Facultad de Ingeniería UNLP. Matemática C. VI Transformaciones Lineales

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1 Facultad de Ingeniería UNLP Matemática C Módulo II VI Transformaciones Lineales 27

2 2 Temario:. Clase : Introducción. Definición. Ejemplos básicos. Proyección. Reflexión. Rotación. Casos especiales. Imagen y espacio nulo de una transformación lineal. Propiedades fundamentales. Isomorfismos. 2. Clase 2: Representación matricial. Ejemplos. Diferentes representaciones de acuerdo a las bases consideradas (cambio de base). Representación matricial y características de la transformación. Matrices Semejantes. Propiedades. Composición de transformaciones lineales. Ejemplos. Aplicaciones.

3 6.. INTRODUCCIÓN Introducción Estudiaremos aquí una clase de funciones denominadas transformaciones lineales, que transforman un vector v de un espacio vectorial V en otro vector w de un espacio vectorial W, cumpliendo con ciertas condiciones. Es decir, son casos especiales de funciones F : V W entre dos espacios vectoriales. Se las puede puede pensar como funciones de una sola variable, donde el argumento de la función es un vector del espacio vectorial V, y el valor de la función es un vector del espacio vectorial W. Si V = W, de modo que transforma un vector v de V en otro vector w del mismo espacio V, la transformación lineal se denomina usualmente operador lineal. Usaremos la notación L : V W para describir una transformación lineal: L (v) = w, v V, w W Veremos que una transformación lineal L de un espacio vectorial n-dimensional V en otro espacio vectorial m-dimensional W podrá representarse por una matriz A de m n. Esto permitirá trabajar con la matriz A para discutir las características y propiedades de la transformación L, como así también, en ciertos casos, determinar las propiedades de la matriz A a partir de las propiedades de la transformación lineal que representa Definición general Definición. Una función L : V W de un espacio vectorial V en otro espacio vectorial W (ambos sobre el mismo conjunto de escalares) es una transformación lineal si satisface L (αv + βv 2 ) = αl (v ) + βl (v 2 ) para todo par de vectores v y v 2 de V y todo par de escalares α, β. Es decir, L (v + v 2 ) = L (v ) + L (v 2 ) para todo v y v 2 en V L (αv) = αl (v) para todo v en V y α escalar En particular, para α = la última ecuación implica que toda transformación lineal L : V W satisface L( V ) = W con V y W los vectores nulos de V y W, ya que L( V ) = L(v) = L(v) = W. V W x Αx Βy L x ΑL x ΒL y L:V W

4 4 Ejemplos 6..: Transformaciones lineales de R 2 en R 2 Comenzaremos con algunos ejemplos básicos:. Transformación de dilatación (escalamiento): ( ) x Si x = x e + x 2 e 2 = es un vector de R 2, definimos, como primer ejemplo, x 2 L es una transformación lineal, ya que ( ) 3x L (x) = 3x = 3x 2 L (αx) = 3 (αx) = α (3x) = αl (x) L (x + y) = 3 (x + y) = 3x + 3y = L (x) + L (y) verificándose que L() =. Geométricamente, L tiene el efecto de dilatar el vector x, multiplicando su longitud por un factor 3 y conservando su dirección y sentido: L x 3x x Podemos expresar L(x) en forma matricial como (verificar!) ( ) ( ) 3 x L(x) = 3 2. Proyección ortogonal sobre el eje x : Definimos ahora Si x = ( x x 2 ), y = ( y y 2 L (x) = x e = x 2 ( ) x ) ( ) αx + βy, entonces αx + βy =. Luego αx 2 + βy 2 L (αx + βy) = (αx + βy ) e = α (x e ) + β (y e ) = αl (x) + βl (y) lo que prueba que L es una transformación lineal. Geométricamente, L (x) es la proyección del vector x sobre el eje x

5 6.. INTRODUCCIÓN 5 x L x x e Podemos expresar L(x) en forma matricial como (verificar!) ( ) ( ) x L(x) = 3. Reflexión respecto del eje x : Definimos L (x) = x e x 2 e 2 = x 2 ( x x 2 Esta tranformación satisface ( ) αx + βy L (αx + βy) = (αx 2 + βy 2 ) ( ) ( ) x y = α + β x 2 y 2 = αl (x) + βl (y) L es un operador lineal. Geométricamente, L (x) es la reflexión del vector x respecto (o a través) del eje x. ) x L x Podemos expresar L(x) en forma matricial como (verificar) ( ) ( ) x L(x) = x 2

6 6 4. Rotación de ángulo π/2 antihorario: ( ) x Si x = x e + x 2 e 2 = definimos x 2 ( ) x2 L (x) = x 2 e + x e 2 = Vemos que cumple L (αx + βy) = ( ) ( ) ( ) (αx2 + βy 2 ) x2 y2 = α + β αx + βy x y = αl (x) + βl (y) L es una transformación lineal. Geométricamente, L (x) representa la rotación de ángulo θ = π/2 (en sentido antihorario) del vector x: x L x Π 2 x Podemos expresar L(x) en forma matricial como (verificar) ( ) ( ) x L(x) = 5. Transformación de escalamiento general En general, el operador L c definido por ( ) cx L c (x) = cx = cx 2 x 2 con c un escalar fijo, es una transformación lineal, como podrá el lector probar fácilmente. Si c >, L c tiene el efecto de multiplicar la longitud del vector x por el factor de escala c, dilatando el vector un factor c si c > y contrayendo el vector un factor c si < c <, pero siempre conservando su dirección y sentido.

7 6.. INTRODUCCIÓN 7 Si c =, la transformación resultante L (x) = x se denomina operador identidad y se la denota como I: I(x) = x x V. I no modifica ningún vector. Si c =, la transformación resultante L (x) = se denomina operador nulo. Envía a todos los vectores de V al vector nulo V. Si c <, L c tendrá el efecto de invertir el sentido del vector, dilatándolo si c <, contrayéndolo si < c < y conservando su longitud si c =, en cuyo caso coincide con el operador de inversión. Podemos expresar L c (x) en forma matricial como ( ) ( ) c x L(x) = c 6. Inversión: Corresponde a x 2 ( ) x L (x) = x = x 2 La linealidad de L es inmediata: L (αx + βy) = ( ) ( ) ( ) (αx + βy ) x y = α + β (αx 2 + βy 2 ) x 2 y 2 = αl (x) + βl (y) Geométricamente, L (x) es el vector opuesto a x. x L x x Podemos expresar L(x) en forma matricial como ( ) ( ) x L(x) = Observar que el operador de inversión puede obtenerse como caso particular de otras transformaciones. Por ejemplo, x 2

8 8. La transformación de escala con c = 2. Una rotación de ángulo π (en sentido anti-horario o sentido horario) Esta última puede también lograrse mediante dos rotaciones sucesivas de ángulo π/2 (por ejemplo, ambas en sentido antihorario): Si R rota al vector x en π/2 antihorario, entonces (( )) ( ) x2 x R (R (x)) = R = = x x x 2 Si definimos el cuadrado L 2 de un operador L (transformación de V en V ) mediante L 2 (x) L (L (x)) entonces el operador de inversión L puede expresarse en términos del operador de rotación previo como L = R 2 Ejemplos de transformaciones no lineales:. Si obtenemos ( ) x x F (x) = x x 2 e + x 2 e 2 = 2 ( ) αx x F (αx) = (αx ) (αx 2 ) e + (αx 2 ) e 2 = α 2 αf (x) (excepto para α = o o x x 2 = ) x 2 x 2 F no es una transformación lineal. 2. Traslación: La traslación T a suma a todo vectir x un vector fijo a: T a (x) = x + a Si a, T a no es una transformación lineal, ya que por ejemplo, T a () = a y T a (x + x 2 ) = a + x + x 2 T a (x ) + T a (x 2 ). Así, no podrá representarse directamente mediante una matriz aplicada a x. Problemas 6... (i) Definir la proyección ortogonal en R 3 sobre el plano-xy y mostrar que es una transformación lineal. Graficar. (ii) Definir la proyección ortogonal en R 3 sobre el eje x y mostrar que es una transformación lineal. Graficar. (iii) Qué es la proyección al origen? Puede considerarse una transformación lineal?

9 6.. INTRODUCCIÓN 9 2. Considerar la transformación L : R 2 R 2 dada por ( ) ( ) x x/2 L = y y/3 i) Verificar que es lineal. Expresarla en la forma matricial L(x) = Ax. ii) Hallar las imágenes L(v) de los vectores ( ), ( ), ( ) iii) Dar una interpretación geométrica de L. iv) La imagen por L de un conjunto de vectores C se define como L(C) = {L(v), v C}. Probar que la imagen L(C) bajo esta aplicación de la elipse C = {( ) x y es una circunferencia de radio. Ejemplos de Transformaciones de R n en R m. Sea x = ( x x 2 ) y L : R 2 R, definida por } (x 2 /4) + (y 2 /9) = L es una transformación lineal, ya que L (x) = x + x 2 L (αx + βy) = (αx + βy ) + (αx 2 + βy 2 ) = α (x + x 2 ) + β (y + y 2 ) = αl (x) + βl (y) L asocia a cada vector x R 2 un escalar dado por x + x 2. Puede ser expresada en forma matricial como L(x) = ( ) ( ) x. x 2 2. Sea L : R 2 R 3 definida por L (x) = x 2 x x + x 2 Se verifica fácilmente que L es lineal (probar!) y que puede ser escrita también como ( ) L(x) = x x Ejemplos de transformaciones lineales en otros espacios. Dado un espacio vectorial V arbitrario, el operador identidad I : V V se define por I (v) = v para todo v V Es, obviamente, una transformación lineal (verificar!). Notar que no existe I : V W si W V, aun si V y W tienen la misma dimensión.

10 2. La transformación nula : V W se define por (v) = W para todo v V Es, obviamente, una transformación lineal (verificar!), que generaliza el operador nulo L visto anteriormente. 3. Transformación definida por una matriz A. Dada una matriz A de m n, se puede definir una transformación lineal asociada L : R n R m dada por L (x) = A x Es fácil ver que L cumple las propiedades de linealidad: L (αx + βy) = A (αx + βy) = αax + βay = αl (x) + βl (y) Por lo tanto, cualquier matriz A de m n puede verse como asociada a una transformación lineal L : R n R m. Más aun, veremos luego que toda transformación lineal L : R n R m es de la forma anterior (para alguna matriz A de m n). 4. Sea L : C [a,b] R definida por L (f) = b a f (x) dx L es oviamente una transformación lineal, ya que si f y g son dos vectores cualesquiera de C [a,b], entonces L (αf + βg) = = α b a b (αf + βg) (x) dx a f (x) dx + β = αl (f) + βl (g) b a g (x) dx A diferencia de las anteriores, esta transformación lineal, cuyo dominio es un espacio vectorial de dimensión infinita, no puede representarse mediante una matriz. 5. Sea D : C C el operador derivada en el espacio C de funciones reales f : R R derivables a todo orden, definida por D(f) = f es decir, D(f)(x) = f (x). Se la suele denotar directamente como D = d dx. D es obviamente un operador lineal, ya que si f y g C, D(αf + βq) = (αf + βg) = αf + βg = αd(f) + βd(g) Nótese que D 2 es el operador derivada segunda d2 dx 2 : D 2 (f) = D(D(f)) = D(f ) = f

11 6.2. IMAGEN Y NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Dado que C tiene dimensión infinita, D no puede representarse mediante una matriz (pero si se restringe el dominio a un subespacio de C de dimensión finita, tal como el espacio P n de polinomios de grado n, D sí podrá representarse mediante una matriz, como veremos luego). Importante: Si L : V W es una transformación lineal, se cumplen siempre las siguientes reglas o propiedades:. L ( V ) = W 2. Si v,..., v n V, entonces L (α v + + α n v n ) = α L (v ) + + α n L (v n ) 3. L ( v) = L (v) v V Se dejan las demostraciones para el lector. Problema Sea L : V W una transformación lineal y sean w = L(v ),..., w k = L(v k ) las imágenes de k vectores v,..., v k de V. a) Mostrar que si el conjunto de los vectores {v,..., v k } es linealmente dependiente {w,..., w k } es linealmente dependiente. b) Mostrar que si {v,..., v k } es linealmente independiente el conjunto {w,..., w k } no es necesariamente independiente. Dar un ejemplo (considere proyecciones ortogonales sobre un cierto eje o la transformación nula) Imagen y núcleo de una transformación lineal Sea L : V W una transformación lineal. Núcleo de L: es el conjunto de vectores v de V que son transformados o enviados al vector nulo W de W. Es decir, Nu (L) = {v V : L (v) = W } 2. Imagen de un subespacio S de V : es el conjunto de vectores w de W que son imagen por L de vectores v de S, es decir, L (S) = {w W : w = L (v) para algún v S} = {L(v), v S} 3. Imagen de L: Es la imagen L (V ) de todo el espacio vectorial V : Im(L) = L(V ) = {L(v), v V } W Notar que la imagen por L del Nu(L) es el vector nulo W de W : L(Nu(L)) = { W }. Cada uno de estos conjuntos de vectores es un subespacio en los respectivos espacios vectoriales:

12 2 V W V W Nu L S L S V W V W L:V W L:V W Teorema. Si L : V W es una transformación lineal, entonces. Nu (L) es un subespacio de V 2. Si S es un subespacio de V, L (S) es un subespacio de W. Esto implica en particular que la imagen Im(L) = L(V ) es un subespacio de W. 3. Si V es de dimensión finita, la suma de la dimensión de la imagen Im(L) y la dimensión del núcleo Nu(L) es la dimensión del espacio V : dim Im (L) + dim Nu (L) = dim V Demostración de. En primer lugar, L( V ) = W, por lo que V si v y v 2 Nu (L), Nu(L). Además, L (v + v 2 ) = L (v ) + L (v 2 ) = W + W = W L (αv ) = αl (v ) = W por lo que v + v 2 y αv Nu (L). El núcleo es pues cerrado por la suma y multiplicación por un escalar, siendo entonces un subespacio. Demostración de 2. L(S) contiene al W pues L( V ) = W. Además, si w y w 2 son vectores en L (S), existen v y v 2 en S tales que w = L(v ), w 2 = L(v 2 ). Entonces αw = αl (v ) = L (αv ) para v S w + w 2 = L (v ) + L (v 2 ) = L (v + v 2 ) para v y v 2 S Como S es un subespacio, ambos αv y v + v 2 pertenecen también a S, por lo que αw L(S) y w + w 2 L(S). Luego, L (S) es cerrado por la suma y multiplicación por un escalar, siendo entonces un subespacio. Demostración de 3. Partiendo de una base B = {v,..., v k, v k+,..., v n } de V tal que {v k+,..., v n } es una base de Nu(L) (L(v k+ ) =... = L(v n ) = W ), todo v V puede escribirse como v = α v α k v k + α k+ v k α n v n. Entonces, L(v) = L(α v α k v k + α k+ v k α n v n ) = α L(v ) α k L(v k ) + α k+ L(v k+ ) α n L(v n ) = α L(v ) α k L(v k ) por lo que {L(v ),..., L(v k )} genera Im(L). Además, {L(v ),..., L(v k )} es linealmente independiente, pues si W = α L(v ) α k L(v k ) = L(α v α k v k ) α v α k v k Nu(L) y entonces α v α k v k = β v k β n v n. Pero por ser los v i linealmente independientes, α =... = α k = β k+ =... = β n =. Por lo tanto, dim Im(L) + dim Nu(L) = k + (n k) = n = dim V

13 6.2. IMAGEN Y NÚCLEO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL 3 Ejemplos 6.2. Sea L : R 2 R 2 definida por L (x) = ( ) x (operador ( ) de proyección). Es obvio que L (x) = si y sólo si x =, es decir, x x = Nu (L) si y sólo si x x =. Por lo tanto, Nu (L) es el subespacio 2 ( ) -dimensional de R 2 generado por el vector e 2 =, es decir, es el eje x 2, como es obvio geométricamente (graficar!): ( ) Nu(L) = Por otra parte, dado que L(x) = x e, la imagen Im(L) = L(V ) es el conjunto de vectores proporcionales a e, es decir, el subespacio -dimensional de R 2 generado por el vector e, que geométricamente es el eje x : ( ) Im(L) = Se verifica que dim Im(L) + dim Nu(L) = + = 2 = dim V (V = R 2 ). Nótese que L(x) = Ax, con A = ( ), y que Nu(L) coincide con el espacio nulo de A = ( ), mientras que Im(L) coincide con el espacio columna de A. 2. Sea L : R 3 R 2 definida por ( ) x + x L (x) = 2 x 2 + x 3 { x + x Si x Nu (L), entonces 2 =. Resolviendo el sistema, si la variable x 2 + x 3 = t independiente es x 3 = t, se tiene x 2 = x 3, x = x 3, es decir, x = t = t : t Nu(L) = Por otro lado, vemos que ) ) ) L(x) = x ( + x 3 ( + x 2 ( con x, x 2, x 3 arbitrarios, por lo que la imagen será R 2 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Im(L) =,, =, = R 2 Se verifica que dim Im(L) + dim Nu(L) ( = 2 ) + = 3 = dim V (V = R 3 ). Nótese también que L(x) = Ax, con A =, coincidiendo Nu(L) con el espacio nulo de A y Im(L) con el espacio columna de A (ver problema 6.2.7).

14 4 Problemas 6.2. Verificar que las siguientes transformaciones L : R 3 R 2 son lineales, y determinar Nu(L), la imagen Im(L) y sus dimensiones, junto con una base de los mismos: x ( ) x ( ) (a) L y x = (b) L y 2x + y = x + y + z 4x 2y z z 2. Idem. para ( ) las siguientes ( ) transformaciones ( ) ( L ): R 2 R 2 : x y x (a) L = (b) L = y x y y Interprételas geométricamente. 3. Importante: Sea L : R n R m la transformación lineal definida por una matriz A de m n: L(x) = Ax Probar que: a) El núcleo Nu(L) es el espacio nulo de la matriz A. b) La imagen Im(L) es el espacio generado por las columnas de la matriz A (o sea, el espacio columna de la matriz). c) La igualdad dim Im(L) +dim Nu(L) = dim V es equivalente a rango (A) + nulidad (A) = n d) Verifique estos resultados para las transformaciones del ejercicio 2., escribiéndolas en la forma L(x) = Ax. 4. Determinar si son lineales las siguientes transformaciones L : R 2 2 R. En caso de que lo( sean) halle su núcleo e imagen. a b (a) L( ) = a + d (Traza de la matriz) ( c d ) a b (b) L( ) = ad bc (Determinante de la matriz) c d 5. a) Determine si la traza de una matriz cuadrada A de n n, definida por n T r(a) = a ii = a a nn i= es una transformación lineal T : R n n R. b) Indique si el determinante det(a) de una matriz cuadrada A de n n, es una transformación lineal det : R n n R. 6. Halle el núcleo e imagen del operador identidad I : V V, y del operador nulo : V V. 7. Mostrar que una función f : R R cuya gráfica es una recta no es necesariamente una transformación lineal L : R R (considere por ejemplo la recta y = mx + ). 8. Mostrar que k, la derivada k-ésima D k = d k /dt k en el espacio P de polinomios (de grado arbitrario) es una transformación lineal. Cual es su núcleo e imagen?

15 6.3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES. ISOMORFISMOS 5 9. Importante: Propiedades geométricas de una transformación lineal. a) Pobar que toda transformación lineal L : R 2 R 2 con Nu(L) = { V } transforma rectas R = {r +tn, t R}, n, en rectas, y segmentos Q = {r +tn, t [t, t ]}) en segmentos. Qué puede suceder si dim Nu(L)? Siguen siendo válidos estos resultados en R 3? y en R n? b) Probar que toda transformación lineal L : R 2 R 2 con Nu(L) = { V } transforma rectas y segmentos paralelos (caracterizados por un mismo vector n pero distintos r ) en rectas y segmentos paralelos. Generalizar a R 3 y R n. Puede extenderse el resultado a planos paralelos en R 3? ( ) x2 c) Si L(x) =, determine la imagen por L de las rectas paralelas y = 2x y x y = 2x +. Grafique e interprete el resultado. d) Dados u, v R 2, i) probar que el segmento de recta que los conecta es el conjunto Q = {tv + ( t)u, t [, ]}. Verifíquelo para u = (, ), v = (, ). ii) Mostrar que su imagen L(Q) bajo una transformación lineal L : R 2 R 2 es el segmento de ( recta ) entre L(u) y L(v). Generalizar a R 3 y R n. x2 iii) Si L(x) =, determine la imagen por L del segmento de recta entre x u = (, ) y v = (, ). Graficar. e) Un subconjunto C R n es convexo si para cualquier par de puntos de C el segmento de recta que los conecta yace enteramente en C, es decir, u C, v C tv + ( t)u C t [, ] Por ejemplo, todo subespacio de R n es un conjunto convexo (probar!). Pero un conjunto convexo no necesariamente es un subespacio. Por ejemplo, en R 2 un círculo lleno C = {(x, y) R 2, x 2 + y 2 } es un conjunto convexo (probar!). En cambio, el círculo {(x, y) R 2, x 2 +y 2 = } no es un conjunto convexo. Probar que toda transformación lineal L : R n R m transforma un conjunto convexo en un conjunto convexo. Dé un ejemplo Propiedades fundamentales. Isomorfismos. Si L : V W es una transformación lineal, con V un espacio vectorial de dimensión finita n y B = {v,..., v n } una base arbitraria de V, entonces L queda completamente determinada por los n vectores {L(v ),..., L(v n )}, es decir, por las n imágenes de los vectores de la base. En efecto, si v V, entonces y por lo tanto v = α v α n v n L(v) = L(α v α n v n ) = α L(v ) α n L(v n )

16 6 es decir, L(v) es una combinación lineal de los n vectores L(v ),..., L(v n ). La imagen L(V ) es entonces el espacio generado por estos n vectores: L(V ) = L(v ),..., L(v n ) Nótese, no obstante, que el conjunto {L(v ),..., L(v n )} puede ser linealmente dependiente (por ej., algunos vectores L(v i ) puden ser nulos), en cuyo caso no será una base de L(V ). 2. Una transformación lineal L : V W es inyectiva (o monomorfismo) si L(v ) L(v 2 ) v v 2. Es fácil ver que es inyectiva si y sólo si Nu(L) = { V }. En efecto, L inyectiva L(v) L( V ) = W v V, por lo que Nu(L) = { V }. Y si Nu(L) = { V } L(v ) L(v 2 ) = L(v v 2 ) W v v 2, por lo que L es inyectiva. 3. Si Nu(L) = { V } y {v,..., v k } V es linealmente independiente, el conjunto {L(v ),..., L(v k )} es linealmente independiente. En otras palabras, si la transformación lineal L es inyectiva, conserva la independencia lineal. En efecto, si W = α L(v ) α k L(v k ) = L(α v α k v k ) entonces α v α k v k Nu(L), por lo que α v α k v k = V. Pero esto implica α = α 2 =... = α k = por ser {v,..., v k } linealmente independiente. Por lo tanto, {L(v ),..., L(v k )} es linealmente independiente. En particular, si {v,..., v n } es una base de V {L(v ),..., L(v n )} es una base de la imagen Im(L) = L(V ), pues por lo anterior, es linealmente independiente y por la propiedad, genera la imagen. Por lo tanto, para L : V W inyectiva, dim Im(L) = n y dim Nu(L) =, verificándose que dim Im(L) + dim Nu(L) = n + = n = dim V Esto también implica que si L : V W es inyectiva, necesariamente dim V dim W pues Im(V ) W. 4. Si L : V W es una transformación lineal y L(V ) = W L es sobreyectiva (epimorfismo). En este caso la imagen L(V ) es todo el codominio W, es decir, cubre todo W, por lo que el conjunto {L(v ),..., L(v n )} genera W. Además, en este caso se cumple que dim V = dim Im(L) + dim Nu(L) = dim W + dim Nu(L) por lo que necesariamente dim V dim W.

17 6.3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES. ISOMORFISMOS 7 Isomorfismos: 5. Si L : V W es una transformación lineal biyectiva, es decir, que es a la vez inyectiva (Nu(L) = { V }) y sobreyectiva (L(V ) = W ) se dice que L es un isomorfismo. Si V = W al isomorfismo se lo denota automorfismo. Si L es un isomorfismo y dim V = n, con B = {v,..., v n } una base de V {L(v ),..., L(v n )} es una base de W, pues son linealmente independientes (por ser L inyectiva) y generan W (por ser L sobreyectiva). Un isomorfismo transforma entonces cualquier base de V en una base de W. Por lo tanto, V y W deben tener la misma dimensión n (cuando son de dimensión finita). Para un isomorfismo se verifica entonces que dim Im(L) + dim Nu(L) = n + = dim V = dim W 6. Una función L : V W tiene inversa L : W V si y sólo si L es biyectiva. Por lo tanto, si L : V W es una transformación lineal, L tendrá inversa L : W V si y sólo si L es un isomorfismo: cumpliéndose que es decir, L(v) = w v = L (w) L(L (w)) = L(v) = w L (L(v)) = L (w) = v LL = I W, L L = I V w W v V donde I W y I V son los operadores identidad en W y V. La inversa L : W V de un isomorfismo L es también un isomorfismo (probar!), es decir, una transformación lineal biyectiva. 7. Se dice que dos espacios vectoriales V, W son isomorfos si existe un isomorfismo L : V W entre ellos. Si V y W son de dimensión finita V y W son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión (probar!). Ejemplo 6.3 Sea L : R 2 R 2 la transformación dada por ( ) x + x L(x) = 2 x x 2 Se verifica en primer lugar que L es lineal y que x = L(x) = ( x x 2 ) + ( x2 ( x x 2 ) = x e + x 2 e 2 R 2, ) ( ) ( ) = x x + x 2 2 = x L(e ) + x 2 L(e 2 )

18 8 ( ) ( ) con L(e ) =, L(e 2 ) =, por lo que basta conocer L(e ) y L(e 2 ) para determinar L(x) para cualquier x R 2. Se comprueba también que Nu(L) =, pues si x +x 2 = y x x 2 = x = x 2 = (verificar!). Por lo tanto L es inyectiva. Y finalmente, vemos que la imagen de L es ( ) ( ) ( ) ( ) L(V ) = {x + x 2, x, x 2 R} =, = R 2 por lo que L es también sobreyectiva. Este resultado puede también obtenerse directamente de dim Im(L) = dim V dim Nu(L) = 2 = 2 L es entonces un automorfismo, es decir, un isomorfismo entre V y V, con V = R 2. L tendrá entonces inversa L : R 2 R 2, dada por (verificar!) ( ) L x = ( ) x + x 2 x 2 2 x x 2 Notemos finalmente que podemos expresar L(x) como ( ) ( ) x L(x) = y L (x) como x 2 L (x) = ( ) ( ) x 2 x 2 siendo la matriz que representa a L la inversa de la matriz que representa a L. Problemas 6.3. Si L : V V es un operador lineal y {v,..., v n } es una base de V, probar (a) Si L(v i ) = para cada elemento de la base entonces L es la transformación lineal nula. (b) Si L(v i ) = v i para cada vector de la base entonces L es la identidad. (c) Si existe un escalar r tal que L(v i ) = rv i para cada vector de la base entonces L(v) = rv para todo los vectores en V. 2. Sea L: V W una transformación lineal y supongamos que L(v ) = w,..., L(v k ) = w k para vectores v,..., v k de V. (a) Si {w,..., w k } genera W, debe {v,..., v k } generar V? Pensar, por ejemplo, en transformaciones de R 3, sobre R 2. (b) Si {v,..., v k } genera V, debe {w,..., w k } generar W? Pensar por ejemplo en L : R 2 R 3. (c) Si ahora L es un isomorfismo (que implica dim V = dim W en espacios de dimensión finita) cual es la respuesta a (a) y (b)? 3. Si L : V W es inyectiva, mostrar que la imagen L(S) de un subespacio de dimensión m de V es un subespacio de dimensión m de W.

19 6.3. PROPIEDADES FUNDAMENTALES. ISOMORFISMOS 9 4. Importante: Sea L : R n R m la transformación lineal definida por una matriz A de m n: L(x) = Ax probar que: a) L es inyectiva si y sólo si rango(a) = n. Esto implica n m. b) L es sobreyectiva si y sólo si rango(a) = m. Esto implica n m. c) L es biyectiva (isomorfismo) si y sólo si rango(a) = m = n, es decir, si y sólo si A es una matriz cuadrada no singular. d) Probar que en c), L : R n R n está dada por L (x) = A (x) e) Discuta las implicancias de los resultados anteriores para el sistema de ecuaciones lineales (de m n) L(x) = b En particular, muestre que i) Es compatible si y sólo si b Im(L). ii) Es compatible b R m si y sólo si L es sobreyectiva iii) La solución, cuando existe, es única si y sólo si L es inyectiva iv) La solución existe y es única b R m si y sólo si L es biyectiva (isomorfismo), es decir si y sólo si m = n y A es no singular. 5. Importante: Sea V un espacio vectorial de dimensión n, con (v,..., v n ) una base (ordenada) de V, tal que si v V, v = x v x n v n Sea L : V R n la transformación lineal definida por x L(v) =. Es decir, L(v) = [v] B es el vector columna de coordenadas de v en la base B. a) Mostrar que L está bien definida, es decir, que [v] B existe y es único v V. b) Mostrar que L es una transformación lineal. c) Mostrar que L es un isomorfismo (es decir, Nu(L) = { V }, Im(L) = R n ). Este resultado muestra en forma explícita que todo espacio V de dimensión n (con escalares reales) es isomorfo a R n, es decir, que existe una correspondencia biyectiva entre ambos. d) Cual es la inversa L? 6. Mostrar que dos espacios V, W son isomorfos si y sólo si tienen la misma dimensión. 7. Mostrar que la inversa de un isomorfismo L : V W es un isomorfismo, es decir, que L es lineal y biyectiva. x n

20 Representación matricial de transformaciones lineales Veremos ahora que cualquier transformación lineal L entre espacios vectoriales de dimensión finita V y W se puede representar mediante una matriz A, que dependerá de las bases que se consideren en V y W. En primer lugar consideramos transformaciones de R n en R m : L : R n R m Asumimos primero que la base en V = R n es la base canónica B c = {e,..., e n }. Dado x R n, podemos representarlo como Como L es lineal, x x =. x n Luego si para cada e j, j =,..., n, se tiene entonces es decir, = x e x n e n L (x) = x L (e ) x n L (e n ) L(x) = x = L (e j ) = a j = a. a m a j. a mj x n x n a n. a mn a... a n x a m... a mn L(x) = Ax con A la matriz de m n a... a n A = (L(e ),..., L(e n )) =..... a m... a mn La matriz A se denomina representación matricial de L en la bases canónicas de R n y R m. Queda completamente determinada por las n imágenes L(e j ) de los vectores de la base canónica. Se emplea también la notación A = [L] Bc B c o simplemente A = [L] Bc. La representación de L con respecto a otras bases será una matriz diferente, pero también de m n.

21 6.4. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES LINEALES 2 Ejemplos 6.4 ( ). Sea L : R 3 R 2 x + x, definida por L (x) = 2 (ejemplo anterior). Tenemos x 2 + x 3 ( ) ( ) ( ) a = L (e ) = L =, a 2 = L =, a 3 = L = Por lo tanto, Verificación: Ax = A = (a, a 2, a 3 ) = ( ) ( ) ( ) x x 2 x + x = 2 = L (x) x x 2 + x Dada A de m n, consideremos la transformación lineal L : R n R m dada por L(x) = Ax Es fácil ver que a... a j... a n. L(e j ) = Ae j = = a m... a mj... a mm. a j. a mj = a j con a j la columna j-ésima de A, por lo que la representación matricial de L en las bases canónicas de R n y R m es precisamente A: [L] Bc B c = (L(e ),..., L(e 2 )) = A ( ) a b Por ejemplo, si A =, c d ( ) ( ) ( ) a b x ax + bx L(x) = = 2 c d x 2 cx + dx 2 y entonces por lo que (a, a 2 ) = A. L(e ) = L(e 2 ) = ( ) ( ) ( ) a b a = = a c d c ( ) ( ) ( ) a b b = = a c d d 2 El problema implica entonces que la imagen Im(L) de una transformación lineal L : R n R m es el espacio columna de A = [L] Bc B c (es decir, el espacio generado por los vectores columna de A) mientras que el núcleo Nu(L) es espacio nulo de A.

22 22 3. Rotación general en R 2. Tomemos la transformación L : R 2 R 2, tal que a cada vector x lo hace rotar un ángulo θ, en sentido antihorario: Θ L x x L e 2 Θ e 2 Θ L e e Tenemos Por lo tanto L (e ) = ( ) cos θ sin θ y L (e 2 ) = ( ) sin θ cos θ ( ) cos θ sin θ A = (L (e ), L (e 2 )) = sin θ cos θ Entonces, para rotar un ángulo θ un vector x de R 2 en sentido antihorario, se debe multiplicar A por x: ( ) ( ) ( ) cos θ sin θ x x cos θ x y = L(x) = Ax = = 2 sin θ sin θ cos θ x 2 x sin θ + x 2 cos θ Problemas 6.4. Hallar la matriz que representa, respecto de las bases canónicas, las siguientes transformaciones lineales y escribir la forma explícita de L(x): (a) La aplicación L: R 2 R 2 que representa una dilatación con factor c a lo largo del eje x y c 2 a lo largo del eje y. (b) La reflexión L: R 2 R 2 respecto de la recta y = x. (c) La rotación L: R 2 R 2 de ángulo π/4 antihorario. (d) La rotación L: R 3 R 3 de ángulo θ antihorario alrededor del eje z. (e) Idem anterior pero alrededor del eje y. (f) La proyección L : R 3 R 3 sobre ( el plano ) ( xy. ) ( ) ( ) 2 (g) L : R 2 R 2 lineal, definida por L =, L =. 2 2 ( ) ( ) (h) L : R 3 R 2 lineal, definida por L =, L =, L = (i) Determinar la imagen y núcleo de las transformaciones anteriores. 2. Mostrar, determinando las imágenes L(e ) y L(e 2 ), que la siguiente matriz ( ) cos(2θ) sin(2θ) A = sin(2θ) cos(2θ) ( ). representa en la base canónica la reflexión L : R 2 R 2 respecto de la recta y = mx que forma un ángulo θ con el eje x (m = tan θ). Verificar resultados previos.

23 6.4. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES LINEALES Caso general: Consideremos una transformación lineal general L : V W entre espacios vectoriales V y W de dimensión n y m respectivamente. Sean B V = (v,..., v n ), B W = (w,..., w m ) bases ordenadas de V y W. Cualquier vector v V puede escribirse en términos de los vectores de la base B V : v = x v x n v n x siendo [v] BV =. x n Por lo tanto, para L lineal, = x el vector de coordenadas de v con respecto a la base B V. L(v) = x L(v ) x n L(v n ) Si ahora escribimos L(v) y L(v j ) en términos de los vectores de la base B W, L(v) = y w y m w m L(v j ) = a j w a mj w m, j =,..., m tal que sus vectores de coordenadas en la base B W son obtenemos y [L(v)] BW =. y m = y, [L(v j )] BW = a j. a mj = a j es decir, y = [L(v)] BW = x [L(v )] BW x n [L(v n )] BW = x = a. a m x n x n a n. a mn a... a n x a m... a mn = Ax [L(v)] BW = A[v] BV donde A es la matriz de m n a... a n A = ([L(v )] BW,..., [L(v n )] BW ) =..... a m... a mn Esta matriz A se denomina representación matricial de L respecto de las bases B V de V y B W de W. La denotaremos también como A = [L] B V B W. El resultado se puede resumir en el siguiente esquema gráfico:

24 24 V W v L:V W w L v x v BV A R mxn y Ax L v BW R n R m Ejemplos Sea L : R 3 R 2 la transformación lineal definida por donde x = x e + x 2 e 2 + x 3 e 3 y Tenemos L(x) = x b + (x 2 + x 3 ) b 2 b = ( ), b 2 = ( ) L (e ) = b = b + b 2 L (e 2 ) = L(e 3 ) = b 2 = b + b 2 Por lo tanto, la representación matricial de L con respecto a las bases B c = (e, e 2, e 3 ) de V = R 3 y B W = (b, b 2 ) de W = R 2 es ( ) A = [L] Bc B W = ([L(e )] BW ), [L(e 2 )] BW, [L(e 3 )] BW ) = Así, [L(x)] BW = ( ) x x 2 x 3 que implica justamente L(x) = x b + (x 2 + x 3 )b 2. = ( x x 2 + x 3 En cambio, en la base canónica de R 2 obtenemos (probar!) con A c = [L] Bc B c = (L(e ), L(e 2 ), L(e 3 )) = [L(x)] Bc = ) ( ( ) ( ) x x 2 x x = 2 x 3 x x + x 2 + x 3 3 es decir, L(x) = (x x 2 x 3 )e +(x +x 2 +x 3 )e 2, que coincide con x b +(x 2 +x 3 )b 2. )

25 6.4. REPRESENTACIÓN MATRICIAL DE TRANSFORMACIONES LINEALES Sea D : P 2 P 2 el operador derivada D = d en el espacio de polinomios de grado dx 2. Como base ordenada de P 2 consideramos B = (, x, x 2 ). Tenemos D() =, D(x) =, D(x 2 ) = 2x Por lo tanto, su representación matricial en la base B es A = [D] B B = ([D()] B, [D(x)] B, [D(x 2 )] B ) = 2 Para p(x) = a + a x + a 2 x 2 P 2 tenemos [p] B = [D(p)] B = A[p] B = 2 a a a 2 a a a 2 y entonces = que implica D(p) = a + 2a 2 x + x 2 = a + 2a 2 x. Al ser P 2 de dimensión 3, todo operador lineal en P 2 puede entonces ser representado por una matriz de 3 3, tal como un operador en R 3. Relación entre las propiedades de L y la matriz de representación Sea L : V W una transformación lineal, con dim V = n, dim W = m, y A = [L] B V B W la matriz que la representa con respecto a bases B V de V y B W de W. El rango y la nulidad de A no dependen de las bases elegidas, pues coinciden, respectivamente, con la dimensión de la imagen y del núcleo de L (los que no dependen de la representación). En efecto, los n vectores columna a j R m de A son las coordenadas de las n imágenes L(v j ) W en la base B W. Como la correspondencia entre vectores y sus coordenadas en una base es un isomorfismo (Problema 6.3.5), la dimensión del subespacio de R m generado por las n columnas de A (es decir, el rango de A) es la misma que la del subespacio de W generado por las n imágenes L(v j ), es decir, la misma que la dimensión de la imagen Im(L). Análogamente, los vectores x R n del espacio nulo de A (Ax = ) son las coordenadas de los vectores v V del núcleo Nu(L) (L(v) = W ), y por lo tanto la dimensión del espacio nulo de A (la nulidad de A) coincidirá con la del núcleo de L. Se cumple entonces que a 2a 2 rango(a) = dim Im(L), nulidad(a) = dim Nu(L) para cualquier representación matricial A = [L] B W BV de L. Por lo tanto, la relación dim Im(L) + dim Nu(L) = dim V resulta equivalente a rango (A) + nulidad (A) = n

26 26 Los vectores R m de una base del espacio columna de A son las coordenadas en la base B W de los vectores de una base de la imagen Im(L), mientras que los vectores R n de una base del espacio nulo de A son las coordenadas en la base B V de los vectores de una base del núcleo Nu(L). Por lo tanto, pueden obtenerse bases de estos espacios mediante los métodos ya conocidos para obtener bases de los espacios columna y nulo de una matriz. Y la ecuación L(v) = w es equivalente al sistema lineal A[v] BV = [w] BW. Problemas 6.4 (continuación). 3. A partir de consideraciones ( ) geométricas, ( ) encontrar la representación matricial [L] B B respecto de la base B = (, ) de la transformación lineal L : R 2 R 2 que refleja todo vector respecto de la recta y = x. Mostrar que dicha matriz es diagonal. Comparar con la matriz que la representa en la base canónica [L] Bc B c Sea D : P 3 P 3 el operador derivada en el espacio de polinomios de grado 3. a) Determine su representación matricial A en la base B = (, x, x 2, x 3 ). b) Halle el núcleo y la imagen de D en este espacio, y su relación con el espacio columna y nulo de A Cambio de base Determinaremos ahora en forma explícita la relación entre las representaciones matriciales de una transformación lineal L en distintas bases. La ventaja de cambiar de base es la posibilidad de encontrar una base en la que la matriz representativa de L sea simple (por ejemplo, diagonal) y por lo tanto sus propiedades esenciales (rango, imagen, etc.) resulten evidentes. Consideremos primero un operador lineal L : V V, con V de dimensión finita n. Recordemos que si B = (v,..., v n ) y B = (v,..., v n) son dos bases de V, podemos escribir cualquier vector v V en las formas v = x v x n v n x Las coordenadas x = [v] B =. por o en forma equivalente, donde x n = x v x nv n y x = [v] B = x = S x x = Sx x. x n S = ( [v ] B,..., [v n] B ) en estas bases se relacionan es la matriz de cambio de base (o matriz de transición), de n n y no singular, formada por las coordenadas de los vectores de la base B en la base B. Por lo tanto, escribiendo L(v) = y v y n v n = y v y nv n

27 6.5. CAMBIO DE BASE 27 con y = [L(v)] B = Ax = A[v] B, y = [L(v)] B = A x = A [v] B, obtenemos es decir, y = S y = S Ax = S ASx Si A = [L] B B es la representación de L en la base B y A = [L] B B su representación en la base B, las matrices A y A se relacionan por A = S AS donde S = ( [v ] B... [v n] B ) es la matriz de cambio de base. Notar que si se conoce A, la relación anterior permite obtener A como (probar!) A = SA S Podemos resumir el resultado en el siguiente esquema gráfico: v V L:V V w L v x v B R n S A Ε R nxn y Ax w B S x' v B' R n A' S AS Ε R nxn y' A'x' w B' Ejemplo 6.5. Consideremos ( ) nuevamente ( ) la reflexión L : R 2 R 2 ( respecto ) de la recta y = x. En la base B = (, ), formada por el vector v = perteneciente a ( ) la recta y el vector v 2 = perpendicular a la recta, la representacion es obvia, ya que L(v ) = v mientras que L(v 2) = v 2 (véase problema 6.4.3): ( ) A = ( ) ( ) Para hallar la representación matricial A de L en la base canónica B = (, ), determinamos primero la correspondiente matriz de cambio de base, ( ) S = ([v ] B, [v 2] B ) =

28 28 y su inversa S = 2 ( ). Luego A = SA S = = ( ) ( ) ( ) /2 /2 /2 /2 ( ) Este resultado coincide con el hallado previamente (problema 6.4. (b)) Matrices semejantes Dos matrices A y A de n n son semejantes si y sólo si existe una matriz no singular S tal que A = S AS Si A es semejante a A, entonces, multiplicando la igualdad anterior por S a izquierda y por S a derecha, obtenemos SA S = S(S AS)S = (SS )A(SS ) = A es decir, A = R A R, con R = S, por lo que A es también semejante a A. Por lo tanto, las matrices A y A que representan a un operador lineal L en dos bases distintas son semejantes. Dos propiedades fundamentales sobre matrices semejantes son las siguientes:. Las matrices semejantes tienen el mismo determinante: En efecto, det(a ) = det(a) det(a ) = det(s AS) = det(s )det(a)det(s) = (det(s)) det(a)det(s) = det(a) Esto implica que el determinante det(a) es una propiedad del operador lineal L representado por A, permaneciendo invariante frente a cambios de base. Así, comprobamos en el ejemplo 6.5. que det(a ) = det(a) =.

29 6.5. CAMBIO DE BASE Las matrices semejantes tienen la misma traza: Tr A = Tr A donde la traza Tr(A) = n i= a ii es la suma de los elementos diagonales. En efecto, probemos primero que para matrices A de n m y B de m n, se cumple Tr (AB) = Tr (BA) Demostración: TrAB = n (AB) ii = i= n m ( a ij b ji ) = i= j= m n ( b ji a ij ) = j= i= m (BA) jj = TrBA j= Luego Tr A = Tr (SAS ) = Tr ((AS )S) = Tr (A(S S)) = Tr A Este resultado implica que la traza es también una propiedad del operador L representado por A, permaneciendo invariante frente a cambios de base. Así, comprobamos en el ejemplo 6.5. que Tr (A ) = Tr(A) =. Finalmente, mencionemos una tercera propiedad relacionada con.: 3. Si A y A son matrices semejantes de n n e I n es la matriz identidad, entonces para cualquier escalar λ. det (A λi n ) = det(a λi n ) Este determinante (que es un polinomio de grado n en λ denominado polinomio característico) juega un rol central en la teoría de autovalores, como veremos luego. Demostración: det(a λi n ) = det(s A S λi n ) = det[s (A λi n )S] = (det(s )det(a λi n )det(s) = det(a λi n ) Así, comprobamos en el ejemplo 6.5. que det(a λi 2 ) = λ λ = ( λ)( λ) = λ2 det(a λi 2 ) = λ λ = λ2 = det(a λi 2 )

30 3 Problemas 6.5. Dada L : R 3 R 3 definida por 2 2 L(x) = Ax, A = 2 2 a) Obtener la expresión explícita de L(x) para un vector x = 2 b) Hallar su representación A en la base B =,,. Verificar que L(v ) =, L(v 2) = v 2, y L(v 3) = 4v 3, y que por lo tanto, A es diagonal. c) Usar esta representación diagonal para hallar su núcleo e imagen. d) Usar esta representación diagonal para interpretar L geométricamente. e) Indique si el vector v = pertenece a la imagen de L. f) Verifique que la traza y determinante permanecen invariantes frente al cambio de base: Tr(A) =Tr(A ), det (A) = det (A ). 2. Si la matriz A del problema anterior representa ahora una transformación L : P 2 P 2 en la base canónica de P 2, con P 2 el espacio de polinomios reales de grado 2 (y su base canónica dada por (, x, x 2 )), dé una expresión para L(p) y determine la base B de P 2 donde la representación A es diagonal (utilice resultados previos). 3. Considere la reflexión L : R 2 R 2 respecto de una recta que pasa por el origen y que forma un ángulo θ con el eje x, dada por y = mx, con m = tan θ (graficar). a) Determine, a partir (( de consideraciones ) ( )) geométricas, su representación matricial A en la base B cos θ sin θ =, formada por un vector perteneciente a la sin θ cos θ recta y otro perpendicular a dicha recta (verificar!). Muestre que A es diagonal. b) Utilice a) y cambio de base para obtener la representación matricial A en la base canónica. Verifique que se obtiene el resultado del problema ( ) ( ) ( ) ( ) 4. Sea L : R 2 R 2 2 definida por L =, L =. 2 a) Encuentre su representación matricial en la base canónica de R 2 y dé una expresión para L(x). ( ) b) Encuentre su representación matricial en la base B =(, 2 que es diagonal. c) Determine su núcleo e imagen. x x 2 x 2. ( ) ), y verifique 5. a) Muestre que la representación matricial A = [I] B B del operador identidad I : V V con respecto a una base arbitraria B de un espacio vectorial V de dimensión n, es siempre la matriz identidad I n. b) Muestre que la representación matricial del operador nulo : V V en cualquier base B de V es la matriz nula de n n.

31 6.6. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES (OPERACIONES SUCESIVAS) 3 6. Muestre que si una matriz B es semejante a una matriz A, entonces: i) B 2 es semejante a A 2. ii) Si A no singular, B es no singular y B es semejante a A. 7. Dada L : V W y A su representación matricial respecto de bases B V de V y B W de W (con dimv = n, dimw = m) muestre que su representación matricial A respecto de bases B V de V y B W de W es A = R AS con S = ([v ] BV,..., [v n] BV ) la matriz de cambio de base en V (de n n, no singular) y R = ([v ] BW,..., [v n] BW ) la matriz de cambio de base en W (de m m, no singular) Composición de transformaciones (operaciones sucesivas) Consideremos dos transformaciones lineales L : V W, G : W U, con V, W, U espacios vectoriales. Supongamos que primero aplicamos L sobre un vector v V, y luego aplicamos G sobre el vector resultante w = L(v) W. El resultado es el vector que pertenece al espacio vectorial U: u = (G L)(v) = G(L(v)) (6.) v L w G u En (6.), G L : V U denota la composición de G con L (también escrita como G L), que es también una transformación lineal. Problemas Demostrar que si L : V W y G : W U son transformaciones lineales, entonces G L : V U definida por (6.) es también una transformación lineal (probar que satisface (G L)(αv + βv 2 ) = α(g L)(v ) + β(g L)(v 2 )). 2. Si L : R 3 R 2 está definida por L(x, y, z) = (x + y, y + z), y G : R 2 R 2 está definida por G(x, y) = (x + y, 2x 2y), encontrar una expresión para (G L)(x, y, z) = G(L(x, y, z)) Representación matricial de la composición Consideremos primero que V = R n, W = R m y U = R p, y sean A L (de m n) y A G (de p m) las representaciones matriciales de L y G en las bases canónicas correspondientes, tal que L(v) = A L (v), G(w) = A G w. Entonces GL(v) = G(L(v)) = G(A L v) = A G (A L v) = (A G A L )v

32 32 por lo que la representación matricial de la composición G L con respecto a las bases canónicas de V y U es el producto A G A L de las matrices que representan a G y a L: A GL = A G A L (6.2) Observar que la matriz A G se aplica a la izquierda de la matriz A L. El producto está así bien definido. Ejemplo 6.4: En el ejercicio 6.6.2, en las bases canónicas de R 3 y R 2, obtenemos las representaciones matriciales (verificar!) A L = ( ), A G = ( 2 2 ) tal que x L y = z ( ) x G = y ( ( 2 2 ) x y = z ) ( ) x = y ( ) x + y y + z ( ) x + y 2x 2y Por lo tanto, o sea, A GL = A G A L = x (GL) y = z = = ( ( ) ( ) x y 2 2 z ( ) 2 x y 2 2 z ( ) x + 2y + z 2x 2z ), con (G L)(x, y, z) = (x + 2y + z, 2x 2z). (6.3) En el caso general, para representaciones matriciales en bases arbitrarias B V, B W y B U de V, W, U, se obtiene también (se deja la demostración para el lector) [GL] B V B U = A G A L con A L = [L] B V B W, A G = [G] B W BU Este resultado es válido para espacios vectoriales generales de dimensión finita Potencias de operadores lineales Recordemos que si W = V, la transformación lineal L : V V se denomina también operador lineal o endomorfismo. Queda en este caso definido el cuadrado L 2 = L L como la composición de L con L: L 2 (v) = L(L(v)) (6.4)

33 6.6. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES (OPERACIONES SUCESIVAS) 33 Si A L es la representación matricial de L en una cierta base de V, los resultadoa anteriores implican que la representación matricial de L 2 es el cuadrado de la matriz A L : En general, la potencia L k k 2 queda definida por y su representación matricial es A L 2 = A L A L = A 2 L (6.5) L k (v) = L(L k (v)), k 2 A L k = A L A L k = A k L es decir, la potencia k de la matriz A L. Por definición, L = I, con I el operador identidad. Y si L es un operador lineal inversible (o sea un automorfismo: un isomorfismo de V en V ), de forma que existe la transformación inversa L (tal que L L = I V ) entonces A L = A L (6.6) ya que A L A L = I n. La representación matricial de la inversa L es la inversa de la matriz A L que representa a L, como se vió previamente. ( ) ( ) x 2x + y Ejemplo: Si L : R 2 R 2 está dado por L =, su representación y x 2y matricial en la base canónica es (probar!) ( ) 2 A L = 2 La representación matricial de L 2 es entonces ( ) ( 2 2 A L 2 = A 2 L = 2 2 ) = ( 3 3 ) de forma que ( ) x L 2 = y ( 3 3 ) ( ) x = y ( ) 3x = 3 3y ( ) x y es decir, L 2 (x) = 3x, lo que equivale a L 2 = 3I, con I el operador identidad. Además, como A L es no singular, L es inversible y la representación matricial de su inversa está dada por A L = A L = ( ) de forma que ( ) x L = ( 2 y 3 2 o sea, L = L/3. Se verifica entonces L L = I. ) ( ) x = ( ) 2x + y y 3 x 2y

34 34 Problemas Si L : R 3 R 3 queda definido por L(x, y, z) = (y, x, z), i) mostrar que en la base canónica, A L = ii) Hallar A 2 L y verificar que L2 es el operador identidad. 2. Sea P 2 el subespacio de los polinomios reales de grado 2. Si D : P 2 P 2 denota el operador derivada (D = d ), dx i) Hallar las representaciones matriciales A D y A D 2 de D y la derivada segunda D 2 en las base canónica (, x, x 2 ) y verificar que A D 2 = A D A D = A 2 D Composición de transformaciones lineales en R 2 Consideremos ahora algunos ejemplos de operadores lineales L : R 2 R 2. La reflexión de un vector v respecto de la recta y = x está dada por (recordar!) ( ) ( ) ( ) ( ) x x y L = = y y x ( ) siendo su representación matricial en la base canónica A L =. Es evidente de la definición que L 2 ( x y) = L(L( x y)) = ( x y) x, y, o sea, L 2 = I (operador identidad), verificándose que (probar!) A 2 L = ( ) Es, decir, la inversa de una reflexión L es la misma reflexión L, como es obvio geométricamente. L v y x R v v Π 2 v La rotación de ángulo π/2 en sentido antihorario de un vector v está dada por ( ) ( ) ( ) ( ) x x y R = = y y x

35 6.6. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES (OPERACIONES SUCESIVAS) 35 siendo su representación matricial en la base canónica A R = ( Consideremos ahora la transformación lineal R L que primero refleja un vector respecto de la recta y = x y luego lo rota un ángulo de π/2 en sentido antihorario. Su representación matricial en la base canónica será ( ) ( ) ( ) A (R L) = A R A L = = y por lo tanto, R L ( ) ( x = y ) ( ) x = y ( ) x y Esto representa una reflexión respecto del eje y (mostrar!). Por otro lado, la transformación lineal L R, que primero rota un vector un ángulo de π/2 en sentido antihorario y luego lo refleja respecto de la recta y = x, queda representada por la matriz y por lo tanto, A (L R) = A L A R = L R ( ( ) ( x = y ) ( ) = ) ( ) ( ) x x = y y Esto representa una reflexión respecto del eje x (mostrar!). ( ) ). RL v v v LR v Por lo tanto, vemos que el resultado final depende del orden de la composición, lo que se refleja en la no conmutatividad del producto matricial asociado. Se define el conmutador de dos operadores L : V V, G : V V como [G, L] = GL LG que es en general un operador no nulo. La matriz que lo representa en una base de V es el conmutador de las matrices que representan a G y L en dicha base: A [G,L] = A G A L A L A G. En el ejemplo anterior se obtiene A R A L A L A R = ( ) ( ) ( = 2 )

36 36 que implica RL LR = 2RL, es decir, LR = RL. Recordemos finalmente que la proyección ortogonal de un vector sobre el eje x está dada por (graficar!) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x P x = = y y y la proyección ortogonal de un vector sobre el eje y está dada por Problemas ( ) x P y = y ( ) ( ) x = y ( ) y. a) Hallar la representación matricial en la base canónica de la inversa de los operadores R y L anteriores. b) Tienen P x y P y inversa? c) Encuentre la representación matricial de P x P y y P y P x. Justificar el resultado. 2. Sea F : R 2 R 2 el operador lineal que primero rota todo vector un ángulo π/2 en sentido antihorario y luego lo proyecta sobre el eje x. Hallar su representación matricial en la base canónica y una expresión para F ( x y). 3. Sea G : R 2 R 2 el operador lineal que primero proyecta todo vector sobre el eje x y luego lo rota un ángulo π/2 en sentido antihorario. Hallar su representación matricial en la base canónica y una expresión para G( x y). 4. Recordando que la representación matricial en la base canónica de una reflexión respecto de la recta y = mx, con m = tan θ, es ( cos 2θ sin 2θ ) sin 2θ cos 2θ a) Halle su determinante. b) Muestre que la composición de dos reflexiones es una rotación. 5. Recordando que la representación matricial en la base canónica de una rotación de ángulo θ antihorario es ( ) cos θ sin θ sin θ cos θ a) Halle su determinante. b) Muestre que la composición de dos rotaciones es otra rotación. c) Muestre que la composición de una reflexión con una rotación es otra reflexión. 6. Encuentre, a partir de las figuras, la representación matricial en la base canónica de las siguientes transformaciones lineales L : R 2 R 2 :

37 6.6. COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES (OPERACIONES SUCESIVAS) 37 2 L C L C C Θ C a),5 b) L C c) C Θ L C d) Φ d c Θ C

38 Matemática C Transformaciones Lineales: Apéndice

39 Aplicaciones. Gracos y animaciones en computadoras Para dibujar las guras (gracos, objetos,...) en un espacio bi-dimensional, como aparecen en el monitor de una computadora:. Se almacenan en la memoria como un conjunto de vertices (puntos) 2. Se dibujan los vertices y luego se los une mediante lneas rectas para obtener la gura. As si se tienen p vertices (x i y i ) para i = ::: p, se almacenan como una matriz T de 2 (p +) T = Por ejemplo, para dibujar un triangulo... x x 2 x p x y y 2 y p y... con vertices ( ), ( ) y ( ;), almacenamos los vertices como ; A~nadimos la cuarta columna para indicar que el ultimo punto ( ;) debe ser conectado (mediante un procedimiento de dibujo computacional) al primer punto ( ) para completar el triangulo Para transformar una gura, hay que cambiar de posicion de los vertices y \redibujar" la gura. Si la \transformacion" es lineal, se puede hacer esto mediante una multiplicacion de matrices (en R 2 )....

40 Animacion: Viendo una sucesion de estos dibujos, realizados de manera muy rapida en tiempo real, produce el efecto de una \animacion".. Usando cuatro transformaciones basicas () Dilataciones y contracciones: L (x) = c:x (operador de escala) c>: dilatacion <c<: contraccion L se representa por la matriz c:i 2, donde I 2 es la matriz identidad de 2 2. Por ejemplo para dilatar el triangulo anterior por un factor 3, construimos un nuevo triangulo mediante su matriz de vertices T =(3:I 2 ) :T = : = 3 ; 3 ;3 (2) Reexion respecto de un eje: L x (x) = x ;y reexion sobre el ejex) Otra: ;x L y (x) = y A y = (reexion sobre el ejey) Ambas \transformaciones son lineales", y respecto de la base canonica e y e 2 se representan mediante las matrices... La reexion sobre el eje \x", que es la recta y =: ; Siguiendo con el ejemplo del triangulo La reexion del \triangulo" respecto del eje x... Hay que aplicar la matriz de esta transformacion a cada vertice + el vertice nal agregado: T = A x :T = ; : ; De igual manera, respecto del eje \y", la reexion del triangulo: ; ; ; T = A y :T = : = ; ;... As dibujando los puntos transformados... = ; 2

41 T = A x :T T = A y :T (3) Rotaciones: Para rotar un vector un angulo en sentido contrario a las agujas del reloj, multiplicamos cada vector por la matriz cos ; sin A = (operador rotacion) sin cos Para obtener la rotacion del triangulo... cos ; sin T = A :T = : sin cos ; (cos ; sin ) (cos +sin) = (sin +cos) (sin ; cos ) T = A :T 3

42 Ahora, una transformacion muy usada, pero que \no es lineal" (vericar que no cumple las propiedades de linealidad)... (4) Traslaciones: L (x) =x + a Si a 6=, sabemos que no es una transformacion lineal, y por tanto, no puede ser representada mediante una matriz.... Pero, apesar de no ser lineal, se puede hacer un articio para poder usar una matriz. Para eso se dene un \nuevo sistema" de coordenadas, denominadas \coordenadas homogeneas" que permite el uso de una matriz....2 Inversas, composicion y conmutacion de operaciones La inversa de una de estas operaciones deshace la transformacion y retorna al vector original x. Ejemplo Para rotar x en sentido antihorario mediante el angulo, multplicamos x por A x = A:x = cos sin ; sin cos :x Para deshacer esta operacion y recobrar el vector original x, rotamos x horario mediante el angulo, o en forma equivalente en sentido antihorario mediante el angulo ;... en sentido x = B:x = = cos (;) ; sin (;) sin (;) cos (;) cos sin :x ; sin cos :x Pero B es la inversa de A. De hecho cos sin B:A = ; sin cos = = Otro caso... x = B:x = B: (A:x) =B:A:x =) B:A = I : cos sin ; sin cos cos 2 +sin 2 ; cos sin + sin cos ; sin cos + cos sin cos 2 +sin 2 4

43 Ejemplo 2 Para reejar x sobre el eje x 2, multiplicamos x por A x = A:x = ; : x ;x = x 2 x 2 x.... Si de nuevo reejamos x sobre el eje x 2,deberamos recobrar nuestro vector original Esto es... x = A:x = A: (A:x) =A 2 :x =) A 2 = I la inversa de A es A Efectivamente... A 2 = = A ; = A ; : ; Ejemplo 3 Para invertir el sentido de x, multiplicamos x por la matriz A x = A:x = = ; ;x = ;x ;x 2 ;... Si ahora invertimos el sentido de x, recobramos x por tanto... x = A:x = A: (A:x) = A 2 :x ; ; = : ; = :x A ; = A : x x 2 Ejemplo 4 Para rotar x en sentido antihorario mediante el angulo = =2, multiplicamos x por A cos x = A:x = sin ; = : 5 x x 2 ; sin cos :x :x = ;x2 x

44 ... o, rotamos x en sentido antithorario primero mediante =3, y luego rotamos mediante =6... cos =6 ; sin =6 x = A 2 : (A :x) = sin =6 cos =6 p p 3=2 ;=2 = p =2 ; 3=2 : p =2 3=2 3=2 =2 ; x ;x2 = : = x 2 x : cos =3 ; sin =3 :x sin =3 cos =3 :x As componer la rotacion A 2 :A es equivalente a la secuencia de rotaciones A, y A 2 (A seguida por A 2 ). Esta composicion de dos rotaciones sucesivas es equivalente a una rotacion de =2.... En este caso, una rotacion de =6 (A ) seguida por una rotacion de =3 (A 2 ) es equivalente a una de =3 seguida de una de =6 p p =2 ; 3=2 3=2 ;=2 A :A 2 = p : 3=2 =2 =2 ; A 2 :A = El ejemplo de las dos rotaciones sucesivas muestra... p 3=2 = ; Las matrices que representan operadores lineales conmutan (A:B = B:A) si las dichas operaciones dan el mismo resultado cuando se las realiza en orden inverso. Ejemplo 5 Para proyectar x sobre el eje x 2, multiplicamos x por A x = A:x = : x = x 2 x 2 Si ahora proyectamos x sobre el eje x 2, obtendremos el mismo resultado, ya que x se encuentra sobre el eje x 2 A:x = A (A:x) = : = = x x 2 x 2 esto es De hecho A k A 2 = : = = A = A para todo k = 2 ::: para todo tipo de operador proyeccion. Observacion 6 Un operador proyeccion no tiene inversa 6

45 Todos los vectores que tengan la misma coordenada x 2 tendran la misma proyeccion sobre el eje x 2. O sea, seran transformados al mismo vector x. El operador proyeccion no tiene inversa, debido a que el vector x no puede ser retornado sobre un unico vector x. De hecho... det A =det =... y por tanto A es singular (no invertible). La matriz A que representa a un operador lineal es \singular" (no invertible) si la operacion \ no puede deshacerse o invertirse" para recobrar el vector inicial unico..3 Traslaciones y Coordenadas homogeneas Denicion Las coordenadas homogeneas se forman al asociar cada vector x en R 2 el vector ^x en R 3 correspondiente a x = x x y A = ^x Para dibujar un punto representado por estas \ coordenadas homogeneas" ^x, solo hay que \ignorar" el tercer coeciente y simplemente dibujar (x y). Con esta denicion articial (y aparentemente arbitraria), los \cuatro tipos" de operaciones gracas descriptas, a pesar que la 4ta. no es lineal, podran ser representadas mediante matrices de 33, si se las quiere combinar con traslaciones. Recuerden que si no usan traslaciones, no hay necesidad de usar ningun articio ya que las transformaciones -2-3, cada una tiene su matriz de representacion. Para el caso, cuando aparecen traslaciones, en las coordenadas homogeneas se agrega la \tercer la" y la \tercer columna" de la matriz identidad I 3, de 3 3: As en esta situacion... A la matriz de dilatacion c:i 2 : se le c c A Observar que no es c:i3. Esa sera una dilatacion en < 3, que no es la dada en 2- variables. De igual manera... 7

46 A la matriz de reexion A x : A la Matriz de rotacion A A cos ; sin sin cos Luego, por ejemplo, la aplicacion de una reexion respecto del eje \x" a un vector arbitrario (x,y): A x^x = ; A x y A x ;ya! al eliminar la tercer componente... x ;y Para las operaciones o transformaciones, Tipo:, 2 y 3, el agregado de una coordenada "cticia" es superuo, pues son lineales y tienen su matriz de representacion.... Pero, para la traslacion (que no es lineal), ahora s podremos construir una \matriz de representacion con respecto a las coordenadas homogeneas"... Para eso, reemplazamos en la matriz I 3, los dos primeros coecientes de la columna "cticia" por los coecientes del vector de traslacion a... A a a x a y Se tiene entonces que la aplicacion de esa matriz a un vector arbitrario (x,y), con la tercer componente... A a :^x = = x + a x =x+a y + a a x a x + a x y + a y A x y A A A! eliminado la tercer componente se obtiene: 8

47 En el ejemplo del triangulo, su aplicacion, a cada vector o vertice con la tercer componente agregada... ^T ; A y ^T = A a : ^T a x a y = A a x ( + a x ) ( + a x ) a x a y ( + a y ) ( + a y ) a ; A Los vectores columnas de ^T,setrasladan a x a y A = a. ^T = A a ^T A ^T = A a ^T En general, para \n" vertices se considera... ^T x x 2 x n y y 2 y n Otra transformacion \lineal" conocida... A x x 2 x n x y y 2 y n y Observacion 7 El operador \proyeccion" tambien puede ser tratado de esta manera, y es muy importante para representaciones gracas en 2-dimensiones, con perspectiva espacial, de un objeto tridimensional. A.4 Operaciones sucesivas o composicion de transformaciones Las sucesivas aplicaciones de estas operaciones (rotaciones, reexiones, traslaciones(no lineal)) pueden lograrse mediante sucesivas multiplicaciones, o equivalentemente mediante la multiplicacion \una matriz" que es el \producto de las matrices de representacion", en el orden correspondiente de cada operacion. 9

48 Ejemplo 8 Para dilatar un gura mediante un factor c>, y luego trasladarla mediante un vector a, multiplicamos la matriz de vertices ^T por el producto de dos matrices ^T =(A a ) : (c:i 2 ) : ^T a x a y A c c A : ^T c a x c a y A : ^T... y para rotar la imagen resultante en sentido antihorario mediante el angulo, multiplicamos ^T por A ^T = A : ^T = cos ; sin sin cos A c a x c a y A : c cos ;c sin (a x cos ; a y sin ) c sin c cos (a x sin + a y cos ) A : ^T El ORDEN DE LAS OPERACIONES ES CR ITICO. Por ejemplo, una rotacion seguida por una traslacion produce un resultado distinto que una traslacion seguida por una rotacion. Rotacion... y luego traslacion : T = A :T T = A a :T = A a :A :T

49 Ahora... Traslacion... y luego rotacion : T = A a :T T = A :T = A :A a :T Observacion 9 Las composiciones no son equivalentes ya que las matrices A a y A conmutan no A a :A 6= A :A a... y por tanto, el \orden" de las operaciones es importante. Un programa simple de computadora en dos dimensiones es una secuencia de estas operaciones, calculadas y expuestas muy rapidamente, en tiempo real.

50 Facultad de Ingeniería UNLP Matemática C Proyección Ortogonal Bases Ortogonales

51 Proyección En secciones previas hemos usado la proyección ortogonal de vectores de R 3 sobre el plano xy (subespacio). Asumiendo que el vector está por encima del plano xy, esta proyección es la sombra ( al mediodía ) del vector sobre este plano: z v y x P xy v En otras palabras, la proyección de v sobre el plano xy es un vector p = P xy (v) tal que si alguien camina sobre el plano y se detiene sobre el extremo de p mirando hacia arriba en línea recta, ve el extremo del vector v. En esta sección se generalizará este concepto a otras proyecciones.. Proyección Ortogonal sobre una recta Primero consideramos de nuevo la proyección ortogonal sobre una recta que pasa por el origen, dirigida por un vector s. Proyectar ortogonalmente un vector v sobre una recta dirigida por s da un punto p sobre la recta tal que el segmento que une p con v es perpendicular a la recta. Un observador que camine sobre esa recta y se detenga en el punto p, al mirar hacia arriba (o hacia abajo, según la posición del vector) en forma perpendicular a la recta, verá el extremo de v: v v s p s p x 2

52 Es decir, ha caminado sobre la recta {c s, c R} hasta hallar el punto p = c p s determinado por un coeficiente c p, con la propiedad de que el vector v c p s es ortogonal a c p s. v v c p s Θ c p s x Para determinar c p, basta con observar que la diferencia v c p s debe ser ortogonal al propio vector s (no nulo) que genera la recta. Por lo tanto, el producto escalar de estos dos vectores debe ser nulo: ( v c p s) s = De aquí obtenemos v s c p = s s es decir, c p = v cos θ, donde θ es el ángulo entre v y s. Estas consideraciones son aplicables s tanto a R 2 o R 3 como también a R n (y también a todo espacio vectorial en el que se ha definido un producto escalar!), siendo el plano del dibujo el subespacio de dimensión 2 generado por v y s. Definición. Sea v R n. La proyección ortogonal de v sobre la recta (que pasa por el origen) generada por el vector no nulo s R n es el vector P s ( v) = v s s s s Es decir, P s ( v) = ( v cos θ) s. El resultado depende sólo de la dirección de s y no de s su longitud (o sentido): P (α s) ( v) = P s ( v) α. De esta forma, el vector v P s ( v) es perpendicular a s: [ v P s ( v)] s = Ejemplo. Para proyectar v = (x, y) R 2 ortogonalmente sobre la recta y = 2x, primero obtenemos un vector que indique la dirección de la recta. Por ejemplo, ( ) s = 2 Luego P s ( v) = ( ) (x, y) 2 ( ) (, 2) 2 ( ) = x + 2y 2 5 ( ) 2 3

53 Ejemplo En < 3, la proyeccion ortogonal de un vector x ya z sobre el eje- y es ; x y A ya A lo cual se corresponde con lo esperado por nuestra intuicion. Gracar. Otra forma de pensar la proyeccion de v sobre la recta... Desde el dibujo que precede a la denicion observamos que el vector ~v se ha descompuesto en dos partes: () La parte sobre la recta: ~p = c p ~s), que es el vector proyectado y... (2) la parte que es ortogonal a la recta: ~v ; c p ~s. As la proyeccion ortogonal de ~v sobre la recta generada por ~s es la parte del ~v que yace en la direccion del vector ~s. Una forma util de pensar la proyeccion ortogonal de ~v sobre la recta indicada es pensar que la proyeccion de ~v es el vector o punto en la recta que esta mas cerca a ~v. Es decir hallar en la recta el punto cuya distancia al v es mnima. Repasar el dibujo. Problema. Dada una recta que no pasa por el origen.... La proyeccion de ~v sobre esa recta es el vector o punto en la recta que esta mas cerca a ~v. Es decir, se debe hallar en la recta el punto cuya distancia al v es mnima. Gracar.... > Como puede hallar el punto sobre esa recta que esta mas cerca de v?. En la seccion proxima vemos como la proyeccion de un vector en la direccion de otro nos da un procedimiento para construir \bases de espacios vectoriales" con vectores ortogonales entre si. Ejercicios X. Proyectar el primer vector ortogonalmente sobre la recta que pasa por el origen generada por el segundo vector (a), (b), 2 A (d) A, A ;2 4 ; X.2 Proyectar el vector dado ortogonalmente sobre la recta indicada

54 (a) 2 4, l = c 3 3 c R (b) ( ), la recta y = 2x.3 Aunque lo desarrollado ha sido guiado por representaciones gráficas, no nos restringimos a espacios que podemos dibujar. Por ejemplo, en R 4, proyectar v sobre la recta l, con v = 2 l = c c R 3 (.4 Consideremos en R 2 la proyección ortogonal sobre la recta generada por s = ( ) 3 (a) Proyectar v = sobre la dirección de s. 2 ( ) x (b) Mostrar que la proyección de un vector general v = sobre la dirección de s es y ( ) ( ) x x+3y proj [ s] = / y 3x+9y (c) Encontrar la representación matricial en la base canónica de esta proyección..5 Al proyectar un vector v, la proyección separa a v en dos partes: proj [ s] ( v) y v proj [ s] ( v), que son vectores ortogonales. (a) Mostrar que si son no nulos, forman un conjunto linealmente independiente. (b) Qué es la proyección ortogonal de v sobre una recta que pasa por el origen si v está contenido en esa recta? Como es v proj [ s] ( v) en este caso? (c) Mostrar que si v no está en la recta y no es perpendicular a s entonces el conjunto { v, v proj [ s] ( v)} es linealmente independiente..6 Mostrar que la proyección de v en la recta generada por s tiene longitud igual al valor absoluto del número v s dividido por la longitud del vector s..7 Encontrar la fórmula para la distancia de un punto a una recta que pasa por el origen..8 Encontrar el escalar c tal que c s = (cs,cs 2 ) esté a mínima distancia del punto (v,v 2 ), utilizando minimización de funciones. Generalizar a R n..9 Probar que la longitud de la proyección ortogonal de un vector v sobre una recta es más corta que la del vector v..2 Ortogonalización de Gram-Schmidt En la sección previa se sugirió que al proyectar sobre la recta (que pasa por el origen), dirigida por un vector s, se descompone al vector v en dos vectores que son ortogonales: v = proj [ s] ( v) + ( v proj [ s] ( v) ) Luego, v es suma de dos vectores ortogonales. Si ambas partes son no nulas ( cuando podría ocurrir otra cosa?) son dos vectores linealmente independientes por ser ortogonales. Ahora, trabajamos sobre esa idea... 5 ).

55 Denicion Los vectores ~v ::: ~v k 2 < n son mutuamente ortogonales si todo par de vectores son ortogonales: par i, j. As... Teorema Si i 6= j entonces el producto escalar ~v i ~v j es cero, para todo Si los vectores de un conjunto f~v ::: ~v k g< n son no nulos y mutuamente ortogonales entonces el conjunto es linealmente independiente. Demostracion. Considerar la combinacion lineal c ~v +c 2 ~v 2 ++c k ~v k = ~. Si i 2 [::k] entonces tomando el producto escalar de ~v i aambos lados de la igualdad ~v i (c ~v + c 2 ~v c k ~v k )=~v i ~ c i (~v i ~v i )= muestra, como ~v i es no nulo, que c i es cero. Vale para cada i = :::k. Luego, los k vectores son linealmente independientes. Corolario Si hay p vectores no nulos que son mutuamente ortogonales en un espacio p dimensional ) ese conjunto es una \base" para ese espacio. Demostracion. Todo conjunto de p vectores linealmente independientes de un espacio de dimension p es una base. Por supuesto, la recproca del teorema no vale, ya que \ No toda base de un subespacio de dimension p de < n tiene sus p vectores mutuamente ortogonales". Sin embargo, podemos alcanzar una recproca \parcial" en el sentido que \ para todo subespacio de < n existe al menos una base de vectores mutuamente ortogonales". Ejemplo Los vectores ~ y ~ 2 de esta base de < 2 no son ortogonales. 4 B = h i Sin embargo, podemos encontrar desde B una \ nueva base" para el mismo espacio cuyos vectores sean \mutuamente" ortogonales. Para el primer vector de la nueva base usamos el mismo de B, usamos ~. As ~ = 4 2 Para construir el segundo de la \nueva" base, tomamos uno ortogonal al primero tomamos desde ~ 2 la \parte" que es ortogonal a la direccion del ~, ~ 2 = 3 ; proj [~ ] ( 3 )= 3 ; 2 = ;... y sera, ~ 2 (la parte del vector ~ 2 que es ortogonal a ~ ) Notar que, por el corolario, f~ ~ 2 g es una base para <

56 Denicion Una base ortogonal para un espacio vectorial es una base de vectores \ mutuamente ortogonales". Ejemplo Para pasar de una base de < 3 h@ A i 3 a una base ortogonal, como antes tomamos como primer vector el primer vector de la base dada. ~ A Para obtener el segundo ~ 2, comenzamos con el segundo vector de la base dada ~ 2 sustraemos la parte de el que es la proyeccion sobre ~. ~ 2 2A ; proj[~ ](@ 2A 2A 2=3A ;2=3 4=3 A 2=3 ;2=3 y le Finalmente, para obtener ~ 3 tomamos el tercer vector dado y le sustraemos la parte de el en la direccion de ~, y tambien la parte del mismo en la direccion de ~ 2. ~ 3 A ; proj[~ ](@ A ) ; proj[~2 ](@ A ; A El corolario dice que... es una base de < 3. Para generalizar... h@ ;2=3 4=3 ; A i ;2=3 El resultado proximo verica que el procedimiento dado en los ejemplos genera una base ortogonal, para un subespacio de < n, a partir de una base dada. Nos restringimos a < n porque no hemos dado una denicion de ortogonalidad general para otros espacios.... Teorema ( Ortogonalizacion de Gram-Schmidt ) Si h ~ ::: ~ k i es una base para un subespacio de < n entonces ~ = ~ ~ 2 = ~ 2 ; proj [~ ]( ~ 2 ) ~ 3 = ~ 3 ; proj [~ ]( ~ 3 ) ; proj [~2 ]( ~ 3 ). ~ k = ~ k ; proj [~ ]( ~ k ) ;;proj [~ k;]( ~ k ) Los ~ 's forman una base ortogonal para el mismo subespacio. 7

57 Demostracion. Se usa induccion para chequear que cada ~ i es no- cero, y esta en el subespacio generado por h ~ ::: ~ i i y es ortogonal a todos los vectores precedentes: ~ ~ i = = ~ i; ~ i =. Con eso, tendremos que h~ :::~ k i es una base para el mismo espacio como lo es h ~ ::: ~ k i. Cubrimos los casos hasta i = 3, lo cual da sentido a los argumentos. Para completar detalles ver la bibliografa. El caso para i =esinmediato o trivial ya que~ es igual a ~, lo hace un vector no nulo ( ~ 6=),y es la misma direccion y subespacio. Para el caso i =2,desde la denicion de ~ 2. ~ 2 = ~ 2 ; proj [~ ]( ~ 2 )= ~ 2 ; ~ 2 ~ ~ ~ ~ = ~ 2 ; ~ 2 ~ ~ ~ ~ Esta expansion muestra que ~ 2 no es cero, osinohabra una dependencia lineal entre los vectores ~ 's (es no trivial porque el coeciente de ~ 2 es ) y tambien muestra que ~ 2 esta en el subespacio generado. Finalmente, ~ 2 es ortogonal al unico vector precedente ~ ~ 2 = ~ ( ~ 2 ; proj [~ ]( ~ 2 )) = porque esta proyeccion es ortogonal. El caso i = 3 es el mismo que para i = 2, excepto por un detalle. Como en el caso i = 2,expandiendo la denicion ~ 3 = ~ 3 ; ~ 3 ~ ~ ~ ~ ; ~ 3 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ~ 2 = ~ 3 ; ~ 3 ~ ~ ~ ~ ; ~ 3 ~ 2 ~ 2 ~ 2 ; ~ 2 ; ~ 2 ~ ~ ~ ~ muestra que ~ 3 no es cero y esta en el subespacio generado. El calculo muestra que ~ 3 es ortogonal al precedente vector ~. ~ ~ 3 = ~ ; ~ 3 ; proj [~ ]( ~ 3 ) ; proj [~2 ]( ~ 3 ) = ~ ; ~ 3 ; proj [~ ]( ~ 3 ) ; ~ proj [~2 ]( ~ 3 ) = La diferencia con el caso i =2 esque la segunda linea tiene dos clases de terminos. El primero, es cero porque la proyeccion es ortogonal, como en el caso i = 2. El segundo termino es cero porque ~ es ortogonal a ~ 2,yes ortogonal a cualquier vector en la recta generada por ~ 2.) El chequeo que ~ 3 es tambien ortogonal al otro precedente vector ~ 2 es similar. Una vez que se tiene la base de vectores ortogonales, se puede pasar a una base donde ademas cada vector tiene longitud unitaria. Para eso, cada vector de la base ortogonal se divide por su propia longitud (se normalizan las longitudes). 8

58 Ejemplo Normalizar la longitud de cada vector de la base ortogonal del ejemplo previo produce la base ortonormal. =p 3 = p 3 = p ;=p 6 2= p 6 3 ;= p ;=p 2 6 = p A i 2 Una base ortonormal simplica muchos calculos como se vera en algunos ejercicios. Ejercicios 2. Realizar el procedimiento de Gram-Schmidt sobre cada base de < 2, para obtener bases ortonormales. 2 ; ; (a) h i (b) h i (c) h i 3 X 2.2 Idemel ejercicio previo para las siguientes bases de < 3. (a) h@ 2 3A i (b) 2 3A i 2 ; Luego normalizar los vectores. X 2.3 Encontrar una base ortonormal para el subespacio de < 3 : el plano x ; y + z =. Ayuda: parametrizar el plano usando los parametros y, z. f@ x ya x = y ; zg = A y ; A z y z 2<g z Considerar esa base. h@ ; A i 2.4 Encontrar bases ortonormales para el subespacio de < 4. x fby z A x ; y ; z + w = and x + z =g w Reduciendo el sistema lineal x ; y ; z + w = ; + 2 x ; y ; z + w = ;! x + z = y +2z ; w = y parametrizando da la descripcion del subespacio, hallar una base. 2.5 Mostrar que cualquier subconjunto linealmente independiente de < n puede ser ortonormalizado sin cambiar el subespacio generado. Por ejemplo, con 3 S = f g 2 6 alcanzaramos 3 3 ~ = ~ 2 2 = ; proj 6 [~ ]( )= Encontrar un vector en < 3 que es ortogonal aambos vectores 5 A 2 2A 9

59 X 2.7 Una ventaja de las bases ortonormales es que ellas simplican la representacion de un vector con respecto a esa base. (a) Representar el vector respecto de la base indicada de < 2 2 ~v = B = h i 3 Primero representar el vector con respecto a la base. Luego proyectar el vector sobre cada elemento de la base. [ ~ ] y [ ~ 2 ]. (b) Con la base ortogonal dada para < 2 K = h i ; representar el mismo vector ~v con respecto de esa base. Luego proyectar el vector sobre cada elemento de esta base. Notar que los coecientes en la representacion y en la proyeccion son los mismos. (c) Dada una base ortogonal K = h~ ::: ~ k i para un subespacio de < n. Probar que para cualquier ~v en el subespacio, la i-th componente de la representacion de v en esa base es el coeciente escalar (~v ~ i )=(~ i ~ i )dela proj [~ i](~v ). (d) Probar que ~v = proj [~ ](~v )++proj [~ k](~v ). 2.8 Mostrar que las columnas de una matriz nn forman una base ortonormal si y solo silainversa de la matriz es su transpuesta. Este es un =p 2 = p 2 ;= p 2 = p 2 A Para generalizar....3 Subespacios ortogonales. Proyeccion sobre un Subespacio. Al proyectar un vector sobre una recta se lo ha descompuesto en dos partes: la parte que yace sobre larecta proj [~s ] (~v ), y lo que resta ~v ; proj [~s ] (~v ) que es ortogonal a la recta. Para generalizar a arbitrarios subespacios, se sigue la misma idea. Para eso denimos... Denicion Dos dos subespacios S y S 2 de < n, son ortogonales si para todo x 2 S y todo y 2 S 2 se cumple que el producto escalar x y =. Ejemplo:(a) En < 3, el eje x es un subespacio ortogonal al eje y.... Otro ejemplo: (b) El eje z es ortogonal al subespacio determinado por el plano xy. ( c) Pensar otros. Con mas condiciones... Denicion El complemento ortogonal de un subespacio S de < n es (se lee \S perp"). La S? = f~v 2< n ~v es perpendicular a todos los vectores en Sg es la proyeccion sobre S a lo largo de S?. proyeccion ortogonal sobre un subespacio S proj S (~v ) de un vector

60 Veamos como obtener el subespacio \ ortogonal complementario" de un subespacio S dado.... Se obtendra a partir de analizar lo que sigue. Observacion Consideremos... las matrices A de m n... El espacio nulo de ellas es N(A) =fx : x 2< n : Ax =g< n Por tanto, el subespacio N(A) es \ortogonal" a cada la de A, es \ortogonal a cualquier combinacion" de las las de A. As N(A) es ortogonal al subespacio generado por las las de A. Otra forma de decir lo mismo N(A) < n es \ortogonal" al subespacio generado por las columnas de A T. Se acostumbra a denotar R(A T ) al subespacio generado por las columnas de A T (o las de A), y satisface R(A T ) < n ).... Sabemos que dim(n(a)) + dim(r(a T )) = n, que es la dimension de < n. Luego N(A) es el \ complemento ortogonal" del subespacio generado por las las de A, o lo que es igual, es el complemento ortogonal al subespacio generado por las columnas de A T, denominado R(A T ). El unico elemento en comun entre ellos es el vector, y la suma de sus dimensiones es n, que es la dimension del espacio total < n.... Entonces N(A) =(R(A T ))?. Ademas el espacio generado por las columnas de A (m n), son todos los vectores de < m que son combinaciones de las columnas de A, se denota: R(A) =fb : b 2< m : b = P n j= a jx j = Axg < m.... Y el \ complemento ortogonal de ese subespacio R(A) es el conjunto ortogonal a las columnas de A. Es el anulador o espacio nulo de las columnas de A. Si ahora se considera A T, el complemento ortogonal de las las de A T es el N(A T ) < m. Entonces dim(n(a T )) + dim(r(a)) = m, (R(A))? = N(A T ). As para obtener el subespacio ortogonal complementario de R(A), se calcula el N(A T )=fy : y 2< m tal que A T y =g.

61 Veamos... Ejemplo En < 3, para encontrar el complemento ortogonal del plano comenzamos con una base de P. P = f@ x ya 3x +2y ; z =g z A = h@ A i 3 2 Cualquier ~v perpendicular a todo vector en la base A es perpendicular a todo vector del subespacio generado por esa base B Por tanto, el subespacio P? consiste de los vectores que satisfacen las dos (2) condiciones... ; v ; A = 2 v A = v 2 v 2 v 3 v 3... Podemos expresar estas condiciones mas compactamente como un sistema lineal... P? = f@ v v 2 A v v 2 2 A = g v 3 As... basta con encontrar el espacio nulo de la aplicacion representada por la matriz. As... calculando la solucion del sistema homogeneo... P? = f@ v v 2 A v +3v 3 = v 2 +2v 3 = g = ;3 ;2A k 2<g v 3 v 3 2

62 Problema Si S es el subespacio dado por plano-xy de < 3, que es S?? Un primer intento de respuesta es que S? es el plano yz-plane, pero eso no es cierto!!!. Algunos vectores del plano yz no son perpendiculares atodovector del plano xy. 3A = arccos( p 2 p ) :94 rad 3... Ciertamente S? es el eje-z, ya que considerando la base natural en el plano-xy se obtiene... S? = f@ x x ya = g = f@ x ya x = and y =g z z z Los dos ejemplos que hemos visto ilustran la primer sentencia de la denicion de subespacios ortogonales complementarios. Sigamos con subespacios de < n Hemos visto que si S es un subespacio para hallar su complemento ortogonal basta formar una matriz A con columnas dadas por una base de S, y luego hallar el N(A T ). Ademas dim(n(a T )) + dim(r(a)) = n. complementarios. Se ve claramente que ambos subespacios son... Si se tiene una base de S (de dimension k): fv v 2 :::v k g y una base de S? (de dimension n ; k): fu u 2 :::u n;k g, entonces la union de ellas es una base de < n.... As cada vector de x 2< n se puede escribir un vocamente como combinacion de esos vectores, y se ve que x se separa en una suma de dos vectores: x = x S + x S?. Luego... < n = S S?. El resultado siguiente justica la segunda sentencia. Lema Si S es un subespacio de < n. El complemento ortogonal de S es tambien un subespacio. Ademas, para cualquier ~v 2< n, se puede descomponer ~v = proj S (~v )+proj S (~v )?. As < n = S L S?. Para encontrar la proyeccion ortogonal sobre un subespacio el siguiente resultado da una forma de hacerla. Teorema Sea ~v un vector en < n y sea S un subespacio de < n con base h ~ ::: ~ k i. Si A es la matriz cuyas columnas son los ~ 's entonces proj S (~v )=c ~ ++c k ~ k donde los coecientes c i son las coordenadas del vector (A T A)A T ~v. As proj S (~v )=A(A T A) ; A T ~v. Demostracion. El vector proj S (~v) es un elemento de S y as es una combinacion lineal de una base de ese subespacio c ~ + + c k ~ k. Como las columnas de A son los ~ 's, eso puede expresarse : existen coecientes ~c 2< k tal que proj S (~v )=A~c (expresado compactamente por medio de la multiplicacion matriz por vector). 3

63 Como ~v ; proj S (~v ) es perpendicular a cada elemento de la base, tenemos (expresando compactamente). ~ =A T ; ~v ; A~c = A T ~v ; A T A~c Resolviendo para ~c ( mostrando que A T A es invertible como ejercicio) ~c = ; A T A ;A T ~v da la formula matricial de la proyeccion... proj S (~v )=A ~c = A(A T A) ; A T :c, si las columnas de A son una base de S. Ejemplo Proyectar ortogonalmente este vector en el subespacio que se indica: ~v ;A S = f@ x ya x + z =g z Primero, formar una matriz cuyas columnas son una base del subespacio... y luego calcular A A ; A ; A T A ;A T A ; =2 ; =2 ;=2 A ;=2 =2 Con esta matriz, calcular la projeccion ortogonal sobre S de cualquier vector es facil. =2 ;=2 proj S (~v) ;A ;A ;=2 =2 La proyeccion sobre un subespacio es una generalizacion, el esquema muestra como denir proyeccion ortogonal sobre cualquier subespacio de < n, de cualquier dimension. 4

64 Ejercicios X 3. Encontrar S? siendo S: x x (a) S = f x + y =g (b) S = f ;2x +3y =g y y x x (c) S = f x ; y =g (d) S = f ~ g (e) S = f x =g y y (f) S = f@ x ya ;x +3y + z =g (g) S = x ya x =and y + z =g z z 3.2 Formas distintas para proyectar ortogonalmente: Compararlas, considerando el plano P especicado por 3x +2y ; z =en< 3. (a) Encontrar una base para P. (b) Encontrar P? y una base para P?. (c) Representar el vector siguiente con respecto a la base de < 3 proveniente de ambas bases. ~v A 2 (d) Encontrar la proyeccion ortogonal de ~v en P dejando la parte sobre P desde el previo item. (e) Chequear usando la forma matricial X 3.3 Chequear las tres formas diferentes para proyectar un vector sobre una recta. x (a) ~v = M = f x + y =g ;3 y (b) ~v A M = x ya x + z = and y =g 2 z 3.4 Que es la proyeccion ortogonal en el subespacio S = fg. 3.5 Mostrar que si S < n es un subespacio con base ortonormal h~ ::: ~ n i entonces la proyeccion ortogonal de ~v en Ses : (~v ~ ) ~ + +(~v ~ n ) ~ n ~v =proj [~ ](~v )++ proj [~n] (~v )= ~v ~ ~ + + ~v ~ n ~ n ~ ~ ~ n ~ n X 3.6 Mostrar que si un vector es perpendicular a un conjunto entonces es perpendicular atodovector en el subespacio generado por ese conjunto. 3.7 Es verdadero o falso : la interseccion de un subespacio y su complemento ortogonal es el fg. 3.8 (a) Mostrar que si las columnas de A forman un conjunto linealmente independiente entonces A T A es invertible (b) Mostrar que si las columnas de Ason mutuamente ortogonales y no nulas entonces A T A es la matriz identidad 3.9 Mostrar que la matrix de proyeccion A(A T A) ; A T es simetrica. 5

65 .4 Proyección ortogonal y aproximación de cuadrados mínimos La proyección ortognal de un vector v R n sobre un subespacio S R n puede también verse como la mejor aproximación al vector v basada en un vector de S. Si se desea aproximar v mediante un vector w S S, la mejor aproximación se logrará eligiendo w S como el vector de S más cercano a v, y tal vector es entonces la proyección ortogonal v S = proj S ( v). En efecto, la distancia al cuadrado de v a un vector arbitrario w S de S es D 2 = v w S 2 = ( v v S ) ( w S v S ) 2 = v v S 2 + v S w S 2 2( v v S ) ( w S v S ) = v v S 2 + v S w S 2 donde u 2 = u u es la longitud al cuadrado de un vector u y en el último paso hemos utilizado que v v S es ortogonal a todo vector de S, por lo que ( v v S ) ( w S v S ) =. Por lo tanto, el valor mínimo de D 2 se obtiene para w S = v S, con D 2 min = v v S 2 = v 2 v S 2 Si S es generado por un conjunto linealmente independiente de vectores ( w,..., w k ), k n, el resultado dado en la última sección asegura que v S = c w +... c k w k, con c = (c,..., c k ) T dado por es decir, c es la solución del sistema c = (A T A) A T v () (A T A) c = A T v donde A = ( w,..., w k ) es una matriz de n k y A T A de k k es no singular. Un ejemplo corriente de aplicación es el ajuste de los valores f(x i ) de una función f : R R para un conjunto de puntos (x,..., x n ), por un polinomio de grado k, P (x) = c + c x + c 2 x c k x k con k normalmente menor o mucho menor que n, y c,..., c k los coeficientes a ajustar. Lo que se desea es elegir el polinomio que minimiza la suma de la diferencia de cuadrados n D 2 = [f(x i ) P (x i )] 2 (2) i= ya que en general no existirá un polinomio de grado k < n que reproduzca exactamente los n datos f(x i ), es decir, que satisfaga P (x i ) = f(x i ) para i =,..., n. Definiendo el vector v = (f(x ),..., f(x n )) R n, y los k + vectores w = (,..., ), w = (x,..., x n ), w 2 = (x 2,..., x 2 n),... w k = (x k,..., x k n) también R n, se puede escribir D como la longitud del vector v w S, con w S = (P (x ),..., P (x n )): D 2 = v w S 2 w S = (P (x ),..., P (x n )) = c w + c w c k w k 6

66 El problema de encontrar los coeficientes c,..., c k que minimizan D 2 es pues el mismo problema de encontrar el vector w S de S más cercano a v, siendo S el subespacio de R n generado por los vectores w,..., w k. La solución para c = (c, c,..., c k ) T estará entonces dada por (), siendo ahora A una matriz de n (k + ) de elementos A ij = x j i para j =,..., k, y A T A una matriz de (k + ) (k + ), con n n (A T A) jl = x j i xl i, (A T v) j = x j i f(x i), j, l =,..., k. i= Si k = 2, P (x) = c + c x + c 2 x 2 es un polinonio de grado 2 y A T A es de 3 3. i= 8 6 f x i c c x i c 2 x i f x i Se muestra en la figura la aproximación de datos f(x i ) por medio de un polinomio de grado 2 y uno de grado 4. No obstante, debe tenerse en cuenta que si los datos no exhiben un comportamiento polinomial, el ajuste puede presentar oscilaciones, cuya magnitud puede aumentar al incrementarse el grado k del polinomio. La matriz A T A se torna también mal condicionada al aumentar k. Nótese que la dimensión de A T A depende sólo del grado del polinomio y no del número de puntos a ajustar. El formalismo anterior puede extenderse a un ajuste basado en la combinación lineal de funciones linealmente independientes g j (x), reemplazando P (x) por G(x) = c + c g (x) c k g k (x) En este caso A ij = g j (x i ), y el formalismo puede aplicarse si A T A es no singular, con n n (A T A) jl = g j (x i )g l (x i ), (A T v) j = g j (x i )f(x i ). Ejercicios i=. Verifique que la minimización de D 2 (2) respecto de los coeficientes c j conduce a la solución (). 2. Determine el polinomio P 2 (x) = c + c x + c 2 x 2 que minimiza D 2 si los datos son f(,5) = 8,5, f(,9) = 2,5, f(,3) =, f() =,5, f(,3) =,6, f(,9) =,5, f(,5) = 3 (Utilice PC). Estos corresponden a la posición (en una cierta escala) en distintos tiempos de un móvil con aceleración variable. Si la aceleración fuese constante, como sería el ajuste con este polinomio? 7 i=

67 Facultad de Ingeniería UNLP Matemática C VII Números Complejos 27

68 2 7.. Conceptos básicos 7... Introducción Los números complejos constituyen una extensión de los números reales, que permite obtener todas las raíces de cualquier polinomio. El conjunto de números complejos, denotado por la letra C, forma así lo que se denomina un conjunto algebraicamente cerrado. Geométricamente, un número complejo puede representarse mediante un punto en un plano. El concepto de número compejo extiende pues la recta real a un espacio bidimensional, denominado plano complejo. Los números complejos son además utilizados, como veremos, en la representación de funciones trigonométricas y por ende, de funciones periódicas, siendo por lo tanto su uso muy extendido en Ingeniería y Física (representación de corriente alterna, análisis de Fourier, etc.). Asimismo, proporcionan una representación alternativa de vectores en dos dimensiones, la cual resulta muy conveniente en ciertos problemas bidimensionales (utilizada por ejemplo en dinámica de fluidos, electromagnetismo, etc.). La Mecánica Cuántica está también formulada en términos de una función de onda compleja. En este curso los utilizaremos en los próximos dos capítulos (autovalores y ecuaciones diferenciales). Históricamente, su introducción se atribuye al matemático italiano Girolamo Cardano (siglo XVI), en el marco de su solución de ecuaciones cúbicas y cuárticas Definición Comenzamos por definir el número i (unidad imaginaria), que satisface De esta forma, la ecuación i 2 = z 2 = tendrá las raíces z = i y z = i. Mencionemos que en ciertos contextos se utilizan otras notaciones para la unidad imaginaria (por ejemplo, en ingeniería eléctrica se utiliza j en lugar de i, ya que i denota la corriente eléctrica). Un número complejo es de la forma z = x + y i, x, y R donde tanto x como y son números reales. La parte real de z es x, y la parte imaginaria de z es y (también un número real!): Re(z) = x, Im(z) = y Ejercicio: Hallar la parte real e imaginaria de a) z = 2 3i, b) z = i. Un número complejo cuya parte imaginaria es es identificado como un número real. Por ejemplo, 5 = 5 + i, = + i. También, + yi = yi. Un número complejo no nulo cuya parte real es, tal como 5i, se

69 7.. CONCEPTOS BÁSICOS 3 dice que es imaginario o imaginario puro. Además, yi = iy, y x + yi = yi + x. Por ejemplo, + 2i = + i2 = 2i +. Dos números complejos z = x + iy, z 2 = x 2 + iy 2, son iguales si y sólo si tanto sus partes reales como imaginarias son respectivamente iguales: x + y i = x 2 + y 2 i x = x 2, y = y 2 (x, x 2, y, y 2 R) Por ejemplo, x + yi = 2 + 3i implica x = 2, y = 3 si x e y son reales. Como hemos mencionado, el conjunto de todos los números complejos se denota con la letra C: C = {x + iy, x R, y R} Podemos representar un número complejo z = x + yi z x yi mediante un par ordenado (x, y). Este par corresponde y a un punto o vector en el plano cartesiano, que en este contexto se denomina plano complejo. x Conjugación El conjugado de un número complejo z = x + iy se lo denota como z o z, y se lo define como z = x iy de forma que Re( z) = Re(z), Im( z) = Im(z). Por ejemplo, i = i, + 2i = 2i y 2i = + 2i y. Geométricamente, conjugar corresponde a reflejar z respecto del eje real. y x Obviamente, z = z (o sea, (z ) = z). y

70 Suma de números complejos Dados dos números complejos z = x + y i, z 2 = x 2 + y 2 i, su suma se define como z + z 2 = (x + x 2 ) + (y + y 2 )i Por ejemplo, ( + 2i) + (3 4i) = 4 2i. Geométricamente, z + z 2 corresponde al vector suma de los vectores que representan a z y z 2. z 2 z z 2 La resta z z 2 es la suma de z y el opuesto z 2 = x 2 y 2 i de z 2 : z z 2 = (x x 2 ) + (y y 2 )i Por ejemplo, ( + 2i) (3 4i) = 2 + 6i, ( + 2i) ( + 2i) =. Ejercicio: Indique el significado geométrico de z z 2. z Problema : Mostrar que el conjugado de una suma es la suma de los conjugados: y que el conjugado de una resta es la resta de los conjugados: z ± z 2 = z ± z 2 Problema 2: Mostrar que es posible expresar la parte real y la parte imaginaria de un número complejo z en términos de z y su conjugado z: Re(z) = z + z z z, Im(z) = 2 2i Producto de dos números complejos A partir de la propiedad básica i 2 =, el producto de dos números complejos z z 2 = (x + y i)(x 2 + y 2 i) se realiza aplicando la propiedad distributiva (respecto de la suma) y asociativa (respecto del producto): Por ejemplo, (x + y i)(x 2 + y 2 i) = x (x 2 + y 2 i) + y i(x 2 + y 2 i) = x x 2 + x y 2 i + y x 2 i y y 2 = (x x 2 y y 2 ) + (x y 2 + y x 2 )i (.) ( + 2i)(3 4i) = 3 4i + 2i(3 4i) = 3 4i + 6i + 8 = + 2i (.2) Problema 3: Probar que a) z z 2 = z 2 z b) z (z 2 z 3 ) = (z z 2 )z 3 c) z (z 2 +z 3 ) = z z 2 +z z 3

71 7.. CONCEPTOS BÁSICOS 5 Problema 4: Probar que el conjugado de un producto es el producto de los conjugados: z z 2 = z z 2 En particular, el producto de un número complejo z por un número real α, α(x + yi) = αx + αyi corresponde, geométricamente, a la multiplicación del vector que representa a z por el escalar real α. Por ejemplo, 3( + i) = 3 + 3i. Por otro lado, el producto de un número complejo z por la unidad imaginaria i, i(x + yi) = y + xi corresponde, geométricamente, a rotar el vector que representa a z un ángulo de 9 o en sentido antihorario. Por ejemplo, i = i, ii =, i( + i) = + i. i z y xi Problema 5: Probar el enunciado general anterior, recordando que la matriz que representa a dicha rotación en la base canónica de R 2 es ( ) R = Π 2 (.3) de forma que R( x y) = ( y x ). En consecuencia, multiplicar un número complejo z por un número imaginario αi (α real) corresponde, geométricamente, a rotar z un ángulo de 9 o en sentido antihorario y luego multiplicar el vector resultante por el escalar real α. El significado geométrico de multiplicar a z por un número complejo arbitrario, (α+iβ)z = αz+iβz, puede obtenerse sumando αz y el vector rotado iβz, pero es más fácil visualizar el resultado final por medio de la representación polar de un número complejo, que discutiremos luego. Potencias de i: Las potencias pares son reales: i 2 =, i 4 = (i 2 ) 2 = y en general, i 2n = (i 2 ) n = ( ) n (.4) Las potencias impares son en cambio imaginarias: i = i, i 3 = (i 2 )i = i y en general, Ejercicio: Graficar las potencias de i en el plano complejo. i 2n+ = i 2n i = ( ) n i (.5)

72 Valor absoluto de un número complejo El valor absoluto (o módulo) de un número complejo z se define como z = x 2 + y 2 (.6) y es la longitud del vector que lo representa en el plano complejo. El módulo z es siempre un número real no negativo. Por ejemplo: 3+4i = = 25 = 5, i =, 2 = 2. Es posible expresar z mediante z y su conjugado z como z = z z En efecto, si z = x +yi, con x, y reales, z z = (x +yi)(x iy) = x 2 (iy) 2 = x 2 +y 2 = z 2. Problema 6: Probar que z = si y sólo si z =. Problema 7: Probar que z = z. Problema 8: Para z, z 2 complejos generales, probar que z z 2 = z z 2 z z 2 z + z 2 z + z 2 Problema 9: Probar que z z 2 es, geométricamente, la distancia entre z y z Inverso de un número complejo El inverso (o recíproco) z de un número complejo z es el número complejo que satisface zz = Para obtenerlo, vimos en el punto anterior que z z = z 2 si z. Por lo tanto, z( z/ z 2 ) = z 2 / z 2 = de donde z = z z 2 = x yi x 2 + y 2, z (.7) Notamos aquí que el cociente z/α de un número complejo z = x + yi por un número real α se define como (/α)z, es decir, z/α = x/α+(y/α)i. Por ejemplo, (2+4i)/2 = +2i. Problema : Si z = x + yi, probar, escribiendo z = a + ib, que la ecuación zz = (o sea, xa yb + (xb + ya)i = + i) implica necesariamente a = x/ z 2, b = y/ z 2. Podemos ahora definir z = z = z z 2

73 7.. CONCEPTOS BÁSICOS 7 resultado que puede obtenerse multiplicando numerador y denominador de z ejemplo, = i = i: i i 2 i = i verificándose que i( i) = i 2 =. Como segundo ejemplo, por z. Por + i = + i verificándose que ( + i)( i)/2 =. i i = i 2 = 2 2 i Problema : Probar que para z, ( ) = z z z = z Cociente de dos números complejos Dados ahora dos números complejos z y z 2, con z 2, definimos el cociente como z z 2 = z z 2 = z z 2 z 2 2 = (x + iy )(x 2 iy 2 ) x y 2 2 (.8) En la práctica, se obtiene este resultado multiplicando numerador y denominador por z 2. Por ejemplo: + i 3 + 4i Problema 2: Probar que para z 2, ( z z 2 ( + i)(3 4i) = (3 + 4i)(3 4i) = 7 i 25 ) = z z 2, z z 2 = z z Representaciones reales y propiedades algebraicas El conjunto C de los números complejos puede ser considerado como el conjunto R 2 de pares ordenados (x, y) de números reales, con la suma y producto definidos por (x, y ) + (x 2, y 2 ) = (x + x 2, y + y 2 ) (.9) (x, y ) (x 2, y 2 ) = (x x 2 y y 2, x y 2 + y x 2 ) (.) Puede mostrarse que el producto así definido resulta conmutativo y asociativo (z z 2 = z 2 z, (z z 2 )z 3 = z (z 2 z 3 ), para z j = (x j, y j ), j =, 2, 3), y distributivo con la suma:

74 8 z (z 2 + z 3 ) = z z 2 + z z 3. De esta forma, denotando a los elementos de la base canónica como = (, ) y i = (, ), tenemos i i = (, ) (, ) = (, ) = (, ) = con = y i = i. Además, podemos escribir (x, y) = x(, ) + y(, ) = x + yi con lo cual recuperamos la notación estándar z = x + yi si identificamos x con x. Los números complejos pueden ser también representados por matrices reales de 2 2 de la forma ( ) ( ) ( ) x y z = = x + y (.) y x = xi + yr, x, y R (.2) ( ) ( ) donde I = es la matriz identidad y R = la matriz de rotación definida en (.3). Obtenemos, con el producto matricial usual, I.I = I, I.R = R.I = R, y ( ) ( ) ( ) R.R = = = I (.3) por lo que el par I, R constituye una representación matricial real de e i, jugando R el rol de la unidad imaginaria i. Si z = x I + y R, z 2 = x 2 I + y 2 R, obtenemos, con la suma y producto matricial usual, z + z 2 = (x + x 2 )I + (y + y 2 )R z.z 2 = z 2.z = (x x 2 y y 2 )I + (x y 2 + y x 2 )R con lo cual, identificando = I y i = R, recuperamos las reglas de suma y producto de los números complejos. Además, el determinante de la matriz (.) es el módulo de z: x y y x = x2 + y 2 = z Como estructura algebraica, el conjunto de números complejos es, al igual que los números reales o racionales, un cuerpo. Una estructura algebraica {F, +, }, donde F es un cierto conjunto de números y +, son operaciones binarias cerradas entre ellos, es un cuerpo (o campo) si: i) La suma satisface las propiedades de asociatividad, conmutatividad, existencia de elemento neutro (, tal que z+ = z z F ) y opuesto ( z F z tal que z+( z) = ). ii) El producto es también asociativo y conmutativo, con existencia de elemento neutro (z = z z F ) e inverso z z (tal que z z = ) iii) El producto es distributivo: z (z 2 + z 3 ) = z z 2 + z z 3.

75 7.. CONCEPTOS BÁSICOS 9 Finalmente, considerando escalares reales, el conjunto de los números complejos C R forma un espacio vectorial de dimensión 2: Todo complejo z = x + yi es la combinación lineal de e i, con coeficientes reales x, y, siendo {, i} linealmente independientes (x + yi = x =, y = ). Si consideramos en cambio escalares complejos, C C es un espacio vectorial de dimensión (Probar!) Raíces de polinomios Mediante los números complejos, es posible encontrar todas las raíces de un polinomio de grado arbitrario n, y así escribir el mismo como el producto de n polinomios elementales de grado. Consideremos primero un polinomio de grado 2, P 2 (z) = az 2 + bz + c, con a, y la correspondiente ecuación cuadrática az 2 + bz + c =, (a ) (.4) Sabemos que las raíces están dadas por la muy conocida fórmula z ± = b ± b 2 4ac 2a (.5) Problema 3: Obtener la fórmula (.5), completando cuadrados. Problema 4: Probar que para a, az 2 + bz + c = a(z z + )(z z ) (.6) Para a, b y c reales, las raíces z ± serán entonces: i) Reales y distintas si b 2 > 4ac ii) Reales e iguales si b 2 = 4ac iii) Complejas conjugadas si b 2 < 4ac : En este caso b 2 4ac = (4ac b 2 ), con 4ac b 2 >, y por lo tanto, z ± = b ± i 4ac b 2 2 con z = z +. Mediante la introducción de los números complejos, podemos entonces obtener siempre raíces de la ecuación cuadrática (.5), aún si b 2 > 4ac, y así escribir el polinomio az 2 + bz + c en la forma factorizada (.6). Por ejemplo, la ecuación z 2 + 2z + 2 = posee las raíces complejas conjugadas z ± = 2 ± = 2 ± 2i 2 = ± i

76 Ejercicio: Verificar que z ± = ± i satisfacen z 2 + 2z + 2 =. Ejercicio: Verificar que z 2 + 2z + 2 = (z + i)(z + + i) La fórmula (.5) es válida también para a, b, c complejos si a (veremos luego como obtener raíces de números complejos), aunque en este caso las raíces complejas no aparecerán necesariamente como pares conjugados. Los resultados anteriores se generalizan a polinomios de grado arbitrario n. Si P n (z) = a n z n + a n z n a z + a, a n (.7) es un polinomio de grado n, donde los coeficientes (constantes) a i, i =,..., n, pueden ser reales o complejos, la ecuación P n (z) = posee siempre al menos una raíz (real o compleja). Este enunciado constituye el teorema fundamental del algebra e indica que el cuerpo de los números complejos es algebraicamente cerrado. Más aun, existirán siempre n raíces z, z 2,..., z n, en general complejas y no necesariamente distintas, tales que P n (z i ) = para i =,..., n y P n (z) = a n (z z )(z z 2 )... (z z n ) (.8) Como las raíces pueden repetirse, esta igualdad suele escribirse como P n (z) = a n (z z ) m (z z 2 ) m 2... (z z k ) m k (.9) donde z,..., z k denotan ahora raíces distintas (z i z j si i j), con k n, y m i, i =,..., k, denota la multiplicidad de la raíz iésima ( m i n, m m k = n). Si los coeficientes a i del polinomio son todos reales, entonces las raíces complejas aparecen siempre en pares conjugados. Problema 5: Probar el enunciado anterior, mostrando primero que si los coeficientes son reales P n (z) = P n (z).

77 7.. CONCEPTOS BÁSICOS 7... Problemas ) Realizar las siguientes operaciones, expresando el resultado como z = x + yi, con x, y R: a) ( 2i)(3 + 4i) b) i + (2 + 4i)(2 25 ) c) 5 + 2i 3 + 4i d) ( ) + i e) 3 + 4i i 3 4i f) i 3 i g) 2 + i + i + + i + /i 2) Determinar la parte real, la parte imaginaria y el módulo de los resultados de las operaciones anteriores. 3) Hallar todas las raíces de las siguientes ecuaciones, y escribir el polinomio correspondiente en la forma factorizada (.6) o (.8) (.9): 4) Resolver el sistema a) z 2 2z + 2 = b) 2z = c) 2z 2 + 2z + = d) z 2 + 2iz = e) z 2 + 2iz = f) z 4 = { ix + y = i x + iy = 2 5) Indicar el error en a) = = ( )( ) = = y b) = i = = = i. 6) Mostrar que la ecuación z = r, r > corresponde geométricamente a un círculo de radio r centrado en el origen, y a un círculo de radio r centrado en z. 7) Mostrar que si z = x + y i, z 2 = x 2 + y 2 i, z z = r, r > Re(z z 2 ) = x x 2 + y y 2 por lo que Re(z z 2 ) es el producto escalar de (x, y ) y (x 2, y 2 ). Dar también una interpretación geométrica a Im(z z 2 ).

78 Representación polar y fórmula de Euler Forma polar de un número complejo A partir del gráfico, vemos que podemos expresar la parte real e imaginaria de z = x + iy como x = z cos φ, y = z sen φ y z sin Φ z x yi donde z = x 2 + y 2 es el valor absoluto de z y φ es el ángulo que forma z con el eje real en el plano complejo, denominado argumento de z o arg(z). Este ángulo satisface tan φ = y/x z Φ x z cos Φ y el cuadrante al que pertenece queda determinado por los signos de x e y. Normalmente se toma φ ( π, π] (valor principal), pero φ + 2nπ resulta equivalente a φ n entero. Podemos entonces expresar z = x + iy en términos de z y φ como z = z (cos φ + i sen φ) (2.2) Esta expresión se denomina representación polar del número complejo. Por ejemplo, si z = + i z = 2 y tan φ =, con x >, y >, por lo que φ = π/4. Por lo tanto + i = 2(cos π/4 + i sen π/4) Ejercicio: Verificar esta igualdad. Problema : Probar que arg( z) = arg( z)

79 7.2. REPRESENTACIÓN POLAR Y FÓRMULA DE EULER 3 La forma polar resulta muy conveniente par el producto y cociente: Si entonces z = z (cos φ + i sen φ ), z 2 = z (cos φ 2 + i sen φ 2 ) z z 2 = z z 2 [cos(φ + φ 2 ) + i sen(φ + φ 2 )] (2.2) o sea, z z 2 = z z 2, arg(z z 2 ) = arg(z ) + arg(z 2 ). Y si z 2, 2 z = z z 2 z 2 [cos(φ φ 2 ) + i sen(φ φ 2 )] (2.22) o sea, z /z 2 = z / z 2 y arg(z z 2 ) = arg(z ) arg(z 2 ). Problema 2: Probar (2.2), utilizando cos(φ + φ 2 ) = cos φ cos φ 2 sen φ sen φ 2, sen(φ + φ 2 ) = sen(φ ) cos φ 2 + cos φ sen φ 2. Problema 3: Probar (2.22), partiendo de z /z 2 = z z 2 / z 2 2 y el resultado de los dos problemas anteriores. Podemos ver así el significado geométrico del producto z z 2 : Equivale a rotar z 2 un ángulo φ en sentido antihorario, y multiplicar el vector resultante por el escalar real z : z 3 z z 2 Φ 3 Φ Φ 2 z 3 z z 2 Φ 3 z 2 Φ 2 z Φ

80 Fórmula de Euler: La forma polar resulta en realidad más cómoda cuando se utiliza con la famosa fórmula de Euler para la exponencial de un número imaginario: e iφ = cos φ + i sen φ (2.23) Demostremos primero esta igualdad: Definiendo e iφ por medio de la serie exponencial, y separando en términos pares e impares, obtenemos, utilizando (.4) y (.5) (i 2n = ( ) n, i 2n+ = ( ) n i), e iφ = = = (iφ) n n! n= i 2n φ 2n i 2n+ φ 2n+ + (2n)! (2n + )! n= n= ( ) n φ 2n ( ) n φ 2n+ + i (2n)! (2n + )! n= n= = cos φ + i sen φ (2.24) Con este resultado podemos también evaluar la exponencial de un número complejo general como e x+yi = e x e yi = e x (cos y + i sen y) (2.25) donde x e y son reales. Por ejemplo, e 2+i = e 2 [cos() + i sen()]. Podemos ahora expresar z en la froma polar como donde φ = arg(z). z = z e iφ (2.26) Por ejemplo, i = e iπ/2 ya que i = y arg(i) = π/2. Se comprueba que e iπ/2 = cos π/2 + i sen π/2 = + i = i. También, = e iπ ya que =, arg( ) = π. Se comprueba que e iπ = cos π + i sen π = + i =. Ejercicio: Mostrar que + i 2 = e iπ/4

81 7.2. REPRESENTACIÓN POLAR Y FÓRMULA DE EULER 5 Problema 4: Probar que si z = z e iφ z = z e iφ y, si z, z = z e iφ Problema 5: Probar que e iφ =, y αe iφ = α (α, φ reales). Dado que e iφ e iφ 2 = e i(φ +φ 2 ), e iφ e iφ 2 = e i(φ φ 2 ) resulta entonces obvio, utilizando la forma polar (2.26), que z z 2 = z e iφ z2 e iφ 2 = z z 2 e i(φ +φ 2 ) (2.27) z = z e iφ z 2 z 2 e iφ 2 = z z 2 ei(φ φ 2 ), z 2 (2.28) y por lo tanto obtener las fórmulas (2.2) (2.22). Resulta también obvio que z z 2 = z z 2, arg(z z 2 ) = arg(z )+arg(z 2 ), y z /z 2 = z / z 2, arg(z /z 2 ) = arg(z ) arg(z 2 ) Potencias de un número complejo Mediante la forma polar (2.23), resulta muy sencillo calcular cualquier potencia z n para todo n natural o entero: Dado que (e iφ ) n = e inφ, obtenemos z n = ( z e iφ ) n = z n e inφ (2.29) = z n [cos(nφ) + i sen(nφ)] (2.3) La última expresión se denota normalmente fórmula de De Moivre. Estas expresiones son válidas para n =,, 2,..., y si z, también para n =, 2,.... Ejercicio: Probar que ( + i) n = 2 n/2 [cos(nπ/4) + i sen(nπ/4)] y que por ejemplo, ( + i) 2 = 2i, ( + i) 2 = 2, ( + i) 4 = 4. Ejercicio: Representar gráficamente las primeras cuatro potencias de + i.

82 Raíces enésimas de la unidad Consideremos ahora la ecuación z n = para n. Como = e i = e i2kπ para cualquier k entero, vemos que todo número complejo z = e i2kπ/n satisface z n = : (e i2kπ/n ) n = e i2kπ = cos(2kπ) + i sen(2kπ) = k =, ±, ±2,... Por lo tanto, obtenemos así n raíces distintas z =, z = e i2π/n, z 2 = e i4π/n,..., z n = e i(n )2π/n ya que z n = e in2π/n = e i2π = = z. Las n raíces de z n = pueden entonces escribirse como z k = e i2kπ/n = cos(2kπ/n) + i sen(2kπ/n), k =,..., n, (2.3) Todas las raíces satisfacen z k =, por lo que están sobre el círculo unidad z =. Obviamente, z = n. Las raíces aparecen en pares conjugados: z k = z n k, pues e i2πk/n = e i2π(n k)/n. La suma de todas las raíces es : z + z z n = Para n = 2, obtenemos obviamente las dos raíces cuadradas de, z =, z = e iπ =. Las tres raíces cúbicas de son en cambio z = z = e i2π/3 = cos(2π/3) + i sin(2π/3) = 2 + i 3 2 z 2 = e i4π/3 = cos(4π/3) + i sin(4π/3) = 2 i 3 2 = z Finalmente, las 4 raíces de z 4 = son z =, z = e i2π/4 = i, z 2 = e i4π/4 =, z 3 = e i6π/4 = i = z Se muestran en la figura las raíces cúbicas y cuárticas de. z e i2π 3 z 3 z i z 4 z z 2 z z 2 e i4π 3 z 3 i

83 7.2. REPRESENTACIÓN POLAR Y FÓRMULA DE EULER Raíces de un número complejo Podemos ahora fácilmente obtener las n raíces de la ecuación z n = a + ib para a y b reales arbitrarios. Escribiendo a + ib en la forma polar, vemos que satisface a + ib = re iφ, r = a + ib = a 2 + b 2, φ = arg(a + ib) z k = r /n e i(φ+2kπ)/n z n k = re i(φ+2kπ) = re iφ = a + ib para todo k entero. Por lo tanto, las n raíces distintas (asumiendo r ) son z k = n r e i(φ+2kπ)/n = n r [cos( φ + 2kπ n Las n raíces son pues de la forma ) + i sen( φ + 2kπ )], k =,..., n n z k = n r e iφ/n e i2kπ/n donde e i2kπ/n son las raíces enésimas de la unidad (ecuación (2.3)). Por ejemplo, la ecuación z 2 = a + ib escribimos a + ib = re iφ, con r = a 2 + b 2, φ = arg(z), y entonces, las tiene las dos raíces z = re iφ/2, z = re i(φ+2π)/2 = z o sea, z = ± a + ib, con a + ib = re iφ/2 y φ ( π, π]. Por ejemplo, para resolver la ecuación z 2 = i escribimos i en la forma polar, i = e iπ/2, y entonces z = ±e iπ/4 = ±[cos(π/4) + i sen(π/4)] = ± + i 2 Análogamente, las 4 raíces de son, escribiendo 3 = 3e iπ, z 4 = 3 z = 4 3e iπ/4 = i 2, z = iz, z 2 = z, z 3 = iz

84 Funciones complejas Consideraremos aquí funciones complejas de dominio real f : R C. Estas tienen la forma general f(t) = u(t) + iv(t) (2.32) donde t R y u(t) = Re[f(t)], v(t) = Im[f(t)] son funciones reales. Un ejemplo de especial interés es la función exponencial compleja f(t) = e λt, λ = γ + iω C (2.33) con γ, ω reales. Aplicando la fórmula general (2.25), obtenemos e λt = e γt e iωt o sea, u(t) = e γt cos(ωt), v(t) = e γt sen(ωt). = e γt [cos(ωt) + i sen(ωt)] (2.34) = e γt cos(ωt) + ie γt sen(ωt) (2.35) Asumiendo u(t) y v(t) derivables, la derivada de f respecto de t es la función compleja f (t) = u (t) + iv (t) En el caso (2.33) obtenemos, partiendo de (2.35), (e λt ) = e γt [γ cos(ωt) ω sen(ωt) + iγ sen(ωt) + iω cos(ωt)] = (γ + iω)e γt [cos(ωt) + i sen(ωt)] = λe λt!! (2.36) Por lo tanto, la expresión (e λt ) = λe λt resulta válida también para λ complejo. Este resultado será esencial a la hora de resolver ecuaciones diferenciales, y puede obtenerse de forma más general por medio de la teoría de funciones analíticas de variable compleja, que no trataremos en este curso. De la misma forma, la integral de f se define como f(t)dt = u(t)dt + i v(t)dt Se deja como ejercicio mostrar que entonces, e λt dt = eλt λ + c para λ C, λ, donde c C es en general una constante compleja. Problema: La potencia t λ para λ = γ + iω C y t R + se define como t λ = e λ ln t = e γ ln t iω ln t e = t γ [cos(ω ln t) + i sen(ω ln t)] (2.37)

85 7.2. REPRESENTACIÓN POLAR Y FÓRMULA DE EULER 9 donde ln t es el logaritmo natural. Por ejemplo t i = cos(ln t) + i sen(ln t). Se deja como ejercicio probar que para λ C, también se obtiene (t λ ) = λt λ La aplicación más simple y común de las funciones complejas es la representación de funciones periódicas, por ejemplo de la forma u(t) = A cos(ωt + φ) = A[cos ωt cos φ sen ωt sen φ] tales como una corriente alterna o la posición de una partícula en movimiento oscilatorio armónico. Resulta en general más conveniente expresar u(t) como u(t) = Re[Ae i(ωt+φ) ] donde hemos asumido A, ω, φ, t reales. Se verán ejemplos en la parte de Ecuaciones Diferenciales. Ejemplo: Movimiento circular. El formalismo complejo es también útil para tratar problemas en dos dimensiones. Por ejemplo, el vector posición de una partícula que se mueve en un círculo de radio r con velocidad angular constante ω es (x(t), y(t)) = r(cos ωt, sen ωt) Podemos escribir este par ordenado en forma compleja como z(t) = re iωt Si r y ω son constantes, la velocidad de la partícula será v(t) = z (t) = iωr e iωt = iωz(t) donde i indica que la velocidad será tangencial, es decir, perpendicular a z(t) (recordar el significado de multiplicar por i). El módulo de la velocidad es el valor absoluto v(t) = ω z(t) = ωr. La aceleración será a(t) = z (t) = (iω) 2 re iωt = ω 2 z(t) es decir, antiparalela a z(t) y de módulo a(t) = ω 2 r. Esta es la aceleración centrípeta. Problema: Generalizar los resultados anteriores al caso de velocidad angular variable ω(t), tal que z(t) = re iφ(t), con φ (t) = ω(t). Mostrar que v(t) = z (t) = iω(t)z(t) a(t) = z (t) = ω 2 (t)z(t) + iω (t)z(t) Interpretar el resultado e identificar la aceleración centrípeta y la aceleración tangencial. r v Ωt z t

86 Problemas ) Encontrar la representación polar z = z e iφ de 3 + i a) z = i b) z = c) z = 3i d) z = + i + 3i e) z = i 2) Mediante la forma polar, evaluar z n en los casos anteriores, y hallar el valor explícito para n = 6 y n = 3. 3) Dar una expresión de la forma z = x + yi, con x, y R, para a) z = e iπ/6 b) z = eiπ/3 e iπ/2 c) z = e i2π/3 e iπ/3 4) Determinar todos los z que satisfacen 5) Resolver las ecuaciones a) z 2 = i b) z 3 = c) z 4 = i d) z 6 = e) z 2 = i a) z 2 + 2iz + i = b) z 2 + 2i = c) z 4 + 2z = 6) Escribir en la forma u(t) + iv(t), con u(t), v(t) funciones reales, las funciones a) f(t) = e (+2i)t b) f(t) = t 2 e 3it c) f(t) = t +i 7) Determinar las derivadas de las funciones anteriores, y escribir su parte real y su parte imaginaria.

87 Facultad de Ingeniería UNLP Matemática C VIII Autovalores y Autovectores 27

88 Temario Clase : Introduccion. Deniciones. Calculo de autovalores. Polinomio caracterstico. Autoespacios asociados a los autovalores: calculo de autovectores. Estimacion de autovalores y localizacion (Crculos de Gershgorin). Operadores geometricos y autovalores. Casos particulares. Clase 2: Multiplicidad algebraica y geometrica. Autovectores independientes. Bases de autovectores. Matrices semejantes. Diagonalizacion de matrices. Matrices simetricas y resultados relacionados, etc.. Clase 3: Algunas Aplicaciones. 2

89 Introduccion Motivaremos este captulo sobre autovalores discutiendo la ecuacion ax 2 +2hxy + by 2 = donde los coecientes a, h, y b cumplen que al menos uno es no nulo. La expresion ax 2 +2hxy + by 2 se llama forma cuadratica en x e y. Se puede escribir como donde x = x y ax 2 +2hxy + by 2 = ; x y : a y A = h h b a h h b x : = x y T :A:x. La matriz A se llama matriz de la forma cuadratica. Objetivo... Queremos aplicar un cambio de variables apropiado, la rotacion necesaria de los ejes x e y, para que las coordenadas de los puntos de esa gura geometrica respecto de los nuevos ejes x e y satisfagan una ecuacion reducida a la forma canonica: x 2 + 2y 2 =. La forma canonica es facil de analizar. Reconocemos a una elipse si los coecientes son positivos, o una hiperbola si tienen distinto signo, etc.... Ahora rotamos los ejes x e y en sentido antihorario mediante el angulo hasta los nuevos ejes x e y. La ecuacion que describe la rotacion de los ejes se deduce de lo siguiente: Sea P un punto arbitrario con coordenadas (x y) respecto a los ejes x e y, y con coordenadas (x y ) respecto a los nuevos ejes x y y. La relacion entre ambas coordenadas se obtiene geometricamente considerando... x = OQ = OP cos ( + ) = OP (cos cos ; sin sin ) = (OP cos )cos ; (OP sin ) sin = OR cos ; PRsin = x cos ; y sin 3

90 De igual manera se obtiene que y = x sin + y cos. As la matriz de transicion de las coordenadas (x y ), coordenadas respecto de la base nueva (losvectores que dirigen los ejes nuevos), a las coordenadas (x y) respecto de la base canonica sabemos que es la matriz S: cos ; sin S = sin cos As, para cada (x y ) se tiene que... x cos = y sin ; sin cos : x y... si denotamos ~x al vector de coordenadas x, y x = S:~x... Notamos que las columnas de S dan las direcciones de los semiejes positivos de los ejes x e y. La matriz S de rotacion tiene la propiedad especial que det(s) = ( vercarlo). Sabemos, que para obtener las nuevas coordenadas en terminos de las viejas... x cos sin = ~x = S y ; :x = :x ; sin cos... Por tanto x = x cos + y sin Ademas si reemplazamos en la ecuacion dada y = ;x sin + y cos x T :A:x =(S:~x) T :A: (S:~x) =~x T : ; S T :A:S :~x... Supongamos ahora, como veremos mas adelante, que es posible elegir un angulo tal que S T :A:S sea una matriz diagonal, entonces... x T :A:x = ~x T : :~x 2 = x 2 + 2y 2... As encontrando esa rotacion adecuada, la ecuacion original ax 2 +2hxy + by 2 = se escribira, en terminos de los nuevos ejes como x 2 + 2y 2 =. Las soluciones de esta ecuacion representan una curva simetrica respecto a los ejes x e y. 4

91 Las columnas de S, las columnas s y s 2, dan las direcciones de los ejes de simetra. Esta matriz es una matriz ortogonal (S T = S ;, vericarlo).... Ademas, para esa rotacion apropiada se cumple S T :A:S = S ; AS = Desde esa igualdad se obtiene que... A:S = S: As si S es la matriz adecuada para cumplir con nuestro objetivo, sus columnas s s 2 deben satisfacer las ecuaciones siguientes... y A:s = :s y A:s 2 = 2 :s 2... Estas ecuaciones establecen restricciones sobre y 2,ydeterminan los vectores s y s 2, no nulos. s Para determinar el vector s =, la primer ecuacion se escribe como s 2 a h : s = h b s : s 2 s 2 () o a ; h h b ; : s s 2 =... Hemos planteado un sistema homogeneo de 22, que debe tener solucion no trivial (s s 2 ) (es el nuevo eje). Por tanto, el determinante de la matriz de ese sistema debe... a ; h det = h b ;... Similarmente, 2 debe satisfacer la misma ecuacion para hallar el s 2 6=, y tambien cumplira...: a ; 2 det h h = b ; 2... Por tanto, ambas y 2 satisfacen... a ; det h h b ; =... Expandiendo el determinante se obtiene... 2 ; (a + b) + ab ; h 2 = 5

92 Esta ecuacion tiene las races = = a + b a + b q (a + b) 2 ; 4(ab ; h 2 ) q 2 (a ; b) 2 +4h 2 2 Las races son reales, y son distintas si a 6= b o si h 6=. El caso en que a = b y h = no necesita investigacion porque representa la ecuacion de una circunferencia. Laecuacion encontrada 2 ;(a + b) +ab;h 2 =se llama la ecuacion de los autovalores de la matriz A.... Si conocemos los valores y 2, podremos encontrar s y s 2, que son las columnas de la matriz de rotacion que se necesita, resolviendo el sistema () despues de reemplazar el valor de en la ecuacion, y resolviendo la ecuacion similar reemplazando el valor de El \problema de los autovalores" Ese problema consiste en el planteo de la ecuacion A:x = :x (2) para determinar el valor para el cual existe algun vector x \no nulo" que satisfaga la igualdad.... Esta ecuacion puede mirarse como un sistema lineal de ecuaciones si el vector x pertenece a R n y A es una matriz de n n. Tambien x puede ser un vector en algun otro espacio vectorial V, y A un operador lineal sobre ese espacio. En tal caso la ecuacion (2) tambien se aplica a la matriz ^A, que representa a A con respecto a una base [u i ],y al vector de coordenadas ^x del vector x respecto a la misma base. Denicion Si la ecuacion (2) tiene solucion x no nula, se dice que es un \autovalor" de A (del operador o la matriz), y el vector x se llama \autovector" de A, correspondiente al autovalor.... Otros nombres dados a son: valor caracterstico, valor propio o valor principal del operador (o matriz) A. El conocimiento de los autovalores de un operador lineal (o matriz) ayuda a comprender la accion del operador sobre un autovector y sobre un vector cualquiera. 6

93 ... Dado un operador (o matriz de representacion de n n) A, si podemos construir una base del espacio compuesta enteramente por autovectores de A, fu ::: u n g, entonces cualquier vector x puede escribirse como una combinacion lineal de estos autovectores... x = c :u + c 2 :u c n :u n =... La accion de A sobre x es simplemente nx i= c i :u i A:x = c :A:u + c 2 :A:u c n :A:u n = c :u + c 2 2 :u c n n :u n = nx i= (c i i ) :u i... Por tanto, si (c c 2 ::: c n ) T es el vector de coordenadas de x, con respecto a esa base de autovectores del operador lineal (o de su matriz de representacion) A, entonces el vector de las coordenadas de A:x con respecto a la misma base es c 2 c 2 C. A = n c n C. A : n Conclusion...(I) La matriz de representacion de un operador A con respecto a una base de sus autovectores (si existe esa base) es una \matriz diagonal", cuyos coecientes en la diagonal son \los autovalores" de A. Ademas......(II) el efecto de un operador A sobre cualquiera de sus autovectores es simplemente \escalar al autovector" por el correspondiente autovalor (u i ;! i :u i ), expandiendo o contrayendo ku i k por el factor i (que tambien puede ser igual a cero). Observacion: En una seccion proxima se vera que\nosiempre" se puede tener una base de autovectores (el lindo resultado (I)). c c 2. c n C A Ejemplo 4 ;2 2 A = y x = 4 ;2 2 6 A:x = : = 3 2 = 3: =3:x Por tanto, =3es un autovalor de A y x =(2 ) T a =3. es un autovector de A asociado 7

94 Observacion: (4 2) T es tambien otro autovector para el mismo autovalor =3, por tanto 4 ;2 : 4 = 2 2 =3: As cualquier multiplo escalar de (2 ) T tambien sera un autovector ( asociado al mismo ), ya que Ademas... A: (c:x) =c:a:x = c::x = : (c:x) Los autovectores asociados a un particular autovalor de A, con el agregado del vector, forman un subespacio de < n que se denomina \ autoespacio" de A asociado a. Para ver eso... Dado un que es autovalor... Si A:x = :x, y si y tambien satisface A:y = :y entonces esto es... A: (:x + :y) =:A:x + :A:y = :x + :y = : (:x + :y) (:x + :y) es tambien un autovector deacon el mismo autovalor... As el conjunto de los autovectores correspondientes a un mismo, con el agregado del vector es un subespacio. Por ahora, consideramos que A es una matriz real n n, y x un vector de < n...> Como se obtiene el conjunto de \autovectores" asociados a un? La ecuacion de autovalores A:x = :x puede escribirse... A:x = :I n :x (3) (A ; :I n ) :x = (4) As estamos buscando vectores \no nulos" x que satisfagan la ecuacion (3). Es decir,... buscamos soluciones \no triviales" del sistema lineal homogeneo (4). El conjunto de todas estas soluciones \no nulas" esta en el subespacio o espacio nulo de la matriz A ; :I n : N (A ; :I n ). Este subespacio es un subespacio de R n ). El espacio nulo N (A ; :I n ) se llama el autoespacio de A correspondiente al autovalor. Ademas si es un autovalor de A implica que existe algun x no nulo en N (A ; :I). Cualquier vector no nulo en N (A ; :I) es un autovector asociado a. La dimension N (A ; :I) (por lo menos hay un autovector para ese valor ). 8

95 La ecuacion (4) tiene solucion x no nula \siy solo si" la matriz A ; :I n es singular. Por tanto, debe ser... det (A ; :I n )=... Esta ecuacion se denomina la ecuacion caracterstica de la matriz A. 3 Calculo de los autovalores Si expandimos el determinante det (A ; :I n )=(recordando la denicion del determinante) tendremos un polinomio de grado n en la variable det (A ; :I) =p () 3. Polinomio caracterstico Denicion El p () se llama el polinomio caracterstico de A, y sus races (las soluciones de la ecuacion caracterstica) son los autovalores de A.... Como cualquier polinomio de grado n... p () =(;) n ( n + b n; n; + :::+ b + b )... tiene n races (contando las races multiples) entonces A tiene exactamente n autovalores. Sin embargo, hay que tener en cuenta que... Algunas races pueden repetirse, por tanto A tendra a lo sumo n autovalores \distintos" Algunas races pueden ser numeros complejos, por tanto A puede tener autovalores complejos (y consecuentemente, autovectores complejos). Las siguientes proposiciones, correspondientes a una matriz A de nn, son equivalentes: es un autovalor de A. (A ; :I) :x =tiene solucion no trivial. N (A ; :I) 6= fg. A ; :I es singular. det (A ; :I) =.... En la practica, la ultima condicion es la que se usa para determinar los autovalores de una matriz de n n (al menos para matrices peque~nas y manejables). 9

96 3 2 Ejemplo Encontrar los autovalores y autovectores de A = 3 ;2 La ecuacion caracterstica es det 3 ; 2 3 ;2 ; = (3 ; )(;2 ; ) ; 6 = 2 ; ; 2 = ( ; 4) ( +3) = =4 y 2 = ;3 Ahora, buscamos el espacio nulo de A ; :I y de A ; 2 :I para determinar los correspondientes autovectores. Para hacer esto, resolvemos los correspondientes sistemas homogenos (A ; i :I) :x = (i = 2) Si tomamos =4, y resolvemos por eliminacion el sistema ; 2 ; 2 A ; :I = ;! 3 6 se obtiene... u = : 2 esto es cualquier multiplo no nulo de este vector es un autovector asociado a = 4 y este vector es una base para N (A ; 4:I), que es el autoespacio de ese autovalor. Si consideramos 2 = ;3 A ; 2 :I = 6 2 ;! al resolver el sistema homogeneo... u 2 = : ; 3 como autovector asociado a 2. As este vector forma una base de N (A +3:I). En este ejemplo ambos \autoespacios" tienen dimension uno. Para practicar... Ejercicios 3. Para cada matriz, encontrar el polinomio caracterstico y los autovalores.

97 ;9 2 3 (a) (b) (c) (d) 4 ; (e) X 3.2 Para cada matriz, encontrar la ecuacion caracterstica, los autovalores y los autovectores asociados a cada uno (a) (b) 8 ; ; Otro ejemplo... Ejemplo A = Por tanto... 2 ;2 ;! det ; 2 =;! ( ; ) 2 +4= ;2 ; =+2i y 2 =; 2i <oh-oh!... Esto tena que pasar tarde o temprano. No nos habituaremos a los autovalores o autovectores complejos, aunque haremos algunos comentarios: Si es un autovalor complejo de una matriz real A, y su correspondiente autovector es z, entonces si es el complejo conjugado de y z es el complejo conjugado de z... A:z = A:z = A:z = :z = :z... Por tanto, z es tambien un autovector de A con autovalor. As autovalores y autovectores \complejos de las matrices reales" de n n siempre aparecen con su complejo conjugado, es decir aparecen en \pares". Problema ()Dada una matriz de dimension n n, con n impar, vericar que tiene por lo menos un autovalor real. Problema (2) Usando los comandos del MATLAB. Los comandos del MATLAB para calcular autovalores (despues de haber entrado la matriz A = [fila fila2 fila3]) es E = eig(a), dando en E los autovalores. Para obtener los autovectores: [U D] =eig(a), da en las columnas de U los autovectores (no garantiza que las columnas de U sean linealmente independientes), y en D los autovalores. ;9 Aplicar a la matriz A: 4 ;2 (3) Con la ayuda del MATLAB, calcular los autovalores de la matriz de 5 5 cuyos terminos son a ij =. ;9 (4) Dada la matriz A: 4 ;2 A (a) Usando el MATLAB hallar los autovalores. Hallar una base del autoespacio de cada autovalor i encontrado, para eso usar : null(a; i I n ). En general, el comando null(b), da una base del subespacio nulo de la matriz B. (b) Explicar porque puede conocer todos los autovectores asociados a cada i, conociendo las bases halladas en (a).

98 3.2 Localizacion de los autovalores. Crculos de Gershgorin Objetivo Despues de haber calculado los autovalores de una matriz, y haber visto las dicultades en calcular las races de los polinomios caractersticos, sabiendo ademas lo dicil de ese tema cuando las matrices son de dimension n > 4, es importante conocer el Teorema de Gershgorin. Este teorema nos provee un procedimiento para estimar la localizacion de los autovalores de cada matriz, y en muchas oportunidades permite sacar conclusiones sobre los autovalores sin calcularlos. Teorema Sea A una matriz arbitraria de n n. Entonces los autovalores de A estan localizados en la union de los n discos (en el plano complejo, ya que los autovalores pueden ser complejos) que satisfacen para cada la i = ::: n: j ; a i i j X j6=i ja i j j (5) siendo a i i el elemento i-esimo de la diagonal de A, y a i j la i-esima, diferentes del a i i. con j 6= i los elementos de la Demostracion. Dado yuncorrespondiente autovector u, u 6=, tal que Au = u. Tal u se puede normalizar dividiendolo por la mayor componente en valor absoluto de u (u = (u u 2 ::: u j ::: u n ), se divide por la componente u i con mayor ju j j, j = ::: n), as llamamos x a ese vector tal que Ax = x, y tal que ahora suscomponentes satisfacen que jx j j (equivale a decir que la kxk ==x i ). Entonces, nx j= a i j x j = x i = : Por tanto, ; a i i = nx j6=i a i j x j lo que implica que j ; a i i j nx j6=i ja i j x j j nx j6=i ja i j j: (6) 3 2 Ejemplo Estimar la localizacion de los autovalores de A = 3 ;2 j ; 3j 2, desde la la, y desde la la 2 se obtiene que j ; (;2)j 3. Si fuesen reales, estaran ( dibujar la recta) entre [;5 5]. 2

99 3.3 Operadores geometricos y autovalores (para visualizar). Este ejemplo explica visualmente el signicado de los autovectores de esta transformacion y visualiza tambien porque los restantes vectores de < 2 no pueden ser autovectores. Consideremos el operador L (x) que reeja un vector (en R 2 ) a traves de la recta y = x, diagonal que corta el primer y tercer cuadrante: La matriz que representa a L con respecto a la base canonica [e e 2 ] es A =(L (e ) L(e 2 )) = por tanto... L (x) =L x x 2 = x2 x >Cuales son los autovalores y los autovectores de A (o, equivalentemente de L)? Planteamos... det (A ; :I) = det Tenemos entonces que = y 2 = ;. Resolvemos (A ; :I) :x = La matriz de este sistema homogeneo... ; ; que ;! ; = 2 ; =( +)( ; ) ; ; ; Entonces... el autoespacio asociado a =es el conjunto: fu = : para todo 2<g por eliminacion for las ;! 3 ;

100 y... Para el otro autovalor, resolvemos (A ; 2 :I) :x = ;!... el autoespacio asociado... u 2 = : ; Lo que sigue explica visualmente el signicado de los autovectores hallados y explica tambien porque no hay otros autovectores en esta aplicacion. Para u =( ) T,elvector permanece sobre el eje de reeccion, y al reejarlo a traves del eje retorna al mismo vector u. L (u )=u =:u Esto es, u es un autovector de L con autovalor. Para u 2 =(; ) T, el vector permanece perpendicular al eje de reeccion, y al reejarlo a traves del eje produce el opuesto de u 2. L (u 2 )=;u 2 = ;:u 2 Esto es, u 2 es un autovector de L con autovalor ;. 4

101 Cualquier otra orientacion del vector x al reejarse a traves del eje \no produce" un vector que sea multiplo escalar de x: L (x) 6= :x Solo los dos tipos de vectores u y u 2 tienen la propiedad de conservar la direccion invariante (pudiendo cambiar solo el sentido y longitud). 3.4 Singularidad y No-singularidad >Que papel juega la singularidad o no-singularidad de la matriz A en el problema de los autovalores?. (i) Primero, supongamos que A es singular. Entonces det A =, y el sistema homogeneo A:x = tiene solucion no trivial x. Entonces existe un vector no nulo x en R n tal que... A:x ==:x As =es un autovalor de A si A es singular. Recprocamente, si =es un autovalor de A, entonces el correspondiente autovector (no nulo) x debe satisfacer A:x = :x = ya que = Esto es, x es una solucion no trivial del sistema lineal A:x =, y por tanto A es \singular".... Hemos encontrado que: \ A es una matriz de n n singular si y solo si al menos uno de sus autovalores es cero". Entonces, lo anterior se puede expresar de otra manera... (ii)si una matriz A es no-singular, todos sus autovalores deben ser no nulos. Recprocamente, si A tiene todos sus autovalores no nulos, es no-singular. Casos especiales... 4 Matrices diagonales Si A es una matriz diagonal, entonces = det (A ; :I) =det = (a ; )(a 22 ; ) (a nn ; ) a ; a 22 ; a nn ; C A 5

102 Por tanto... = a 2 = a 22 n = a nn As los autovalores de una matriz diagonal son los coecientes de la diagonal fa ii g (eso muestra tambien que son todos reales). Ademas, en este caso los autovectores tambien tienen una forma particularmente simple. En este caso: son precisamente los vectores de la base canonica e e 2 ::: e n, ya que A:e = :e A:e 2 = 2 :e 2 etc En otros casos, se podran encontrar bases que se puedan usar para obtener una representacion con una matriz diagonal...? Si A no es diagonal... pero podemos determinar cuales son sus autovalores y autovectores f i g y fx i g.... Y supogamos que los \autovectores de A son linealmente independientes", con lo cual forman una base de R n (porque son n vectores). Entonces considerando esa base, los vectores coordenadas f^x i g de los autovectores fx i g con respecto a esta \ autobase" seran e e 2 ::: e n.... La matriz de representacion de A con respecto a esta \ autobase " sera ^A = n... Veremos mas adelante, que cualquier matriz A de n n con \n autovectores linealmente independientes" puede ser diagonalizada en este sentido. Puede ser representada con respecto a una base de sus autovectores mediante una \ matriz diagonal", con sus respectivos autovalores en la diagonal. 4. Otras propiedades de las matrices diagonales Dado que los autovalores de una matriz diagonal A son los coecientes de la diagonal fa ii g, tenemos que Ademas, C A det A = a a 22 a nn = 2 n = la traza de A o tr A, denida como la suma de los coecientes de la diagonal de A, esta dada por tr A = nx i= a ii = Estos dos resultado son validos tambien para matrices que no son diagonales.... nx i= i ny i= i 6

103 5 En general - Producto y suma de autovalores Si A es una matriz cualquiera de n n, entonces det A es igual al producto de los autovalores de A: det A = nq i i= Demostracion. Recordar que p () = det (A ; :I) tiene n ra ces f i g. Por lo tanto, cuando expandimos el determinante y factorizamos el polinomio resultante obtendremos p () = ( ; )( ; 2 ) ( ; n )... Una mirada detallada a la estructura del determinante muestra que de hecho y por tanto... p () = (;) n ( ; )( ; 2 ) ( ; n ) = ( ; )( 2 ; ) ( n ; ) det A = p () = 2 n tr A es igual a la suma de los autovalores de A: tr A = np i= a ii = np i i= Demostracion. Esta demostracion no es tan facil de vericar, y no la hacemos aqu _ Ver la bibliografa. Observacion El punto () es coherente con el resultado previo : det A = (A singular) si y solo si al menos uno de los autovalores de A es nulo. Observacion Como el determinante de una matriz real debe ser un numero real, se sigue que el producto de los autovalores i debe ser tambien real.... >Que pasa si alguno de los autovalores es complejo? Como los autovalores complejos solo aparecen con su pareja conjugada, y dado que : = jj 2 es siempre un numero real, el producto de todos los autovalores sera un numero real. Observacion... Similarmente, dado que la traza de una matriz real es real, la suma de los autovalores tambien debe ser real. Y esto es cierto, aun cuando haya autovalores complejos, dado que... + =2Re (es tambien real) 7

104 En un ejemplo previo... Ejemplo la matriz dada es A = 2 = ;3. Por tanto Vimos que los autovalores son = 4 y 3 ;2 tr A = 3+(;2) = 4 + (;3) = det A = ;6 ; 6=4: (;3) = ;2 En otro ejemplo previo... 2 Ejemplo la matriz A = ;2 tiene los autovalores =+2i y 2 =; 2i 5. Matrices triangulares tr A = +=(+2i)+(; 2i) =2 det A = +4=(+2i)(; 2i) =5 Si A es una matriz triangular para calcular sus autovalores consideramos det a ; a 2 a n a 22 ; a 2n..... C. A =(a ; )(a 22 ; ) (a nn ; ) a nn ; Conclusion Los autovalores de una matriz triangular (superior o inferior) son los coe- cientes de la diagonal (como en el caso de las matrices diagonales). 5.2 Matrices inversas Si A es no singular >cuales son los autovalores de A ;? Si los s son los autovalores de A, satisfacen... A:x = :x entonces multiplicando por A ; A ; :A:x = :A ; :x o :x = A; :x As si x es un autovector de A con autovalor,... entonces x tambien es un autovector de A ; correspondiente al autovalor = (como A es no singular los s no pueden ser nulos). 8

105 6 Potencia de matrices >Como son los autovalores y autovectores de A k? Si se conocen los autovalores de A entonces y por induccion... A:x = :x A 2 :x = A: (A:x) =A: (:x) =:A:x = 2 :x A k :x = k :x As si x es un autovector de A con autovalor, entonces x es tambien un autovector de A k, con autovalor k. Esto tambien es cierto para potencias negativas de A, con A ;k =(A ; ) k. Ejercicios para seguir practicando en su casa... Ejercicios X 6. Para cada matriz, encontrar la ecuacion caracterstica, los autovalores y los autovectores asociados a cada uno (a) (b) 8 ; ; 6.2 Encontrar la ecuacion caracterstica, autovalores (son complejos) y los asociados autovectores. ;2 ; Para esta matriz, encontrar la ecuacion caracterstica, los autovalores y los autovectores asociados a cada A X 6.4 Lo mismo del previo ejercicio. 3 ;2 ;2 3 5 A 4 ;7 8 X 6.5 Encontrar los autovalores y asociados autovectores del operador de diferenciacion d=dx: P 3!P 3. La base natural es B = h x x 2 x 3 i. La accion de la aplicacion es 7!, x 7!, x 2 7! 2x, y x 3 7! 3x 2,yvericar que la matriz de representacion es : T =Rep B B (d=dx) = A 2 3 C A B B 9

106 Hallar los autovalores, planteando =dett ; I = ; ; 2 ; 3 ; = 4 La aplicacion tiene el unico autovalor =. Para hallar los asociados autovectores, se resuelve u u B C 3A Bu C u 3 A =Bu C u 3 A =) u 2 =,u 3 =,u 4 = B B u 4 As para alcanzar su autoespacio f u C A B B u 4 B u 2<g= fu + x + x 2 + x 3 u 2<g= fu u 2<g 6.6 Probar que los autovalores de una matriz triangular (superior o inferior ) son las entradas de la diagonal. X 6.7 Encontrar la formula del polinomio caracterstico de una matriz de 22.? 6.8 Mostrar que si A es una n- matriz cuadrada y cada la suma c entonces c es un autovalor de A. X 6.9 (a) Puede cualquier vector no-~ enun espacio vectorial ser un autovector? X 6. Mostrar que es un autovalor de T si y solo si la aplicacion representada por T ; I es singular. 6. (a) Mostrar que si es un autovalor de A entonces k es un autovalor de A k. (b) >Que eslo erroneo en la demostracion siguiente? \Si es un autovalor de A y si es un autovalor de B, entonces es un autovalor de AB, ya que si A~x = ~x y B~x = ~x entonces AB~x = A~x = A~x = ~x"? Cuidado!, con la obtencion de resultados falsos. Observar si se puede armar que A y B tienen igual autovector? (consultar). 2

107 7 Propiedad de Independencia lineal de los autovectores. Bases de autovectores Un resultado importante... Autovectores correspondientes a autovalores \distintos" son linealmente independientes. Demostracion. Supongamos que x e y son autovectores de A correspondientes a 2 distintos. Luego,... y A:x = :x y A:y = 2 :y (con 6= 2 ) Veamos que x e y son linealmente independientes. Consideremos la combinacion... entonces... c :x + c 2 :y = A:(c :x + c 2 :y) = Tenemos dos ecuaciones vectoriales... Despejando de la primera queda y reemplazando en la segunda... = c :A:x + c 2 :A:y = c :x + c 2 2 :y c :x + c 2 :y = c :x + c 2 2 :y = c :x = ;c 2 :y (7) ; c 2 :y + c 2 : 2 y = c 2 ( 2 ; ) :y = Como y 6= (>por que?), debera ser c 2 ( 2 ; ) =. Pero 2 6=. Luego, debera ser c 2 =. Entonces, de acuerdo a (7), tambien c =.... Por tanto, x e y son linealmente independientes. Conclusion... As si una matriz tiene n autovalores distintos ) tiene n autovectores linealmente independientes. 2

108 7. Autovalores multiples...> Que ocurre cuando los autovalores son repetidos? En este caso, > se puede armar que existen n autovectores independientes?.... La respuesta es... \ no siempre existen n autovectores independientes", como se puede ver en los dos ejemplos que siguen. As nos interesara saber cuando existen y cuando no existen n autovectores linealmente independientes de A. Consideremos el ejemplo... Por tanto... implica Para =5,tenemos A = det (A ; :I) = Para los autovalores repetidos... 2 = 3 = ;3, la matriz ;2 2 ;3 2 ;6 ; ;2 A ;2 ; 2 ;3 2 ; ;6 ; ;2 ; = ; 3 ; 2 ; = ( ; 5) ( +3) 2 det (A ; :I) = =5 2 = 3 = ;3 x =( 2 ;) T ( Vericar!) (A ; :I) =A +3:I 2 ;3 2 4 ;6 ; ;2 3 A se reduce por las 2 ;3 A que tiene rango igual a. De la ecuacion obtenida x +2x 2 ; 3x 3 =,ox = ;2x 2 +3x 3, vemos que tenemos dos variables independientes (en este caso, x 2 y x 3 ). La solucion general sera x ;2 +3 A 22

109 As podemos generar dos soluciones linealmente independientes eligiendo ( ) = ( ) y ( ) =( ) x 2 ;2 A y x3 =... Esto es coherente, ya que si el rango de la matriz A +3:I es igual y n = 3, entonces la dimension del espacio nulo N((A +3:I)) es la diferencia n ; =2.... Hay 3 autovectores linealmente independientes ya que para los repetidos hay 2 autovectores linealmente independientes pues dim(n(a + 3:I)) = 2 Denicion Sea un autovalor de una matriz A. Se denomina... Multiplicidad algebraica de : al numero M que indica el orden de la multiplicidad de como raz del polinomio caracterstico p (). Multiplicidad geometrica de : al numero m de autovectores linealmente independientes asociados a. Este numero indica la dimension del \autoespacio" correspondiente a ( que es dimn(a ; :I) ). Observacion Como el polinomio caracterstico tiene grado n se tiene que P (multiplicidades algebraicas) 3 Observacion En general, sucede que m M. La diferencia se llama defecto: = M ; m. Ejemplo Sea la matriz... A = para calcular sus autovalores...se plantea det (A ; :I) = ; ; = 2 = A Por tanto, =es un autovalor de multiplicidad algebraica Pero la multiplicidad geometrica es, ya que los autovectores x correspondientes a =son resolviendo... (A ; :I)x =, las soluciones de Ax =(hacerla). Resolviendo se obtiene que los autovectores son todos de la forma Por tanto, M =2 m = =. x = x =... Este es un ejemplo donde la suma de las multiplidades geometricas es \ menor " que n. Entonces, no existen n autovectores independientes para la matriz dada

110 Conclusion Si hay autovalores repetidos... la existencia o no de n autovectores independientes depende de la suma de las multiplicidades geometricas de los autovalores. Si la multiplicidad geometrica es n ) hay n autovectores P linealmente independientes. Sino, hay tantos independientes como el valor de la suma m. Problema >Cuantos autovectores linealmente independientes tiene esa ; ;3 ;9 5 8 ;2 ;7 A (a) Usando el Matlab calcular los autovalores. (b)hallar los autovectores resolviendo (A ; i I 3 )x =, para cada autovalor. (c) Cual es la multiplicidad geometrica de los autovalores repetidos (si hay)?. (d) Vericar si es correcta la resolucion de (b) usando el MATLAB y el comando: null(a ; i eye(3) (observando cuantos elementos tiene una base de ese espacio nulo). (e) Finalmente, cuantos autovectores linealmente independientes tiene A?. 8 Matrices semejantes Ya las hemos denido Recordemos que una matriz B de n n es semejante a una matriz A de n n si existe una matriz no singular S tal que B = S ; :A:S Tambien recordemos que las matrices representativas de operadores lineales respecto de diferentes bases \son semejantes". Los autovalores de B estan determinados por las races de su polinomio caracterstico: p B () = det (B ; :I) =det ; S ; :A:S ; :I = det ; S ; (A ; :I) :S = det S ; : det (A ; :I) : det S = det ; S ; :S : det (A ; :I) = det (A ; :I) = p A ()... A y B semejantes, tienen precisamente el mismo polinomio caracterstico y por tanto el mismo conjunto de autovalores f i g. >Que pasa con los autovectores de B? Si x es una autovector de A con autovalor, entonces A:x = :x S:B:S ; : = :x S ; ; S:B:S ; :x = S ; : (:x) B: ; S ; :x = : ; S ; :x 24

111 ... As el autovector de B correspondiente al autovalor es justamente S ; :x, donde x es el autovector de A asociado a. Conclusion... Si A y B son matrices semejantes de nn, con B = S ; :A:S, entonces tienen el mismo conjunto de autovalores f i g y si u i es un autovector de A correspondiente a i, entonces S ; :u i es un autovector de B, correspondiente a i. 9 Diagonalizacion Denicion tal que Una matriz A de n n es diagonalizable si existe una matriz no singular X X ; :A:X = D donde D es una matriz diagonal. En este caso, se dice que X diagonaliza a A. Teorema Una matriz A de n n es diagonalizable si y solo si A tiene n autovectores linealmente independientes. Demostracion. Supongamos que A tienen n autovectores linealmente independientes fx i g correpondientes a los autovalores f i g (no necesariamente todos distintos). Denimos X como la matriz de n n cuyas columnas son los autovectores fx i g Entonces X =(x x 2 ::: x n ) A:X = (A:x A:x 2 ::: A:x n ) = ( :x 2 :x 2 ::: n :x n ) = (x x 2 ::: x n ) : = X:D n Dado que los fx i g son linealmente independientes, X es no singular y por tanto... A:X = X:D =) D = X ; :A:X La recproca se demuestra usando la misma idea, comenzando desde el conocimiento que existe una X no singular tal que X ; AX = D, D diagonal. Luego, vale que A:X = X:D desde ah se llega a que las columnas de X son autovectores de A (linealmente independientes, ya que X es no singular). C A 25

112 Conclusion Observacion Sea A un matriz de n n Si A es diagonalizable, entonces los vectores columnas de la matriz de diagonalizacion X son autovectores de A, y los elementos de la diagonal de D son los autovalores correspondientes. La matriz de diagonalizacion X no es unica. Reordenando su columnas, o multiplicandolas por un escalar no nulo, se obtiene una nueva matriz de diagonalizacion. Si A tiene n autovalores \distintos", los autovectores correspondientes son linealmente independientes, y por tanto A es diagonalizable. Si los autovalores de A no son todos distintos, A puede ser o no diagonalizable. Si A tiene menos de n autovectores linealmente independientes, no es diagonalizable. As si hay autovalores repetidos se debe hallar la multiplicidad geometrica de los autovalores repetidos (que coincide con la dimension del autoespacio, o sea con la dim(n(a ; i I)), si el autovalor es i ). Ejercicios... Si la multiplicidad geometrica coincide con la multiplicidad algebraica de los autovalores repetidos, entonces hay n autovectores linealmente independientes.... Si la multiplicidad geometrica para un i repetido, es menor que su multiplicidad algebraica, entonces A no es diagonalizable (no hay n autovectores independientes, sino solo r = P m ). 9. Diagonalizar la matriz (hallar autovalores, y una base de autovectores si es posible): Para la misma matriz anterior, usando el MATLAB, si es diagonalizable hallar la descomposicion A = XDX ;. Usar comandos: E = eig(a), obtiene los autovalores. [U D] =eig(a), muestra los autovectores de A en las columnas de U (estas columnas pueden ser dependientes si hay autovalores repetidos), y en D los autovalores. Otros comandos: null(a ; i eye(n)), muestra una base del autoespacio asociado a i (se usa si el autovalor es repetido). Recordar que eye(n) esi n. 9.3 >Es posible diagonalizar la matriz A siguiente?. Hallar los autovalores. El autosistema para cada autovalor es el subespacio N(A ; i I n ). Hallar la multiplicidad geometrica de cada autovalor. >Cuantos autovectores linealmente independientes hay?....para visualizar y ; ;3 ;9 5 8 ;2 ;7 A 26

113 Otros resultados importantes... Si una matriz A es diagonalizable, puede ser factoreada en el producto X:D:X ;. Por tanto... Ejemplo y en general, Sea Entonces... A 2 = ; X:D:X ; : ; X:D:X ; = X:D 2 :X ; (8) A k = X:D k :X ; = X: A = k k 2 C A :X; k n 2 ;3 2 ;5 det (A ; :I) =(2; )(;5 ; )+6= 2 +3 ; 4=( ; ) ( +4)... entonces = y 2 = ;4 son los autovalores de A (que son distintos). Si 3 buscamos los autovectores, obtendremos u = y u 2 =. Obtenemos X = 2 Entonces... X ; :A:X = 2 ; 5 ; 3 = ;4 = = D 2 Observar, que si reordenamos u y u 2 en X Entonces... ^X = 3 2 ^D = ^X ; :A: ^X = ; ;3 5 ;2 ;4 = = 2 : 2 ;3 : 2 ;5 : 2 ;3 : 2 ;

114 Conclusion... Esto es, si A es diagonalizable, puede factorearse A = XDX ;, y los autovalores de A simplemente se reordenan en la diagonal de D, y X esta formada por los autovectores independientes. Ademas, al multiplicar X por un escalar 6= tambien implica multiplicar X ; por =, lo cual deja invariante a D. Otra consecuencia interesante para matrices diagonalizables: Si A es diagonalizable, A = XDX ;, y para toda potencia de A A k = XD k X ;. As la funcion exponencial de una matriz A de n n se dene (como ocurre con e x ): e A = exp(a) =I + A + A 2 + A2 2! + A3 3! + :::= siendo A = I n.... Usando A = XDX ;, se obtiene X k= A k k! e A = exp(a) =X(I + D + D 2 + D2 2! + D3 3! + :::)X ; = X( X D k k! )X; k= Luego, considerando que... y usando (8) e D = lim n;> I + D + D 2 + D2 2! + :::+ Dn n! e D = lim m;> P m k= k k! P m k 2 k= k!... P m k= k n k! C A = e e 2... e n C A ) e A = Xe D X ; :... es calculable si se conocen los autovalores de A, y los n autovectores de A.... Esto es muy util cuando se resuelven sistemas de ecuaciones diferenciales. Para practicar con diagonalizacion de matrices... 28

115 Ejercicios X 9. S i T es una matriz nn y c d son escalares. (a) Probar que si T tiene un autovalor con un asociado autovector ~v entonces ~v es un autovector de ct + di n asociado con el autovalor c + d. (b) Probar que si T es diagonalizable entonces lo es ct + di n. 9.2 Matrices equivalentes por las tienen iguales sus autovalores?. La respuesta es no!. Vericar que las siguientes matrices son equivalentes y no tienen los mismos autovalores. Estas matrices equivalentes tienen la misma magnitud, igual rango y distintos autovalores Mostrar que una matriz cuadrada con coecientes reales y un numero impar de las tiene siempre al menos un autovalor real. 9.4 Diagonalizar la matriz (hallar los autovalores, y autovectores, multiplicidad algebraica y multiplicidad ; A ;3 ;6 ;6 9.5 Es posible diagonalizar la matriz A siguiente?. Hallar autovalores. El autoespacio para cada autovalor ( es N(A ; i I n ) ). Hallar la multiplicidad geometrica cada autovalor. >Cantos autovectores linealmente independientes hay?. ; ;3 ;9 5 8 ;2 ;7 9.6 Diagonalizar la matriz (hallar autovalores, y una base de autovectores (si es posible): Repetir el ejercicio anterior resolviendo con el MATLAB, usando: E=eig( A). Luego con el comando : [U,D]= eig(a) (obtiene los autovectores de A en las columnas de U (pueden ser dependientes), y en D los autovalores. Hallar el N(A ; lambda:i), y una base correspondiente a cada autoespacio de cada autovalor. 9.8 Es posible diagonalizar la matriz siguiente?. (a)hallar autovalores y los autovectores linealmente independientes (observar que es simetrica Matrices Simetricas.Matrices hermitianas. A A En el caso de matrices reales especialmente tenemos:... 29

116 Matrices simetricas: A T = A Matrices ortogonales: las columnas de A forman un conjunto ortonormal de R n (y por lo tanto, una base). En cambio en el caso de las matrices complejas tenemos lo equivalente... : Matrices hermitianas: Son las que satisfacen M H ; = M T = M. Matrices unitarias: las columnas de M forman un conjunto ortonormal de C n (y por tanto, una base). Luego... Una matriz real hermitiana es una matriz simetrica Una matriz real unitaria es una matriz ortogonal Resultados relacionados importantes: Estos resultados se dan aqu sin demostracion (se recomienda ver la bibliografa S. Grossman para conocer los fundamentos que conducen a ellos). Los resultados siguientes son de gran importancia y de ellos depende la resolucion de muchas aplicaciones importantes. En el caso de matrices reales... Una matriz real simetrica tiene \todos" sus autovalores reales. Ademas... Si A es simetrica, existe una matriz ortogonal U que diagonaliza a A U ; :A:U = U T :A:U = D Conclusion... Esto quiere decir que si A es una matriz simetrica \ existe siempre" una base de autovectores ortogonales.... Proviene esa conclusion de los resultados... () Si A es simetrica, los autovectores asociados a autovalores distintos son ortogonales. (2) Si A es simetrica, los autovalores repetidos tienen la multiplicidad geometrica igual a la multiplicidad algebraica. Es decir, si la multiplicidad algebraica de un i es r, entonces la dimension dim(n(a ; i :I)) = r. Observar que, por ejemplo con el comando del MATLAB null(a ; i :I), puede siempre obtener una base ortogonal de este autoespacio de i. As... (3) Existe una base ortogonal de autovectores si A es simetrica. 3

117 Ejercicios. Rehacer un ejercicio previo: > Es posible diagonalizar la matriz siguiente?. Hallar autovalores y los autovectores ortogonales (Observar que es A Es posible diagonalizar la matriz?.3 Idem 2 ; ; 2 ; ; 2 A 4 ; ; ; 4 4 ; ; ; 4 OBSERVACIONES: Hacemos una peque~na incursion en el mundo de los escalares complejos, los vectores y matrices complejas... El conjunto C n es el espacio vectorial formado por las n-uplas de numeros complejos. Seran los escalares a considerar : = a + ib C A (con a y b numeros reales) Recordemos que... Conjugado de : Longitud o modulo de : = a ; ib Para los vectores: z = z z 2. z n C jj = p : = p a 2 + b 2 A =(z z 2 ::: z n ) T y z = Longitud o modulo de un vector: q kzk = jz j 2 + jz 2 j jz n j 2 Notacion: = ; z T :z =2 z T z H y kzk = ; z H :z =2 Producto interno: Propiedades: hz wi = w H :z 3 z z 2 C. A =(z z 2 ::: z n ) T z n (conjugado transpuesto de z)

118 . hz zi ("=" si y solo si z =) 2. hz wi = hw zi para todo z y w en V 3. h:z + :w ui = hz ui + hw ui Matrices: M = fm ij g con m ij = a ij + ib ij o, M = A + ib con A = fa ij g y B = fb ij g y M H = M T Para matrices complejas... los autovalores de una matriz hermitiana son todos reales. La matriz conjugada transpuesta de una matriz unitaria U es su inversa: U ; = U H (analogamente ocurres para matrices reales ortogonales: A ; = A T ) Si A es una matriz hermitiana, entonces existe una matriz unitaria U que diagonaliza a A Aplicaciones U ; :A:U = U H :A:U = D Nos limitaremos a ver dos casos, mas adelante cuando veamos Ecuaciones Diferenciales veremos otras aplicaciones interesantes.. Funciones de varias variables. Ahora, consideramos una aplicacion de los autovalores de matrices simetricas... para analizar la curvatura de las gracas de funciones de varias variables. Para abreviar calculos lo hacemos para dos variables. Sea z = f(x y) una funcion con derivadas segundas contnuas. Sea P =(x y )un punto de su dominio. Sea un vector u =(u u 2 ) T, de longitud kuk =,que indica una direccion. Si restringimos el estudio del comportamiento de f(x y) en el punto P, en la direccion de u, podemos considerar la funcion compuesta g(t) = f(p + tu). As en particular cuando t =,g() = f(p ). La derivada g (t) =rf(p + tu) T :u usando derivada de funciones compuestas. Ademas, si calculamos 32

119 la derivada segunda de g(t) en t =, nos da la curvatura de g(t) en t =, que coincide con la de la funcion f en P, en la direccion indicada por u. Tal derivada g (t) = (g (t)) cadena, se obtiene: g (t) f (P 2 = +tu) +tu) 2 ). Usando regla de la (u ) 2 f (P +tu) :u 2 f (P +tu)) 2 2 ) 2. Luego, reemplazando en t =, se obtiene g () f (P ) 2 ) 2 f (P ) :u 2 2 f (P ) 2 2 ) 2. Si se considera la matriz Hessiana en P... H 2 f (P 2 f (P! 2 2 f (P 2 f 2,... la curvatura de f(x y) enp, en la direccion de u, coincide con... g () = (u u 2 )H u u 2 Conclusion As la curvatura de f en P, en una direccion u esta dada por el valor de u forma cuadratica: (u u 2 )H, siendo H la matriz simetrica de las derivadas segundas u 2 de f en P.... As para saber si la funcion en el punto P es convexa o concava hay que conocer el signo de la forma cuadratica (u u 2 )H u u 2 para toda direccion u. Se puede demostrar que... (i) La matriz H (simetrica) tiene todos sus autovalores positivos, la forma cuadratica u (u u 2 )H es \positiva" en toda direccion. Eso dice que si los autovalores del Hessiano H en P son positivos entonces f es convexa en P, pues la curvatura es positiva u 2 en todas las direcciones u. (ii) La matriz H (simetrica) tiene todos sus autovalores negativos, la forma u cuadratica (u u 2 )H es negativa en toda direccion. Eso dice que si los autovalores del Hessiano H en P son negativos, entonces f es concava en P, pues la curvatura u 2 es negativa en todas las direcciones u. (iii) Si la matriz H (simetrica) tiene al menos un autovalor negativo y otro positivo u entonces la forma cuadratica (u u 2 )H es negativa al menos en una direccion y u 2 positiva en otra direccion. As f(x y) tiene en P, curvatura negativa en alguna direccion y curvatura positiva en otra. 33

120 Problema (i) Dada una matriz real simetrica A (n n). Vericar que si tiene n autovalores positivos equivale a que la forma cuadratica u T Au >, para todo u 2< n, con u 6=. Ayuda: considerar que existe una base de autovectores ortonormales fu u 2 ::: u n g tales que Au i = i u i. Luego usar esa base de autovectores para escribir: u = P i u i. Reemplazar en u T Au, para ver que se obtiene un valor positivo para todo u, si cada i > ya que u T i Au i = i >. Recprocamente, si para todo u 6=, u T Au >, entonces tambien para todo autovector u T i Au i = i >. As tiene autovalores positivos. (ii) Lo mismo se puede hacer cuando todos los autovalores son negativos. Problema (i) Sea la funcion z = e xy, en el punto ( 2). Ver cual es la curvatura en ( 2) en cualquier direccion u, de acuerdo a los autovalores del Hessiano en ese punto. (ii) Sea la funcion z = ;x 3 +4xy ; 2y 2 +, analizar la curvatura en los puntos donde el gradiente es cero. Puede obtener alguna conclusion sobre el tipo de puntos estacionarios que tiene?..2 Relacion de recurrencia En 22 Leonardo de Pisa, conocido como Fibonacci, expuso el siguiente problema. Problema Un hombre tiene una pareja de conejos en un corral. >Cuantas parejas de conejos se pueden generar a partir de esa pareja en un a~no, si se sabe que cada mes se reproduce generando una nueva pareja, la que a partir de su segundo mes de vida tambien se reproduce de la misma forma?. Hay supuestos simplicadores, como que no hay perodos de gestacion y que no hay mortalidad. Dado un cierto mes, el numero de pares nuevos que apareceran en el proximo mes es simplemente el numero de pares que vivan en el mes previo pasado, desde que todos estos seran fertiles despues de dos meses. Dado un cierto mes, el numero de pares, f(n +),que viviran en el mes siguiente es la suma del numero de los que viven en este mes, f(n), mas el numero de los nacimientos (igual a f(n ; ), correspondiente a los que vivan en el mes n ; ). As se tiene la siguiente relacion f(n +)=f(n)+f(n ; ) donde f() =, f() = Este es un ejemplo de una relacion de recurrencia, llamada as porque los valores de f se calculan mirando los previos valores de f. Podemos responder la pregunta de Fibonacci, despues de doce meses, sabiendo que f(n +)=f(n)+f(n ; ), para cada mes n, yconociendo las condiciones iniciales f() y f(). A partir de la formula, se obtiene f(2) = f() + f(), f(3) = f(2) + f(),y as siguiendo... mes parejas

121 La sucesion f(n) de numeros denida por la ecuacion de arriba (se listan los primeros) se llama la sucesion de Fibonacci. Lo que hemos visto en las clases previas es util para calcular f(n +)sin tener que encontrar cada uno de los previos f(n), f(n ; ), etc. Por ejemplo, para tal sucesion nos puede interesar f(), o cualquier otro mas grande. Como hacer para conocer f(), por ejemplo? Observar que la relacin de recurrencia es lineal y aspodemos dar una formulacion matricial para ella. f(n) f(n +) f(n ; ) = f(n) Entonces, si denominamos A a la matriz y ~v n al vector de componentes f(n +) y f(n), tenemos que ~v n = A~v n; as reemplazando ~v n; usando ~v n;2, se tendra ~v n = AA~v n;2 donde :::, hasta reemplazar ~v mediante A~v, se obtiene que f() = f() ~v n = A n ~v : La ventaja de esta formulacion es que si diagonalizamos A alcanzamos una forma rapida para calcular sus potencias: donde A = SDS ;, tenemos A n = SD n S ;, y la n-esima potencia de la matriz diagonal D es la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son la potencia-n de los elememtos de D. La ecuacion caracterstica de A is 2 ; ; p, que tiene las raices ( + 5)=2 y ( ; p 5)=2. Diagonalizando se tiene: p + 5 = 2 ; p 5 2 p ; p 5 2 Introduciendo los vectores y tomando la potencia-n, tenemos n f(n +) f() = f(n) f() = + p 5 2 ; p 5 2 p n ; p 5 2! p 5 ; ;p p 5 2 p 5 p; + p ! p 5 n p; 5 ; ;p p 5 2 p 5 + p Podemos calcular f(n) desde la segunda componente de la ecuacion, " p! n f(n) = p + 5 ; ; p! n # !! f() f() 35

122 Notamos que f es dominada por su primer termino porque ( ; p 5)=2 es menor que, as suspotencias tienden a cero. En general, una relacion de recurrencia lineal tiene la forma f(n) =a f(n ; ) + a 2 f(n ; 2) + + a k f(n ; k) (tambien se llama una ecuacion en diferencias). Esta relacion de recurrencia es homogenea porque no hay un termino constante. Se puede poner en la forma: =;f(n) +a f(n ; ) + a 2 f(n ; 2) + + a k f(n ; k): (9) Esta es una relacion de recurrencia de orden k. Esa relacion, con las condiciones iniciales f() ::: f(k ; ) determina completamente la sucesion, para n k. Por ejemplo, la relacion de Fibonacci es de orden 2, y con las condiciones inicales f()=y f() =, determina la secuencia de Fibonacci, para f(2), f(3)... Veremos como se puede usar el Algebra Lineal para resolver relaciones de recurrencia lineales. Primero, denimos el espacio vectorial en el cual trabajamos. Sea V el conjunto de funciones f denidas para los numeros naturales N = f 2 :::g y con valores f(n) enlosnumeros reales. (Tendremos tambien funciones con dominio f 2 :::g, eso es, sin el, pero eso no cambia lo principal.) Dejando de lado \las condiciones iniciales" por un momento, para cualquier relacion de recurrencia, podemos considerar el... subconjunto S (del espacio V ) de las funciones soluciones f(n) de una relacion de recurrencia. El subconjunto S de soluciones es un subespacio de V. Es no vacio, ya que la funcion f(n) =, constante, satisface la relacion (9) (aunque no las especcas condiciones iniciales). Ademas, si dos funciones f y f 2 son soluciones, tambien la suma de ellas f + f 2 lo es: ;(f +f 2 )(n)+a (f +f 2 )(n;)++a k (f +f 2 )(n;k) =(;f (n)+a f (n;)++a k f (n;k)) +(;f 2 (n)a f 2 (n;)++a k f 2 (n;k)) =: 36

123 Tambien, si se multiplica por un escalar rf, lo es : (;rf )(n)+a (rf )(n;)++a k (rf )(n;k) = r(;f (n)+a (f )(n;) +a k f (n;k)) = r =: >Cual es la dimension del subespacio de soluciones S?. Consideremos la aplicacion: T : S! < k. desde el conjunto de las funciones de S al conjunto de vectores de < k. f 7! f() f(). f(k ; ) Como cualquier solucion de la relacion de recurrencia esta univocamente determinada por las k condiciones iniciales, esta aplicacion es \inyectiva" y \suryectiva" sobre < k. As S tiene la misma dimension k que < k, que es el orden de la relacion de recurrencia. As (dejando de lado todava las condiciones iniciales), podemos describir el conjunto de soluciones de cualquier relacion de recurrencia lineal homogenea de orden k a partir de conocer una base de S, o sea un conjunto de k funciones linealmente independientes, y luego combinando a estas funciones k se obtiene cualquier otra solucion.... Como obtener estas k funciones linealmente independientes?, y obtener las restantes... Para eso, expresamos en forma matricial la relacion de recurrencia, C A f(n) =a f(n ; ) + + a k f(n ; k) a a 2 a 3 ::: a k; a k ::: ::: B C@ A f(n ; ) f(n ; 2) C. A = f(n ; k) f(n) f(n ; ). f(n ; k +) C A 37

124 Para encontrar la ecuacion caracterstica de la matriz, lo vemos primero para el caso de una matriz de 22: y para el caso de una matriz a ; a 2 a 3 ; a ; a 2 = 2 ; a ; ; a 2 A = ; 3 + a 2 + a 2 + a 3 ; que muestra que la ecuacion caracterstica es la siguiente. a ; a 2 a 3 ::: a k; a k ; ::: ; ::: ; = (; k + a k; + a 2 k;2 + + a k; + a k ) Este es el polinomio asociado con la relacion de recurrencia. Si el polinomio ; k + a k; + a 2 k;2 + + a k; + a k no tiene races repetidas entonces la matriz es diagonizable y podemos, en teora, tener la formula para f(n) como en el caso de Fibonacci. Pero, como sabemos que el subespacio S de las soluciones tiene dimension k, \ nonece- sitamos diagonalizar", si conocemos k funciones linealmente independientes satisfaciendo la relacion. Si r, r 2, :::, r k son las races distintas, consideramos las funciones f r (n) = r n, f r2 (n) =r n 2... hasta f r k (n) =rn k, potencias de las races del polinomio. Problema (i) Mostrar que cada una de esas funciones ees una solucion de la relacion (9). (ii) Ver que son linealmente independientes. 38

125 Sntesis Dada una relacion de recurrencia lineal homogenea f(n) =a f(n ; ) + + a k f(n ; k) (es decir, =;f(n)+a f(n ; ) + + a k f(n ; k)) consideramos la ecuacion asociada =; k + a k; + + a k; + a k. Encontramos las races r, :::, r k, y si son distintas entonces toda solucion de la relacion de recurrencia tiene la forma f(n) =c r n + c 2r n c kr n k para ciertas constantes c ::: c n 2<, que dependeran de las condiciones iniciales. El caso de races repetidas tambien es facil de hacer, pero no lo cubriremos aqu. Solamente diremos que en el caso de orden k =2(si las races son repetidas r = r 2 ), las soluciones independientes son : f r (n) =r n y la otra se construye f 2 (n) =nr n Ahora, dadas algunas condiciones iniciales: Si se conocen las condiciones iniciales, vamos a determinar los coeciente c i que combinan adecuadamente a las funciones de la base. Para hallar c ::: c n. Por ejemplo, sea el polinomio asociado con la relacion de Fibonacci ; 2 + +,cuyas races son ( p 5)=2 ytoda solucion satisface: f(n) =c p (( + 5)=2) n + c 2 (( ; p 5)=2) n. Incluyendo las condiciones iniciales para n =(f() = ) y n =(f() = ), tenemos el sistema lineal de ecuaciones en c y c 2 : c + c 2 = ( + p 5=2)c +(; p 5=2)c 2 = Resolviendo ese sistema, conduce a c == p 5yc 2 = ;= p 5, como se habia calculado antes. 39

126 Ejercicios Resolver la siguientes relaciones lineales de recurrencia: (a) f(n) = f(n ) + f(n 2), f() = /2; f() = ; (b) f(n) = f(n 2)/2, f() = ; f() = ; (c) f(n) = f(n ) + f(n 2)/2, f() = ; f() = ; (d) Escribir la solución de las relaciones anteriores, para condiciones iniciales generales f() = f, f() = f. 4

127 Apéndices. Autovalores de matrices definidas por bloques Consideremos la matriz M = ( A B donde A es una matriz de n n, B de m m y denota matrices nulas, tales que M es de (n + m) (n + m). Estas matrices aparecen frecuentemente en diversos problemas, representando por ejemplo dos sistemas A y B independientes. Es fácil ver que para hallar los autovalores y autovectores de M, basta con obtener los autovalores de A y de B por separado, y luego unir ambos conjuntos, completando con ceros los autovectores correspondientes: ( ) ( ) ( ) A X X AX = λ A X = λ A B BY = λ B Y ( A B ) ) ( Y ) ( = λ B Y Estas expresiones muestran que todo autovalor y autovector de A o B origina un autovalor y autovector de M. Además, hemos visto antes que det M = det A det B y por lo tanto, det[m λi] = det [A λi] det[b λi] () La ecuación característica det[m λi] = es entonces det [A λi] det[b λi] =, por lo que toda raíz λ debe ser necesariamente raíz del primer o segundo factor, es decir autovalor de A o B. Y si λ es autovalor de M, el sistema homogéneo (M λi)( X Y ) = para obtener los autovectores se reduce a dos sistemas independientes: (A λi)x = y (B λi)y =. Si λ es autovalor de A y no de B, el segundo sistema tendrá sólo la solución trivial Y =, por lo que los autovectores serán de la forma ( X ), y si λ es autovalor de B y no de A, los autovectores serán de la forma ( Y ). Y si λ es autovalor de A y de B, sigue siendo posible elegir autovectores de la forma ( X ) y ( Y ), que formen una base del espacio propio. Ejemplo: Consideremos la matriz M = 2 2 ( ) Para hallar sus autovalores y autovectores, obtenemos primero los de A =, que son λ A =, λ A 2 = 2, con autovectores X ( ) y X 2 ( ), (probar!) y luego los de B = ( 2 2 ), que son λ B = 3, λ B 2 =, con autovectores Y ( ), Y 2 ( ). ) 4

128 Los autovalores y autovectores de M serán entonces λ =, V, λ 2 = 2, V 2, λ 3 = 3, V 3, λ 4 =, V 4 Si algún autovalor de B de multiplicidad coincidiese con alguno de A de multiplicidad, ese autovalor tendrá en M multiplicidad algebraica y geométrica 2. Una base del espacio propio asociado estará formada por la unión de los autovectores asociados ( X ) y ( Y ). En general, la multiplicidad algebraica de un autovalor λ en M será la suma de las multiplicidades algebraicas en A y B, y lo mismo rige para la multiplicidad geométrica. Problemas:. En base a los resultados anteriores, determinar los autovalores y una base de los espacios propios asociados de las matrices a) M = c) M = Para pensar: Discuta el caso en que M = b) M = d) M = ( A C B con A de n n, B de m m y C de n m. Los sistemas A y B ya no son independientes. Muestre sin embargo que la ecuación () sigue siendo válida, por lo que los autovalores de M siguen siendo los de A y B: Para hallar los autovalores basta nuevamente con hallar los de A y B. No obstante, muestre que si bien los autovalores de A darán origen a autovectores ( X ) de M que dependen sólo de A, los autovectores de M asociados a autovalores de B dependerán en general también de A y C, y pueden incluso no existir si el autovalor asociado es también autovalor de A. 3. Determine los autovalores y autovectores de M = )

129 2. Polinomio de Taylor en varias variables. Forma diagonal Consideremos un campo escalar F : R n R, es decir, una función que asigna a cada vector r = (x,..., x n ) R n un número real F (r) = F (x,..., x n ). Asumiendo que poseea derivadas parciales de todo orden continuas en una región r a < R, con a = (a,..., a n ), se define el polinomio de Taylor de grado k como P k (r) = F (a) + i k! F (a)(x i a i ) + 2 F (a)(x i a i )(x j a j ) () x i 2! x i,j i x j k F (a)(x i a i )(x i2 a i2 )... (x ik a ik ) (2) x i x i2... x ik i,i 2,...,i k donde F x i (a) = F x i r=a y las sumas sobre i, j, i,... i k corren entre y n. Este polinomio ajusta todas las derivadas parciales de F hasta orden k en r = a, reduciéndose en el caso de una dimensión (n = ) al polinomio Taylor ya estudiado. Para r cercano a a, la diferencia F (r) P k (r) es pequeña, con F (r) P k (r) = O( r a k+ ). Los tres primeros términos () del desarrollo constituyen el polinomio de Taylor de segundo orden P 2 (r). Mediante el gradiente F (r) = ( F x,..., F x n ) y la matriz Hessiana H(r) = 2 F x 2. 2 F x n x 2 F x x F x x n F x n x F x 2 n de n n, este polinomio puede escribirse en la forma compacta (3) P 2 (r) = F (a) + F (a) (r a) + 2 (r a)t H(a)(r a) (4) donde en el último término hemos considerado a (r a) como matriz columna (n ) y a (r a) T matriz fila ( n). Por ejemplo, para n = 2 y r = (x, y), a = (a x, a y ), este término resulta ( 2 F (r 2 a)t H(a)(r a) = (x a (a) 2 F x 2 x, y a y ) (a) ) ( ) 2 x y x ax 2 F (a) 2 F (a) y a y x y 2 y [ ] = 2 F (a)(x a 2 x 2 x ) F (a)(x a x y x)(y a y ) + 2 F (a)(y a y 2 y ) 2 = 2! i,j 2 F x i x j (a)(x i a i )(x j a j ) en acuerdo con (). Hemos asumido 2 F = 2 F en r = a, propiedad válida cuando ambas x y y x derivadas cruzadas existen y son continuas. En las condiciones anteriores ( 2 F x i x j = 2 F x j x i i, j) la matriz Hessiana H(a) es real y simétrica, por lo que puede ser diagonalizada mediante una matriz ortogonal R formada por autovectores v i ortogonales y normalizados de H(a): R = (v,..., v n ), con H(a)v i = λ i v i, i =,..., n { i = j v i v j = i j 43

130 De esta forma, R satisface R = R T, R T H(a)R = λ... λ (5)... λ n donde λ,..., λ n son los autovalores de H(a). Reemplazando ahora r a = R(r a ), (r a) T = (R(r a )) T = (r a ) T R T, se obtiene la forma diagonal 2 (r a)t H(a)(r a) = 2 (r a ) T (R T H(a)R)(r a ) = n λ i (x i a 2 i) 2 (6) donde r = R T r y a = R T a denotan las coordenadas de r y a en la base de autovectores: x. x n i= = R T x. x n (7) Se puede siempre elegir el signo de los autovectores tal que Det(R) = +, en cuyo caso la matriz R representa una rotación y (x,..., x n) serán las coordenadas respecto de un sistema de ejes ortogonales rotado respecto del original. En estas coordenadas, la matriz Hessiana es entonces diagonal: { 2 F (a) = (R T λi i = j H(a)R) x ij = i x i j j como puede verificarse utilizando la forma diagonal (6) o aplicando (7) y regla de la cadena. Hemos así probado que existen siempre n ejes ortogonales para los que la matriz Hessiana H(a) respecto de las coordenadas asociadas resulta diagonal. Estos ejes se denominan usualmente ejes principales (de la forma cuadrática r T H(a)r). La forma diagonal (7) permite ver que si λ i > i, F será cóncava hacia arriba en a en todas las direcciones, como en el caso en que a es un mínimo local, mientras que si λ i < i, F será cóncava hacia abajo en a en todas las direcciones, como en el caso en que a es un máximo local. En general, F será cóncava hacia arriba en las variables x i asociadas a autovalores λ i >, y cóncava hacia abajo en las variables x i asociadas a autovalores λ i <. Si algun autovalor λ i es nulo, se deben utilizar derivadas de orden superior u otros métodos para determinar la concavidad respecto de x i. Ejercicio: Considere la función F (x, y) = e x2 y 2 ( x 2 y 2 2αxy) ) Muestre que para a =, ( 4 2α F () =, F () =, H() = 2α 4 44 )

131 2) Muestre que H() tiene autovalores λ = 2(2 + α), λ 2 = 2(2 α) con autovectores normalizados v = ( )/ 2, v 2 = ( )/ 2. 3) Pruebe que si R = ( ) 2 entonces R T R = ( ) (, R T λ H()R = λ 2 4) A partir de los resultados anteriores, muestre que el polinomio de Taylor de F de grado 2 alrededor de a = es ) P 2 (x, y) = 2(x 2 + y 2 + αxy) = + 4 2α (x, y)( 2 2α 4 )( x y) = + 2 (x, y )( λ λ 2 )( x y ) = (2 + α)x 2 (2 α)y 2 (8) donde ( ) ( ) x x y = R T = y ( x + y x + y ) / 2 5) Muestre que R representa una rotación de 45 o en sentido antihorario, y que por lo tanto, x, y, son las coordenadas respecto de ejes rotados 45 o en sentido antihorario respecto de los ejes originales. 6) A partir de la forma diagonal (8) y la anulación del gradiente, concluya que = (, ) es un máximo local de F si α < 2 y un punto silla de F si α > 2. En particular, si α > 2, F es en el origen cóncava hacia abajo en x y hacia arriba en y. Que sucede en el caso α = 2? 7) Analice de la misma forma los otros puntos críticos de F. La figura muestra el gráfico de F cerca del origen para dos valores de α. 45