EJERCICIOS RESUELTOS

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1 PRÁCTICA 6 EJERCICIOS RESUELTOS EJERCICIO El tiempo que se tarda en realizar una tarea se distribuye normalmente con media 45 minutos y desvío estándar 4 minutos. Para disminuir este tiempo medio se establece un programa de entrenamiento. Lo realizaron 5 personas seleccionadas al azar. Completado el entrenamiento, se observó que el tiempo medio muestral para realizar dicha tarea fue de 43 minutos. Se puede considerar que el tiempo medio que emplean las personas en hacer la tarea disminuye luego de realizar el programa de entrenamiento? Use un nivel de significación del 5%. Resolución: Este problema corresponde a una prueba para la media de una población normal con varianza conocida. Para la resolución se presentan tres posibles abordajes. En los tres se tienen en cuenta siete acciones (ver documento Acerca de la Resolución de una Prueba de Hipótesis en la ficha de la cátedra Materiales para la Cursada). Abordaje ) Nombrar la/s variable/s La variable X del problema es: Tiempo en minutos que una persona emplea en realizar la tarea habiendo completado el programa de entrenamiento. Esta variable se observa sobre la población de todas las personas entrenadas, que en esta etapa de la investigación es una población hipotética. La muestra de 5 personas elegidas al azar que completaron el entrenamiento pertenece a dicha población. La media poblacional de X se designa con µ. ) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa H : 45 (la hipótesis nula sostiene que el método de entrenamiento no produce ninguna modificación en el tiempo medio de realización de la tarea, o sea que el entrenamiento no es eficaz) 74

2 H : 45 (la hipótesis alternativa sostiene que el entrenamiento provoca una disminución en el tiempo medio de realización de la tarea, o sea que el entrenamiento es eficaz) Bajo H el entrenamiento no es eficaz. Luego, bajo H la variable X se distribuye como la variable dada sobre las personas no entrenadas, o sea normalmente con la misma media µ= 45 y el mismo desvío estándar = 4. 3) Indicar el nivel de significación: α =,5 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H Para este problema hay dos posibles estadísticos de prueba, uno es la variable Media Muestral X y el otro es la versión estandarizada de X. Con el primero se desarrolla el Abordaje y con el otro el Abordaje. Para el caso que se considere a la variable Media Muestral X como estadístico de prueba. Su distribución resulta, por el Teorema Central del Límite y bajo H, normal con media = 45 y desvío estándar / n 4/ 5 =,8. 5) Realizar cálculos: () obtener el valor observado del estadístico de prueba, () precisar la zona de rechazo o calcular el valor p. () En este caso el valor observado del estadístico de prueba es X obs= 43 () Se opta por precisar la zona de rechazo (en el Abordaje 3 se calcula el valor p). Esta zona se construye bajo la consideración de que la hipótesis nula es verdadera, es decir que, efectivamente 45. Para la construcción de la zona de rechazo son necesarios tres elementos: la hipótesis alternativa, el nivel de significación y la distribución del estadístico de prueba. Como la hipótesis alternativa es 45, la prueba es unilateral a izquierda, cuanto menor sea el tiempo promedio obtenido en la muestra menos se creerá en H. Luego la región crítica está en el lado de los valores menores del estadístico de prueba de manera que le corresponde probabilidad,5 (el nivel de significación). Para obtener el punto crítico es necesario considerar la distribución del estadístico de prueba, bajo H. En este caso X es normal con media 45 y desvío estándar,8. El valor, o punto, crítico x C se obtiene, como en práctica 4, con la función del Excel nombrada DIST.NORM.INV proporcionándole 45 como media,,8 como desvío y,5 como probabilidad. El valor obtenido es x C = 43,684. Luego, la Zona de Rechazo o Región crítica, son los valores del estadístico de prueba X menores que 43,684 Zona de rechazo x C = 43, X 75

3 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si el valor observado del estadístico de prueba pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que 43,684, y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: El valor observado del estadístico de prueba de rechazo porque X obs X obs= 43 < 43,684, luego se rechaza H. 7) Expresar la Conclusión en términos del problema = 43 pertenece a la zona Conclusión: Se rechaza H. Sí, efectivamente, con un nivel del 5% puede considerarse que el tiempo medio que las personas emplean en hacer la tarea disminuye si éstas realizan el programa de entrenamiento. La media de la muestra de las personas entrenadas es significativamente menor que 45 al nivel del 5%. La conclusión puede ampliarse acotando que el tiempo medio 43 obtenido en la muestra no puede ser atribuido a fuentes fortuitas de variación, sino que es atribuible al entrenamiento. Por esta razón, y con un nivel de significación del 5%, puede afirmarse que el entrenamiento ha resultado ser una fuente sistemática de variación para el tiempo necesario que las personas emplean para realizar la tarea. Abordaje Se trabaja con la versión estandarizada de X como estadístico de prueba: X Z, el cual tiene, bajo H, distribución normal estándar. Las respuestas n para las acciones a 3 y la conclusión (acción 7) son idénticas a las del Abordaje. Se presentan a continuación las acciones 4), 5) y 6). 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H 45 El estadístico de prueba es Z X el cual tiene, bajo H, distribución normal 4 5 estándar. 5) Realizar cálculos: () obtener el valor observado del estadístico de prueba, () precisar la zona de rechazo o calcular el valor p. () En este caso el valor observado del estadístico de prueba es: 76

4 Z obs = = 4 5 -,5 () Se opta por precisar la zona de rechazo (en el Abordaje 3 se calcula el valor p). Se reitera el camino planteado en el Abordaje. Son necesarios tres elementos para construir la zona de rechazo: la hipótesis alternativa, el nivel de significación y la distribución del estadístico de prueba. Es una prueba unilateral a izquierda, luego la región crítica está en el lado de los valores menores del estadístico de prueba de manera que le corresponde probabilidad,5 (el nivel de significación). En este caso la distribución del estadístico de prueba es normal estándar. Por tanto, con Excel resulta -,645 = DISTR.NORM.INV(,5;;), o sea Z C = -,645. Statistix también permite encontrar el valor crítico mediante la función inversa de la Función de Distribución en: Statistics Probability Functions Z Inverse (p) donde p es la probabilidad a izquierda. En este caso,5. Así se obtiene el punto crítico Z C = -,645. Luego la Zona de Rechazo son los valores Z menores que -,645. Zona de rechazo Z C = -,645 Z 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si el valor observado del estadístico de prueba pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que -,645, y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: El valor observado del estadístico de prueba de rechazo porque Z obs= -,5< -,645, luego se rechaza H. Z obs= -,5 pertenece a la zona Abordaje 3 Se utiliza el cálculo del valor p en lugar de construir la zona de rechazo. Para las acciones a 5-) y 7, las respuestas son idénticas a las de los otros dos abordajes. A continuación se presentan las acciones 5-) y 6) 5 - ) calcular el valor p. La prueba de hipótesis de este problema es una prueba unilateral a izquierda. Luego el valor p es la probabilidad de los valores del estadístico de prueba menores que el valor observado en la muestra (ver documento Acerca del valor p en la ficha de la cátedra para la Cursada). 77

5 O sea, si se usó el estadístico de prueba X, el valor p = P( X <43), es decir, valor p =,6. De la misma manera si se usó el estadístico de prueba Z, el valor p = P(Z<-,5) =,6. 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si valor p <,5 y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: Como el valor p =,6 <,5 se rechaza H EJERCICIO Para medir la Actitud hacia la justicia en la Argentina, se construyó una escala de actitudes Tipo Thurstone. Lo que se obtuvo fue una escala de desfavorabilidad (Puntajes altos indican alta desfavorabilidad hacia la justicia en la Argentina). Según este estudio, en estudiantes de Derecho, se obtuvieron los siguientes resultados: Suponiendo que la variable sigue una distribución normal Son estos datos consistentes con la hipótesis de que la media es igual a 8? Use un nivel de significación del 5%. (Este problema está basado en: Granero, Gómez, y Carabajal, 998). Resolución: Este problema corresponde a una prueba para la media de una población normal con varianza desconocida. Para resolverlo se proponen dos caminos posibles. Abordaje I haciendo cálculos, similar a los Abordajes y presentados en el Ejercicio anterior, y Abordaje II usando Statistix, similar al Abordaje 3. Abordaje I ) Nombrar la/s variable/s La variable X del problema es: Puntaje en desfavorabilidad hacia la justicia en la Argentina de un estudiante de Derecho. En este caso la población de individuos bajo estudio no es hipotética, es la de todos los estudiantes de Derecho. La población de observaciones sí lo es, pues la prueba solo fue administrada a estudiantes. La media poblacional de X es µ. ) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa H : 8 (la hipótesis nula sostiene que el puntaje medio en desfavorabilidad hacia la justicia en Argentina de todos los estudiantes de Derecho es 8) 78

6 H : 8 (la hipótesis alternativa sostiene que el puntaje medio en desfavorabilidad hacia la justicia en Argentina de todos los estudiantes de Derecho es distinto de 8) Bajo H la variable X se distribuye normalmente con media µ=8 y desvío estándar desconocido. El desvío estándar poblacional σ se estima con el desvío muestral s. Para aplicar el procedimiento de prueba de hipótesis es necesario suponer que la muestra de estudiantes de Derecho fue elegida al azar. 3) Indicar el nivel de significación: α =,5 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H Para las hipótesis planteadas y dado que no se conoce el desvío poblacional, el estadístico de prueba es: t = X μ con n- grados de libertad. s, el cual bajo H n, tiene distribución t de Student Para los datos de este problema el estadístico de prueba es t = X 8, el cual bajo H s, tiene distribución t de Student con 9 grados de libertad. El cociente s es el Error Típico estimado (Error Standard, SE), es una estimación del desvío estándar de la variable Media Muestral X. 5) Realizar cálculos: () obtener el valor observado del estadístico de prueba, () precisar la zona de rechazo o calcular el valor p. () Para obtener el valor observado de t para los valores muestrales es necesario calcular X y s. Los datos de este problema están cargados en el archivo Práctica 6 Ejercicio Resuelto.sx disponible en la Web. Desde el Menú Statistics Summary Statistics Descriptive Statistics pueden obtenerse la media, el desvío estándar y el error típico estimado también. Descriptive Statistics Variable Mean SD SE Mean Desfav Luego el valor observado del estadístico de prueba es t obs = 83,65 8,553 =,4 () Precisar la zona de rechazo Para construir la zona de rechazo son necesarios tres elementos: la hipótesis alternativa, el nivel de significación y la distribución del estadístico de prueba. Dado 79

7 que la prueba es bilateral, la región crítica está partida en dos, de tal forma que a cada subconjunto de valores del estadístico de prueba le corresponde una probabilidad igual a la mitad del nivel de significación, o sea en este caso,5. Por tanto hay dos puntos críticos, uno para delimitar la zona de los valores menores y otro para delimitar la zona de los valores mayores. * Statistix permite encontrar los valores críticos mediante la función inversa de la Función de Distribución en: Statistics Probability Functions T Inverse (p, df) donde p es la probabilidad a izquierda y df son los grados de libertad de la distribución t de Student. Para encontrar el punto crítico que delimita los valores menores hay que indicar p =.5 y df=9, así se obtiene t c =t.5;9 = -.9 Para delimitar los valores mayores hay que indicar p =.975 y df=9, así resulta t c = t.975;9 =.9 * Excel también proporciona los puntos críticos. Mediante la función INV.T.C(probabilidad; grados de libertad) devuelve la abscisa positiva para dos colas de una distribución t de Student. En este caso INV.T.C(,5;9)=,9 Luego la Zona de Rechazo está partida en dos, son los valores de t: menores que -,9 o mayores que,9. 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si el valor observado del estadístico de prueba pertenece a la zona de rechazo, o sea si es menor que -,9 o mayor que,9, y no se rechaza H.en caso contrario. Decisión: El valor observado del estadístico de prueba t obs =,4 pertenece a la zona de rechazo porque t obs =,4 >,9, luego se rechaza H. 7) Expresar la Conclusión en términos del problema Conclusión: Se rechaza H. Luego, al 5%, los datos no son consistentes con la hipótesis de que el puntaje medio en desfavorabilidad hacia la justicia en la Argentina de los estudiantes de Derecho es igual a 8. Según la evidencia muestral, que condujo a rechazar la hipótesis nula, puede afirmarse que el puntaje medio obtenido en la muestra, no solo es significativamente diferente de 8, sino que resultó significativamente mayor que 8. Nota: Dado un nivel de significación α, cuando se rechaza H en una prueba bilateral también se rechaza H, con el mismo nivel α, en la prueba unilateral del lado correspondiente al signo del valor observado del estadístico de prueba. 8

8 Abordaje II Usando el Statistix. Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi- Sample Tests One-Sample T Test Hay que especificar la variable de interés (Desfav), el valor que se sostiene para la media en la hipótesis nula (8), y el tipo de hipótesis alternativa (distinto o sea not equal ). La salida correspondiente es One-Sample T Test Null Hypothesis: mu = 8 Alternative Hyp: mu <> 8 95% Conf Interval Variable Mean SE Lower Upper T DF P Desfav Cases Included Missing Cases Para la resolución basta repetir las acciones a 4 del Abordaje I, aunque sin hacer cálculos porque en la salida computacional se presenta el valor del SE (,553), necesario para dar la expresión del estadístico de prueba. Se detallan a continuación las acciones 5 y 6. 5) Realizar cálculos: () obtener el valor observado del estadístico de prueba, () precisar la zona de rechazo o calcular el valor p. En realidad sin realizar cálculos puede afirmarse que () el valor observado del estadístico de prueba es,4, o sea t obs =,4 () el valor p =,63. 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si el valor p <,5 y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: Como el valor p =,63 <,5 se rechaza H La Conclusión coincide con lo expresado en la acción 7) del Abordaje I. Nota: En la salida también figuran la media de la muestra (X = 83,65) y los grados de libertad (degrees of freedom, df = 9). El análisis basado en el intervalo de confianza no se desarrollará en este curso. Solo nótese que el valor propuesto para la media, µ=8, no pertenece al intervalo [8,478; 86,8] y que según el valor p se rechazó H. 8

9 EJERCICIO 3 Un equipo de estudiosos sostiene que el entrenamiento basado en la resolución creativa de problemas favorece el rendimiento. Se asignaron al azar nueve adolescentes a cada uno de dos grupos. Un grupo fue entrenado en la resolución creativa de problemas y el otro no. Luego se les dio una serie de problemas para resolver. El número de problemas para los cuales cada adolescente presentó una solución posible fue: Grupo entrenado: Grupo no entrenado: Suponga que la "cantidad de problemas resueltos por un adolescente" se distribuye normalmente con igual varianza para ambos casos. Formule las hipótesis convenientes. Contrástelas al nivel de significación =,5. Al % cuál sería la decisión? Resolución: ) Nombrar la/s variable/s Las variables del problema son X : Cantidad de problemas resueltos por un adolescente entrenado. X : Cantidad de problemas resueltos por un adolescente no entrenado. La variable X alude a la población hipotética de todos los adolescentes entrenados. La variable X alude a la población real de adolescentes. Las dos poblaciones de observaciones involucradas son hipotéticas. La media de X es µ y la media de X es µ Según el enunciado las variables X y X se distribuyen normalmente con igual varianza. ) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa H : µ = µ o sea H : µ - µ = (la hipótesis nula afirma que la cantidad media problemas resueltos por los adolescentes entrenados es igual a la de los adolescentes no entrenados, o sea sostiene que el entrenamiento no es eficaz) H : µ > µ o sea H : µ - µ > (la hipótesis alternativa conveniente es que la cantidad media problemas resueltos por los adolescentes entrenados es mayor que la de los adolescentes no entrenados, o sea sostiene que el entrenamiento es eficaz) 3) Indicar el nivel de significación: α =,5 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H El estadístico de prueba para las hipótesis y las condiciones dadas (igual varianza de las dos poblaciones independientes normalmente distribuidas) es: 8

10 X t S C X n n el cual bajo H tiene distribución t de Student con n +n - grados de libertad. S c, es la raíz de la varianza combinada que se calcula a partir de la varianza y el tamaño muestral de cada uno de los dos grupos. La varianza combinada, S c, es un estimador de la varianza poblacional que se supone igual para las dos variables. O sea para los datos de este problema: t X S C libertad X 9 9, bajo H, se distribuye t de Student con n +n -= 9+9-=6 grados de En este ejercicio se presenta la resolución de la prueba de hipótesis de comparación de medias usando Statistix, o sea, no se construye la zona de rechazo. En el ejercicio resuelto 4 c) sí se construye. Los datos del presente ejercicio están cargados en el archivo Práctica 6 Ejercicio Resuelto 3.sx disponible en la Web. Figuran cargados en forma de tabla. Entrenados noentrenados Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-Sample TestsTwo- Sample T Test. Señalar que los datos están cargados en forma de tabla (en Model Especification, clickear en Table), en el recuadro que pide las variables colocar las dos del caso (las que corresponden a los registros de los Entrenados y de los no Entrenados), dejar para la hipótesis nula (µ - µ = ) y para la hipótesis alternativa clickear en mayor que (Greater Than). Clickear OK y se obtiene: Statistix 8. Cantidad de problemas resueltos por adolescentes entrenados y no entrenados Two-Sample T Tests for Entrenad vs nentrenad Variable Mean N SD SE Entrenad nentrenad Difference 4. 83

11 Null Hypothesis: difference = Alternative Hyp: difference > 95% CI for Difference Assumption T DF P Lower Upper Equal Variances Unequal Variances Test for Equality F DF P of Variances.6 8,8.489 Cases Included 8 Missing Cases En la salida se visualiza información estadística de los dos grupos: media, tamaño de muestra, desvío estándar y error típico. La diferencia de medias muestrales da 4 a favor del grupo de los adolescentes entrenados. Se verá si esta diferencia puede considerarse significativamente mayor que, y por tanto atribuible al entrenamiento o si debe ser atribuida al azar. En primer lugar hay que chequear la igualdad de varianzas de las variables X y X. Efectivamente en el Test de Igualdad de Varianzas el valor p =,489 >,5. Luego, la evidencia muestral no conduce a rechazar la igualdad de varianzas. En la línea de varianza iguales figuran el valor observado del estadístico de prueba t obs =,48, los grados de libertad de la distribución t de Student (n +n -=6) y el valor p =,4, con lo cual se cumplimenta la acción 5). 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si valor p <,5 y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: Como el valor p =,4 <,5 se rechaza H. 7) Expresar la Conclusión en términos del problema Conclusión: Se rechaza H. Con un nivel del 5%, se concluye que la cantidad media de problemas resueltos por los adolescentes entrenados es significativamente mayor que la de los adolescentes no entrenados. Es decir al 5%, la diferencia de medias de la cantidad de problemas resueltos por los dos grupos (la diferencia 4) es atribuible al entrenamiento como fuente sistemática de variación. * Con el nivel de significación del %, cambia la decisión del problema. Pues como el valor p =,4 >, no se rechaza H. En este caso se arriba a la siguiente conclusión: Conclusión: No se rechaza H. Con un nivel del %, se concluye que la cantidad media de problemas resueltos de los entrenados no es significativamente mayor que la 84

12 de los no entrenados, esto es que el entrenamiento no es eficaz. Al %, la diferencia de medias de la cantidad de problemas resueltos (la diferencia 4) no puede ser atribuida al entrenamiento y solo es atribuible a fuentes fortuitas de variación. EJERCICIO 4 Dos grupos, uno de n niños y otro de n niños, de escuela primaria, aprendieron a leer por dos métodos diferentes. Una vez terminada la instrucción los niños rindieron una prueba de lectura. Considere las variables: X : puntaje en la prueba de lectura de un niño que aprendió a leer con el método. X : puntaje en la prueba de lectura de un niño que aprendió a leer con el método. Con los puntajes de estas pruebas se calculó el valor del estadístico: t S C x x n n donde x es la media de los puntajes para el grupo de n niños. x es la media de los puntajes para el grupo de n niños. Ses el desvío estándar para el grupo de n niños. S es el desvío estándar para el grupo de n niños. n. S n. S S C es la varianza combinada n n Se ponen a prueba las siguientes hipótesis H : H : o o H : H : y para un nivel de significación se concluye que el valor observado de t es tal que t α/; n+n- < t observado < t -α/; n+n- a) Interprete las hipótesis y exprese la conclusión del problema en términos de la situación planteada. b) Realice la prueba de hipótesis usando Statistix, sabiendo que los valores observados son los siguientes y que el nivel de significación del 5%: 85

13 X : X : c) Realice la prueba al 5% calculando el valor del estadístico t a partir de la información proporcionada. Resolución: a) La hipótesis nula afirma que: el puntaje medio de todos los niños que aprenden con un método es igual al puntaje medio de todos los niños que aprenden con el otro método. Esto puede interpretarse como que ambos métodos son igualmente efectivos. La hipótesis alternativa sostiene que: el puntaje medio de todos los niños que aprenden con un método no es igual al puntaje medio de todos los niños que aprenden con el otro método. O sea ambos métodos no son igualmente efectivos. El valor observado de t no pertenece a la Zona de Rechazo, luego la decisión ha de ser no rechazar la hipótesis nula. Conclusión: El no rechazo de la hipótesis nula con un nivel de significación α debe interpretarse como que la información muestral no proporcionó suficiente evidencia que nos permita afirmar que los métodos son diferentes en cuanto a su efectividad. b) Las muestras de niños pueden considerarse pertenecientes a dos poblaciones hipotéticas: la de todos los niños entrenados con un método y, la de todos los niños entrenados por el otro método. Nombrar las variables (acción ) y plantear las hipótesis (acción ) fueron presentadas en el enunciado y expresadas de manera coloquial en el inciso a) El nivel de significación es α=,5 (acción 3). 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H El estadístico de prueba presentado en el enunciado corresponde a la prueba de comparación de medias de dos poblaciones independientes normalmente distribuidas con varianzas desconocidas pero iguales Es decir: t el cual bajo H tiene distribución t de Student con n +n - S C X grados de libertad. X n n Para los datos de este problema X X t, bajo H, tiene distribución t de Student con n +n -=5+-=33 S C 5 grados de libertad. 86

14 El problema se resuelve en Statistix. Los datos están cargados en el archivo Práctica 6 Ejercicio Resuelto 4.sx disponible en la Web. Allí los datos figuran cargados en forma de tabla. Desde el archivo con los datos ir a StatisticsOne, Two, Multi-Sample TestsTwo- Sample T Test. Señalar que los datos están cargados en forma de tabla (en Model Especification, clickear en Table), en el recuadro que pide las variables colocar las dos del caso (X y X), dejar para la hipótesis nula (µ - µ = ) y para la hipótesis alternativa clickear en diferente ( Not Equal ). Clickear OK y se obtiene: Two-Sample T Tests for X vs X Variable Mean N SD SE X X Difference -.85 Null Hypothesis: difference = Alternative Hyp: difference <> 95% CI for Difference Assumption T DF P Lower Upper Equal Variances Unequal Variances Test for Equality F DF P of Variances.9 4,9.43 Cases Included 35 Missing Cases 5 El valor p =,43 de la prueba de igualdad de varianzas indica que éstas no pueden considerarse diferentes. En la línea de varianza iguales figuran el valor observado del estadístico de prueba t obs = -,8, los grados de libertad de la distribución t de Student (n +n -=33) y el valor p =,473, con lo cual se cumplimenta la acción 5) Nota: en la salida computacional figuran 5 casos perdidos (Missing Cases) que en este caso no son tales. El origen de los mismos es que los 35 datos (5 para el método y para el método ) están cargados en forma de tabla por eso parece que en la primera columna, donde están los 5 datos de los que aprendieron con el método, faltan cinco casos. 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si valor p <,5 y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: Como el valor p =,4734 >,5 no se rechaza H. 7) Expresar la Conclusión en términos del problema 87

15 Conclusión: No se rechaza H. La información muestral no proporcionó suficiente evidencia que permita afirmar que los métodos son diferentes en cuanto a su efectividad. La diferencia de medias de los puntajes en la prueba de lectura para los que aprendieron con los distintos métodos (-,85) no puede ser atribuida al método y solo es atribuible a fuentes fortuitas de variación. c) Se puede realizar la prueba al 5% haciendo cálculos de la siguiente forma: Las acciones a 4 son las mismas del inciso b). A continuación se muestran las acciones 5 y 6. Es necesario conocer tamaño de muestra, media y varianza de los puntajes en la prueba de lectura de los niños que aprendieron con los distintos métodos. Descriptive Statistics Variable N Mean Variance X X El estadístico de prueba es t = X X S c 5 + el cual bajo H tiene distribución t de Student con n +n -=5+-=33 grados de libertad. El valor observado del estadístico de prueba para los datos muestrales es t obs = 8,4 9,5, =,8 La zona de rechazo o región crítica se construye considerando que la hipótesis alternativa es o sea la prueba es bilateral. Cuanto más alejado de cero sea el valor del estadístico de prueba menos se creerá en H. Luego la región crítica se compone de dos partes: la de los valores menores que t α/; n+n- y la de los valores mayores que t -α/; n+n-. En Statistix, desde el Menú Statistics Probability Functions T Inverse (p, df) con p =.5 y df =33 y p =.975 y df = 33, se obtiene que t.5; 33 = -,3 y t.975; 33 =,3 t.5; 33 = -,3,3 = t.975; 33 La zona de rechazo son los valores de t menores que -,3 o mayores que,3. El valor observado del estadístico de prueba no pertenece a la zona de rechazo, luego se decide no rechazar H. 88

16 La Conclusión coincide con lo expresado en la acción 7 del inciso b) del presente ejercicio. EJERCICIO 5 La empresa A aplicó una técnica para hacer uso del sentido del humor como reforzador motivacional. Pasados seis meses, decide evaluar los resultados obtenidos. Se propone mantener el uso de la técnica si más del 75% de los empleados considera que ha sido beneficiosa para motivarlos en su tarea. Para tomar la decisión, seleccionó al azar una muestra de 8 empleados y les administró una encuesta que, entre otras cosas, preguntaba: considera que esta técnica lo motiva significativamente para realizar su labor diaria? Sesenta y ocho empleados respondieron afirmativamente. A la luz de este resultado aconsejaría usted a la empresa que continúe con la aplicación de la técnica? Utilice una prueba con un nivel de significación, para responder al interrogante. Resolución ) Nombrar la/s variable/s La variable X, Respuesta a la pregunta considera que esta técnica lo motiva significativamente para realizar su labor diaria? dada por un empleado de la empresa A, responde al modelo Bernoulli. X vale si el empleado considera que la técnica fue beneficiosa para motivarlo en su tarea (éxito) y vale si no la considera beneficiosa (fracaso). π es la probabilidad de éxito, es decir la proporción de éxitos en la población o, lo que es lo mismo, la media poblacional. ) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa H :,75 (la hipótesis nula sostiene que la técnica no es eficaz) H :,75 (la hipótesis alternativa sostiene que la técnica es eficaz) Luego, bajo H la variable X se distribuye como la variable Bernoulli con parámetro,75. 3) Indicar el nivel de significación: α =, 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H Estadístico de prueba Z p, bajo H se distribuye aproximadamente como ) ( n una normal estándar. Donde p designa a la media muestral o, lo que es lo mismo, la proporción de éxitos en la muestra. Para este problema el estadístico de prueba es Z = p,75,75 (,75)/8, bajo H se distribuye aproximadamente como una normal estándar. Pues se verifica que n=8 es grande y que n.π =8.,75 =6>5 y n.(-π ) =8.,5 =>5. 89

17 El valor observado del estadístico de prueba y el valor p pueden leerse directamente de la salida del Statistix. Directamente desde el Menú StatisticsOne, Two, Multi- Sample TestsProportion Test. Allí especificar que se cuenta con una muestra de tamaño 8 en la cual hubo 68 éxitos, que en la hipótesis nula se sostiene la proporción de éxitos,75 y que la hipótesis alternativa es de mayor. La salida es: Statistix 8. One-Sample Proportion Test Sample Size 8 Successes 68 Proportion.85 Null Hypothesis: P =.75 Alternative Hyp: P >.75 Difference. Standard Error.399 Z (uncorrected).7 P.94 Z (corrected).94 P.64 95% Confidence Interval Uncorrected (.7775,.985) Corrected (.7655,.9345) En la salida se lee que la proporción muestral es,85, el valor observado del estadístico de prueba está en la línea de Z (uncorrected) es Z obs =,7 y el valor p =,94 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si valor p <, y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: Como el valor p =,94 <, se rechaza H 7) Expresar la Conclusión en términos del problema Conclusión: Se rechaza H. Con un nivel de significación del % puede considerarse que la técnica implementada es eficaz y por tanto se aconsejaría a la empresa continuar con la aplicación de dicha técnica. EJERCICIO 6 La empresa B llevó a cabo una experiencia similar a la de la empresa A del ejercicio anterior. Pasados seis meses administró la misma encuesta a una muestra de 5 empleados elegidos al azar, de los cuales respondieron afirmativamente. Puede considerarse que los resultados de la técnica fueron similares en las dos empresas? Utilice una prueba con un nivel de significación, para responder al interrogante. 9

18 Resolución ) Nombrar la/s variable/s La variable X, Respuesta a la pregunta considera que esta técnica lo motiva significativamente para realizar su labor diaria? dada por un empleado de la empresa A, responde al modelo Bernoulli. X vale si el empleado considera que la técnica fue beneficiosa para motivarlo en su tarea (éxito) y vale si no la considera beneficiosa (fracaso). π es la probabilidad de éxito, es decir la proporción de éxitos en la empresa A o, lo que es lo mismo, la media poblacional para la empresa A. La variable X es la análoga de X pero en la empresa B. O sea: La variable X se observa en los empleados de la empresa B y responde al modelo Bernoulli. X vale si el empleado considera que la técnica fue beneficiosa para motivarlo en su tarea (éxito) y vale si no la considera beneficiosa (fracaso). π es la probabilidad de éxito, es decir la proporción de éxitos en la empresa B o, lo que es lo mismo, la media poblacional para la empresa B. ) Plantear las hipótesis: Hipótesis nula e Hipótesis alternativa H (la hipótesis nula sostiene que los resultados de la técnica son los : mismos en las dos empresas) H ( (la hipótesis alternativa sostiene que los resultados de la técnica no son : los mismos en las dos empresas) Luego, bajo H las variables X y X se distribuyen como una variable Bernoulli con igual proporción de éxitos. 3) Indicar el nivel de significación: α =, 4) Especificar el estadístico de prueba y su distribución bajo H El estadístico de prueba Z p c p p, bajo H se distribuye *( pc ) *( ) n n aproximadamente como una normal estándar pues las muestras, con n =8 y n =5, son grandes. Donde p c n * p n * n n respectivas proporciones muestrales para X y X. p, con n y n los tamaños muestrales y p y p las El valor observado del estadístico de prueba y el valor p pueden leerse directamente de la salida del Statistix. Directamente desde el Menú StatisticsOne, Two, Multi- Sample TestsProportion Test. Allí especificar que se cuenta con dos muestras, una de tamaño 8 en la cual hubo 68 éxitos y la otra de tamaño 5 en la que hubo éxitos, y que la hipótesis alternativa es de diferente. La salida es: 9

19 Statistix 8. Two-Sample Proportion Test Sample Sample Sample Size 8 5 Successes 68 Proportion.85.8 Null Hypothesis: P = P Alternative Hyp: P <> P Difference.5 SE (diff).5349 Z (uncorrected).93 P.3499 Z (corrected).76 P.4499 Fisher's Exact % Confidence Interval of Difference Lower Limit Upper Limit.5483 En la salida se lee que la proporción muestral es,85 en la empresa A y,8 en la empresa B, el valor observado del estadístico de prueba (está en la línea de Z (uncorrected) es Z obs =,93 y el valor p =,3499 6) Establecer la Regla de Decisión y formular la Decisión en base a la información muestral (según la pertenencia del valor observado del estadístico de prueba a la zona de rechazo o bien de la comparación del valor p con el nivel de significación). Regla de Decisión: se rechaza H si valor p <, y no se rechaza H en caso contrario. Decisión: Como el valor p =,3499 >, no se rechaza H 7) Expresar la Conclusión en términos del problema Conclusión: No se rechaza H. Según la evidencia muestral los resultados de la técnica en las dos empresas pueden considerarse similares. La diferencia observada en los resultados de las dos empresas es atribuible a fuentes fortuitas de variación. EJERCICIO EJERCICIOS PROPUESTOS (Las respuestas se pueden encontrar en la página Web de la Cátedra) En una muestra de 5 adultos de la ciudad de Buenos Aires se obtuvo, este año, una media de 4 en una prueba de memoria espacial. Estudios anteriores afirman que esas puntuaciones, a nivel poblacional, estaban normalmente distribuidas con media 4 y desvío típico. Es la media de la muestra de este año significativamente 9

20 diferente de 4 al nivel del %. Suponga que el desvío poblacional actual se mantuvo igual al histórico. EJERCICIO Las experiencias relatadas en el ejercicio 9 de la práctica 3 formaron parte de una investigación interesada en un tiempo de reacción medio poblacional de 3 ds. Es la media del grupo de observaciones significativamente diferente de 3 al nivel del 3%? Considera que el grupo fue correctamente incluido en la investigación mencionada? EJERCICIO 3 Supongamos que todos los años a los alumnos que ingresan a la Facultad de Ingeniería se les administra una prueba normalizada de aptitud matemática. Este año 38 aspirantes resolvieron la prueba y obtuvieron un puntaje medio de 475. Se perdió la información sobre el desvío estándar correspondiente. a) Es este resultado consistente con las normas que indican para la prueba un puntaje medio de 5 y una desviación estándar de? b) Enuncie las suposiciones que tuvo que hacer para responder la pregunta a). c) Muestran los resultados de este año una disminución significativa de la aptitud con respecto a la norma? EJERCICIO 4 Sobre la base de incrementar la capacidad creativa, se llevó a cabo un programa de entrenamiento a 3 individuos. Para la evaluación se utilizó un Test que mide el pensamiento creativo (Test de Pensamiento Creativo de Torrance). Luego del entrenamiento se evaluó a los individuos entrenados, obteniéndose las siguientes observaciones: Si los datos históricos informan que los puntajes para esta evaluación de la capacidad creativa, se distribuyen normalmente con una media de 8, puede considerarse efectivo el entrenamiento? Use un nivel de significación,5. (Este problema está basado en el artículo de Mettifogo, Medina, y Stephan,997) A continuación se presenta la salida de la prueba de hipótesis realizada con Statistix. One-Sample T Test Null Hypothesis: mu = 8 Alternative Hyp: mu > 8 95% Conf Interval Variable Mean SE Lower Upper T DF P Puntaje Cases Included 3 Missing Cases 93

21 EJERCICIO 5 La duración media de una prueba de estímulos visuales es de 7 segundos. Después de un entrenamiento especial para reducir el tiempo necesario para realizar la prueba, un grupo de personas proporcionan los siguientes datos en segundos: Con un nivel de significación del %, afirmaría usted que el entrenamiento es eficaz? EJERCICIO 6 Los encargados de tutoría de los alumnos de quinto año afirman que la participación de los alumnos en actividades de convivencia mejoran los resultados en Descalificación Personal. Según estudios anteriores las puntuaciones en el estilo de humor Descalificación Personal se distribuyen normalmente con media 6. Este año se seleccionó una muestra de alumnos de quinto año para que participen en actividades de convivencia y luego se registraron sus puntuaciones en Descalificación Personal. A continuación se presenta la salida de la prueba de hipótesis realizada con Statistix. One-Sample T Test Null Hypothesis: mu = 6 Alternative Hyp: mu < 6 95% Conf Interval Variable Mean SE Lower Upper T DF P DP Cases Included Missing Cases a) Enuncie coloquialmente las hipótesis planteadas. Está de acuerdo con ese planteo? Justifique b) Indique qué tipo de prueba es la exhibida y por qué se utilizó en este caso. c) Es consistente el resultado obtenido con lo afirmado por los tutores con un nivel de significación del %? Por qué? d) Indique un nivel de significación para el cual no habría evidencia suficiente para aceptar la propuesta de los tutores. EJERCICIO 7 Un equipo de asesores de un candidato político sostiene que menos del 3% de los electores tendrá una imagen negativa del mismo después de realizar ciertos cambios en la campaña electoral. Estudios realizados en una muestra de 5 electores luego de implementar los cambios, encuentra 3 que manifiestan tener una imagen negativa del candidato. Con un nivel de significación del %, la información muestral permite sostener la hipótesis del equipo de asesores? EJERCICIO 8 La droga que se utiliza habitualmente para curar cierta enfermedad es efectiva en el 8% de los casos. Un médico quiere poner a prueba otra droga, la administra a enfermos y obtiene que se curan 8. Desea saber si la nueva droga es más efectiva 94

22 que la tradicional. Realice la prueba de hipótesis conveniente con un nivel de significación del 5% para concluir al respecto. EJERCICIO 9 En el ejercicio 9 de la práctica 3 usted tuvo que responder a dos interrogantes sobre los tiempos de reacción de dos grupos de personas. Ahora, con una prueba de hipótesis adecuada, evalúe si al 5% puede sostener la significancia de las respuestas dadas en esa oportunidad. Para ello, tenga en cuenta que los tiempos, en décimas de segundo, del grupo fueron: EJERCICIO En el ejercicio resuelto 3 de la práctica se presentan datos registrados por los investigadores de un Laboratorio del Humor. Mediante una prueba de hipótesis adecuada decida, a partir de dichos datos, si existe efecto de la Autoestima en el Estilo del Humor de Mejoramiento Personal de jóvenes universitarios de la Universidad de Córdoba. Se supone que el puntaje en el Estilo de Humor Mejoramiento Personal se distribuye normalmente y que la variabilidad es la misma en las dos poblaciones hipotéticas de las que las muestras de observaciones provienen. Usar un nivel de significación del 5%. EJERCICIO Se han tomado dos muestras aleatorias de jóvenes de entre 6 y 5 años de la ciudad de Salta; una, de mujeres y, la otra, de varones. A cada uno de los jóvenes de ambas muestras se le administró la Escala sobre el Sentido del Humor. Se presenta, a continuación, la información que arroja el programa Statistix al realizar una prueba de hipótesis a partir de los puntajes del factor Afiliativo de los jóvenes de las dos muestras. Two-Sample T Tests for Afiliativ by Muestra Muestra Mean N SD SE Mujeres Varones Difference 3.9 Null Hypothesis: difference = Alternative Hyp: difference <> 95% CI for Difference Assumption T DF P Lower Upper Equal Variances Unequal Variances Test for Equality F DF P of Variances. 9,4.39 Cases Included 55 Missing Cases a) Cuál es el tamaño de las muestras consideradas? b) Desarrolle en términos psicológicos las hipótesis que se están considerando y plantéelas simbólicamente (estadísticamente). c) Cuáles son los supuestos necesarios para llevar a cabo la prueba de hipótesis correspondiente a la salida? 95

23 d) Lleve adelante la prueba de hipótesis utilizando un nivel de significación del 5%. Especifique el valor del estadístico de prueba que debe considerarse y la probabilidad que tiene asociada. Tome la decisión que corresponda y saque la conclusión que se desprende de ella. EJERCICIO Un equipo de psicólogos de la Cruz Roja desea conocer qué tipo de tratamiento resulta más eficaz para prevenir la aparición de síntomas de estrés postraumático luego de una catástrofe natural. Así, toman una muestra aleatoria de individuos de un poblado de la provincia de Buenos Aires que han sido víctimas de inundaciones y se los asigna al azar a dos grupos: el grupo A (5 sujetos) es tratado con actividades tradicionales y el grupo B (6 sujetos) con técnicas psicodramáticas. Luego de 3 meses se mide la cantidad de sujetos que presentan síntomas de estrés postraumático producto de la catástrofe. Se halló que en el grupo A había sujetos con sintomatología mientras que en grupo B se encontraron 6 sujetos con estas características. Con un nivel de significación del % puede decirse que la proporción de sujetos con síntomas de estrés postraumático en el grupo A es distinta de la proporción análoga en el grupo B? Qué puede decirse de la eficacia de los dos tipos de tratamiento? Con el mismo nivel de significación hay evidencia para considerar que la proporción de sujetos con sintomatología es mayor en el grupo A? EJERCICIO 3 Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. De la experiencia de muchos años respecto de un examen de inglés para la admisión a una beca de estudio, se sabe que dicha calificación sigue una distribución normal con media 64 y desviación típica 8. Una muestra de tamaño 4 representativa de los estudiantes de cierta ciudad produjo una calificación promedio de 68. Al nivel de significación del 5%: a) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media en esa ciudad es distinta de 64. b) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media es menor a 64 en esa ciudad. c) Hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media es mayor a 64 en esa ciudad. d) No hay evidencia suficiente para suponer que la calificación media es mayor a 64 en esa ciudad. EJERCICIO 4 Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. La duración media de una prueba de estímulos visuales sigue una distribución normal con media μ. Un grupo de 36 personas fueron entrenadas para reducir el tiempo necesario para realizar esta prueba. Con la media x y el desvío estándar s de los tiempos empleados por estas personas para realizarla después del entrenamiento se obtuvo el valor del estadístico t obs x s Con un nivel de significación del %, diría usted que: 36 96

24 a) Como t obs < z. = -,33, entonces se puede decir que la media X es significativamente menor que y por lo tanto el entrenamiento es efectivo. b) Como t obs < t.; 35 = -,44, entonces se puede decir que la media X es significativamente menor que y por lo tanto el entrenamiento es efectivo. c) Como t obs < z. = -,33, entonces se puede decir que la media X no es significativamente menor que y por lo tanto el entrenamiento no es efectivo. d) Como t obs < t.; 35 = -,44, entonces se puede decir que la media X no es significativamente menor que y por lo tanto el entrenamiento no es efectivo. Nota: Con z. se designa el percentil de la distribución normal estándar. t se designa el percentil de la distribución t de Student. Con.; 35 EJERCICIO 5 Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. Si se estima un parámetro a partir de una muestra, el error aleatorio de muestreo es la diferencia entre la estimación y el parámetro debida a... a) la imprecisión del instrumento de medición. b) la obtención de una muestra atípica c) causas ajenas a la muestra que producen sesgos. d) fuentes fortuitas de variación. EJERCICIO 6 Llene los dos espacios en blanco con el par de palabras de la única opción correcta. Los incrementos en el tamaño de la muestra repercuten en una...precisión en la estimación de los parámetros poblacionales... el error muestral. a) mayor disminuyendo b) menor disminuyendo c) mayor aumentando d) menor aumentando EJERCICIO 7 Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. En un muestreo probabilístico simple cada unidad de la muestra: a) es elegida dependiendo de la elección de las otras unidades. b) tiene igual probabilidad de ser elegida para integrar la muestra. c) tiene una probabilidad diferente a otra de ser elegida para integrar la muestra. d) es elegida según el criterio de quien hace el muestreo. EJERCICIO 8 Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. Un estadístico es: 97

25 a) una variable con distribución conocida. b) un valor promedio de observaciones muestrales. c) una variable que depende de los valores muestrales. d) un valor constante de la población. EJERCICIO 9 Sólo una de las cuatro opciones siguientes es verdadera. Indíquela. El uso de la expresión significación estadística indica que: a) se encontraron diferencias en los valores muestrales calculados. b) se ha rechazado la hipótesis nula en una prueba de hipótesis. c) se le ha atribuido un significado a un parámetro poblacional. d) se ha aceptado la hipótesis nula de una prueba de hipótesis. EJERCICIO FINAL Continúe con la construcción del glosario de los términos estadísticos contenidos en el cuento Como transformarse en un estudiante de Psicología y no desencadenarse en el intento (Fridman, 5), tal como se explica en el Ejercicio Final de la Práctica. Puntos Críticos obtenidos con Statistix Z Inverse (p) Z Inverse (.5)= -,58 Z Inverse (.995)=,58 Z Inverse (. )= -,33 Z Inverse (.99)=,33 Z Inverse (.5)= -,96 Z Inverse (.975)=,96 Z Inverse (.5 )= -,64 Z Inverse (.95)=,64 Z Inverse (. )= -,8 Z Inverse (.9)=,8 T Inverse (p, df) T Inverse (.,) = -,7 T Inverse (.5,53) = -, T Inverse (.,) = -,53 T Inverse (.5,4) = -,7 T Inverse (.,3) = -,46 T Inverse (.95,6) =,75 T Inverse (.,35) = -,44 T inverse (.95,) =,7 T Inverse (.,4) = -,4 T Inverse (.95,9) =,7 T Inverse (.5,) = -,53 T Inverse (.975,8) =, T Inverse (., 9) = -,4 T Inverse (.975,9) =,9 T Inverse (.5,9 ) = -,6 T Inverse (.975,53) =, T Inverse (.5,) = -,3 T inverse (.985,) =,53 T Inverse (.5,8) = -, T Inverse (.99, 9 ) =,8 T Inverse (.5,9) = -,9 T Inverse (.99, ) =,7 T Inverse (.5,4) = -,6 T Inverse (.99,9) =,54 98

26 Referencias Bibliográficas Cátedra I de Estadística. (5). Acerca de la resolución de una prueba de hipótesis. En Materiales para la Cursada. Documento interno de la Cátedra I de Estadística. Facultad de Psicología, Universidad de Buenos Aires. Cátedra I de Estadística. (5). Acerca del valor p. En Materiales para la Cursada. Documento interno de la Cátedra I de Estadística. Facultad de Psicología, Universidad de Buenos Aires. Fridman, C. A. (5). Como transformarse en un estudiante de Psicología y no desencadenarse en el intento. En Materiales para la Cursada. Documento interno de la Cátedra I de Estadística. Facultad de Psicología, Universidad de Buenos Aires. Granero, M., Gómez, R. E., y Carabajal, J.J. (998). La Justicia en la Argentina. Revista de la Facultad de Psicología Universidad Nacional de Rosario Nº, Mettifogo, D., Medina, P., y Stephan M. (997). Desarrollo de la capacidad creativa en jóvenes. Revista de Psicología de la Universidad de Chile Departamento de Psicología. Vol. VI