ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS EXCITADOS CON CORRIENTE DIRECTA

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1 Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 23. UTP. ISSN ALTERNATIVAS DE SOLUCIÓN DE CIRCUITOS MAGNÉTICOS EXCITADOS CON CORRIENTE DIRECTA RESUMEN En este artículo se presentan varias alternativas nuéricas para el cálculo del flujo anético de estructuras ferroanéticas excitadas con corriente directa. Cada alternativa corresponde a un étodo de iteración diferente, y cada étodo posee su propio alorito. Las diferentes alternativas fueron desarrolladas utilizando coo herraienta de proraación Matlab. PALABRAS CLAVES: Flujo anético, estructura ferroanética, alternativas nuéricas. CARLOS A. RESTREPO P. Estudiante VII Seestre Facultad de Ineniería Eléctrica Universidad Tecnolóica de Pereira cr@utp.edu.co ABSTRACT Several alternatives to evaluate anetic flux of direct current excited ferroanetic structures are presented in this paper. Each alternative corresponds to a different iteration ethod, and each ethod has its own alorith. The various alternatives were realized usin Matlab as prorain tool. KEYWORDS: Manetic flux, ferroanetic structure, nueric alternative. 1. INTRODUCCIÓN Los circuitos anéticos son un odelo aproxiado que representa el funcionaiento anético de áquinas eléctricas. La iportancia de estos circuitos está en la siplificación de los cálculos para el diseño, ya que de otra fora resultarían uy coplejos. Una ran parte de los circuitos anéticos están forados por arrollaientos devanados sobre núcleos de ateriales en su ayoría ferroanéticos, ya que ellos tienen una alta pereabilidad anética con la cual no se necesitan randes corrientes para producir el flujo de operación del dispositivo. Los ateriales ferroanéticos son no lineales, es decir, su pereabilidad anética es variable, por lo que la anetización siue una curva coplicada, la cual está reida por el fenóeno de histéresis. Con el odelo del circuito anético se obtiene la ecuación de la recta de cara del dispositivo, la cual se rafica superpuesta en la curva de anetización del aterial del iso y la intersección de estas dos ráficas proporciona los paráetros de operación del dispositivo. En este artículo se presentarán alternativas para hallar esta intersección con una ayor precisión epleando étodos nuéricos, ya que en la práctica se eplean étodos epíricos poco confiables coo son el ráfico y el ensayo y error. 2. CIRCUITOS MAGNÉTICOS En un circuito eléctrico, coo el ostrado en la fiura 1, el valor de la corriente que circula por él, depende tanto de la fuerza electrootriz (V ó f.e.) coo de la resistencia del circuito (R). Esta es la conocida ley de Oh, la cual se expresa coo: I = R V Fiura 1. Circuito eléctrico Para el dispositivo de la fiura 2 la bobina está siendo recorrida por una corriente, que crea así un capo anético el cual depende tanto de la corriente coo del núero de espiras de la bobina. Por analoía con un circuito eléctrico esta relación se conoce coo fuerza anetootriz (f..) o tensión anética. Sus unidades son el aperio vuelta (Av), y su relación es: (1) f = NI. (2) Así coo la f.e. es la encarada de la circulación de la corriente en un circuito eléctrico, de iual fora la f.. es la responsable de la circulación del flujo anético (φ ) en el dispositivo. Fecha de Recibo: 19 Aosto de 23 Fecha de Aceptación: 3 Octubre de 23

2 62 Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 23. UTP - Se toa coo base para el cálculo de la reluctancia la lonitud edia y la superficie transversal del núcleo. Estas consideraciones no son uy convenientes especialente en las esquinas (el área es ayor). - La pereabilidad de los ateriales ferroanéticos varía seún la cantidad de flujo que tenan y esto no se considera. Fiura 2. Circuito anético con entrehierro La resistencia en los circuitos eléctricos se encara de oponerse al paso de la corriente. Por analoía, la oposición del edio al paso del flujo anético se conoce coo resistencia anética o reluctancia. Esta se expresa coo: L R =, (3) Sµ Donde L, µ, y S son respectivaente la lonitud edia, la pereabilidad del edio y el área de éste. Por todas estas coparaciones se puede forular la ley de Oh para circuitos anéticos coo: f φ =. (4) R Esto iplica que al dispositivo de la fiura 2 se le puede asociar un circuito anético coo el de la fiura 3, con este odelo es ás fácil su anejo ya que se resuelve coo un siple circuito eléctrico. - Para entrehierros se asue que la superficie transversal del aire es la isa del núcleo, pero en realidad es ayor por el efecto de bordes del capo anético allí. Planteando sua de tensiones en la fiura 3 se obtiene: NI = H L + H L. (5) Coo la densidad de flujo anético (B) y la intensidad del capo anético (H) están relacionadas de la fora: B = µh (6) y adeás el flujo y la densidad de flujo anético tabién están relacionadas así: φ = BS, (7) se halla que el flujo y la intensidad del capo anético que se relacionan coo siue: φ = µhs. (8) Al reeplazar en la ecuación (5) se obtiene: NI = H L + H L. (9) Teniendo claro que el flujo se asue iual tanto en el aterial coo en el entrehierro y que son iuales sus áreas, se obtiene: B = B. (1) Al sustituir en la ecuación (9) se obtiene: Fiura 3. Modelo equivalente para el dispositivo de la fiura 2 El concepto de circuito anético es una aproxiación y esto se debe básicaente a: - El concepto de circuito anético asue que todo el flujo anético está confinado dentro del núcleo anético. B NI H L + L µ =. (11) La ecuación (11) es la recta de cara del dispositivo y es la que se ráfica, coo ya se había encionado, superpuesta en la curva de anetización del aterial para hallar los paráetros de trabajo del dispositivo.

3 Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 23. UTP MÉTODOS PARA CALCULAR ESTRUCTURAS FERROMAGNÉTICAS EXCITADAS CON CORRIENTE DIRECTA Para solucionar el dispositivo de la fiura 2 se necesitan, en todos los étodos, los isos datos de entrada. ENTRADA: Lonitud edia (L), núero de espiras (N), corriente de entrada (I), lonitud del entrehierro (L), tolerancia (tol) y la ecuación de la curva de anetización del aterial (B 1 (H)). La tolerancia es la ínia precisión exiida al resultado esperado en un cálculo. Toar i= hasta i=ho con un increento= tol. Hallar B 2 ( i )-B 1 ( i ). Calcular valor absoluto. Guardar el valor coo la i ésia coponente de un vector. Cuando i=ho hallar la coponente ínia del vector así coo su posición (pos) dentro de él. Salida es Bt=(B 2 (pos)+b 1 (pos))/2 y Ht=pos. De la ecuación (11) se obtiene el corte de la recta de cara con el eje de intensidad del capo anético (H), este es: NI h =. (12) L Tabién se obtiene el corte con el eje densidad de flujo anético (B), el cual es: b NIµ =. (13) L La ecuación de la recta de cara esta dada por: B b H 2 ( H ) = b. (14) h La salida que entrearán todos los étodos es una solución aproxiada (de acuerdo a la tolerancia) de los paráetros de trabajo del dispositivo (B t y H t ), es decir, de la intersección de B 1 y de B 2 (ver fiura 4). Fiura 4. Intersección 3.1 Método vectorial Consiste en restar, en valor absoluto, las iáenes de B 1 y B 2 punto a punto (ver fiura 4). De esta fora el valor ínio de este resultado corresponde a la intersección (ver fiura 5). Su alorito se presenta a continuación: Fiura 5. Resta de funciones 3.2 Método iterativo Mediante un ciclo se van evaluando puntos en cada una de las ráficas hasta que la diferencia en valor absoluto sea enor que la tolerancia. Su alorito es: Toar i= hasta i=ho con increento= h. Hallar B 2 ( i )-B 1 ( i ). Calcular valor absoluto. Guardar el valor coo v. Salida Bt=[B 2 ( i )+B 1 ( i )]/2 y Ht=i. 3.3 Método de bisección Consiste en hallar el punto edio c del intervalo [a,b]=[, ho], coparar este punto con los extreos de dicho intervalo para saber a qué lado,derecho o izquierdo, de la intersección está. Si está a la izquierda, se reeplaza a=c. De lo contrario se reeplaza b=c (ver fiura 6). Este étodo se analizó con la idea de que, a partir del punto de intersección, B 1 (H) epezará a toar valores ayores que B 2 (H). Su alorito se uestra a continuación: a= y b=ho. Toar i= hasta i=ho con increento= h. c=(a+b)/2. v=abs[b 1 (c)-b 2 (c)]. Salida es Bt=[(B 2 ( c )+B 1 ( c )]/2 y Ht=c. q=sino(b 2 (a)-b 1 (a)). p=sino(b 2 (c)-b 1 (c)). Si p=q entonces

4 64 Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 23. UTP a=c de lo contrario b=c. La función sino devuelve +1 o 1. De lo contrario bn=b 1 (h n ). h 1 =B 2-1 (b n ) y b 2 =b 1 +tol. b 1 =B 2 (h 1 ) y b 2 =B 2 (h 2 ). Fiura 6. Punto edio 3.4 Método de puntos aleatorios Este étodo consiste en dividir el intervalo [,ho] (pues allí debe ocurrir la intersección) en subintervalos proporcionales a la tolerancia y en cada uno de ellos lanzar puntos aleatorios hasta que se cupla la tolerancia. Este es el alorito: a=. Toar i= hasta i=ho con increento= h.. Toar j= hasta j=nupuntos. c=ho*tol. p=rando*c+a. Si ABS[(B 2 ( p )-B 1 ( p )] <= tol entonces. Salida es Bt=[(B 2 (p)+b 1 (p)]/2 y Ht=p. Fin ciclo j. a=a+i*c. 3.5 Método de la recta secante En H=tol se calcula B 2 (tol). Desde el orien hasta el punto (tol,b 2 (tol)) se traza una secante que intersecta a la recta B 1. Si este punto no es la solución, desde allí se lanza una horizontal para intersectar a la curva B 2 en h=hn, se calcula el punto (hn+tol,b 2 (hn+tol)) y se traza una secante entre el anterior, que es (hn,b 2 (hn)), y el recién hallado. Sí este punto no es la solución, s repite el proceso (ver fiura 7). h 1 = y h 2 =tol. b 1 =B 2 (h 1 ) y b 2 =B 2 (h 2 ). Toar i= hasta i=ho con increento= h. Hallar intersecto (coponente hn) de la recta secante con la recta B 1 (H) v=abs[b 1 (hn)-b 2 (h n )]. Salida es Bt=[(B 2 ( h n )+B 1 ( h n )]/2 y Ht=h n. Fiura 7. Trayectorias de las secantes 3.6 Método de la recta desde el orien Este étodo presenta una ran siilitud con el de la secante pero con la diferencia de que todas las secantes parten del orien, coo se aprecia en la fiura 8. Su alorito es: x2=tol. y2=b 2 (x2). Toar i= hasta i=ho con increento= h. Hallar intersecto con la recta B 1 (H) v=abs[b 1 (xn)-b 2 (xn)]. Salida es Bt=[(B 2 ( xn )+B 1 ( xn )]/2 y Ht=xn. De lo contrario yn=b 1 (xn). x2=b 2-1 (yn). y2=b 2 (x2). Fiura 8. Rectas desde el orien

5 Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 23. UTP Método ráfico Consiste en hacer las dos ráficas siultaneas con el coando de raficación plot de Matlab [5] y después con el coando input [5]; el cual devuelve el punto del ráfico sobre el cual se hizo clic; así se obtiene el punto de intersección. 3.8 Método ráfico ejorado La odificación que este étodo le hace al anterior es que en vez de entrear el resultado de la intersección en el prier clic, lo que hace es apliar la ráfica con el coando axis [5] de acuerdo a la tolerancia en un rectánulo alrededor de donde se dio este click. Una vez con la rafica apliada el usuario tiene ás precisión al dar de nuevo clic para obtener el punto de intersección. 4. EJEMPLO Para el sistea de la fiura 2 se tienen los siuientes datos: L =.5, L =.1, N = 2 vueltas, I =2 A y la curva de anetización del aterial se puede representar ediante la siuiente expresión: 2H B = 4 + H 2 [ Web / ]. (15) A cada uno de los étodos se le puede arear un contador de tiepo para deterinar lo que tarda la rutina en hallar la solución de acuerdo a la tolerancia dada. Para ello se eplea el coando TIC TOC de Matlab [5]. En todos los étodos fue obtenido el valor de la densidad de capo anético B debido a que se utiliza para hallar el flujo del dispositivo de acuerdo a la ecuación (7). Resolviendo el problea de la intersección en fora analítica, es decir iualando las ecuaciones (11) y (15), se encuentra un valor de B = web/ 2. Todos los étodos se presentan en la paina de internet cuya dirección esta al principio del docuento. Los resultados de los distintos étodos para diferentes tolerancias se uestran a continuación ilustrando desde tolerancias se uestran a continuación ilustrando desde el enos eficiente hasta el ejor: METODO GRAFICO B(web/2) Bpro(web/ 2 ) ERROR RELATIVO Tabla 1. Método ráfico. METODO GRAFICO MEJORADO B(web/2) Bpro(web/ 2 ) ERROR RELATIVO Tabla 2. Método ráfico ejorado. METODO VECTORIAL TOL B(web/ 2 ) Tiepo ERROR E E E-7 Tabla 3. Método Vectorial. METODO ITERATIVO TOL B(web/ 2 ) Tiepo ERROR Tabla 4. Método iterativo. METODO DE PUNTOS ALEATORIOS TOL B(web/ 2 ) Tiepo ERROR E E-7 Tabla 5. Método de puntos aleatorios.

6 66 Scientia et Technica Año IX, No 22, Octubre 23. UTP METODO DE BISECCION TOL B(web/ 2 ) Tiepo ERROR E E E-7 Tabla 6. Método de bisección. METODO DE LA RECTA SECANTE TOL B(web/ 2 Tiepo ERROR ) E E E E E E E-8 Tabla 7. Método de la recta secante METODO DE LA RECTA DESDE EL ORIGEN TOL B(web/2) Tiepo ERROR E E E E E E-8 ráfico a pesar de ser uno de los ás utilizados, no es precisaente el ás exacto. Cada uno de los étodos fueron ipleentados en Matlab, pero se presentaron sus aloritos para que puedan ser proraados en cualquier otro lenuaje. Mediante la cobinación de estos étodos se pueden crear nuevos con ejores tiepos para la converencia. Pese a que los étodos se desarrollaron para D.C se pueden apliar al caso cuasi estacionario coo lo es el coercial de 6 Hz. 6. BIBLIOGRAFÍA [1] BURDEN, Richard I., FAIRES Doulas J. Análisis Nuérico, Priera edición, Grupo Editorial Iberoaericana, México, [2] CHAPMAN, Stephen J. Máquinas eléctricas, Tercera edición, McGraw-Hill Interaericana, Colobia, 2. [3] EDMINISTER, Josep A. Teoria y probleas de electroanetiso, Priera edición, McGraw-Hill Latinoaericana, Colobia, [4] HAYT, Willia H. Teoría Electroanética, Seunda edición, McGraw-Hill, México, [5] Matlab User s Guide, Versión Tabla 8. Método de la recta desde el orien 5. CONCLUSIONES Se ilustró una ran variedad de alternativas nuéricas para la solución de un problea especifico de anetiso, aunque la aplicación que se le dio fue para una confiuración relativaente sencilla, se puede eplear para dispositivos ás coplejos. Esta isa etodoloía puede ser usada para resolver otros probleas afines de distintas raas, coo lo es en electrónica para calcular el punto de trabajo de polarización entre la curva característica de polarización del diodo y la recta de cara estática del circuito. Se aplicó cada uno de los étodos a un iso problea para ir coparando los tiepos de cada uno a distintas tolerancias y de esta fora se deostrar que el étodo