Unidad 2: Modelos cuadráticos

Transcripción

1 Unidad 2: Modelos cuadráticos Áreas, perímetros y movimientos Para trabajar en clase Problema 1 ( ) Una soguita que mide 30 cm está unida por sus extremos. Sosteniéndola con cuatro dedos se puede tensar para formar distintos rectángulos. Investiguen: Hay un rectángulo que sea el de menor área de todos? Hay alguno que tenga mayor área que todos los demás? Problema 2 ( ) La ecuación de una misma función cuadrática se puede escribir de muchas formas equivalentes. Decidan si las siguientes expresiones corresponden o no a una misma función. a) f(x) = (x 4) (2x + 1) b) f(x) = (x 4) 2x + 1 c) f(x) = 2x 2 7x 4 d) f(x) = 2(x 7 4 ) Problema 3 ( ) Qué ocurre con la gráfica de y = ax 2 + bx + c cuando: a) a cambia mientras b y c permanecen fijos, b) b cambia mientras a y c permanecen fijos, c) c cambia mientras a y b permanecen fijos. Problema 4 ( ) Encuentren en cada caso, si es posible, la fórmula de una función cuadrática cuyo gráfico pase por los puntos dados. a) A = (1, 2), B = (2, 5) y C = (5, 1). b) A = (1, 2) y B = (2, 5) c) A = (1, 2), B = (2, 5) y C = ( 1, 4) Problema 5 ( números reales: ) Dadas las siguientes funciones definidas en el conjunto de los 19

2 a) Hallen el máximo o el mínimo valor que puede alcanzar cada una y determinen en qué valor de x lo alcanza: (i) f(x) = (x 3) 2 4 (ii) g(x) = 2(x 3) 2 4 b) Para cada una de las funciones anteriores, estudien si el gráfico de la función corta al eje x y en qué valores lo hace. Para practicar más sobre funciones cuadráticas Problema 6 Hallen una expresión de una función cuadrática que verifique que sus raíces son 2 y 3. Problema 7 Hallen una expresión de una función cuadrática que verifique que sus raíces son 2 y 3 y que además pase por el punto (1; 16). Problema 8 Hallen una expresión de una función cuadrática que verifique que su vértice es el punto (1; 2). Problema 9 Hallen una expresión de una función cuadrática que verifique que su vértice es el punto (1; 2) y que además pase por el punto (2; 5). Problema 10 Hallen una expresión de una función cuadrática f que verifique f(2) = f(8) = 4 y que su coeficiente principal sea 2. Problema 11 Hallen la función cuadrática que verifica f(1) = 2, f(3) = 6 y f(2) = 16. Problema 12 Obtengan la expresión de la función cuadrática, cuyo gráfico cumple las siguientes condiciones: a) Tiene vértice en el origen y pasa por (1; 3). b) Pasa por los puntos de coordenadas ( 1; 3), (1; 4) y (0; 0). c) Vértice en (0; 3) y pasa por (1; 1). d) Tiene raíces x = 2 y x = 4, y el coeficiente del término cuadrático es 1. Problema 13 Sabiendo que el eje de simetría de la función cuadrática f(x) = 3x 2 + bx 1 es la recta de ecuación x = 2 obtengan las coordenadas de los 3 puntos de intersección de la función cuadrática con la recta y 8x = 6. Problema 14 Completen: La función cuadrática cuyo gráfico corta al eje de ordenadas (eje y) en 10 y tiene raíces 1 y 5 tiene expresión en forma canónica, f(x) =... Problema 15 a) Hallen la expresión de una función cuadrática que verifique las siguientes condiciones: 20

3 su eje de simetría sea x = 3; su gráfico corte al eje x en 1 y su gráfico corte al eje y en -2. b) Grafiquen la función, indicando las raíces y el vértice. Problema 16 Sea f(x) la función cuadrática cuyo gráfico tiene vértice en (2; 18) y verifica f(0) = 10. a) Hallen la fórmula que la define. b) Hallen las raíces y realizar un gráfico aproximado de la función Problema 17 Hallen, si existen, las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola determinadas por y = (x 2) y la recta dada por y = x + 2. Representen gráficamente. Problema 18 Hallen, si existen, las coordenadas de los puntos de intersección de las parábolas determinadas por y = (x 2) y y = x(x + 2). Representen gráficamente. Problema 19 Consideren la función cuadrática dada por f(x) = x 2 + 3x + 4. a) Encuentren la ecuación de una recta que intersecte al gráfico de f en el punto (2, f(2)). b) Encuentren la ecuación de una recta que intersecte al gráfico de f solamente en el punto (2, f(2)). c) Son equivalentes los dos items anteriores? Expliquen por qué, ilustrando la explicación con los gráficos correspondientes. Para volver sobre los conceptos Problema 20 ( )Este problema se desarrollará a partir de una aplicación creada con GeoGebra. Pueden acceder a la misma en el Campus 1. a) Abran la aplicación LaPelotita.ggb y exploren un poco su funcionamiento. Qué observan? b) Dentro de un rato les propondremos responder una pregunta como la siguiente: A qué altura estará la pelotita... segundos después de su lanzamiento? 1 Este link conduce a 21

4 Como pueden observar a la pregunta le falta un dato. Ese dato se los daremos después. Pero, cuando llegue ese momento, ya no podrán usar la aplicación para lanzar pelotitas. Ahora disponen de un tiempo para realizar todas las investigaciones que les parezcan convenientes, de modo de estar preparados para responder, cuando ya no dispongan de la aplicación. c) Confeccionen una lista de preguntas acerca del fenómeno observado durante el experimento. Problema 21 En el problema anterior el cañón que disparaba la pelotita estaba a una cierta altura por encima del piso. En el sistema de referencia que veían en la aplicación de GeoGebra la posición del cañón era la altura 0. a) Cómo se modifica la ecuación que describe la altura de la pelotita en función del tiempo si consideramos que la altura 0 es la del piso? b) En qué momento estará la pelotita a 3 m del piso? Problema 22 Una pelotita como la del problema anterior fue lanzada hacia arriba desde cierta altura y fue filmada. Pausando el video se podía apreciar a qué altura estaba en cada instante de tiempo. Con esa información se confeccionó una tabla con datos y se graficaron: Tiempo [s] Altura [m] a) Identifiquen en la tabla los instantes en los que la pelotita estaba subiendo y los instantes en los que estaba bajando. b) Construyan la función cuadrática que mejor modeliza este experimento. c) Desde qué altura fue lanzada la pelotita? d) Cuál fue la mayor altura que alcanzó? e) Cuánto tiempo transcurrió desde que fue lanzada hasta que cayó al suelo? 22

5 Problema 23 Una bolita de vidrio es lanzada hacia arriba desde 1 m de altura y con una velocidad de 15 m/s. Si la variable t representa el tiempo (medido en segundos), la altura (en metros) a la que estará la bolita en cada instante viene dada por la fórmula f(t) = 5t t + 1 a) A qué altura del piso estará la bolita 0,5 s después de ser lanzada? b) A qué altura estará 2 s después de ser lanzada? c) Se puede asegurar que la bolita estuvo ascendiendo durante los primeros dos segundos desde que fue lanzada? d) Observen que, para esta función, es f(0) = 1. Qué significa esta información en el contexto del problema? e) Observen que f(3) = 1 y f(4) = 19 Qué significan estos valores en el contexto del problema? f) Cuánto tarda la bolita en llegar al piso? Problema 24 a) Decidan a cuál de los siguientes gráficos puede corresponder la descripción del recuadro. (i) (iii) (ii) (iv) 23

6 El Móvil 1 y el Móvil 2 partieron al mismo tiempo, pero desde distintas posiciones, viajando uno hacia el otro. El Móvil 1 llevaba velocidad constante, pero el Móvil 2 iba frenando. Finalmente, el Móvil 2 se detuvo y comenzó a regresar sobre sus pasos. Apenas después de comenzar el regreso, el Móvil 1 lo alcanzó. b) Para cada uno de los otros tres gráficos, escriban una descripción similar que se ajuste a lo nos muestran. Problema 25 Dos móviles se desplazan de manera que para cada instante de tiempo t sus posiciones vienen dadas por: Móvil 1: f(t) = 1 4 t2 3 2 t Móvil 2: g(t) = 3 4 t 1 2 a) Se sabe que el Móvil 1 partió en el instante 0 y que el Móvil 2 partió desde la posición 0. Quién partió antes? b) En qué instantes y en qué posiciones se cruzaron? c) Cuando se cruzaron, estaban viajando uno hacia el otro o iban los dos en el mismo sentido? Apéndice de la Unidad 2: funciones polinómicas Problema 26 ( ) a) Lean el siguiente recuadro: En estas últimas dos unidades hemos estudiado en detalle las funciones lineales, que responden a fórmulas del tipo f(x) = mx + b y las funciones cuadráticas, que responden a fórmulas del tipo f(x) = ax 2 + bx + c Debido al valor del máximo exponente que aparece en las variables en cada una de estas funciones, se dice que las lineales son de grado 1 y las cuadráticas son de grado 2. Siguiendo de la misma manera, se puede pensar en una familia más general de funciones, donde los grados son más altos. Como irán apareciendo más términos y sería incómodo ir eligiendo distintas letras para nombrar a cada coeficiente, comenzaremos a nombrarlos de otra manera: a 0 será el término independiente, a 1 el coeficiente lineal (la pendiente 24

7 m de la recta), a 2 el coeficiente cuadrático y así sucesivamente. Con esta escritura las fórmulas quedarían así: Una función de grado 1 tendría la forma f(x) = a 1 x + a 0. Una función de grado 2: f(x) = a 2 x 2 + a 1 x + a 0. Una función de grado 3: f(x) = a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. Una función de grado 4: f(x) = a 4 x 4 + a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0. Y así sucesivamente. Por supuesto, el orden de los términos no importa. A veces conviene escribirlas así: Función de grado 1: f(x) = a 0 + a 1 x. Función de grado 2: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2. Función de grado 3: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3. Función de grado 4: f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4. Todas estas funciones, desde la de grado 0 (por ejemplo f(x) = 3) hasta las de grado n (f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n ) se llaman funciones polinómicas. También hemos estudiado el gráfico de las funciones lineales (es decir, las polinómicas de grado 1). El gráfico de una función lineal es una recta y hemos aprendido a conocer el aspecto de la recta interpretando los valores de los coeficientes m y b en la ecuación f(x) = mx + b. Del mismo modo, hemos estudiado el gráfico de las funciones cuadráticas (es decir, las polinómicas de grado 2). El gráfico de una función cuadrática es una parábola y hemos aprendido a conocer el aspecto de la parábola interpretando los valores de los coeficientes a, b y c en la ecuación f(x) = ax 2 + bx + c. Este problema nos servirá para investigar propiedades de los gráficos de distintas funciones polinómicas, en relación a sus fórmulas y también distintas formas equivalentes de escribir sus fórmulas. Los objetivos son los siguientes: (i) Ampliar nuestro repertorio de funciones y así contar con más recursos para modelizar problemas variados. (ii) Conocer las funciones polinómicas porque volveremos a ellas más adelante, al desarrollar otros temas de la materia. (iii) Poner en práctica un aspecto muy importante de la metodología de investigación científica: cuando un fenómeno que estamos investigando depende de muchas variables y queremos conocer cómo incide cada una de ellas en un fenómeno conviene dejar todas fijas y mover de a una por vez. b) Abran el archivo FuncionesPolinomicas.ggb. La idea es explorarlo y construir entre todos observaciones y afirmaciones que podamos comprobar o descartar para ir conociendo a estas funciones. 25

8 (i) Lean todos los items que vienen a continuación antes de empezar a actuar, porque no se supone que los deban cumplir siguiendo un orden, sino que deben tener todos presentes para ir completando a medida que se les ocurren las ideas. (ii) Mencionen en voz alta, ordenadamente, observaciones acerca de cómo funciona el archivo. Qué intervenciones puede hacer el usuario? Que información devuelve el archivo? Su docente irá ordenando las afirmaciones y las irá escribiendo en el pizarrón. (iii) Redacten afirmaciones sobre comportamientos observables, del tipo: Al mover el deslizador... ocurre..., Siempre que sucede... también sucede.... Su docente también las irá ordenando y las irá escribiendo en el pizarrón. (iv) Lean en el pizarrón afirmaciones de compañeros, interprétenlas e intenten poner a prueba mediante el archivo si son verdaderas o falsas. (v) Redacten preguntas que se les ocurran mirando el archivo, aunque no sepan cómo responderlas. (vi) Verifiquen, moviendo los deslizadores adecuados, que se cumplan las propiedades que ya conocen de las funciones lineales y cuadráticas. Problema 27 ( ) Utilicen las conclusiones del problema 26 para decidir cuál de los gráficos corresponde a cada una de las funciones polinómicas de grado 2 dadas. f(x) = (x + 2)(x 1) g(x) = (x + 2)(x 1) a) b) 26

9 c) d) Problema 28 ( ) Utilicen las conclusiones del problema 26 para decidir cuál de los gráficos corresponde a cada una de las funciones polinómicas dadas. f(x) = x 3 x g(x) = x 5 + x 4 x 3 x 2 a) b) c) d) Problema 29 ( ) La misma consigna que en los problemas anteriores, para las siguientes funciones y gráficos. 27

10 f(x) = (x + 1) 3 (x 1) g(x) = 2x 2 (x + 1)(x 1) 2 a) b) c) d) Problema 30 ( ) a) Verifiquen sus respuestas del Problema 29 ingresando en la Barra de Entrada de GeoGebra las funciones f(x) = (x + 1) 3 (x 1) y g(x) = 2x 2 (x + 1)(x 1) 2. b) Investiguen el comando Desarrolla[ <Función> ] para las funciones del ítem anterior. Cómo funciona ese comando? Cómo harían calculando con lápiz y papel lo que hace el comando? Problema 31 ( ) a) Dearrollen calculando con lápiz y papel las siguientes funciones polinómicas: (i) f 1 (x) = (x 5)(x 2)(x + 1). (ii) f 2 (x) = x(x + 2)(x 1). (iii) f 3 (x) = (x 3)(x + 3)(x + 1) 2. (iv) f 4 (x) = (x 5) 2 (x 2). 28

11 b) Observen las fórmulas de f 1, f 2, f 3 y f 4 dadas en el ítem anterior y las versiones desarrolladas obtenidas. A partir de cuál de esas versiones les resultaría más fácil dibujar un gráfico aproximado de las funciones? 29

12 Bibliografía 30