6 cm. Dibuja el triángulo rectángulo y alla la longitud de dica altura. b b' = 6 cm a = 7,5 cm c 4 Un ángulo de un triángulo mide 53 y los lados que lo forman miden a = 6 cm y b = 9 cm. En otro triángulo semejante se sabe que un ángulo mide 53 y que uno de los lados que lo forman mide a = 15 cm. uánto mide el otro lado del ángulo de 53? = b c b = 6 cm c = a b = 7,5 6 = 1,5 cm = 6 1,5 = 9 = 3 cm TEM 7. SEMEJNZ 195

8 Ejercicios y problemas 8 En un triángulo rectángulo la altura relativa a la ipotenusa divide a ésta en dos segmentos que miden b = 3 cm y c = 18 cm. alla: a) el cateto b b) el cateto c a) b = a b a = b + c = = 50 cm b = 50 3 b = 40 cm b) c = a c c = c = 30 cm b b' = 3 cm c c' = 18 cm a = 4 cm c b = 3,5 cm a = b + c ò c = a b c = 4 3,5 = 1,94 cm 31 uáles de las siguientes ternas son pitagóricas? a) 5, 7 y 9 b) 6, 8 y 10 c) 7, 9 y 11 d)10, 4 y 6 a) 5 + 7? 9 ò No b) = 10 ò Sí c) 7 + 9? 11 ò No d) = 6 ò Sí 9 En un triángulo rectángulo los catetos miden 4 cm y 3 cm. az el dibujo y alla la longitud de la ipotenusa y el área del triángulo rectángulo. 3 Dibuja un cuadrado de 4 cm de lado y su diagonal. alla la longitud de la diagonal. Redondea el resultado a un decimal y comprueba el resultado midiendo con una regla. c = 3 cm a d 4 cm a = b + c ò a = b + c a = = 5 cm 4 3 Área = = 6 cm b = 4 cm d = d = 5,7 cm 4 cm 30 En un triángulo rectángulo la ipotenusa mide 4 cm, y un cateto, 3,5 cm. az el dibujo y alla la longitud del otro cateto. Redondea el resultado a dos decimales. 33 Del siguiente cono se sabe que el radio de la base mide 3 cm y la generatriz mide 5 cm. alcula el volumen de dico cono. Redondea el resultado a dos decimales. 196 SOLUIONRIO

9 Se aplica el teorema de Pitágoras para allar la altura R + = G ò = G R = 5 3 = 4 cm V = 1 V = π 3 4 = 37,70 cm 3 34 alcula la diagonal de un ortoedro cuyas aristas miden 7,5 cm, 4,5 cm y 3,6 cm G = 5 cm R = 3 cm G = 5 cm R = 3 cm b) 1:300 > 1: orresponde a un plano. c) 1: < 1:1 000 orresponde a un mapa Un terreno tiene forma triangular y uno de los lados mide de 500 m. Se dibuja un triángulo semejante y el lado correspondiente mide,5 cm de longitud. a) alla la escala. b) El dibujo del terreno es un plano o un mapa? a) Escala,5 cm : 500 m =,5 cm : cm = = 1:0 000 b) omo 1:0000 < 1:10000 es un mapa. Midiendo con la regla en el mapa siguiente, calcula la distancia que ay en línea recta de: a) Madrid a ruselas. b) Madrid a Roma. c) Londres a Roma. d) Londres a París. 3,6 cm D 4,5 cm 7,5 cm plicando el teorema de Pitágoras en el espacio: D = 7,5 + 4,5 + 3,5 D = 9,4 cm DINMR REINO IRLND UNIDO PÍSES LONDRES JOS ÉLGI RUSELS LEMNI PRÍS LUXEMURGO FRNI USTRI ESPÑ PORTUGL MDRID Escala 1: ITLI ROM GREI 3. Planos, mapas y maquetas 35 Un pasillo de una casa mide en la realidad 10 m de largo y en el plano mide 4 cm. alla la escala del plano. 4 cm : 10 m = 4 cm : cm = 1:50 36 Dadas dos escalas 1:300 y 1: a) uál es mayor? b) uál corresponde a un plano? c) uál corresponde a un mapa? a) Es mayor 1:300 a), = cm = 400 km b), = cm = 400 km c), = cm = 500 km d) 0, = cm = 700 km 39 Las dimensiones de una maqueta de un avión a escala 1:50 son: longitud 50 cm y envergadura 45 cm. alcula sus dimensiones en la realidad. Dimensiones = 500 cm = 5 m = 500 cm =,5 m TEM 7. SEMEJNZ 197

10 Ejercicios y problemas Para ampliar 40 Se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles, como se indica en la siguiente figura: 4 Los lados de un triángulo miden a = 5 cm, b = 7,5 cm y c = 9 cm. alla la medida de los lados a, b y c de un triángulo semejante en el que r = 1,5 Sabiendo que la base del triángulo es = 6 cm, y la altura, = 9 cm, y que la altura del rectángulo es = 4 cm, alla cuánto mide la base del rectángulo. a = 1,5 a a = 1,5 5 = 7,5 cm b = 1,5 b b = 1,5 7,5 = 11,5 cm c = 1,5 c c = 1,5 9 = 13,5 cm = 4 cm ' = 9 cm 43 Un palo de un metro de longitud colocado verticalmente proyecta una sombra de un metro. Si el mismo día, a la misma ora y en el mismo lugar la sombra de la pirámide Kefrén mide 136 m, calcula mentalmente lo que mide de alto la pirámide de Kefrén. Los triángulos y son semejantes. x x = 1,33 cm ase del rectángulo: (3 1,33) = 3,34 cm 41 Dibuja dos triángulos equiláteros distintos. Razona si son semejantes. x ' 3 cm Sí son semejantes, porque los ángulos de uno son iguales a los ángulos del otro. La pirámide de Kefrén mide lo mismo que la sombra, es decir, 136 m El radio de una circunferencia mide x metros, y el radio de otra circunferencia es el triple. alcula cuántas veces es mayor la longitud de la segunda circunferencia y el área del círculo correspondiente. Longitud: L = 3 L L = 3L La longitud es el triple. Área: = 3 = 9 El área es nueve veces mayor. lasifica los siguientes triángulos en acutángulos, rectángulos y obtusángulos: a) a = 1 cm, b = 1,5 cm, c = cm b) a = 1,5 cm, b = cm, c =,5 cm 198 SOLUIONRIO

11 c) a = cm, b =,5 cm, c = 3 cm d) a =,5 cm, b = 6 cm, c = 6,5 cm a) 1 + 1,5 = 3,5 < = 4 ò Obtusángulo. b) 1,5 + =,5 ò Rectángulo. c) +,5 = 10,5 > 3 = 9 ò cutángulo. d),5 + 6 = 6,5 ò Rectángulo. 48 Midiendo en el siguiente mapa de España calcula: a) La máxima longitud que ay en línea recta desde el Norte al Sur. b) La máxima longitud que ay en línea recta desde el Oeste al Este. 46 alla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente exágono: R 47 R a = 7 m alcula la diagonal de un ortoedro cuyas dimensiones son 3,5 cm, 1,5 cm y,5 cm En el exágono coincide la longitud del lado y del radio de la circunferencia circunscrita; por tanto, R = 7 m D a = 7 m,5 cm 49 Escala 1: a) 3, = cm = 850 km b) 4, = cm = km Las dimensiones de una maqueta de un camión a escala 1:60 son 15 Ò 3,5 Ò 6 cm. alcula sus dimensiones en la realidad. Dimensiones = 900 cm = 9 m 3,5 60 = 10 cm =,1 m 6 60 = 360 cm = 3,6 m 1,5 cm 3,5 cm Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D = 3,5 + 1,5 +,5 D = 4,56 cm 50 Un dormitorio de un plano tiene una superficie de 3 cm. Si el plano está a escala 1:00, calcula la superficie del dormitorio en la realidad. Superficie: 3 cm 00 = cm = 1 m TEM 7. SEMEJNZ 199

12 Ejercicios y problemas Problemas 51 Dado el siguiente dibujo, calcula la medida de la altura del cono grande. 0,5 x = 3,5 m r = 1,5 m,75 R =,5 m R,5 ò r 1,5 3,5 = 5,4 m 5 Los lados de un triángulo miden a = cm, b =,5 cm y c = 3,5 cm. Sabiendo que en otro triángulo semejante a = 5 cm, alla la medida de los lados b y c Razón de semejanza: a r = a 5 r = =,5 b =,5,5 = 6,5 cm c =,5 3,5 = 8,75 cm El triángulo dibujado es rectángulo en porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180 / = 90 plicando el teorema de la altura: x =,75 0,5 x = 0,83 cm ase del rectángulo: x = 0,83 = 1,66 cm 54 En un triángulo rectángulo la altura relativa a la ipotenusa divide a ésta en dos segmentos que miden b = 18 cm y c = 3 cm. alla: a) la longitud de la ipotenusa a b) la longitud de la altura relativa a la ipotenusa. c) el cateto b d) el cateto c e) el área de dico triángulo rectángulo. c b 53 Se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia, como se indica en la siguiente figura: c' = 3 cm a b' = 18 cm a) a = b + c a = = 50 cm Sabiendo que el radio de la circunferencia es R = 1,5 cm y que la altura del rectángulo es =,5 cm, alla cuánto mide la base del rectángulo. b) = b c ò = b c = 18 3 = 4 cm c) b = a b ò b = a b b = = 30 cm d) c = a c ò c = a c c = 50 3 = 40 cm 00 SOLUIONRIO

13 e) Área = b c 3 cm 1 Área = = 600 cm a 6,4 cm 55 Un rectángulo mide 400 m de perímetro y 500 m de área. alla el área de otro rectángulo semejante que mide m de perímetro. P r = P r = =,5 400 = r =,5 500 = m a + 4 = 6,4 a = 5,00 cm Área = 5 = 5 cm 59 alla el área de un exágono regular de 15 m de lado. Redondea el resultado a dos decimales. 7 cm 56 alla la altura de un triángulo equilátero de 7 m de lado. Redondea el resultado a dos decimales. a 7,5 m 15 m 15 m 7 m a + 7,5 = 15 a = 1,99 = 13,00 m 6 15 Área = 13 = 585 cm + 3,5 = 7 3,5 m 60 alla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente cuadrado: = 6,06 m R 57 alla el área del siguiente romboide: a = 5 cm 5 cm a cm 6 cm 5 cm D a + = 5 a = 4,58 cm Área: 8 4,58 = 36,64 cm 58 alla el área del siguiente trapecio rectángulo: D = D = 7,07 cm R = D/ = 3,54 cm 5 cm TEM 7. SEMEJNZ 01

14 Ejercicios y problemas 61 Una antena de radio proyecta una sombra de 57 m. El mismo día, a la misma ora y en el mismo lugar, Sonia, que mide 1,75 m, proyecta una sombra de,0 m. alcula la altura de la antena de radio. 64 Dibuja una pirámide regular cuadrangular en la que la arista de la base mide 5 cm y la apotema mide 6,5 cm. alcula su volumen.,0 57 ò x = 45,34 m 1,75 x 6,5 cm 6 alla el volumen de un cono recto en el que el radio de la base mide 5 m y la generatriz mide 9 m. Redondea el resultado a dos decimales. G = 9 m 5 cm Se aplica el teorema de Pitágoras: +,5 = 6,5 = 6 cm 1 V = 3 1 V = 5 6 = 50 cm 3,5 cm R = 5 m + 5 = 9 = 7,48 m 1 V = 3 1 V = π 5 7,48 = 195,83 m Dibuja un cono recto en el que el radio de la base mide 3 cm y la generatriz mide 7,5 cm. alla su altura. 63 alcula la diagonal de una abitación cuyas dimensiones son 6 m Ò 4 m Ò 3 m G = 7,5 cm 3 cm 3 cm 3 m D 4 m 6 m Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D = ò D = 7,81 m Se aplica el teorema de Pitágoras: + 3 = 7,5 = 6,87 cm 66 alcula la diagonal de un prisma recto cuadrangular cuya base tiene 8 cm de arista y 0 cm de altura. 0 SOLUIONRIO

15 D 0 cm Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio: D = D =,98 cm Sabiendo que el radio de la esfera es R = 9 cm y que la altura del cono es = 14 cm, alla cuánto mide el radio de la base del cono. aciendo una sección se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia. 8 cm 8 cm 14 cm 67 Se tiene un cilindro inscrito en un cono, como se indica en la siguiente figura: r Sabiendo que la altura del cono es = 4 cm, el radio del cono es R = 10 cm, y que el radio del cilindro mide r = 4 cm, alla cuánto mide la altura del cilindro. R El triángulo dibujado es rectángulo en porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180 / = 90 plicando el teorema de la altura: r = 14 4 = 56 ò r = 7,48 cm 69 alla el radio de la base de un cono recto en el que la altura mide 6 m, y la generatriz, 6,5 m r 4 cm r aciendo una sección se tiene un rectángulo inscrito en un triángulo isósceles. = 4 cm r = 4 cm 6 cm ' 10 cm Los triángulos y son semejantes. 6 ò ò x = 14,4 cm 10 4 ' = 6 m R Se aplica el teorema de Pitágoras: R + 6 = 6,5 R =,5 m R G = 6,5 m 68 Se tiene un cono inscrito en una esfera, como se indica en la siguiente figura: r 70 alcula el área del siguiente tronco de pirámide: 4 m 1 m 78 m = 4 m 1 m 18 m 39 m = 4 m 18 m TEM 7. SEMEJNZ 03

16 Ejercicios y problemas Se aplica el teorema de Pitágoras: = = 30 m 1 = 78 = m = 4 = m L = 4 30 = 7 00 m T = = m 71 En el plano siguiente: órdoba Jaén uelva Sevilla Granada lmería Málaga ádiz Escala 1: alcula la distancia que ay en línea recta entre: a) uelva y lmería. b) ádiz y Jaén. c) Sevilla y Málaga. d) Granada y órdoba. Dormitorio Dormitorio 1 Salón uarto de baño ocina a) = cm = 480 km b) 3, = cm = 304 km c), = cm = 184 km d) 1, = cm = 15 km Escala 1:00 alcula la superficie: a) Del salón. b) De la cocina. c) Del cuarto de baño d) Del dormitorio 1 e) Del dormitorio 73 Las dimensiones de una maqueta de un campo de fútbol a escala 1:500 son 80 Ò 40 Ò 8 cm. alcula sus dimensiones en la realidad = cm = 400 m = cm = 00 m = cm = 40 m a) 4 1,5 = 6 cm 6 cm 00 = cm = 4 m b),1 = 4, cm 4, cm 00 = cm = 16,8 m c) 1,5 = 3 cm 3 cm 00 = cm = 1 m d),1 0,7 0,4 = 3,9 cm 3,9 cm 00 = cm = 15,68 m e) 3 1,9 0,4 1 = 5,3 cm 5,3 cm 00 = cm = 1,0 m 7 En el siguiente mapa de ndalucía: Para profundizar 74 Se tiene un triángulo isósceles inscrito en una circunferencia, como se indica en la siguiente figura: Sabiendo que el diámetro de la circunferencia es D = 7 cm y que la altura del triángulo es = 6 cm, alla cuánto mide la base del triángulo isósceles. 04 SOLUIONRIO

17 sigue verificando la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. 6 cm 1 cm x a = 10 cm b = 8 cm c = 6 cm El triángulo dibujado es rectángulo en porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180 / = 90 plicando el teorema de la altura: x = 6 1 x =,45 cm ase del triángulo: x =,45 = 4,90 cm 75 alla el radio de la circunferencia circunscrita al siguiente triángulo equilátero. Área del semicírculo de radio a = 10 cm 1 = π 10 / = 157,08 cm Área del semicírculo de radio b = 8 cm = π 8 / = 100,53 cm Área del semicírculo de radio c = 6 cm 3 = π 6 / = 56,55 cm + 3 = 100, ,55 = 157,08 cm Vemos que se sigue verificando la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras. R a = 8 cm 77 Se tiene un cilindro inscrito en una esfera. Sabiendo que el radio de la esfera es R = 4 cm y la altura del cilindro es = 5 cm, alla cuánto mide el radio de la base del cilindro. R a = 8 cm 4 cm aciendo una sección se tiene un rectángulo inscrito en una circunferencia. r 1,5 r + 4 = 8 = 6,93 cm El radio es los /3 de la altura por una propiedad de las medianas de un triángulo. R = 6,93 = 4,6 cm 3 76 Se tiene un triángulo rectángulo cuyos lados miden a = 10 cm, b = 8 cm y c = 6 cm. En la interpretación geométrica del teorema de Pitágoras, cambia el cuadrado por un semicírculo. alcula el área de los tres semicírculos y comprueba si se 6,5 El triángulo dibujado es rectángulo en porque un lado es un diámetro y el ángulo opuesto está inscrito en una circunferencia y vale la mitad del central correspondiente: 180 / = 90 plicando el teorema de la altura: r = 6,5 1,5 = 9,75 r = 3,1 cm TEM 7. SEMEJNZ 05

18 Ejercicios y problemas 78 alcula la altura de un tetraedro de arista 6 cm 79 El radio de la base de un cono mide 3 cm y la altura mide 8 m. Se corta por un plano paralelo a la base a m de la misma. Qué radio tendrá la circunferencia que emos obtenido en el corte? 6 cm x En primer lugar tenemos que allar la altura del triángulo equilátero de la base, para poder allar posteriormente x = 8 m = 6 m r ' r ' x 6 cm 6 cm R R = 3 m 3 cm 3 cm Se aplica el teorema de Pitágoras: + 3 = 6 = 5,0 cm Por la propiedad de las medianas de un triángulo, éstas se cortan en un punto que está a /3 del vértice. Se tiene: x = 3 x = 5,0 = 3,47 cm 3 Se obtiene otro triángulo rectángulo formado por x, y una arista: Los triángulos y son semejantes porque tienen los ángulos iguales; por tanto, los lados son proporcionales: 6 r 8 3 r =,5 m 6 cm x = 3,47 cm Se aplica el teorema de Pitágoras: + 3,47 = 6 = 4,89 cm 06 SOLUIONRIO

19 plica tus competencias 80 uál es la inclinación de los rayos del sol si un mástil de m proyecta un sombra sobre el suelo de 1,5 m? 81 Una carretera sube 10 m en 10 m medidos en orizontal. uál es su pendiente? 10 m 10 m Pendiente = = 1,33 1,5 1,5 m m 10 Pendiente = = 0,08 = 8% 10 TEM 7. SEMEJNZ 07

20 omprueba lo que sabes 1 Escribe el enunciado del teorema de Pitágoras y pon un ejemplo de una terna pitagórica. 4 alcula b, c, c y en el triángulo de la figura: El teorema de Pitágoras dice: en un triángulo rectángulo el cuadrado de la ipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos a = b + c Ejemplo de terna pitagórica: 3, 4 y = 5 Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 4,5 cm y 6 cm. Dibuja otro triángulo rectángulo menor en posición de Tales tal que su cateto menor mida 3 cm. alcula la longitud del otro cateto. b = a b ò b = a b b = 10 3,6 = 6 cm c = a b c = 10 3,6 = 6,4 cm c = a c ò c = a c c = 10 6,4 = 8 cm = b c ò = b c = 3,6 6,4 = 4,8 cm b 3,6 cm 10 cm c' c 6 4,5 ò x = 4 cm x 3 x 3 cm 4,5 cm 6 cm 5 Dibuja un triángulo rectángulo en que los catetos sean proporcionales a 3 y 4. uántos triángulos ay con estas condiciones? c = 3 cm 3 Un edificio proyecta una sombra de 0 m. El mismo día, y a la misma ora, un palo de m proyecta una sombra de 1,75 m en el mismo lugar. alcula la altura del edificio. b = 4 cm Existen infinitos triángulos en esas condiciones: = = ,75 ò x =,86 cm x x m 0 m 1,75 m 6 7 En un mapa, 5 cm corresponden a 1 00 km sobre el terreno. alla la escala. Escala: 5:100 = 1:40 alcula el volumen de un cono en el que el radio de la base mide 5 cm y la generatriz mide 13 cm 08 SOLUIONRIO

21 8 Una abitación de un plano mide 4 Ò 3 cm. Si la escala es de 1:15, alla la superficie de la abitación en la realidad. G = 13 cm R = 5 cm Dimensiones: 4 15 = 500 cm = 5 m 3 15 = 375 cm = 3,75 cm Área = 5 3,75 = 18,75 m Se aplica el teorema de Pitágoras: 5 + = 13 = 13 5 = 1 cm 1 V = π 5 1 = 314,16 cm 3 3 TEM 7. SEMEJNZ 09

22 Linux/Windows GeoGebra Paso a paso 8 Dibuja tres puntos Resuelto en el libro del alumnado. 85 omprueba el teorema de Tales. Resuelto en el libro del alumnado. 83 Dibuja una recta a Resuelto en el libro del alumnado. Resuelto en el libro del alumnado. 84 Dibuja dos rectas paralelas, a y b, y una perpendicular, c 86 Internet. bre: y elige Matemáticas, curso y tema. 10 SOLUIONRIO

23 Windows abri Practica 87 Dibuja un triángulo. Resuelto en el libro del alumnado. 89 omprueba el teorema de Pitágoras. Resuelto en el libro del alumnado. 88 Dibuja un cuadrado. Resuelto en el libro del alumnado. TEM 7. SEMEJNZ 11