Fundamentos Físicos de la Ingeniería Examen final / 29 de junio de 2004 = + x t

Transcripción

1 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de 004. Una partícula se ueve en el plano de tal fora que las coponentes cartesianas de su velocidad vienen dadas en función del tiepo por las expresiones: v = 4t + 4t, v = 4t (SI). En el instante inicial t 0 = 0 s, el x óvil se encontraba en la posición x 0 =, y 0 =. Calcular: a) as coponentes de la aceleración en cualquier instante. b) as coordenadas x e y del óvil en función del tiepo. y a) Obteneos las coponentes de la aceleración derivando las de la velocidad: dvx d ax = = ( 4 t + 4 t) = t vx = 4t + 4t dt dt v 4 dv y = t y d ay = = ( 4 t) = 4 dt dt b) Obteneos las coordenadas de posición integrando las coponentes de la velocidad: + 4 dx = = + dt dx= 4t + 4t dt = + y t dy v 4 dy 4tdt dy 4tdt y = = t = = 0 dt x t ( ) ( ) 0 vx 4t 4t dx 4t 4t dt x = t + t x= t + t + y = t y = t Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

2 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de 004. a viga AB, de asa 0 kg y de longitud, está cargada y apoyada coo se indica en la figura. Deterinar la reacción en el apoyo A y la tensión del hilo BC cuando = kg y = 7 kg. En la figura presentaos el diagraa de fuerzas del cuerpo libre correspondiente a la viga, con F = 7 = 5 kg b= 0.4 P= 0 kg a= 0.5 Escribios las Ecuaciones Cardinales de la R Estática, toando oentos en A: x T cos 0º = R A x T sen 0º + Ry = F + P F P l T sen 0º = bf + ap a de odo que disponeos de ecuaciones con incógnitas (T, R x, R y ). Sustituyendo valores y resolviendo el sistea de ecuaciones, teneos: T cos 0º = Rx Rx = T cos 0º = 4 cos 0º =. kg = 9 N T sen 0º + Ry = = 5 Ry = 5 T sen 0º = 5 7 = 8 kg = 78 N 7 T sen 0º = = 7 T = = 4 kg = 7 N sen 0º El ódulo y la dirección de la reacción en el apoyo A son: R= R + R =. + 8 = 4.5 kg = 45 N x y Ry 8 θ =arctg = arctg =.4º R. x A R y b 0.4 B 0º 0º C Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

3 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de 004. Un carrito pesa 8 kg y se ueve sin fricción, con una velocidad de /s, sobre unos rieles rectilíneos y horizontales. Dejaos caer verticalente un pequeño objeto de kg de asa sobre el extreo delantero del carrito. Inicialente, la velocidad del objeto es nula; pero, coo consecuencia de su fricción con el carrito (coeficiente μ = 0.), terina quedando en reposo sobre el carrito, con tal que la longitud l de éste sea suficienteente grande. a) Calcular la velocidad final del sistea y el tiepo epleado en alcanzarla. b) Deterinar el valor ínio de la longitud del carrito que perita que el objeto se detenga sobre él. M l v 0 a) Sea v f la velocidad final del sistea cuando el objeto, después de deslizar sobre el carrito, queda en reposo sobre f el iso. Puesto que no existen fuerzas externas al sistea M f carrito objeto que tengan coponentes en la dirección horizontal, se conserva la cantidad de oviiento del v sistea en esa dirección. Esto es, 8 Mv0 = ( M + ) v M f vf = v0 = = 0.8/s l M + 0 a única fuerza que actúa sobre el objeto (en la dirección de su oviiento) es la de fricción, de odo que la ec. de su oviiento es: f = aobj μg = aobj aobj = μg = = 0.98 /s de odo que el objeto posee un oviiento uniforeente acelerado, partiendo del reposo, hasta que adquiere la velocidad final v f. Podeos escribir: vf 0.8 v= at vf = aobjtf tf = = = 0.8 s a 0.98 b) El trabajo realizado por la fuerza de rozaiento durante el recorrido x que realiza el objeto sobre el carrito es igual a la pérdida de energía cinética que experienta el sistea durante ese proceso. Esto es, Mv0 ( M + ) vf = μgx Despejaos el recorrido x d esta expresión y obteneos Mv0 ( M + ) vf 4. x = = = = 0.4 = 4c μ gx de odo que la longitud del carrito deberá ser ayor de 4 c a fin de que el objeto no se salga por la parte trasera del carrito. obj Otro étodo b) a única fuerza que actúa sobre el carrito en la dirección de su oviiento es la fuerza de rozaiento. Calculaos la aceleración del carrito: f = Macar μg = Macar acar = μ g = = 0.5 /s M 8 Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

4 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de 004 En el referencial del carrito, el objeto se ueve inicialente con una velocidad v 0 (esto es, hacia la parte trasera del carrito) y va disinuyendo su velocidad (relativa) hasta que finalente queda en reposo en ese referencial. a aceleración del objeto con respecto al carrito (aceleración relativa) es: arel = aobj acar = 0.98 ( 5) =. /s de odo que el objeto presenta un oviiento uniforeente retardado relativo al carrito. Utilizando la bien conocida fórula de la cineática v = v0 + ax, durante el proceso de frenado, obteneos el espacio que recorre el objeto sobre el carrito: v 0 = v a x x= = = 0.4 = 4 c. 0 0 rel arel de odo que la longitud del carrito deberá ser ayor de 4 c a fin de que el objeto no se salga por la parte trasera. Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

5 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Una varilla de longitud y asa puede girar sin rozaiento alrededor de un eje horizontal O que pasa por su punto edio. En uno de los extreos de la varilla hay adherida una asa puntual. Se abandona el sistea en posición horizontal. Deterine: a) a posición del centro de asa. b) El oento de inercia del sistea respecto al eje O. c) a velocidad angular cuando la varilla alcance la posición vertical. d) a aceleración angular cuando la varilla fora un ángulo θ con la vertical. e) a fuerza que ejerce el eje sobre la varilla cuando ésta alcanza la posición vertical. θ O a) Toaos el origen en O: x ( /) + ( 0) = = OG = h= 4 c 4 b) El oento de inercia del sistea es la sua de los oentos de inercia de la asa y de la varilla: IO = + = + = 4 c) El oviiento del sistea consiste en una rotación pura alrededor del eje O. Puesto que el sistea es conservativo, la conservación de la energía se expresa en la fora: g 0 = g + IOω g = ω ω = d) Aplicaos la Ecuación Fundaental de la Dináica de la Rotación, toando oentos en el eje de rotación: g senθ ghsenθ 4 g ghsenθ = IOα α = = = senθ I O e) Aplicaos la Ecuación Fundaental del Moviiento del c.. del sistea: ( ) ( ) R g = a R = g + a c y teniendo en cuenta que las coponentes tangencial y noral del c.., para la posición vertical ( θ = 0 ), son: a t = αh= α = g senθ = 0 a g g n = ω h= = resulta que a c = a n, de odo que 7 R = ( g+ ac ) = g + = g 4 c G G O h a c G θ O g ω R O ω Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

6 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Un paralelepípedo de cierto aterial elástico (coeficiente de Poisson μ = 0. y ódulo de Young E = 0 7 N/c ), que a cierta teperatura tiene diensiones a = 0 c, b = 0 c y c = 40 c, se introduce entre dos ordazas rígidas, planas, paralelas y horizontales separadas por una distancia c. Por efecto de un c a auento de teperatura, en ausencia de tensiones ecánicas, el paralelepípedo b experienta una dilatación térica unitaria de en cada una de las tres diensiones dadas. a) Calcular el valor de la tensión y de la fuerza ejercida por las ordazas que ipiden la dilatación térica del aterial en la dirección vertical. b) Deterinar las dilataciones unitarias y absolutas que, en estas condiciones, tendrán realente cada una de las aristas. c) Hallar la variación unitaria de voluen del paralelepípedo. a) Coo consecuencia de la dilatación térica, aparecen esfuerzos ecánicos copresores en la dirección del eje z, que contrarrestan la dilatación térica; esto es, σ = Eεtér = = 5 0 N/ y, por ser copresor, será negativo: 4 7 σ = 5 0 N/ 7 a fuerza copresora ejercida sobre las caras será: F = σ S = abσ = =.5 0 N b) Escribios las Ecuaciones Elásticas para valorar las deforaciones unitarias debidas a los efectos puraente ecánicos: ( ) σ εxx = σxx μσ yy μσ = μ 7 E E 5 0 εxx = εyy = 0. = σ 0 εyy = ( μσxx + σ yy μσ ) = μ E E σ 4 ε = ( μσxx μσ yy + σ ) = = ( εtér ) =.5 0 E E as deforaciones unitarias reales serán la superposición (sua) de las de origen elástico y de origen térico. Esto es, y las deforaciones absolutas pedidas son c) a variación unitaria del voluen es: ε = ε = =.5 0 * 4 4 ε = = 0 * * xx yy * * 4 5 Δ a = aε xx = =.5 0 =.5 μ * * 4 5 Δ b = bε yy = = = 97.5 μ * * Δ c = cε = 0 ΔV V * = ε + ε + ε = * * * 4 xx yy x z b σ σ c 4 a y Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

7 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Calcular la ecuación del oviiento arónico resultante de la coposición de: x sen t π π = ω + x = 4sen ωt+ 6 4 Abos.a.s. tienen la isa frecuencia, lo que nos perite utilizar de odo inediato la representación de Fresnel, copleja o fasorial de tales oviientos. Esto es, x sen( ωt 0º ) = + X= 0º = x = 4sen( ωt+ 45º ) X = 4 45º =.8+.8 jj I A X= X + X = j = 6.94 = º 0.67 rad y la ecuación del oviiento resultante es Otro étodo ( ωt ) x= 6.94sen A φ φ A partir de la representación geoétrica de Fresnel (fasorial) del.a.s., resulta inediato la deterinación del ódulo de.a.s. resultante: ( ) A= A + A + AA cos φ φ = cos5º = 6.94 así coo la fase inicial del iso: A senφ + A senφ sen 0º + 4 sen 45º A cosφ + A cosφ cos 0º + 4 cos 45º tgφ = = = 0.80 φ = 8.6º = 0.67 rad y la ecuación del oviiento resultante es ( ωt ) x= 6.94sen A φ Re Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

8 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Disponeos de un depósito de agua de grandes diensiones y abierto a la atósfera que desagua a la atósfera a través de un tubo vertical, de sección constante, que está acoplado a su fondo, tal coo se indica en la figura. a) Calcular la velocidad de salida del agua por el tubo. b) Expresar la presión en función de la cota z edida a partir del extreo inferior del tubo, representarla gráficaente y explicar la caída de presión en la entrada del tubo de desagüe. H h a) Aplicaos la ec. de Bernoulli entre y : pat + ρgh = pat + ρv v= gh que es el iso resultado que nos proporciona el Teorea de Torricelli. b) Aplicaos la ec. de Bernoulli entre el punto y un punto genérico contenido en el depósito (de cota h < z < H): at at ( ) p + ρgh = p + ρgz p = p + ρg H z Aplicaos la ec. de Bernoulli entre el punto y un punto genérico contenido en el tubo (de cota 0 < z < h): pat + ρv = p+ ρgz+ ρv p= pat ρgz En la representación gráfica, observaos que la presión presenta una discontinuidad (caída brusca) en la entrada del tubo, ya que ( ) + ph ( ) = pat + ρg H h ph ( ) = pat ρgh H + p( h ) p( h ) = ρgh que es consecuencia de haber considerado despreciable la velocidad del agua en el depósito, incluso en las proxiidades de la entrada del tubo, lo que es una aproxiación que no se ajusta a la realidad. h z v z p p at +ρg(h-h) p at ρgh p at -ρgh h H z Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

9 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Dos litros de nitrógeno (gas biatóico), inicialente a presión atosférica y 7º C, evolucionan según las transforaciones reversibles siguientes: ) Un calentaiento a presión constante hasta duplicar el voluen inicial. ) Una expansión adiabática hasta alcanzar la teperatura inicial. ) Una transforación que cierra el ciclo, y cuya representación es una recta en el diagraa p-v. Calcular los balances de calor y trabajo y los cabios de energía interna, entalpía y entropía en cada una de las transforaciones. Datos: R =.987 cal/ol K = at l/ol K. 5 7 C p 7 CV = R Cp = R γ = = =.4 C 5 Deterinaos el núero de oles: pv pv = nrt n = = = 0.08 ol RT Deterinación de los procesos ( ) Proceso de expansión isobárica: V V V 4 = T = T = 00 = 600 K T T V V p (at) K 00 K.6 V() ( ) Proceso de expansión adiabática: pv γ γ = cte. TV = cte. / T / 0.4 TV = TV V = V = 4 =.6 T ( ) Proceso de copresión politrópica: pv = pv p = p = = at.6 V V Balances energéticos ( ) Proceso de expansión isobárica: 7 Q = ncp ( T T ) = = 70 cal = 709 J W = p ( V V ) = = at = 48 cal = 0 J 5 Δ U = ncv ( T T ) = = cal = 506 J 7 Δ H = ncp ( T T ) = = 70 cal = 709 J T 7 cal J Δ S = ncp ln = ln = 0.9 =.64 T K K ( ) Proceso de expansión adiabática: Q W = 0 = Δ U = cal = 506 J p (at) V () T (K) Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

10 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Δ U = ncv ( T T ) = ( 00) = cal = 506 J 7 Δ H = ncp ( T T ) = ( 00) = 70 cal = 709 J Δ S = 0 ( ) Proceso de copresión politrópica: Δ U = 0 ya que T H 0 Δ = = T Δ U = Q W = 0 Q = W Q = W = área del trapecio = ( )(.6 - ) =. at = 7 cal = 6 J cal J Δ S = -Δ S = 0.9 =.64 K K Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

11 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de Una barra dieléctrica de longitud está colocada perpendicularente a una distribución lineal de carga unifore e infinitaente larga, de densidad lineal de carga λ positiva. El extreo ás próxio de la barra a la carga lineal dista de ésta D. a barra posee una carga total Q, tabién positiva y distribuida uniforeente en toda su longitud. Deterinar la fuerza que se ejerce sobre la barra. λ +Q D E λ l y Coenzaos encontrando la expresión de la intensidad del capo eléctrico a un distancia y de una distribución lineal de carga unifore e infinitaente larga. Aplicaos el teorea de Gauss a una superficie gaussiana de fora cilíndrica cuyo eje sea la propia distribución lineal de carga: esto es, λl λ Ei ds = E ds E ds = E π yl = E = S = ε πε y Puesto que el capo eléctrico no es unifore a lo largo de toda la barra dieléctrica, para calcular la fuerza ejercida sobre la barra debeos proceder por integración, descoponiéndola en eleentos de longitud dy de carga dq = λ dy, con λ = Q/ : o sea lateral lateral D+ λλ dy λλ dy λλ D+ df = E dq= F = ln πε y πε = y πε D 0 0 D 0 λλ ln D + λ F Q ln D + = = πε D πε D λ dy y Q D Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

12 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de En el circuito esqueatizado en la figura, todo él, y entre A y B, se coporta coo un generador ideal con su resistencia interna. Hállense razonadaente: a) a fuerza electrootriz y resistencia interna del generador. b) a intensidad que pasaría por una resistencia de Ω colocada entre A y B, de acuerdo al apartado anterior. V A Ω 4 Ω 4 Ω Ω B a) Por cada una de las raas circula una intensidad de corriente: I = E A R = 6 = a d.d.p. entre A y B coincide con la f.e.. equivalente entre esos puntos, de odo que V AB = ( ) + 4() = = 4 V con el borne A positivo. Para deterinar la resistencia interna del generador equivalente entre A y B cortocircuitaos esos bornes y calculaos la intensidad de cortocircuito (i corto ) que circula por la raa A y B de resistencia nula. Aplicaos el étodo atricial de Maxwell para calcular las intensidades de alla: 6 4 I I = I I Δ=96 Ω I icorto = I I =.5 A (A B) E 4 8 r =.67 Ω I = eq = = = icorto.5 V V A Ω 4 Ω Ω I I A 4 Ω = = = 4.5 A A A = 0 0 = =.5 A = =.0 A I 4 Ω Ω 4 Ω Ω B B b) a intensidad pedida es: A Ω B 4 I = = =.09 A 8/+ I 4 V, 8/Ω Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

13 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de 004. Un anillo delgado y conductor, de radio r, se encuentra en un capo agnético unifore de dirección perpendicular al plano del anillo y que varía con el tiepo según la ley B = kt, donde k es una constante positiva. Deterinar la intensidad del capo eléctrico en el anillo (su ódulo y su sentido). Explicar la naturaleza de dicho capo eléctrico. Calculaos el flujo agnético a través del anillo Φ= BS = π r kt Puesto que el flujo varía con el tiepo, se induce en el anillo una f.e.. que viene dada por la ley de Faraday: dφ E= = πr k dt y tiene el sentido que se indica en la figura (antihorario). a f.e.. se define coo la circulación del capo eléctrico (no-electrostático) a lo largo de todo el anillo. Calculaos dicha circulación a lo largo de una línea de capo: de odo que E = Eneidl = Enedl= Ene dl= πre ne E πrk kr Ene = = = πr πr y tiene el iso sentido que la f.e.. E ne B fe Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008

14 Fundaentos Físicos de la Ingeniería Exaen final / 9 de junio de 004. En una red de 0 V, 50 Hz, se desea instalar una lápara incandescente especificada para consuir una potencia de 65 W a una tensión áxia de 0 V. Para conectar esta lápara a la red antes indicada se pretende instalar un condensador en serie con la isa. a) Qué capacidad ha de tener dicho condensador? b) Si se variara la frecuencia a 60 Hz, qué potencia consuiría entonces la lápara? a) Deterinaos la intensidad de trabajo de la lápara y su resistencia eléctrica a partir de los valores noinales de su potencia y tensión de trabajo: P= VI I 65 no no = = = Vno A V Vno 0 I = R= = = 60 Ω R I 0.5 no P 0 V, 50 Hz Si conectáseos la lápara directaente a la red de 0 V, la intensidad que circularía por ella superaría a la de trabajo (0.5 A) y la dañaría. Para evitarlo, colocaos una reactancia en serie con la lápara para auentar la ipedancia de la raa y disinuir la intensidad de la corriente a través de ella. 0 V, Deterinaos el valor de la reactancia apropiada para liitar el paso de intensidad por la lápara: V V 0 Ino = Z = = = 440 Ω Z I 0.5 no 50 Hz I = 0.5 A I = 0.5 A Z = R + X X = Z R = = 55 Ω R = 60 Ω R = 60 Ω Conocida la reactancia, deterinaos la capacidad del condensador: 6 X = C = = = F = 8.97 μf ωc ωx 00π 55 b) Si variaos la frecuencia, anteniendo el iso condensador, variará la reactancia y la intensidad que circula por la resistencia. 00π 55 X = = = 96 Ω Z = R + X = = 94 Ω ω C 0π V 0 I = = = 0.56 A P = I R= 8 W Z 94 lo que resulta excesivo y la lápara se dañará. X Creación: 9/06/004 - Revisión: 04/04/008 - Ipresión:04/04/008