Utilizar la racionalización de numeradores o denominadores para eliminar radicales.

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Enrique Lagos Alvarado
hace 6 años
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1 DEPARTAMENTO DE CIENCIAS MATEMÁTICAS Iniciación al Cálculo Racionalización Presentación La racionalización es una operación que permite eliminar raíces de numeradores o denominadores. Para ello, se utilizan las reglas de las potencias las de factorización. Para racionalizar una fracción, se debe multiplicar el numerador el denominador por un factor que elimine la raíz o las raíces, bien sean del numerador o del denominador. La nueva expresión debe ser equivalente a la que se tenía inicialmente. Este módulo tiene los siguientes objetivos: Objetivo general Aplicar reglas de potenciación factorización para eliminar raíces de fracciones aritméticas algebraicas bien sea del numerador o del denominador. Objetivos específicos Utilizar la racionalización de numeradores o denominadores para eliminar radicales. Utilizar la racionalización, cuando sea necesario, para simplificar o reescribir una expresión algebraic Los conceptos expuestos los ejercicios planteados son básicos para comprender conceptos fundamentales del Cálculo de las Matemáticas en general. El tiempo estimado para la solución del taller es de tres () horas. En su estudio solución le deseamos muchos éxitos.

2 . Racionalización de un monomio a Para racionalizar un monomio de la forma m, con a 0, m b n Z+, n Z +, m > n, se debe multiplicar el numerador el denominador de la fracción por la raíz del denominador cuo radicando se eleva a la diferencia entre el índice el exponente. Si el exponente es maor que el índice, antes de racionalizar se simplifica la raíz. Ejemplos Racionalizar el denominador de la fracción. En este caso el índice de la raíz es el exponente es. Por lo tanto, la diferencia entre el índice el exponente es =. Luego, en el numerador el denominador de la fracción se debe multiplicar por. = = = = En la anterior expresión la fracción de la izquierda la de la derecha son iguales numéricamente (comprobarlo). Racionalizar el numerador de la fracción En este caso, el índice de la raíz es 5 el exponente es. Por lo tanto, la diferencia entre el índice el exponente es 5 =. Luego, en el numerador el denominador de la fracción se debe multiplicar por = = = Racionalizar el denominador de la fracción. En este caso, el índice de la raíz es el exponente es 5 5. Por lo tanto, la diferencia entre el índice el exponente es 5=. En este caso, es conveniente simplificar la raíz. = 5 = = Como se puede observar, el factor racionalizante es, por lo tanto Racionalizar el numerador de el factor racionalizante es x. = 5 = = = () = x. En este caso, el índice de la raíz es la potencia es. Por lo tanto, x x x x = x = x = x x

3 Aquí se debe tener en cuenta que x no puede tomar el valor de cero (0) para todas las fracciones que involucren raíces en el denominador. Cuando el numerador el denominador tienen varios productos con raíces se procede de igual manera, como se muestra en el siguiente ejemplo. e. Racionalizar el denominador de 5 7. El factor racionalizante de la primera raíz es 5 el de la segunda es 7. Al multiplicar el numerador el denominador por estos factores se obtiene 5 7 = = = 5 7 = 5 7 (7) Ejercicio Al racionalizar el denomidor del monomio obtiene 5, se Ejercicio Al racionalizar el numerador del monomio x 7, para x 0, se obtiene 7x x 7x x x 7 x 7x ( x). Racionalización de binomios con raíces cuadradas En muchos ejercicios aparecen expresiones de la forma a x+b o a x b en los numeradores o denominadores. Para simplificarlas, se requiere encontrar factores que permitan reescribirlas en forma equivalente, sin raíces en el numerador o denominador.

4 Para encontrar dichos factores se parte de la diferencia de cuadrados x =()(x+). Si x e son números positivos, se puede escribir como una diferencia de cuadrados de la siguiente forma: =( x )( x+ De esta forma, se tiene que si en una fracción aparece: x el factor racionalizante es x+. x+ el factor racionalizante es x. Ejemplos Racionalizar el denominador de la fracción x x. Solución El término que aparece en el denominador es x, por lo tanto el factor racionalizante es x+, de donde x x = La expresión es valida para x Racionalizar el numerador de la fracción Solución x( x+ ) ( x )( x+ ) = x( x+ ) ( x) ( ) = x( x+ ) x+5 7 El término que aparece en el numerador es x+5, por lo tanto el factor racionalizante es x 5, de donde x+5 7 = ( x+5)( x 5) 7( x 5) = ( x+5)( x 5) 7( x 5) = ( x) 5 7( x 5) = x 5 7( x 5)

5 Ejercicio Al racionalizar el numerador de la expresión se obtiene x x ( + x) x ( + x) ( + x) x + x. Racionalización de binomios con raíces cúbicas Al racionalizar fracciones en las que aparecen términos como x, x+, x + x + o x x +, se deben encontrar factores que eliminen las raíces, bien sea del numerador o del denominador. Para encontrar los factores correspondientes que eliminan las raíces, se deben tener presente las fórmulas de la suma o diferencia de cubos. Para la suma de cubos: x + =(x+)(x x+ ) x+=( x+ )( x x + ) Para la diferencia: x =()(x + x+ ) =( x )( x + x + ) Si en la fracción aparece x+, el factor racionalizante es x x + x, el factor racionalizante es x + x + x x +, el factor racionalizante es x+ 5

6 x + x +, el factor racionalizante es x Ejemplos Racionalizar el denominador de la expresión x. Solución En el denominador aparece la expresión x, que se puede reescribir en forma equivalente como x 8, por lo tanto el factor racionalizante es x + x 8+ 8, de donde x = = ( x + x 8+ 8 ) x 8 ( x 8)( x + x 8+ = ( x + x 8+ 8 ) 8 ) ( x) ( = ( x + x 8+ 8 ) 8) x 8 = ( x + x+) x 8 Racionalizar el numerador de la expresión x x+ 5. Solución En el numerador de la expresión aparece x x+ por lo que el factor racionalizante es x+, de donde x x+ 5 = ( x+)( x x+) 5( = x+ x+) 5( x+) Ejercicio Al racionalizar el denominador de la expresión, se obtiene + x (9+ x+ x ) 7+x ( x+ x ) ( x) (9 x+ x ) 7+x ( + x+ x ) x. Racionalización de binomios con raíces de índice maor a tres En algunos ejercicios de cálculo se presentan algunos binomios con índices maores a tres, para racionalizar fracciones en los que aparecen estos tipos de binomios, en la que n Z +, ha que tener en cuenta que x+=(x n n + n)(x n x n n n n n + x n n... x n n + n n ) 6

7 =(x n n n)(x n + x n n n n n + x n n +...+x n n + n n ) Para n= se tiene: x+=(x + )(x x + x ) =(x )(x + x + x + ) Para n=5 se tiene: x+=(x 5 + 5)(x 5 x x 5 5 x 5 5 5) =(x 5 5)(x 5 + x x x ) Ejemplo Racionalizar el denominador de 5 x. Solución La expresión 5 x se puede escribir como 5 x 5 = x 5 +() 5 su factor racionalizante es x 5 + x 5() 5 + x 5() 5 + x 5() 5 +() 5, luego 5 x = 5 x 5 = x 5 +() 5 = (x 5 + x 5() 5 + x 5() 5 + x 5() 5 +() 5) (x 5 +() 5)(x 5 + x 5() 5 + x 5() 5 + x 5() 5 +() 5) = (x 5 + x 5 + x 5 + 8x 5 + 6) x 5. Ejercicios. Al racionalizar el denominador de la expresión 7 7 7

8 Al racionalizar el denominador de la expresión 6 x x x x x x x x. Al racionalizar el denominador de la expresión Al racionalizar el denominador de la expresión Al racionalizar el numerador de la expresión x+ x+ x x 6. Al racionalizar el numerador de la expresión a b b a b a a b 8

9 a b 7. Al racionalizar el numerador de la expresión a b a b ab a ab b a b b ab 8. Al racionalizar el numerador de la expresión b+ b+ ( b ) ( b+) b b 8 9. Al racionalizar el denominador de la expresión Al racionalizar el denominador de la expresión Al racionalizar el denominador de la expresión

10 . Al racionalizar el denominador de la expresión x 5 x x 5 x 5 x x. Al racionalizar el denominador de la expresión 5x x 8 5 x x 5 x 5 x 5 x x. Al racionalizar el denominador de la expresión 5 5. Al racionalizar el denominador de la expresión Al racionalizar el denominador de la expresión 5m 7 m m m 5 7 m m 5 7 m m 0

11 5 m m 7. Al racionalizar el denominador de la expresión 0 5 0( 5+) 5( 5 ) 5( 5) 5( 5+) 8. Al racionalizar el denominador de la expresión ( 5+) ( 5 ) 8( 5+) 9. Al racionalizar el denominador de la expresión ( 5+) 0. Al racionalizar el denominador de la expresión ( 7+ 5) 6( 7 5) ( 7 5) ( 7 5). Al racionalizar el denominador de la expresión + 5 ( 5 ) ( 5 ) ( 5) ( 5+ ). Al racionalizar el denominador de la expresión

12 Al racionalizar el denominador de la expresión x ( x+ ) ( x ) ( x+ ) ( x+ ) x+. Al racionalizar el denominador de la expresión ( ) + ( +) + ( +) ( ) 5. Al racionalizar el denominador de la expresión 5 x+ 5( x+ ) x+ 5( x ) x+ 5( x ) 5( x+ ) 6. Al racionalizar el denominador de la expresión x ( x ) x+ ( x+) x+ ( x ) x ( x+) x 7. Al racionalizar el denominador de la expresión x+

13 ( x+ ) ( x ) ( x ) x+ ( x ) 8. Al racionalizar el denominador de la expresión 5x 0 x 5( x+) x 5( x+) x 5( x ) 5( x+) 9. Al racionalizar el denominador de la expresión x+ x x + x x x+ x+ x + x x+ x+ x + x x+ 0. Al racionalizar el denominador de la expresión x+ x x + x x x+ x+ x + x x+ x+ x + x x+. Al racionalizar el denominador de la expresión a b a a b+ b a b a + a b+ b a+b a a b+ b a+b a + ab+ b a b

14 . Al racionalizar el denominador de la expresión 5x 5 x 5( x + x+) 5( x x+) 5( x + x ) 5( x x ) a b. Al racionalizar el denominador de la expresión a ab+ b a b a+b a b a+ b x. Al racionalizar el denominador de la expresión x + x+ ( x+) ( x ) a b x 6. Bibliografía. Zill, D. G., & Dewar, J. M. (008). Precálculo con avances de cálculo. McGraw-Hill Interamerican. James, S., Redlin, L., Watson, S., Vidaurri, H., Alfaro, A., Anzures, M. B. J., & Fragoso Sánchez, F. (007). Precálculo: matemáticas para el cálculo. México: Thomson Learning, 87.. Leithold, L., & González, F. M. (998). Matemáticas previas al cálculo: funciones, gráficas geometría analítica: con ejercicios para calculadora graficador Oxford Universit Press.. Sullivan, M. (998). Precálculo. Pearson Educación.

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