Relación de Contacto y los Ángulos de Aproximación y Receso.

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1 Relación de Contacto y los Ángulos de Aproximación y Receso. José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica. División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato Carretera Salamanca-Valle de Santiago Km Salamanca, Gto., México Tel , Ext jrico@ugto.mx Estas notas tienen como objetivo analizar la relación de contacto entre un par de dientes de engrane desde tres puntos de vista diferentes, uno de esos puntos de vista, el menos conocido, involucra el cálculo de los ángulos de aproximación y receso del contacto entre el par de dientes. Un tema interesante que no es adecuadamente tratado en los libros de texto tradicionales. 1 La acción entre un par de dientes de engrane. Considere la figura 1, que muestra un par de engranes en contacto, el engrane 1 es el motriz y el engrane 2 es el conducido, la línea tangente a ambos círculos base es la línea de acción. Puesto que el perfil de ambos dientes es de una curva involuta, y la normal en cualquier punto de una curva involuta es tangente al círculo base, entonces la normal común a ambos perfiles es tangente a ambos círculos base y el contacto entre los dientes siempre ocurre en la línea de acción. c c C C D D Figure : d d Figure 1: Contacto entre un par de dientes. 1

2 El contacto entre la pareja de dientes inicia cuando la línea de acción intersecta el radio de adendo del engrane conducido, 2, R o2, (r a2 ), 1, punto E 1, (B 1 ), y finaliza cuando la línea de acción intersecta el radio de adendo del engrane conductor, 1, R o1, (r a1 ), punto E 2, (B 2 ). La figura 1 muestra el par de dientes en contacto en el inicio y en la finalización del contacto así como en una posición intermedia. Es importante identificar los siguientes puntos: Los puntos C y c son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor, al inicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de paso, (r 1 ), y el radio base R b1, (r b1 ), del engrane conductor. Los puntos D y d son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido, al inicio del contacto entre el par de dientes, con el radio de paso, (r 2 ), y el radio base R b2, (r b2 ), del engrane conducido. Los puntos C y c son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conductor, al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de paso, (r 1 ), y el radio base R b1, (r b1 ), del engrane conductor. Los puntos D y d son las intersecciones del perfil de involuta del diente del engrane conducido, al finalizar el contacto entre el par de dientes, con el radio de paso, (r 2 ), y el radio base R b2, (r b2 ), del engrane conducido. Además, se tiene que CC es el arco de acción del engrane conductor, y DD es el arco de acción del engrane conducido. 2 Puesto que los círculos de paso de los engranes se comportan como si rodarán sin deslizamiento, entonces CC = DD. Estos arcos de acción, que tienen la misma longitud, representan el perímetro asociado a los ángulos de los engranes conductor, γ 1, y conducido, γ 2, estos si diferentes, durante los cuales una pareja de dientes de engrane están en contacto. Estos ángulos se descomponen de la siguiente manera: El ángulo α 1 = CO 1 I es el ángulo de aproximación del engrane 1. El ángulo β 1 = IO 1 C es el ángulo de receso del engrane 1. El ángulo α 2 = DO 2 I es el ángulo de aproximación del engrane 2. El ángulo β 2 = IO 2 D es el ángulo de receso del engrane 2. De manera que γ 1 = α 1 +β 1 γ 2 = α 2 +β 2. Por otro lado, el ángulo de los engranes conductor y conducido subtendido por un diente del engrane y el hueco correspondiente están dados por ν 1 = 360 = 2π ν 2 = 360 N 2 = 2π N 2 donde la primera de las expresiones en cada ecuación está dada en grados mientras que la segunda expresión está dada en radianes. 1.1 Primera manera de calcular la relación de contacto. Entonces, relacionando estos ángulos, es posible determinar la relación de contacto, m p, entre la pareja de dientes de un engranage como m p1 = γ 1 ν 1 = α 1 +β 1 ν 1 = m p = α 2 +β 2 ν 2 = γ 2 ν 2 = m p2. 1 Este apunte, indica la notación empleada en clase y en paréntesis la notación de la figura. 2 El símboloù, se emplea en lugar de un arco curvado, para indicar que la longitud CC 0 DD se miden a lo largo de los círculos de paso. 2

3 La relación de contacto representa el promedio, sobre la base de tiempo suponiendo velocidad angular constante, del número de pares de dientes en contacto durante la operación del engranaje. Si m p = 1.6 este resultado significa que durante la operación del engranaje existen, por momentos, 2 pares de dientes en contacto y, en otros momentos, existe un único par de dientes en contacto. Si la relación de contacto es elevada, cercana a 2, pueden existir por momentos 3 pares de dientes en contacto. Desde un punto de vista teórico, el mínimo valor de la relación de contacto es m p = 1 sin embargo este valor requeriría engranes perfectamentamente manufacturados, pues si por algún error, la relación de contacto fuera menor que 1 habría instantes durante los cuales no existiría contacto entre ninguna pareja de dientes. En la práctica, el valor mínimo de la relación de contacto es m p = 1.2, sin embargo, este valor requiere una alta calidad de los engranes. 1.2 Segunda manera de calcular la relación de contacto. El primer cálculo de la relación de contacto se realizó mediante una relación de ángulos, en un segundo cálculo, la relación de contacto se determinará relacionando los arcos de acción con la longitud, medida sobre los radios de paso, asociada a un diente de engrane y su hueco correspondiente. Estas longitudes están dadas por los pasos circulares, del engrane conductor, p c1 y del engrane conducido, p c2, y para engranes estándar deben ser iguales; es decir p c1 = ν 1 = 2π = p c = 2π N 2 = ν 2 = p c2 Por lo tanto, una segunda manera, equivalente a la anterior, de calcular la relación de contacto entre una pareja de engranes está dada por m p1 = CC p c1 = m p = DD p c1 = m p Tercera manera de calcular la relación de contacto. Finalmente, una tercera manera de determinar la relación de contacto consiste en relacionar las longitudes asociadasalosarcosdeacciónylalongitudesasociadasaundientedeengraneysuhuecocorrespondiente; pero en este caso estas longitudes están medidas no en el círculo de paso, sino en el círculo de paso. Primeramente, el equivalente al paso circular pero medido en el círculo base, se denomina paso base y está dado por p b1 = ν 1 R b1 = 2πR b1 = p b = 2πR b2 = ν 2 R b2 = p b2, N 2 y, para engranes estándar, debe ser igual para ambos engranes. Además, se tiene que p b = 2πR b N = 2πR pcosφ = p c Cosφ. N donde φ (α) es el ángulo de presión del engranage y al mismo tiempo el ángulo de presión de la involuta en el radio de paso de ambos engranes. Por otro lado, la longitud entre el punto de inicio B 1, determinado por la interseción del radio de adendo del engrane 2 y la normal común, y el punto de finalización B 2, determinado por la interseción del radio de adendo del engrane 1 y la normal común, del contacto entre dientes, conocida como longitud de acción y denotada por Z, puede calcularse como Z = KB 2 +LB 1 KL = KB 1 +B 1 B 2 +LB 2 +B 2 B 1 (KB 1 +B 1 B 2 +B 2 L) = B 1 B 2 por lo tanto, la longitud de acción puede calcularse como» Z =»Ro1 2 R2 b1 + Ro2 2 R2 b2 ( + )Sinφ» =»Ro1 2 R2 b1 + Ro2 2 R2 b2 CSinφ donde C se define como la distancia entre centros y está dada por C = + 3

4 Por otro lado, la distancia B 1 B 2 puede interpretarse como distancias medidas sobre el radio base de ambos engranes. Si se observa la figura 1 se observa que el punto B 1 corresponde al enrollarse sobre el radio base del engrane 1 al punto c, similarmente, el punto B 1 corresponde al enrollarse sobre el radio base del engrane 2 al punto d. De manera semejante, el punto B 2 corresponde al enrollarse sobre el radio base del engrane 2 al punto c, similarmente, el punto B 2 corresponde al enrollarse sobre el radio base del engrane 2 al punto d. Además, el ángulo subtendido por el arcoıcc es igual al ángulo subtendido por el arco de acción CC pues CO 1 c = C O 1 c. Similarmente, el ángulo subtendido por el arcoˆdd es igual al ángulo subtendido por el arco de acción DD pues DO 2 d = D O 2 d. Por lo tanto, una nueva manera de calcular la relación de contacto es m p1 = ı cc p b1 = B 1B 2 p b1 = Z p b1 = m p = Z p b2 = B 1B 2 p b2 =ˆdd p b2 = m p2 1.4 Determinación de la longitud de acción entre un engrane y una cremallera. En esta sección se calculará la longitud de acción entre un engrane y una cremallera. Para realizar esta determinación considere la figura 2. Figure 2: Longitud de acción entre un engrane y una cremallera. La longitud determinada por los puntos de inicio B 1, determinado por la interseción de la línea de adendo de la cremallera y la normal común, y finalización B 2, determinado por la interseción del radio de adendo del engrane y la normal común, del contacto entre dientes, se conoce como longitud de acción y se denota por Z. En este caso particular, la longitud de acción puede calcularse como Z = B 1 B 2 = B 1 P +PB 2 = B 1 P + ( E 1 B 2 E 1 P ) por lo tanto, la longitud de acción puede calcularse como a» Z = Sinφ + Ro1 2 R2 b1»r p1 2 R2 b1 2 Ángulos de aproximación y receso. La primera manera de determinar la relación de contacto requiere el cálculo de los ángulos de aproximación y receso. En esta sección mostraremos como determinar estos ángulos. Para tal fín considere los siguientes ángulos: 4

5 Ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 2, φ o2 = B 1 O 2 L, (α a2 ). Involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 2, invφ o2 = do 2 B 1. Ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 1, φ o1 = KO 1 B 2, (α a1 ). Involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del engrane 1, invφ o1 = B 2 O 1 c. Involuta del ángulo de presión del engranage, o involuta del ángulo de presión de la involuta en el radio de paso de cualquiera de los dos engranes. invφ = do 2 D = d O 2 D = CO 1 c = C O 1 c. Ángulo de presión del engranage o ángulo de presión de la involuta en el radio de paso de cualquiera de los dos engranes. φ = KO 1 I = IO 2 L. Considere ahora Por lo tanto [(φ o2 +invφ o2 ) φ] invφ = [( B 1 O 2 L+ do 2 B 1 ) IO 2 L] do 2 D = [ do 2 L IO 2 L] do 2 D = do 2 I do 2 D = DO 2 I = α 2. α 2 = φ o2 +invφ o2 φ invφ = φ o2 +(tanφ o2 φ o2 ) φ (tanφ φ) = tanφ o2 tanφ. Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene que De manera semejante considere Por lo tanto α 1 = α 2 o α 1 = α 2. [(φ o1 +invφ o1 ) φ] invφ = [( KO 1 B 2 + B 2 O 1 c ) KO 1 I] CO 1 c = [ KO 1 c KO 1 I] C O 1 c = IO 1 c C O 1 c = IO 1 C = β 1. β 1 = φ o1 +invφ o1 φ invφ = φ o1 +(tanφ o1 φ o1 ) φ (tanφ φ) = tanφ o1 tanφ. Finalmente puesto que los radios de paso de los engranes ruedan sin deslizamiento, se tiene que β 1 = β 2 o β 2 = β 1. Es importante señalar que el cálculo de los ángulos de aproximación de aproximación y receso es también importante pues se sabe que la operación de los engranes es más silenciosa durante la fase de receso. Esta observación condujo al diseño de engranes no estándar donde el apareamiento de los engranes ocurre exclusivamente durante la fase de receso. 5

6 3 Ejemplos. En esta sección se presentan algunos problemas típicos asociados a la relación de contacto, a los ángulos de aproximación y receso y a los espesores de los dientes en diferentes radios. 3.1 Ejemplo 1. Un piñón de 18 dientes se generó con un cortador tipo hob de paso diametral 8 y ángulo de presión de 25 y mueve a un engrane de 45 dientes. Calcule los radios de paso, los radios base, el adendo, los radios de adendo, el espesor del diente en los radios de paso, el espesor del diente en el radio de adendo del piñón, la relación de contacto y los ángulos de aproximación y receso para ambos engranes. 3 Solución. Se sabe que los números de dientes de los engranes son De la definición del paso diametral, se tiene que = 18 N 2 = 45 P d = N D p = N 2R p de aquí que R p = N 2Pd Por lo tanto = 2P d = 18 2(8) = = N 2 2P d = 45 2(8) = La distancia entre los centros de los engranes está dada por C = + = = Puesto que el ángulo de presión del hob, φ = 25, este se convierte en el ángulo de presión de la involuta en el radio de paso se supone que se corta de manera estándar; es decir, que la linea de paso del hob sea tangente a los radios de paso de los engranes por lo tanto los radios base de los engranes están dados por R b1 = cosφ = cos25 = R b2 = cosφ = cos25 = Con respecto al adendo, los autores del libro no indican cual es el estándar aplicable, sin embargo, debe notarse que excepto para los dientes stub chaparros, en todos los demás casos, el adendo está dado por Por lo tanto a = 1 P d = 1 8 = R o1 = +a = = 1.25 R o2 = +a = = Ahora se empleará la relación entre el paso circular, p c, y el paso diametral P d, dada por p c = 2πR p N = π2r p N = πd p N = π N D p = π P d = Determinación del espesor de un diente en el radio de adendo. Empleando esta relación, los espesores del diente en los radios de paso de ambos engranes están dados, puesto que se cortaron de manera estándar, por t Rp1 = t Rp2 = p π c 2 = P d 2 = π = π 2P d 2(8) = Este es una adaptación del problema 4.13 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery, Fourth Edition, New Tork, Wiley,

7 Ahora, se calculará el espesor del diente en el radio de adendo del piñón, primero se requiere el ángulo de presión de la involuta en el radio de adendo del piñón. ï ò ï cosφ = R o1 cosφ o1 φ o1 = cos 1 Rp1 cosφ cos25 = cos 1 ò = R o Una vez determinado este ángulo, se tiene que ï ò ï ò trp1 trp1 t o1 = 2R o1 +invφ invφ o1 = 2R o1 +tanφ φ (tanφ o1 φ o1 ) 2 2 ï Å ãò = 2(1.25 ) 2(1.125 ) +tan25 25 π 180 tan π 180 = Determinación de la relación de contacto. Para el cálculo de la relación de contacto, se necesita conocer el paso base p b = p c cosφ = cos25 = La longitud de acción entre una pareja de dientes de engrane, está dada por» Z =»Ro1 2 R2 b1 + Ro2 2 R2 b2 Csenφ = sen25 = por lo tanto, la relación de contacto está dada por m p = Z p b = = Verificación de la relación de contacto empleando los ángulos de aproximación y receso Finalmente, se calcularán los ángulos de aproximación y receso y se usarán estos valores para verificar la relación de contacto. para este fín, es necesario calcular el ángulo de presión de la involuta para el radio de adendo del engrane 2. cosφ = R o2 cosφ o2 φ o2 = cos 1 ï Rp2 cosφ R o2 ò ï cos25 = cos 1 ò = Debe notarse que ya se conoce el ángulo de presión de la involuta para el radio de adendo del engrane 1. Ángulo de aproximación para el engrane 2. α 2 = tanφ o2 tanφ = tan tan25 = rad = Ángulo de aproximación para el engrane 1. Puesto que los arcos de acción ocurren en los radios de paso y estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene que Ángulo de receso del engrane 1. α 1 = α 2 = ( ) = β 1 = tanφ o1 tanφ = tan tan25 = rad = Ángulo de receso para el engrane 2. Puesto que los arcos de acción ocurren en los radios de paso y estos se comportan como si estuvieran rotando, se tiene que β 2 = β 1 = (1.125 ) =

8 Estos resultados permiten verificar la relación de contacto, pues está dada por la relación entre el ángulo de acción; es decir la suma de los ángulos de aproximación y receso de cualquiera de los dos engranes, dividido entre el ángulo que ocupa un diente y su hueco del engrane correspondiente. De esa manera m p = α 1 +β = (α 1 +β 1 ) 360 = = y m p = α 2 +β = N 2(α 2 +β 2 ) N = = Con este resultado finaliza el problema. 3.2 Problema 2 Dos engranes rectos iguales de 48 dientes se aparean con un radio de paso de pulgadas y adendos de pulgadas. Si el ángulo de presión es de 14.5, calcule la longitud de acción Z y la relación de contacto m p. 4 Solución. 1. Datos iniciales. Por el enunciado se sabe que el número de dientes de ambos engranes son: = 48 N 2 = 48 El ángulo de presión al que fueron cortados los engranes es: φ = 14.5 = rad De nuevo, por el enunciado se conocen los radios de paso de ambos engranes = 4.0pulg. = 4.0pulg. De manera que su paso circular está dado por: p c = 2π() = pulg. Ladistanciaentrecentrosdeunengranajeeslasumadelosradiosdepasodelosengranesapareados. Es decir C = + = 8.0pulg 2. Radios de adendo, radios base y paso base Para este ejemplo, el adendo es un dato y es para ambos engranes a = 0.167pulg. Con este dato, es muy sencillo calcular los radios de adendo, pues sólo se debe sumar el adendo a los radios de paso que ya se conocen del punto anterior. R o1 = +a = 4.167pulg. R o2 = +a = 4.167pulg. Además se calculan los radios base que serán necesarios más adelante para el cálculo de la longitud de acción. R b1 = cosφ = pulg. R b2 = cosφ = pulg. El paso base de los engranes está dado por p b = p c cosφ = pulg. 4 Este es el problema 4.8 del libro Mabie, H. H. and Reinholtz, C. F. Mechanisms and Dynamics of Machinery, Fourth Edition, New Tork, Wiley,

9 3. Longitud de acción y relación de contacto Ahora que se tienen todos los datos necesarios para calcular longitud de acción Z y la relación de contacto m p, se emplearán las siguientes dos ecuaciones. Z =»» R 2 o1 +R 2 b1 + R 2 o2 +R 2 b2 Csinφ = pulg. y m p = Z p b = Verificación de la relación de contacto, mediante el uso de los ángulos de aproximación y receso A modo de verificar el resultado de la relación de contacto se calcularán los ángulos aproximación y de receso de ambos engranes. 1. Ángulos de aproximación y receso Se inician los cálculos de los ángulos de presión de la involuta en los radios de adendo y se hará para ambos engranes. 5 Å ã Å ã Rb1 Rb2 φ 1 = arccos = rad φ 2 = arccos = rad R o1 A continuación se calcula el ángulo de receso, para ambos engranes R o2 β 1 = tanφ 1 tanφ = rad β 2 = β 1 = rad y los ángulos de aproximación vienen dados por α 2 = tanφ 2 tanφ = rad α 1 = α 2 = rad 2. Relación de contacto Finalmente se verificará que el resultado de la relación de contacto obtenido anteriormente efectivamente es el mismo obtenido por medio de los ángulos de receso y aproximación. θ 1 = 2π = rad θ 2 = 2π N 2 = rad 3.3 Problema 3 m p1 = α 1 +β 1 θ 1 = m p2 = α 2 +β 2 θ 2 = Determine la relación de contacto de una pareja de engranes de paso diametral P d = 120, ángulo de presión φ = 20, donde = 24 dientes y N 2 = 90 dientes. Solución. 1. Datos iniciales. Lo primero será calcular las medidas de los engranes que se ocuparán para la determinación de la relación de contacto del engranaje. Se tiene como datos iniciales el número de dientes, paso diametral y ángulo de presión de ambos engranes. = 24 N 2 = 90 φ = 20 = rad 5 Como ambos engranes son iguales, en realidad los cálculos se duplican. 9

10 y Por lo tanto, P d = 120 = = 0.1pulg = N 2 = 0.375pulg 2P d 2P d Su paso circular está dado por: p c = 2π = pulg. Su distancia entre centros, en este caso estándar, es entonces la suma de los radios de paso de los engranes. C = + = 0.475pulg. 2. Radios de adendo, radios base y paso base De la tabla de estándares se observam que el adendo está dado, para engranes de paso fino, por a = 1 P d = Bastará con sumar el adendo a los radios de paso para obtener los radios de adendo de ambos engranes. R o1 = +a = pulg R o2 = +a = pulg. Se calculan los radios base de los engranes a partir de sus radios de paso y el ángulo de presión al que fueron cortados. R b1 = cosφ = pulg. R b2 = cosφ = pulg. El paso base está dado por p b = p c cosφ = pulg. 3. Longitud de acción y relación de contacto Para la longitud de acción se tiene que» Z =»Ro1 2 +R2 b1 + Ro2 2 +R2 b2 Csinφ = pulg y m p = Z p b = Verificación de la relación de contacto, mediante el uso de ángulos de aproximación y receso A modo de verificar el resultado de la relación de contacto se calcular an los ángulos aproximación y de receso de ambos engranes. 1. Ángulos de aproximación y receso Los ángulos de presión de la involuta en los radios de adendo están dados por Å ã Å ã Rb1 Rb2 φ 1 = arccos = rad φ 2 = arccos = rad R o1 Se calcula ahora el ángulo de receso para ambos engranes. R o2 β 1 = tanφ 1 tanφ = rad β 2 = β 1 = rad Los ángulos de aproximación vienen dados por α 2 = tanφ 2 tanφ = rad α 1 = α 2 = rad 10

11 2. Relación de contacto Finalmente se verificará que los resultados de la relación de contacto, el primero obtenido por la longitud de acción y los segundos obtenidos mediante los ángulos de receso y aproximación, concuerden Finalmente se tiene que θ 1 = 2π = rad θ 2 = 2π N 2 = rad m p1 = α 1 +β 1 θ 1 = m p2 = α 2 +β 2 θ 2 =

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