Ejemplo de poleas. Estática. Problema 2.67

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Aarón Camacho Aguirre
hace 6 años
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1 Ejemplo de poleas Equilibrio en 3 D de s Problema 2.67 Una caja de madera de 600lb esta sostenida por varios arreglos de poleas y cuerdas como se observa. Determine la tensión para cada arreglo. Sugerencia: la tensión es la misma por ambos lados de una cuerda que pasa por una polea.

2 de una fuerza en el espacio Equilibrio en 3 D de s Primera etapa: Ɵy Ɵy Fy = F cos Ɵy Fh = F sen Ɵy Fx = Fh cos Ø = F senɵy cos Ø Fz = Fh sen Ø = F senɵy sen Ø Aplicando Pitágoras a OAB y OCD, y luego resolviendo para F se obtiene: Ø F = (Fx 2 + Fy 2 + Fz 2 ) (1/2) En esta etapa se define F de forma rectangular

3 Segunda etapa: Estática Equilibrio en 3 D de s Se define un triangulo con el vector F desde cada uno de los ejes coordenados y por trigonometría se obtienen las magnitudes de los componentes de F en términos de estos nuevos ángulos: Fx = F cos Ɵx, Fy = F cos Ɵy, Fz = F cos Ɵz Lo anterior permite reescribir F = Fx I + Fy J + Fz K como F = F(cos Ɵx I + cos Ɵy J + cos Ɵz K) ó F = Fλ donde λ = (cos Ɵx I + cos Ɵy J + cos Ɵz K) Cada uno de los componentes se llaman cosenos directores y se definen como: λx = cos Ɵx, λy = cos Ɵy, λz = cos Ɵz, Como λ 2 = 1, se obtiene: (cos Ɵx) 2 + (cos Ɵy ) 2 + (cos Ɵz) 2 = 1 El vector Lambda es de magnitud unitaria

4 Importante Equilibrio en 3 D de s 1. El ángulo que forma F con cada uno de los ejes se mide desde el eje y positivo y estará siempre comprendido entre 0 y 180 grados. 2. En la primera etapa se definió la fuerza F en sus tres componentes rectangulares. 3. En la segunda parte se plantearon las ecuaciones que convierten las coordenadas rectangulares en coordenadas polares. 4. En la segunda etapa también se utilizo la herramienta de vector unitario lamba, lo cual es consistente con lo visto en la sección anterior. Los vectores son fácilmente manipulados mediante la definición de vector unitario

5 Equilibrio en 3 D de s Fuerza definida en términos de su magnitud y dos puntos sobre su línea de acción dx = x 2 -x 1, dy = y 2 y 1 dz = z 2 z 1 d = (dx 2 + dy 2 + dz 2 ) (1/2) Conocidos los puntos M y N se define el vector MN = dx I + dy J + dz K, y también se define lamba λ = MN/MN = 1/d (dx I + dy J + dz K), Y recordando F = Fλ se define F = F/d (dx I + dy J + dz K) Y sus componentes Fx = Fdx/d, Fy = Fdy/d, Fz = Fdz/d Y sus cosenos directores cos Ɵx = dx/d, cos Ɵy = dy/d, cos Ɵz = dz/d Este caso sirve para fuerzas no localizadas en el origen

6 Equilibrio en 3 D de s Fuerzas externas: representan la acción que ejercen los otros cuerpos sobre el cuerpo rígido en consideración, y son las responsables del comportamiento externo de este. En los capítulos 3, 4 y 5 del libro Beer se consideraran solo las fuerzas externas. Fuerzas internas: son aquellas que mantienen unidas las s que conforman el cuerpo rígido. Si esta constituido por varias partes, las fuerzas que las mantienen unidas también se consideran internas. Este tipo se discutirán en los capítulos 6 y 7. Un cuerpo debe tratarse como la combinación de varias s

7 Principio de transmisibilidad Equilibrio en 3 D de s 1. Las condiciones de equilibrio o de movimiento de un cuerpo rígido permanecerán inalteradas si una fuerza F que actúa en un punto dado de ese cuerpo se reemplaza por una fuerza F que tiene la misma magnitud y dirección, pero que actúa en un punto distinto, siempre y cuando las dos fuerzas tengan la misma línea de acción. 2. Es un principio derivado de evidencia experimental. El estudio de la estática de los cuerpos rígidos se basará en la ley del paralelogramo, la primera ley de Newton y el principio de transmisibilidad

8 Principio de transmisibilidad Equilibrio en 3 D de s En cuerpos rígidos el punto de aplicación de una fuerza no es importante siempre y cuando la línea de acción no se altere. Tensión Compresión Las fuerzas internas se comportan de forma opuesta

9 Algebra fundamental Equilibrio en 3 D de s Producto Cruz Propiedades: 1. V = P X Q 2. V = P X Q = P X Q si Q y Q tienen su punto final sobre una línea paralela a P. 3. Q X P = -(P X Q). 4. Distributiva: P X (Q 1 + Q 2 ) = P X Q 1 + P +Q 2 5. P X Q X S ǂ P X (Q X S) 1. La línea de acción de V es perpendicular al plano. 2. V = PQ sen Ɵ, donde el ángulo siempre será menor o igual a 180 grados. 3. La dirección la da la regla de la mano derecha como se observa en (b). Los tres vectores forman una triada de mano derecha

10 Algebra fundamental Producto Cruz Equilibrio en 3 D de s I X I = 0 I X J = K I X K = -J J X I = -K J X J = 0 JX K = I K X I = J K X J = -I K X K = 0 Se puede expresar el producto cruz en sus componentes rectangulares. V = P X Q = (Px I + Py J + PzK) X (Qx I + Qy J + QzK) = (PyQz - PzQy)I + (PzQx - PxQz)J + (PxQy - PyQx)K Entonces Vx = PyQz - PzQy Vy = PzQx - PxQz Vz = PxQy PyQx O escrito en notación de determinante La multiplicación vectorial de dos Vectores Unitarios genera un tercero perpendicular a ambos

La magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza F de hacer rotar al cuerpo alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de Mo. 2.

11 Equilibrio en 3 D de s El momento de F con respecto a O es el producto vectorial de r y F M o = r x F Y la magnitud se determina como Mo = Fd = rf sen Ɵ. Importante R se conoce como el vector de posición de A. El momento será perpendicular al plano que contienen a r y a F. Siga la regla de la mano derecha. 1. La magnitud de Mo mide la tendencia de la fuerza F de hacer rotar al cuerpo alrededor de un eje fijo dirigido a lo largo de Mo. 2. El momento depende de la magnitud, línea de acción y el sentido de la fuerza, no depende de la posición del punto de aplicación de la misma. 3. El momento si define completamente la línea de acción de la fuerza. 4. El principio de transmisibilidad se puede expresar como: dos fuerzas F y F son equivalentes si tienen la misma magnitud, dirección y momentos iguales con respecto a un punto O. Las unidades del momento son N*m, Lb*ft o en Lb*in

12 Equilibrio en 3 D de s Se basa en la propiedad distributiva de los productos vectoriales. Si varias fuerzas F1, F2, se aplican en el mismo punto A, y a una distancia medida con el vector r desde O, se concluye que: r X ( F 1 + F 2 + ) = r x F 1 + r x F 2 +. El momento de la resultante de varias fuerzas concurrentes aplicadas sobre el punto O, es igual a la suma de los momentos de cada una de esas fuerzas con respecto al mismo punto Este teorema simplifica los cálculos de componentes

13 Equilibrio en 3 D de s Los vectores se pueden definir como: r = x I + yj + zk F = Fx I + FyJ + FzK M = r X F M = Mx I + MyJ + MzK Y los componentes del momento: Mx = yfz zfy I J K My = zfx - xfz Mo = x y z Mz = xfy - yfx Fx Fy Fz Ahora con respecto a un punto arbitrario B: M = r A/B X F = ( r A - r B ) X F M = Mx I + MyJ + MzK Y los componentes del momento: x A/B = x A x B I J K y A/B = y A y B MB = xa/b ya/b za/b z A/B = z A z B Fx Fy Fz En 2D: z = 0 y Fz = 0, entonces Mo = Mz = xfy yfx Y M B = (x A - x B )Fy (y A - y B )Fx Ambos en la dirección del eje Z Para dos dimensiones z = 0 y Fz = 0

Si se sabe que Q = 60 lb determine: a) Tensión en el cable AC y en cable BC.

14 Equilibrio en 3 D de s Hora de inicio: 8:00 pm Hora de fin: 8:45 pm En C se amarran dos cables y se cargan como se muestra en la figura. Si se sabe que Q = 60 lb determine: a) Tensión en el cable AC y en cable BC. b) El rango de valores de Q para los cuales la tensión en cualquiera de los dos cables no será mayor que 60 lbs.

15 Equilibrio en 3 D de s Beer, F et al. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática. México. McGraw Hill.

16 Importante!! Equilibrio en 3 D de s El material empleado en clase es complemento del libro de texto. Venir a clases es su oportunidad para evacuar dudas, no la pierda. Las presentaciones no sustituyen al libro de texto, en su responsabilidad utilizar ambas fuentes bibliográficas. La lectura de las presentaciones no lo exime de estudiar el contenido del libro de texto recuerde el examen es colegiado. Recuerde que esta clase le facilita al estudiante tres ejes de aprendizaje: 1. Comprensión de contenidos: lectura del libro. 2. Clase magistral, PowerPoint ilustrativos y un espacio para discutir dudas y realizar ejercicios en la pizarra. 3. Ejercicios de resolución Si usted aprovecha toda esta estructura se asegura un buen porcentaje de su curso.

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