La Socioepistemología en la Graficación del Discurso Matemático Escolar

Transcripción

1 La Socioepisemología en la Graficación del Discurso Maemáico Escolar Francisco ordero invesav del IPN México Socioepisemología. Nivel Superior Resumen onsiderando varias invesigaciones sobre la graficación en el discurso maemáico escolar con la perspeciva socioepisemológica, se desaca cómo es que el esudio de usos y desarrollo de prácicas de la graficación responde a la demanda de hacer funcional al conocimieno maemáico. En consecuencia oriena sobre nuevas concepciones de enseñanza y aprendizaje, necesariamene ensando aquellas perspecivas en enfocadas a las habilidades con aquellas, presumiblemene, enfocadas a las resignificaciones. Inroducción Los sisemas educaivos no han logrado hacer de la maemáica un conocimieno funcional (en conra pare al conocimieno uiliario). Tal vez porque los modelos del conocimieno que ocupa la didácica de la maemáica esán anclados al dominio maemáico y en consecuencia a los concepos del mismo. Sin embargo, el conocimieno, el pensamieno, la comprensión del mundo, a pesar de ser un aspeco necesario de la acividad humana, no logra por sí mismo modificar el objeo. Es algo así como concebir equivocadamene que al aspeco sea la verdadera esencia de la vida humana. En ese senido convenimos en dos aspecos: (a) que la maemáica funcional es aquel conocimieno maemáico que deberá inegrarse a la vida para ransformarla, reconsruyendo significados permanenemene (coninuamene) en la vida. Esa funcionalidad no se podrá alcanzar en el sisema educaivo sino se amplían los modelos de conocimieno que ocupa la didácica de las maemáicas. Es necesario enender que la maemáica se ha desarrollado porque ha esado al servicio de oros dominios cieníficos y de oras prácicas de referencia, donde se ha resignificado a ésa. Para ello, debemos incorporar o crear modelos del conocimieno maemáico que rindan cuena de lo que consiuye su conenido y poner al descubiero las causas reales del desarrollo social de al conocimieno. Y (b) que el volumen y el carácer de los conocimienos adquiridos por el hombre viene deerminado por el nivel de desarrollo de las prácicas sociales, es decir, por el grado de su dominio sobre el mundo exerior. on esas consideraciones, la problemáica de enseñanza y aprendizaje de la maemáica genera fenómenos didácicos en orno a la ausencia de marcos de referencia que ayuden a resignificar el conocimieno maemáico. Por ello, la prácica social es fundamenal en la socioepisemología, es un elemeno eórico que oriena y norma las episemologías en cuesión. onsiuye el medio para esudiar el conocimieno maemáico escolar. Ese medio iene como función señalar oras dimensiones que no son explícias en la meáfora de la acividad maemáica como son las prácicas en lo social y las argumenaciones en lo siuacional (Buendía y ordero, 2004). En ese senido daremos un ejemplo considerando varias invesigaciones sobre la graficación en el discurso maemáico escolar con la perspeciva socioepisemológica. Desacaremos cómo es que el esudio 477

2 Aca Lainoamericana de Maemáica Educaiva Vol.18 de usos y desarrollo de prácicas de la graficación nos acerca más a la maemáica funcional, pero ambién nos oriena sobre nuevas concepciones de enseñanza y aprendizaje, necesariamene, ensando el problema de habilidades con el problema de resignificaciones. El uso de las gráficas. Un ejemplo Hemos enconrado evidencias sobre prácicas argumenaivas gráficas en diversas siuaciones, donde son resignificadas al debair enre la función y forma de la graficación. El hallar la reca angene, el predecir la posición de un móvil y el dilaar una gráfica son siuaciones donde se resignifica el concepo de derivada, generando prácicas argumenaivas gráficas diversas. Tales prácicas se desarrollan al debair enre la función y forma de las gráficas. Por ejemplo, el límie de un cociene se resignifica a ravés de la predicción, la graficación y la analiicidad: la derivada y la reca angene debaen conra la comparación de dos esados y la sucesión simulanea de las derivadas (Buendía y ordero, 2004; 2004), pero ambién debaen conra la variación de parámeros y el comporamieno endencial (Domínguez, 2003, ampos, 2003, Rosado, 2004). Sin embargo, semejane hecho no componen ningún eje didácico, ni para las gesiones de siuaciones de enseñanza y ni para el currículo escolar. Por ello esamos proveyendo indicadores para el rediseño del discurso maemáico escolar, por una pare, desarrollando siuaciones didácicas donde la graficación juega el papel de argumenación maemáica (ordero, 2003; Rosado, 2004; ampos, 2003; Domínguez, 2003), y por ora pare, fundamenando episemologías donde la graficación es apreciada como una prácica social que genera conocimieno del álculo (ordero, 2003). Las invesigaciones al respeco se han enfocado al esudio de uso de las gráficas en la obra maemáica y en el discurso maemáico escolar. El nivel de avance hasa el momeno ha consisido en analizar cieros aspecos de la obra de Oresme (1379) (Suárez, 2002) y de Euler (1748), y de los libros de maemáicas del Nivel Básico, Medio Superior y Superior (Flores y ordero, 2004). A coninuación señalamos una serie de resulados significaivos al respeco. a) Graficación-Modelación-Predicción. Se han logrado relacionar las prácicas de graficación, de modelación y de predicción, donde el comporamieno de las curvas o funciones anicipa endencias de comporamieno ano localmene como globalmene: la derivada es resignificada en la linealidad del polinomio (Rosado, 2004), la asinoicidad es resignificada a ravés de comparar las formas de comporamieno enre dos funciones ( lím( f g) 0 ) y comparar la f rapidez de comporamieno enre dos funciones ( lím 1) (Domínguez, 2003), así como x g resignificar a las ecuaciones diferenciales lineales con coeficienes consanes como un modelo de esabilidad (Solís, 2002), y el movimieno local es resignificado en el movimieno periódico (Buendía y ordero, 2004). b) Siuación de la linealidad del polinomio. La siuación desaca el uso de la graficación de los paricipanes, cuya episemología modela la prácica de graficación y no el concepo de derivada (ver figura 1). La función de la gráfica en la siuación consise en generar el comporamieno endencial deerminado por la pare lineal del polinomio, lo que viene siendo la resignificación de la derivada. El procedimieno generado consise en, primero, razar la reca (pare lineal del polinomio) y después la curva buscando el comporamieno endencial x 478

3 La Socioepisemología en la Graficación del Discurso Maemáico Escolar del polinomio con relación a la reca razada. Tal procedimieno debae conra el razo de la reca angene, cuya forma consise de una secuencia de concepos: dibujar la gráfica de la función, señalar un puno sobre la gráfica y razar la reca angene en ese puno (Rosado, 2004 y ordero, 2004). b) a) c) d) Figura 1.b. Descripción del comporamieno gráfico Figura 1.a. Las gráficas y las pendienes de la pare lineal del polinomio Figura 1. Uso de la graficación en la linealidad del polinomio c) El uso de las gráficas en Oresme. En Oresme, (Tracaus de configuraionibus qualiaum e mouum: 1379) enconramos la función y la forma de la gráfica diferene a la de las gráficas caresianas (Suárez, 2002). Oresme se propuso represenar a ravés de figuras geoméricas (recángulos y riángulos) el modo en que las cosas varían. Parió de la idea que el insane de una canidad coninua es represenado por un segmeno recilíneo y que la medida de los insanes es represenada por la medida de esos recilíneos de insane. Además, considera que oda cosa medible, excepo los números, se puede imaginar como una forma de canidad coninua. La función y forma de las figuras (gráficas) no consisía en describir la posición de los punos respeco de coordenadas recilíneas, sino que las figuras mismas eran la cualidad de la canidad coninua, en ese senido las figuras geoméricas adquirían un significado global. Las propiedades de la figura podían represenar propiedades inrínsecas a la misma cualidad. Tal vez por ello, Oresme resignifica las figuras geoméricas para esablecer diferenes ipos de variación (figura 2): usa un recángulo para represenar una variación uniformemene uniforme (ver figura 2.a); un riángulo o rapecio para represenar una variación uniformemene deforme (ver figura 2.b); y una figura irregular para represenar una variación deformane deforma (ver figura 3.c. 479

4 Aca Lainoamericana de Maemáica Educaiva Vol.18 Figura 2.a. Variación uniformemene uniforme Figura 2.b. Variación uniformemene deforme Figura 2.c. Variación deformane deforma Figura 2. Figuras geoméricas con cualidad de la canidad coninua c) El uso de las gráficas en Euler. Euler, en su Inroducción al Análisis del Infinio (1748), nos ofrece un uso de las gráficas para deerminar que las propiedades analíicas de las funciones son inrínsecas a las curvas: la función de la gráfica consise en caracerizar el comporamieno de la curva a ravés de las formas de las ramas que la componen. Por ejemplo, cuando deermina la propiedad asinóica de las funciones, caraceriza a la asínoa con relación a las curvas (Domínguez, 2003). Para ello acude a funciones ales como z, para k caracerizar el comporamieno de la curva a ravés de las formas de sus ramas (ver figura 3). Figura 3. Gráfica de la función z 2 Sí z, la curva iene dos ramas, EX y FY como en la figura 3, las cuales en los cuadranes 2 P y Q convergen a la línea reca XY. Lo mismo pasa si k es cualquier número impar, pero la convergencia de las ramas es an rápida como an grande es k. Euler define, por una pare, que cuando las curvas se aproximan a la línea reca del ipo XY, las cuales esarán cada vez más cerca de la línea reca, enconrándose sólo en el infinio, se les llaman curvas asinóicas. Y, por ora pare, define que cuando las dos ramas de la curva van al infinio y que cada una se 480

5 La Socioepisemología en la Graficación del Discurso Maemáico Escolar aproxima a la misma reca, a ésa se le llama asínoa. Además, k no sólo da el número de ramas que convergen a la línea reca, sino ambién el parón de comporamieno. Euler usa las gráficas como curvas compuesas de ramas con comporamieno y forma. En ese senido la asinoicidad es un comporamieno al infinio inrínseco de las ramas de cieras curvas. Eso alude a que el comporamieno iene forma y en consecuencia pudiera ayudar a resignificar a la línea reca asínoa como asínoas curvilíneas. Ese aspeco es imporane porque el esaus episemológico de lo asinóico en el discurso maemáico escolar adviere del privilegio de la asínoa de una función como una reca (Domínguez, 2003). abe señalar que los segmenos como los de la figura 3, XY y D no son lo ejes caresianos para ubicar en el plano a la gráfica de la función z, son los marcos de referencia para resignificar el comporamieno de las 2 curvas. d) Uso de las gráficas en los libros de exo. Las gráficas en los libros de exo pasan por diferenes funcionamienos y formas desde el uso de la hoja de papel en los niveles educaivos básicos para esablecer orienaciones y simerías, el uso de las cuadrículas para esablecer rayecorias y reproducirlas (Libros de exo grauio: SEP ; Flores, 2004), el uso del plano y de los ejes caresianos, los privilegios del primer cuadrane, los sisemas auónomos del iempo, las diferencias de usos enre las curvas y las gráficas de las funciones (ampos, 2003). Las gráficas caresianas aparecen explíciamene, pero moderadamene, por primera vez en quino y sexa año de Primaria. En Secundaria se perciben diferenes funcionamienos y formas de las gráficas. Por ejemplo, considerando la definición geomérica de la reca euclidiana es represenada en el plano con ejes caresianos para favorecer cieros procedimienos para calcular las pendienes de las mismas recas, pero ambién ales gráficas (recas) son resignificadas para que a parir de ciera relación de daos numéricos se analice su disribución creando procedimienos para deerminar si al disribución es lineal (Flores y ordero, 2004). Los usos de las gráficas aneriormene veridos significan que la graficación pueda llevar a cabo múliples realizaciones y hacer ajuses en su esrucura para producir un parón o generalización deseable, es un medio que sopora el desarrollo del razonamieno y de la argumenación. La graficación en sí misma es un ipo de modelación que rasciende y se resignifica ransformando al objeo en cuesión (ordero, 2004). La argumenación gráfica en las diversas siuaciones de uso permie el coninuo, en un senido episemológico. Para que no se desruya se requiere alcanzar un esaus culural de la argumenación gráfica. De aquí la conveniencia de pensar a la graficación como una prácica social y eso es lo que endremos que saber desarrollar en el sisema educaivo. Para ello, hemos logrado ubicar a la argumenación gráfica en una siuación de ransformación donde los comporamienos de las figuras geoméricas, curvas, gráficas y funciones son resignificados generando procedimienos de variación de parámeros y consruyendo procesos y objeos de insrucciones que organizan comporamienos (ordero, 2004; Domínguez, 2003; ampos, 2003; Rosado, 2004; Buendía y ordero, 2004; y Suárez, 2002). 481

6 Aca Lainoamericana de Maemáica Educaiva Vol.18 onclusiones El esudio de usos y desarrollo de prácicas de la graficación nos acerca más a la maemáica funcional, pueso que nos ofrece indicadores para que el conocimieno se inegre y se resignifique permanenemene a la vida para ransformarla. Pero para lograr que impace en el sisema educaivo se requiere modificar el modelo de conocimieno que por una pare ha esado enfocado a los concepos y por oro lado, anclado al dominio maemáico. Todo ello, ha soslayado a las prácicas que han generado los concepos y deja de lado oros dominios de conocimieno que necesariamene inervienen para ampliar los senidos del conocimieno maemáico. El modelo del conocimieno enfocado a las prácicas sociales obligadamene ensará las acuales concepciones de enseñanza y aprendizaje, englobadas en el modelo de los concepos como un problema de habilidades para alcanzar los concepos, para abrir nuevas concepciones de enseñanza y aprendizaje, donde se consruyan los medios adecuados para que se desarrollen las prácicas sociales que generan el conocimieno maemáico, y que seguramene surgirán problemáicas en orno a las resignificación del conocimieno maemáico. Referencias Bibliográficas Buendía, G. y ordero, F. (2005). Predicion and he periodical aspec as generaors of knowledge in a social pracice framework. A socioepisemological sudy. Educaional Sudies in Mahemaics 58(3). ampos,. (2003) La argumenación gráfica en la ransformación de funciones cuadráicas. Una aproximación socioepisemológica. Tesis de Maesría no publicada, invesav, México. anoral, R. y Farfán, R. (2003). Mahemaics educaion: a vision of is evoluion, Educaional Sudies in Mahemaics 53(3), ordero, F. (2003). Reconsrucción de significados del cálculo inegral. La noción de acumulación como una argumenación. México: Grupo Ediorial Iberoamérica. ordero, F. (en prensa). La modellazione e la rappresenazione grafica nella maemaica scolasica. La Maemáica e la sua Didaica. Domínguez, I. (2003). La resignificación de lo asinóico en una aproximación socioepisemológica. Tesis de Maesría no publicada, invesav, México. Euler, L. (1990). Inroducion o Analysis of he Infinie (Libro II). Springer-Verlag (Trabajo original publicado en 1748) Flores, R. y ordero, F. (2004). Uso de las gráficas en el discurso maemáico escolar. Resúmenes de la Decimocava Reunión Lainoamericana de Maemáica Educaiva, México, 249. Oresme, N. (1988). Tracaus de configuraionibus qualiaum e mouum. (P. Souffrin y J.P. Weiss. Trads.). París, Francia: Belles Leres. (Trabajo original publicado en 1379) Rosado, P. (2004). Una resignificación de la derivada. El caso de la linealidad del polinomio en la aproximación socioepisemológica. Tesis de Maesría no publicada, invesav, México. Solís, M. (2002). Las nociones de predicción y simulación en ecuaciones diferenciales a ravés del comporamieno endencial de las funciones. En F. ordero (Ed.) Serie: Anologías Número 2. (pp ). México. Suárez, L. (2002). Acividades de simulación y modelación en el salón de clases para la consrucción de significados del álculo. Manuscrio en preparación. 482