Matemáticas: Enseñanza Universitaria ISSN: Escuela Regional de Matemáticas Colombia

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1 Matemáticas: Enseñana Universitaria ISSN: Escuela Regional de Matemáticas Colombia Arenas, Gilberto Demostración de la desigualdad triangular para ángulos en R3 Matemáticas: Enseñana Universitaria, vol. XII, núm. 1, junio, 2004, pp Escuela Regional de Matemáticas Cali, Colombia Disponible en: Cómo citar el artículo Número completo Más información del artículo Página de la revista en redalc.org Sistema de Información Científica Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España Portugal Proecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto

2 Vol. XII, No 1, Junio de 2004 Notas: Matemáticas: Enseñana Universitaria c Escuela Regional de Matemáticas Universidad del Valle - Colombia Demostración de la desigualdad triangular para ángulos en R 3 Gilberto Arenas Resumen Si tomamos tres vectores distintos en R 3 consideramos los tres ángulos formados entre cada par de vectores, surge la siguiente pregunta será la suma de dos de los ángulos maor que el ángulo restante? La respuesta a la pregunta es afirmativa en el artículo se presentan dos demostraciones para esta desigualdad. 1. Introducción antecedentes Quiá uno de los resultados de geometría elemental que más se recuerda es la desigualdad triangular: Dado un triángulo cuos lados miden a, b c siempre se tiene la siguiente desigualdad a b + c. Al tomar tres vectores distintos en R 3 considerar los tres ángulos que estos vectores generan, surge un resultado análogo, pero en el que a, b c no son longitudes sino ángulos entre vectores. La motivación de estudiar la anterior analogía nace de un artículo de Bernardo Maorga Gilberto Arenas ([4]), donde se presenta un ejemplo de bola no convea en R 2 con la siguiente métrica (ver [1]) d : R 2 R 2 R (, ) d (, ) = + θ (, ), (1) donde es la norma estándar en R 2 θ (, ) es el ángulo entre. En general, el concepto de ángulo entre dos vectores de un espacio vectorial L con producto interno se define así: Definición 1. Dados dos elementos, L, se define el ángulo θ (, ) entre ellos mediante la función θ : L L R (,) θ (,) 0, si = = 0 ; π/2, si = 0 = 0 ; arccos,, si 0 0. (2) 73

3 74 Gilberto Arenas Nótese que θ (, ) [0, π], que θ = 0 si sólo si = α para algún α > 0. Para que d sea una métrica debe mostrarse que θ (, ) θ (, ) + θ (, ). (3) La demostración de esta desigualdad (L = R 2 ) se intue a partir de la figura 1 que muestra los caso típicos de las posiciones relativas de,. Figura 1: Representación de tres vectores en R 2. Surge ahora la pregunta: es cierta la desigualdad (3) en cualquier espacio vectorial L con producto interno? En este artículo se responderá afirmativamente esta pregunta si L = R 3. Específicamente mostraremos la desigualdad triangular para ángulos en R 3. Teorema 2. Sean,, R 3, entonces θ (,) θ (,) + θ (,). Eisten demostraciones de este resultado (por ejemplo, ver [3]). En esta nota se darán dos demostraciones que se comparan ventajosamente con las conocidas que se valen de conceptos elementales. 2. El resultado principal Primero, obsérvese que si son linealmente dependientes, entonces el teorema 2 se sigue de la definición 1. Por consiguiente, para la prueba se consideraran sólo vectores no nulos además tales que la suma entre cualquier par de ángulos sea menor que π. Es fácil concluir que θ (,) = θ (, ) donde = /, = /. Esto es, encontrar el ángulo entre dos elementos cualesquiera del espacio

4 Demostración de la desigualdad triangular para ángulos en R 3 75 euclídeo R 3, es equivalente a encontrar el ángulo entre sus vectores unitarios. Denotamos S = { R 3 : = 1 }. Dados, S, con α, definamos, =,. Aquí, se obtiene utiliando el proceso de Gram-Schmidt a {, }. Es de observar que el elemento es unitario, tangente al arco con punto inicial punto final que está contenido en S, además, = 0. Definición 3. Sean,, S, definamos los siguientes ángulos ϕ = θ (, ), ϕ = θ (, ), ϕ = θ (, ). En lo que sigue denotaremos α = θ (, ), β = θ (, ) γ = θ (, ). Lema 4. Para cada terna,, S, se tiene cos α = cos β cos γ + sen β sen γ cos ϕ. (4) γ α β ϕ S Figura 2: Representación de,, S Demostración. A partir de las figuras 2 3 se observa que = cos γ + sen γ, = cos β + sen β.

5 76 Gilberto Arenas γ β Figura 3: = cos γ + sen γ, = cos γ + sen γ. Por otra parte, tenemos que cos ϕ =,. Sabemos también que, =, = 0. Así, utiliando la definición de α se tiene cos α =, = cos β + sen β, cos γ + sen γ = cos β cos γ, + cos β sen γ, + senβ cos γ, + senβ sen γ, = cos β cos γ + senβ sen γ cos ϕ. Teorema 5. Para cada terna,, S, se tiene la siguiente desigualdad β γ < α < β + γ. Demostración. A partir de la ecuación (4) se tiene que cos α cos β cos γ sen β sen γ = cos ϕ. Dado que la imagen de la función coseno está entre 1 1, se obtiene cos α cos β cos γ sen β sen γ < 1, en consecuencia equivalentemente es decir, sen β sen γ < cos α cos β cos γ < sen β sen γ, cos β cos γ sen β sen γ < cos α < cos β cos γ + senβ sen γ, cos (β + γ) < cos α < cos (β γ) = cos ( β γ ).

6 Demostración de la desigualdad triangular para ángulos en R 3 77 Puesto que la función arc cos es decreciente, se tiene β γ < α < β + γ. Completando así la demostración deseada. La prueba del teorema 2 es consecuencia directa del teorema anterior de las consideraciones realiadas al inicio de esta sección. 3. Una demostración alterna La siguiente demostración utilia algunas herramientas diferentes a las utiliadas en la demostración anterior. En concordancia con la notación anterior cos α =,, cos β =,, cos γ =,. Para 2, 3 R sea T la única isometría que satisface (1, 0, 0); (cosγ,sen γ,0); (cos β, 2, 3 ). Se demostrará que α β + γ. En efecto, dado que la transformación preserva normas, entonces = T = (cos β, 2, 3 ) = cos 2 β = 1, esto a su ve implica que = sen 2 β, por tanto, 2 2 sen2 β. Dado que α, β, γ [0, π], se tiene que sen β 0 en consecuencia sen β 2 sen β. En particular, esta desigualdad implica que 2 sen β. Además, dado que sen γ 0 tenemos que sumando cos β cos γ obtenemos 2 sen γ sen β sen γ cos β cos γ + 2 sen γ cos β cos γ sen β sen γ (5)

7 78 Gilberto Arenas pero dado que cos α =, = T, T = cos β cos γ + 2 sen γ la inecuación (5) se transforma en cos α cos (β + γ), así, aplicando la función arc cos t, la cual es decreciente, dado que α, β + γ [0, π], obtenemos que α β + γ como se quería demostrar. Agradecimientos. El autor agradece al profesor Bernardo Maorga de la Escuela de Matemáticas de la Universidad Industrial de Santander por sus valiosas sugerencias. Referencias [1] Barnsle, Michael F. Fractals Everwhere. Academic Press, Cambridge, MA, [2] Berger, Marcel. Geometr I II. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, [3] Do Carmo, M. Riemannian Geometr. Birkhauser, [4] Maorga, B. Arenas, G. Bolas no conveas. Lecturas Matemáticas, Volumen 24, páginas 39 51, Colombia, Dirección del autor: Gilberto Arenas, Departamento de Matemáticas, Universidad del Valle, Colombia, gilaredi@univalle.edu.co, garenas@univarsia.net.co.