Trabajo sobre Simulación de Procesos Poisson y Distribuciones Multivariadas

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Veronica Torregrosa Romero
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1 Trabajo sobre Simulación de Procesos Poisson y Distribuciones Multivariadas Norman Giraldo Gómez Escuela de Estadística. Universidad Nacional de Colombia ndgirald@unalmed.edu.co Marzo, Introducción Este trabajo consiste de dos puntos: uno de la sección sobre el Proceso Poisson y otro de la sección de Multivariadas. Cada estudiante tiene asignados estos puntos de la lista a continuación. Las notas siguientes son para aclarar algunos puntos del trabajo. 1. (Manejo del proceso Poisson no homogéneo) Si N t es un proceso Poisson No Homogéneo (PPNH) con intensidad λ(t),t [0,T] entonces se cumple: E(N t2 N t1 ) = t2 λ(s)ds, <t 2 <T, P (N t2 N t1 = k) = e t 2 λ(s)ds ( t2 ) k λ(s)ds /k!,k =0, 1, Hay tres funciones de intensidad para este trabajo, definidas a continuación. Cada tema tiene asignada una de estas funciones. a) λ(t, s, l) =le st, con s =0.08,l =3.2. b) λ(t, s, l) =l(1 + cos(2πt/s))/2, con s =20,l =3.2. c) λ(t, s, l) =2l(s/2 t s ) + /s, con s =20,l =3.2. 1

2 3. En todos los casos s y l son parámetrosy el parámetro l cumple con λ(t) l, t. 4. En el caso 3 la función λ(t) es un triángulo isósceles con la base de la altura en t = s, y longitud de la base igual a s. El símbolo (x) + corresponde a la función parte positiva de x, con (x) + = x si x>0,y(x) + =0six (Interpretación de cada caso) En el caso 1 las llegadas promedio decrecen con el tiempo, en el 2 hay dos horas pico y en el 3 las llegadas ocurren solamente en la mitad del período. 2. Preguntas 2.1. Proceso Poisson Recordar que la definición concreta de λ(t) es uno de los tres casos mencionados. 1. Suponga que los clientes de un almacén llegan según un proceso PPNH N t con función de intensidad λ(t), con t en horas. Después de un tiempo T no se permite la entrada de más clientes. Asumimos T = 48 horas. a) Calcule el promedio de clientes que llegan en la primera hora, en la última hora y durante el período de 48 horas. b) Simule el proceso N t durante el período [0,T], usando el algoritmo de adelgazamiento (ver Ross, [3], pag. 77), tomando como valor λ tal que λ(t) λ el valor del parámetro l. Reporte el algorimo o su programa. c) Reporte las gráficas de la trayectoria simulada de N t, de la función λ(t) y del correspondiente proceso Poisson homogéneo de tasa λ = l. Comente sobre el resultado: se observó el efecto de la forma de λ(t) en el número de llegadas promedio?. 2. Suponga que los pasajeros de una línea de buses llegan según un proceso PPNH N t con función de intensidad λ(t), con t en minutos. Un bus salió en el tiempo t = 0 sin dejar pasajeros esperando. Sea W el tiempo de llegada del próximo bus. Entonces el número de pasajeros que estarán esperando es N W. Suponga que W es aleatorio con densidad uniforme en el intervalo (5, 15), W U(5, 15), y que además N t y W son independientes. 2

3 a) Encuentre E(N W W )ye(n W ). c) Simule n = 1000 valores de N W y compare el valor de la media obtenido con esta simulación con el valor teórico obtenido en a). d) Reporte el histograma de N W. e) Calcule P (N W = 0) Distribuciones Multivariadas 1. Si X = (X 1,X 2,X 3,X 4 ) tiene una distribución normal conjunta con media µ =(2, 3, 2, 3) y matriz de covarianzas: R = a) Simule n = 300 datos de X b) Considere la variable condicionada Y X tal que Y X N(β 0 + β X,σ 2 ) (1) donde β 0,β =(β 1,...,β 4 ),σ 2 son parámetros. Simule n = 300 datos de Y con base en los datos simulados en la parte a). Escoja los parámetros colocando alguno no significativo (por ejemplo, un valor cercano a cero, ó similar). Reporte el algoritmo ó el programa. c) Reporte las gráficas Y i versus X j,i para j =1, 2, 3, 4. Comente acerca de la relación que se observa y el coeficiente respectivo β j. 2. Si X = (X 1,X 2,X 3,X 4 ) tiene una distribución normal conjunta con media µ =(2, 3, 2, 3) y matriz de covarianzas: R =

4 a) Simule n = 300 datos de X. b) Considere la variable condicionada Y X {0, 1} tal que P (Y =1 X) = (1 + exp( β 0 β X)) 1, (2) donde β 0,β =(β 1,...,β 4 ) son parámetros. Note que (2) es un modelo logístico. Para consulta sobre modelos logísticos ver [1]. Simule n = 300 datos de Y con base en los datos simulados en la parte a). Escoja los parámetros colocando alguno no significativo (por ejemplo, un valor cercano a cero, ó similar). Reporte el algoritmo ó el programa. c) Reporte las gráficas Y i versus X j,i para j =1, 2, 3, 4. Comente acerca de la relación que se observa y el coeficiente respectivo β j. 3. Considere la variable bidimensional (X, Y ) con fdp dada por f(x, y) =C exp( (y x 2 ) 2 (x 2 + y 2 )/2), (x, y) R 2 donde C = es la constante de normalización. a) Grafique la superficie f(x, y). b) Simule n = 1000 datos de (X, Y ) con base en el algoritmo de transformada inversa, encontrando cuál opción en más viable: si f X (x Y = y)óf Y (y X = x), es decir, si es más viable condicionar sobre Y ó sobre X. c) Reporte un diagrama de dispersión de los datos (x i,y i ) y un diagrama de curvas de nivel. d) Reporte la covarianza y la correlación estimadas. Comente sobre estos valores. 4. Este punto es sobre la distribución Weibull Bivariada, (WB), según se describe en Johnson et al. [2], pag.5. Este documento está en la página web del curso. También se puede bajar por Internet. a) Dé la definición de la distribución WB, según Johnson et al. [2], pag.5. Además, investigue en este documento (y reporte) la aplicación en la tecnología de la madera de la WB. b) Describa el algoritmo para simular la WB, en la pag. 5 de [2]. 4

5 c) Simule n = 1000 datos de una variable (X 1,X 2 ) WB(δ, β 1,β 2 ). Escoja los parámetros con base en varios ensayos y escoja uno a su gusto. Sugerencia: en el documento, [2] hay ejemplos sobre la WB con valores de los parámetros que se pueden usar para este punto. d) Repita N = 100 veces y reporte un histograma de la correlación. Referencias [1] Harrell, F. E., Jr.(2001) Regression Modeling Strategies. Springer. [2] Johnson, R. A., Evans, J. W. and Green, D.W. (1999). Some Bivariate Distributions for Modeling the Strength Properties of Lumber. Res. Paper FPL-RP-575, Madison, WI: US Department of Agriculture, Forest Service, Forest Products Laboratory. [3] Ross, S. M. (1999). Simulación. Segunda Edición. Prentice Hall. México. 5

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