Ejercicios de Vectores y Trigonometría

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Inmaculada Morales Mendoza
hace 6 años
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1 Ejercicios de Vectores y Trigonometría 1) Suma los siguientes vectores gráficamente. 2) Suma gráficamente los tres vectores siguientes. c 3) Suma estos dos vectores paralelos y de igual sentido. Determina módulo dirección y sentido. a=5,0 b=3,3 4) Suma estos dos vectores paralelos y de sentidos opuestos. Determina módulo dirección y sentido. a=5,0 b=3,3 5) Suma estos dos vectores perpendiculares. Determina el módulo, la dirección y el sentido. a=3,2 b=5,3 1

2 6) Suma estos dos vectores que forman un ángulo de 40º. Determina el módulo, la dirección y el sentido. a=6,0 b=3,0 7) Suma estos dos vectores que forman un ángulo de 130º. Halla el módulo dirección y sentido. a=4,4 b=3,2 8) Dado los dos vectores de abajo, realiza la siguiente operación gráficamente: 3 a b 2. a=2,7 b=6,5 b 9) Suma el vector a=2 î+ 5 ĵ con el vector b= î+ 3 ĵ. Determina su módulo y el ángulo que forma con el eje. 10) Una barca, se mueve a 5 m/s con respecto al agua de un río. Pero el agua del río se mueve a 2 m/s río abajo. Si la barca pone un rumbo perpendicular a la orilla, a qué velocidad se estará moviendo con respecto a la orilla? Cuánto se desvía? Hay que tener en cuenta, que mientras que la barca avanza perpendicularmente a la orilla, es arrastrada por el agua. 11) Si queremos que la barca del ejercicio anterior se mueva perpendicularmente a la orilla, qué rumbo debe tomar? A qué velocidad neta se moverá con respecto a la orilla? 2

3 Respuestas 1) Podemos sumar estos dos vectores de la siguiente manera: = b también así: = b Se obtiene el mismo resultado. 2) Podemos sumarlos directamente por el primer método. c = b c Los vectores se pueden sumar en el orden que queramos, por ejemplo. c = b c Si quisiéramos, podríamos sumar dos vectores, y al resultado sumarle el tercer vector. Por supuesto, da igual el orden en el que lo hagamos. 3

4 t c t t = b c = t = b c 3) Al sumar los dos vectores gráficamente, podemos ver que el vector suma también será un vector paralelo y con el mismo sentido que ellos dos. El módulo es la suma de los módulos. a=5,0 b=3,3 = b s=a=5,0 3,3=8,3 El vector suma lo he desplazado un poco para que no tape a los otros dos. 4) Al sumar los dos vectores gráficamente, vemos que el vector suma es un vector paralelo a los dos y con el sentido del de mayor módulo. El módulo del vector suma es igual a la diferencia de módulos (el módulo mayor menos el módulo menor). a=5,0 b=3,3 = b s=a b=5,0 3,3=1,7 El vector suma lo he desplazado un poco para que no tape a los otros dos. 5) Al sumar gráficamente estos dos vectores, vamos a obtener un triángulo rectángulo, y podremos determinar el módulo del vector suma con el Teorema de Pitágoras. También podemos determinar un ángulo con respecto a un vector de los que se suman, aplicando la función tangente. a=3,2 b=5,3 = b s= 2 2 = 3,2 2 5,3 2 6,2 =arctan a 3,2 =arctan b 5,3 31,1º Otra manera de resolver el ejercicio, es dibujando un sistema de ejes perpendiculares entre sí. Pero puesto que no conocemos los ángulos que forman los vectores con los ejes, vamos a dibujar los ejes inclinados, haciendo coincidir uno de los ejes con un vector. Si hacemos esto, en este caso particular, nos van a coincidir los dos vectores con los ejes. La 4

5 situación es la siguiente. a=3,2 b=5,3 Coordenadas de los vectores a=(3,2,0) b=(0, 5,3) s= a+ b=(3,2,0)+ (0, 5,3)=(3,2, 5,3) El módulo de la suma es s= 3, ,3 2 6,2 el ángulo α=arctan( 3,2 α es 5,3 ) 31,1º Como vemos, obtenemos el mismo resultado trabajando con coordenadas. 6) Vamos a colocar el eje haciéndolo coincidir con el vector a, pero con el sentido cambiado. Descomponemos el vector b en bx más b y. a=6,0 b=3,0 b y 40º b x b b= b x + b y b x =b sin 40º=3,0 sin 40º 1,9 b y =b cos 40º=3,0cos 40º 2,3 El vector es b=(1,9; 2,3), mientras que a=(0 ; 6,0). Sumamos los dos vectores utilizando las coordenadas. s= a+ b=(0 ; 6,0)+ (1,9 ; 2,3)=(1,9 ; 8,3) Ahora represento el vector suma también. 5

6 a=6,0 b=3,0 Coordenadas de los vectores a=(0; 6,0) b=(1,9; 2,3) b s= a+ b=(0; 6)+ (1,9 ; 2,3)=(1,9; 8,3) El módulo de la suma es s= 1, ,3 2 8,5 el ángulo α es α=arctan 1,9 8,3 12,9º 7) Coloco el eje haciéndolo coincidir con el vector a. a=4,4 b=3,2 a b= b x + b y 130º b x b y 50º b b x =bsin 50º=3,2sin 50º 2,5 b y =bcos50º=3,2cos50º 2,1 ahora, descomponemos el vector b en bx más b y. El vector es b=(2,5 ; 2,1), mientras que a=(0; 4,4). Sumamos los dos vectores utilizando las coordenadas. s= a+ b=(0 ;4,4)+ (2,5; 2,1)=(2,5;2,3) Ahora represento el vector suma también. El ángulo α lo hemos tomado esta vez con respecto al eje. 6

7 a=4,4 b=3,2 Coordenadas de los vectores a=(0; 4,4) b=(2,5; 2,1) a s s= a+ b=(0;4,4)+ (2,5; 2,1)=(2,5;2,3) El módulo de la suma es s= 2, ,3 2 3,4 el ángulo α es b α=arctan 2,5 2,3 47,4º 8) Tenemos que realizar la siguiente suma de vectores gráficamente: El vector 3 es un vector de igual dirección y sentido que, y cuyo módulo es tres veces mayor. Por otra parte, el vector 1/2 b es un vector con igual dirección que b, pero de sentido opuesto, y cuyo módulo es la mitad. a=2,7 b=6, b =3 1 2 b 9) Colocamos el sistema de referencia y dibujamos los vectores. Ahora, simplemente sumamos sus coordenadas, o sus componentes. s= a+ b=2î + 5 ĵ î+ 3 ĵ=î+ 8 ĵ Ahora representamos gráficamente el vector. 7

8 Determinemos el módulo y el ángulo. s= ,06 α=arctan ,87 º 10) La barca está sometida a dos velocidades con respecto al suelo. Tiene una velocidad perpendicular a la orilla de 5 m/s y otra perpendicular (río abajo) de 2 m/s. La velocidad neta a la que está moviéndose la barca, es la suma vectorial de las dos velocidades. v b θ v v a Hemos representado en el dibujo, por v a a la velocidad del agua con respecto al suelo, por v b a la velocidad de la barca con respecto al agua, y por v, a la velocidad resultante de la barca con respecto al suelo. El módulo de v es, el ángulo que se desvía es, v= v a 2 v b 2 = =5,39 m s θ=arctan v a v b =arctan 2 5 =21,8º 11) En esta nueva situación la barca debe tomar un rumbo de φ grados corriente arriba, para que al sumarle la velocidad del agua a la velocidad de la barca, nos de una velocidad perpendicular a la orilla. φ v b v v a A diferencia del ejercicio anterior, el módulo de la velocidad neta, es un cateto del triángulo que se forma. el ángulo que hay que desviarse es, v= v b 2 v a 2 = =4,58 m s φ=arctan v a v =arctan 2 4,58 =23,6º 8

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