ANEXO 2. ALGUNOS MODELOS DE GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS

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1 ANEXO 2. ALGUNOS MODELOS DE GEOMETRÍAS NO EUCLIDIANAS Considero importante que un tema históricamente definitivo, como lo es la relatividad del Postulado de las paralelas, por los procesos constructivos que generó en la Matemática misma y en particular de la Geometría, y por los esfuerzos y trabajos que motivó durante más de veinte siglos, en generaciones de mentes maravillosas en la creación y producción de resultados, no puede pasarse por alto. Por el contrario debe orientarse al estudiante para indagar sobre los motivos y pasiones que indujo a muchos de los participantes en esta gesta, en la persistencia en sus estudios y los caminos planteados para llegar a sus resultados y las experiencias aparentemente fallidas en la obtención de los mismos para muchos de ellos, pero que siempre enriquecieron y fueron material valioso para la búsqueda de esta conclusión final. 1. Geometría no euclidiana hiperbólica. Como tuve la oportunidad de referenciarlo en el Capítulo 5, al introducir el célebre Postulado de las paralelas de Euclides y la reseña histórica sobre éste, quiero ubicar al lector en un contexto moderno más sencillo para comprender la génesis de esta geometría. Ubiquémonos en el Postulado de la paralela única de Playfair, que como se demostró es equivalente al V Postulado de Euclides. Si revisamos uno de los últimos teoremas previos, al Postulado de las paralelas, específicamente el que nos presenta la existencia de al menos una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a esta, podemos observar que lo que realmente fundamenta Playfair, es la unicidad de la misma. Ahora a partir del teorema de existencia mencionado supongamos que tratamos de demostrar la unicidad de esta paralela por el método de reducción al absurdo, y así establecer en consecuencia que el Postulado de las paralelas de Euclides es un teorema más. Esta fue la tarea que emprendieron en sus contextos propios Jerónimo Saccheri ( ) y Lambert ( ) sin poder llegar desde luego a la tan anhelada contradicción y por el contrario generando cada vez más resultados que posteriormente se reconocerían como teoremas

2 propios de esta nueva geometría, pero que por las dificultades propias de su formación en su época les impidió ver la dimensión de lo que su trabajo representaba. Fueron finalmente el matemático ruso Nicolás Lobachevsky ( ), y el matemático húngaro Johan Bolyai ( ) quienes finalmente establecieron la estructura formal a esta geometría tomando como Postulado del paralelismo que por un punto exterior a una recta pasan más de una paralela a ella. Con ello surgen en consecuencia las geometrías no Euclidianas, estableciéndose además la relatividad del Postulado de las paralelas y confirmándose finalmente que efectivamente el V Postulado de Euclides es efectivamente un axioma y no un teorema. Es necesario reconocer la obra que independientemente de los trabajos de los dos matemáticos anteriores, adelantó Karl Friedrich Gauss ( ) llegando a los mismos resultados, que se abstuvo de publicar posiblemente por el temor de no ser comprendido por la comunidad académica de su época dado el reto que esta teoría planteaba y lo que significaría para las matemáticas. Se plantean a continuación dos de los modelos más conocidos de geometrías hiperbólicas. En ellos se han validado todos los teoremas de la Geometría Euclidiana que preceden al V Postulado de Euclides en el sentido de que no dependen de este resultado y que se designan, por esta misma cualidad, como los teoremas de la Geometría absoluta y todos los demás teoremas que se obtienen asumiendo como Postulado del paralelismo, la existencia de más de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ésta, garantizándose la consistencia del modelo respectivo. 1.1 Modelo de Klein. El matemático alemán Felix Klein ( ) estimulado por los trabajos que en el campo de la geometría desarrollara el geómetra inglés Arthur Cayley ( ), utilizo una vía distinta a la empleada por Bolyai y Lobachevsky. Estos últimos se dedicaron fundamentalmente a la demostración de un buen número de teoremas asumiendo como V Postulado la existencia de más de una recta paralela a una recta dada por un punto exterior a ésta.

3 Klein por el contrario optó por el concepto de modelo. En este sentido se formula una teoría geométrica que satisface todos los axiomas de la geometría Euclidiana con excepción del V Postulado. En esta teoría se pueden determinar infinidad de rectas paralelas a una recta dada por un punto exterior a ella. Este modelo se construye considerando inicialmente términos de la geometría euclidiana y luego redesignando algunos de estos términos y las relaciones establecidas entre estos. Es necesario recalcar nuevamente que esto es posible de hacer puesto que se trata de una teoría deductiva en la cual los términos y las relaciones primitivas, son independientes de la o las interpretaciones que podamos hacer de ellos y ellas. En el modelo de Klein de la geometría hiperbólica se tienen las siguientes interpretaciones: El plano corresponde al conjunto de todos los puntos interiores de una circunferencia. Los puntos exteriores no se consideran en este conjunto. Cada punto interior a la circunferencia se designa como un punto no euclidiano. Cada cuerda de la circunferencia se designa como una recta no euclidiana. Es fácil probar que este sistema así construido satisface todos los axiomas de la geometría euclidiana y que no se cumple el V Postulado de Euclides, puesto que por un punto exterior a una recta dada, pasan infinitas rectas que no la intersectan. Este modelo tan simple es suficiente para ilustrar el gran interrogante mediante el cual surgió la geometría no euclidiana: establece que el postulado de las paralelas no puede deducirse de los otros axiomas de la geometría euclidiana puesto que si pudiera deducirse de los grupos de axiomas previos, podría demostrarse también como teorema en la geometría de Klein, cosa que evidentemente no sucede.

4 Figura 1 Modelo no euclidiano de Klein. En la figura 1 las rectas CD, EF y GH se intersectan en el punto P y son paralelas a la recta AB. 1.2 Modelo de Poincaré El matemático francés Henri Poincaré ( ) creó a su vez otro modelo de geometría no euclidiana en el cual se satisfacen los cuatro primeros grupos de axiomas de la geometría euclidiana y como V Postulado se establece que por un punto exterior a una recta pasan más de una recta paralela, probándose fácilmente que pasan como consecuencia, infinitas rectas paralelas. En su modelo Poincaré presenta las rectas de la forma siguiente y que corresponde a lo que se define como circunferencias ortogonales, así: Definición: circunferencias ortogonales. Dos circunferencias son ortogonales si sus rectas tangentes son perpendiculares en los puntos de intersección.

5 Figura 2 C(O, R) y C(O, R ) son ortogonales. En la figura 2 las tangentes respectivas son perpendiculares en los puntos de intersección P y Q respectivamente. En el modelo de Poincaré de una geometría hiperbólica se tienen las siguientes interpretaciones: El plano corresponde al conjunto de todos los puntos interiores a la circunferencia. Cada punto interior de la circunferencia se designa como un punto no euclidiano. Las rectas en este modelo son de dos tipos: - El interior de cualquier diámetro de la circunferencia.

6 - La intersección del interior de la circunferencia con cualquier circunferencia ortogonal a ella. Figura 3 Así en la figura 3 en C(O, R), si MN es una cuerda diametral y APBy circunferencias ortogonales a C(O, R); entonces, se tienen en el modelo de Poincaré: Int C(O, R): corresponde a un plano. APB {A, B}, CPD {C, C}: representan rectas. Int(MN ): representa una recta. En la figura 4 se ilustran Figura 4 CPD son arcos de AOB, CDF y PQS en el modelo de Poincaré. Es fácil probar que este sistema asi construido satisface todos los axiomas de la geometría euclidiana y que no cumple el V Postulado de Euclides, puesto que por un punto exterior a una recta dada, pasan infinitas rectas paralelas a ella, como se ilustra en la figura 3.

7 2. Geometría no euclidiana elíptica. Si analizamos la proposición correspondiente al V Postulado de Euclides en la versión del matemático escoces John Playfair ( ): Por un punto exterior a una recta dada, pasa una única recta paralela a ella y en la cual se destaca la propiedad básica de la existencia única, podamos observar que la negación de esta proposición corresponde a: Por un punto exterior a una recta pasa más de una recta paralela o no pasa recta alguna paralela a ella. La primera proposición que conforma esta disyunción se constituye precisamente en el V Postulado de las geometrías elípticas. Ahora cabe preguntarse si la segunda proposición de la disyunción puede admitirse como V Postulado y con la vigencia total de los cuatro grupos de la geometría euclidiana, construir una nueva teoría perfectamente consistente. Las respuestas la podemos dar en forma inmediata y es no. La justificación está en que en el teorema 28 del Capítulo 5 en el cual se establece la existencia de al menos una recta paralela a una recta dada, por un punto exterior a ella. Este resultado es previo al V Postulado de Euclides y por lo tanto no depende de él. Por tanto este teorema contradice absolutamente la posibilidad de asumir la proposición enunciada como V Postulado. No obstante la argumentación anterior no fue un obstáculo para la genialidad del matemático alemán Georg Bernhard Riemann, quien modificando algunos axiomas de los cuatro grupos iniciales de la geometría euclidiana y en particular la interpretación de la relación primitiva estar entre y en consecuencia replanteando los axiomas de orden obvió el problema anteriormente señalado, y asumiendo como V Postulado la no existencia de paralela alguna por un punto exterior a una recta dada, logro construir una nueva teoría consistente y que se ha denominada como geometría elíptica o rimanniana. geométrica, En el modelo de Riemann se tienen las siguientes interpretaciones: El plano corresponde a todos los puntos de una superficie esférica.

8 Las rectas corresponden a las intersecciones de planos euclidianas que pasan por el centro de la superficie esférica, con esta misma. Estas intersecciones se denominan círculos máximos o geodésicas. Puede observarse que en toda superficie esférica dos círculos máximos cualesquiera, siempre se intersectan en dos puntos distintos. Como consecuencia de esto no existen, en este modelo, rectas paralelas. Para una comprensión mejor del lector, si aceptamos la forma aproximadamente esférica de la superficie terrestre, las líneas geográficas designadas como los meridianos y el ecuador son ejemplos de círculos máximos. Figura 5 En la figura 5, en la superficie esférica de centro en O y radio R; se ilustran dos círculos máximos que se intersectan en los puntos P y Q.