MN AB 2 MN 2 V. TABLA 1 I (ma)

Transcripción

1 DEFINICIÓN Se denomina Sondeo Eléctico a una seie de deteminaciones de la esistividad apaente efectuadas con el mismo tipo de dispositivo y sepaación ceciente ente los electodos de emisión y ecepción. Si el dispositivo es simético y pemanecen fijos el cento y el azimut, se denomina Sondeo Eléctico Vetical (SEV). Paa la obtención de los valoes de esistividad apaente, en el luga de medición se colocan en el suelo cuato electodos de contacto (A, M, N y B) coespondiendo A y B al cicuito de enegización (o de coiente), M y N al de ecepción (o de potencial), los que se disponen de acuedo a una de las dos modalidades existentes, denominadas de Schlumbege y de Wenne, vistas en el capítulo anteio. En ambos casos, las deteminaciones se hacen ampliando en pasos sucesivos la distancia ente A y B hasta llega al valo final equeido. Con el dispositivo Schlumbege los valoes de esistividad apaente (ρ a, en Ω.m) se calculan habitualmente mediante la fómula 45 o la siguiente: π ρa MN AB MN V = ( ) 4 I (5) en la que V es la difeencia de potencial ente los electodos M y N, en mv, cuando po el cicuito de emisión cicula una coiente I, en ma. En las mediciones de campo habitualmente se utiliza una planilla que contiene una tabla paecida a la Tabla y un gáfico bilogaítmico donde se van epesentando, mediante puntos, los valoes de ρ a (en Ω.m) en función de AB/, (fig. 39). AB/ (m) MN (m) TABLA I (ma) v (mv) ρ a (Ω.m) 4, 3,5 37,9 3 8,,4 4, 4 6,3 5,9 46,3 5 6,6 9,8 45,9 6,5 3,3 9,8 4,7 8 35,5 7, 4, 5,8 5,7 35, 3 5 7, 33, ,7 3,7 36 3, 9,5 5 / 85/6,7/ 8,7/34,6 3 / 76/69,7/8,3 3,/37,7 4 4, 4,5 5 7,4 5, ,9 66, , 76, 99 5,4 85, ρ a (Ω.m) MN = m MN=m AB/ (m ) Fig. 39 Cuva de esistividad apaente coespondiente a los valoes de la Tabla Siempe que se utilice el dispositivo Schlumbege la cuva tendá tantos tamos como valoes de MN utilizados. Que en el caso del ejemplo fueon dos: MN= y MN=. 3

2 Con el dispositivo Wenne los valoes de esistividad apaente (ρ a, en Ω.m) se calculan mediante la fómula (4): V ρ a = π a (4) I en la que V, I y ρ a tienen los mismos significados anteioes. La tabla empleada seá del tipo de la Tabla y el gáfico bilogaítmico simila al de la fig. 4. a (m) TABLA v I (ma) (mv) ρ a (Ω.m) 6, 6,5 9,5 3 3, 9,3 4,8 4,3 46,3 57,3 5 5,3 53,8 66,8 6,5 5, , 8 43,8 69,5 79,8 38, ,5 3 56,4 47, 68, 6 93, 49, 5,9 4 35, 35, ,8 7, ,, ,4 9, ,6 6, ,9 7, 8 89,8 8,8 39, 4,4 ρ a (Ω.m) CRA (Wenne) a (m) Fig. 4 Ejemplo de SEV con el Dispositivo de Wenne Como se obseva en los ejemplos anteioes, lo habitual es que la seie de valoes de los espaciamientos electódicos paa los que se efectúan de mediciones de la esistividad apaente sea lo más apoximado a una seie geomética, de modo que su epesentación sea equidistante en la escala logaítmica empleada. En los ejemplos, la epesentación implica diez puntos po ciclo logaítmico, en cuyo caso coesponde una azón geomética igual a (/) =.6. La finalidad de un SEV es aveigua, patiendo de la cuva de esistividad apaente de campo, la distibución vetical de la esistividad bajo el punto sondeado, poblema hato complicado, po lo que es inevitable ecui a los modelos simples, de elativamente fácil manejo matemático. Entonces, lo que se busca en la genealidad de los casos, es enconta un modelo de capas hoizontales y paalelas coheente con la cuva de campo y con los pesupuestos geológicos. Es deci, esolve el poblema inveso. Lo que en la mayo pate de los pocedimientos empleados equiee de la solución del poblema diecto, el que mediante pocedimientos matemáticos, pemite calcula las cuvas de esistividad apaente (cuva teóica) coespondientes a modelos pedeteminados de capas hoizontales y paalelas, homogéneas e isótopas. Un modelo de tales caacteísticas, constituye lo que se denomina habitualmente como cote geoeléctico, sobe cuya notación y nomenclatua tata el punto siguiente. Vaios cotes geoelécticos alineados según un pefil pueden coelacionase paa obtene una sección geoeléctica. 3

3 MEDIOS ESTRATIFICADOS. NOTACIÓN y NOMENCLATURA Se pate del supuesto de que el medio en que se ealizan las mediciones está compuestos po dos semiespacios sepaados po una supeficie plana hoizontal. El supeio, de conductividad nula, epesenta la atmósfea. El segundo epesenta el teeno y está confomado po capas homogéneas e isótopas, de extensión lateal infinita y sepaadas ente sí po supeficies paalelas al plano aie - teeno. aie σ = substato Fig. 4 Cote geoeléctico ρ ρ E E ρ n- E n- ρ n (este es el substato) Z = Z =E Z =E + E Z n- =E E n- Dado que la identificación de las capas se da en función de su esistividad, éste supuesto semiespacio infeio es denominado cote geoeléctico. Un cote geoeléctico de n capas queda identificado cuando se conocen sus n- paámetos (ρ,..., ρ n, E,..., E n- ) o ((ρ,..., ρ n, Z,..., Z n- ) Fig. 4 Nomenclatua del cote geoeléctico Los gáficos siguientes muestan cotes de dos, tes y cuato capas, dibujados en la misma plantilla bilogaítmica utilizada paa gafica las cuvas de esistividad apaente (CRA), en cuyo caso el eje vetical identifica "esistividades vedadeas" y el eje hoizontal "pofundidades" dando luga a gáficos de tazos ectilíneos denominados Cuvas de Resistividad Vedadea (CRV). En los cotes de dos capas las únicas posibilidades son: ρ a,, ρ (Ω.m) ρ > ρ ρ < ρ a los que les coespondeán CRV y CRA como las mostadas en la Fig 43.,, AB/ y PROF. (m) Fig. 43 Cotes de dos capas 33

4 Los cotes de tes capas (Figs. 44 y 45) suelen designase, en función de sus elaciones de esistividad, (cuado siguiente) según una nomenclatua popuesta po geofísicos usos, y utilizada en la mayo pate de las publicaciones efeidas al tema. Nomenclatua paa cuvas de tes capas Tipo K ρ < ρ > ρ 3 Tipo H ρ > ρ < ρ 3 Tipo A ρ < ρ < ρ 3 Tipo Q ρ > ρ > ρ 3 ρ a,, ρ ( Ω. m), Cote Tipo K Cuva cote Tipo K Cote Tipo H Cuva cote Tipo H, AB/ y PROF. (m) Esta nomenclatua ea necesaia paa la elaboación de catálogos de cuvas patón, los que fueon utilizados pofusamente antes de la genealización del uso de las computadoas pesonales, paa la obtención, po compaación y supeposición, de cotes geoelécticos patiendo de las cuvas de campo. Tales catálogos están compuestos po cuvas de tes capas, con los que, más la ayuda de gáficos auxiliaes, es posible intepeta cuvas de hasta 7, y excepcionalmente alguna más, capas. Los más conocidos en nuesto medio son los siguientes: ρ a, ρ (Ω.m), Fig. 44 Cotes de tes capas de tipo K y H Cote Tipo A Cuva cote Tipo A Cote Tipo Q Cuva cote Tipo Q, AB/ y PROF. (m) Fig. 45 Cotes de tes capas de tipo A y Q El de la Compagnie. Généale de Géophysique (955), con 48 cuvas de tes capas, cuya última edición fue publicada po la EAEG en 963. El de Oellana y Mooney paa el dispositivo Schlumbege (966) que contiene 5 cuvas de dos capas, 9 de tes y 48 de cuato, agupadas en una, 76 y 3 familias espectivamente, con ábacos auxiliaes e instucciones de empleo detalladas. El de la Rijwatestaat de Holanda, pepaadas po Van Dam y Meulempkamp, también editada po la EAEG (969). El de Oellana y Mooney paa el dispositivo Wenne (97) 34

5 Los cotes de cuato capas pueden designase con base en la nomenclatua anteio, según los ejemplos siguientes y epesentados en la Fig. 46. ρ < ρ > ρ 3 > ρ 4 Tipo KQ ρ > ρ < ρ 3 > ρ 4 ρ < ρ > ρ 3 < ρ 4 Tipo HK Tipo KH ρ a, ρ (Ω.m) ρ > ρ < ρ 3 < ρ 4 Tipo HA Po lo que, extendiendo este pocedimiento, podían designase igualmente cotes de cinco y más capas.,, AB/ y PROF. (m) Fig. 46 Cotes de cuato capas CORTES RECÍPROCOS Dos cotes de igual númeo de capas, que tienen iguales sus espesoes peo las esistividades coespondientes son invesas ente sí son consideados ecípocos. Una de sus caacteísticas es que sus CRV son siméticas especto del eje ρ= No ocue lo mismo con sus CRA, como se obseva en los gáficos de la Fig. 47 tanto como en las cuvas de dos capas del ábaco de la Fig. 5. ρ a,, ρ (Ω.m),, AB/ y PROF. (m) Fig. 47 Cotes ecípocos 35

6 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DIRECTO El poblema diecto de la Pospección Geoeléctica sobe medios estatificados es el de la deteminación del potencial poducido en la supeficie límite aie-tiea de un medio de este tipo po una fuente puntual de coiente situada en dicha supeficie. La solución encontada puede extendese al caso de vaias fuentes puntuales y en geneal a cualquie dispositivo, salvo que éste sea del tipo Schlumbege, en cuyo caso se equiee el conocimiento del campo eléctico en la supeficie del teeno. Los métodos utilizados con este fin son dos: a) el de las imágenes, aplicado a la Pospección Geoeléctica po J. N. Hummel (93). b) la integación de la ecuación de Laplace, aplicada po pimea vez po S. Stefanescu (93) MÉTODO DE LAS IMÁGENES APLICADO A UN CORTE DE DOS CAPAS En ausencia de una segunda capa y atendiendo a una distibución electódica como la de la Fig. 48, vale la ec. 3: ρ e U I M = = (3) π e = emisividad A Fig. 48 Capa homogénea El efecto de una segunda capa se calcula incluyendo una fuente ficticia A, imagen de A, especto de la supeficie de sepaación ente las dos capas (Fig. 49), cuya emisividad seá: ρ ρ Ke = e, (5) ρ + ρ tal como suge del método de las imágenes, siendo K el facto de eflexión. M ρ A E ρ E x M ρ A Fig. 49 Imagen de la fuente Po lo que el potencial en M debido a esta fuente ficticia seá: U Ke = (5) + (E) al existi dos supeficies límite, debe considease una segunda fuente ficticia A, imagen de A especto de la supeficie tiea aie, de emisividad K Ke donde K = y cuyo potencial en M es igual al anteio (ec. 5). 36

7 x A E A M y lo mismo habá una imagen A de A especto de la segunda supeficie (Fig. 5), de emisividad KKe=K e y potencial U = K e + (4E) E ρ E y así sucesivamente, de modo tal que finalmente debe considease una seie infinita de imágenes cuyas distancias al punto M están dadas po: x A 4E ρ n = [ (ne) ] + po lo que el potencial en M debido a la fuente eal y a todas imágenes seá: A x Fig. 5 Seie infinita de imágenes = ρ + π n I K U M (53) n = + 4n E seie de lenta convegencia que esuelve el poblema popuesto. LA INTEGRAL DE STEFANESCU Resuelve el mismo poblema mediante una ecuación difeencial. Fue aplicado po pimea vez po Sabba Stefanescu (93) patiendo de un sistema de coodenadas cilíndicas, z, φ con oigen en el punto A de enegización (fig. 5). Ya vimos (pág. 3) que en todos los puntos del espacio, salvo el oigen, el potencial debe cumpli la ecuación de Laplace, la que expesada en coodenadas cilíndicas seá: U U U + + = z no apaece el témino en φ debido a la homogeneidad lateal. Fig. 5 Coodenadas cilíndicas Como esta condición no se cumple en el oigen (el punto de enegización), el poblema es no homogéneo. Y la solución seá suma de la geneal del homogéneo con una integal paticula del no homogéneo. SOLUCIÓN GENERAL DEL PROBLEMA HOMOGÉNEO (po sepaación de vaiables) Se considea que U es el poducto de dos funciones dependientes una de y la ota de z, es deci: (54) calculadas sus deivadas y eemplazadas en la ec. (54), se llega a: U = R()Z(z) (55) A z φ 37

8 R() de modo que utilizando un paámeto auxilia λ, podemos pone: cuyas conocidas soluciones son: Z(z) R() d R dr d Z + + = d d (56) Z(z) dz d Z = λ (57) dz d R dr + = λ d d (58) ±λz Z(z) = e (59) R() = J ( ) (6) λ J ( λ ) es una función de Bessel de pimea especie y oden ceo. Cualquie combinación lineal de tales soluciones, como po ejemplo: λz λz ( A'e + B'e )J ( λ) (6) seá solución de la ecuación homogénea, po lo que conviene considea la combinación lineal más geneal: = λz λz [ A'( λ)e + B'( λ)e ] J ( λ)dλ U (6) SOLUCIÓN PARTICULAR DEL PROBLEMA NO HOMOGÉNEO La más sencilla es la coespondiente a un semiespacio unifome de esistividad ρ ya vista (ec. 3) que en el sistema de coodenadas adoptado queda: U π = (63) que podemos suma a la anteio, utilizando la ecuación de Webe - Lipschitz esultando entonces paa la pimea capa: + z = + z e λ z J ( λ) λz λz λz [ e + A( λ)e + B( λ)e ] J ( λ)dλ (64) = (65) π U en la que se han hecho los siguientes eemplazos: '( λ) = A( λ) π A '( λ) = B( λ) π B De manea paecida se pocede paa la segunda capa, en ella el poblema es homogéneo po ausencia de fuentes, po lo que seá: 38

9 λz λz [ C( λ)e + D( λ)e ] J ( λ)dλ = (66) π U Paa el cálculo de A(λ), B(λ), C(λ) y D(λ) hay que aplica las condiciones de contono en medios estatificados, analizadas en capítulo anteio (pág. 4 y siguientes): a) U se anulaá en el infinito, po lo que necesaiamente debe se: b) En supeficie (z = ), es: E =, po tanto: D ( λ ) = (67) U z = z= condición que la solución paticula ya la cumple, po lo que bastaá imponela a la geneal de la homogénea: λz λz [ λa( λ)e + λb( λ)e ] J ( λ)dλ (68) U = (69) z que debe anulase paa z =, y como en geneal: ( λ ) po lo que: J λa ( λ) + λb( λ) = A( λ ) = B( λ) (7) U I ρ = [ e λz + A( )( e z + e z) ] J( ) d π λ λ λ λ λ U π = C ( λ) e λ zj ( λ) dλ c) Ente ambas capas (z = E) es: U = U, po lo que se tendá: e (7) (7) + A( λ)(e + e ) = C( λ)e (73) d) Finalmente, las componentes nomales de J paa z = E deben se iguales: esultando entonces: U ρ U = z z= E ρ z z= E [ e + A( λ)(e e )] = ρ C( λ) e (74) ρ (75) eliminando C(λ) ente las ec. (73) y (75), esulta: A( λ) = B( λ) = ρ (e ( ρ + e ρ )e ) + ρ (e ( ρ ρ)e Ke = = (76) ( ρ + ρ )e ( ρ ρ )e e Ke e = ) 39

10 K es el facto de eflexión ( K ρ ρ = ). ρ + ρ Sustituyendo la ec. (76) en la expesión de U dada po la ec. (7) y haciendo z =, esulta finalmente: que también puede escibise así: Ke U = + λ λ π J ( ) d (77) e Ke + Ke = J ( λ) d π Ke U (78) que es la solución buscada paa el potencial en la supeficie de un medio de dos capas. Caso de n capas Este pocedimiento puede extendese al caso de n capas, en cuyo caso, el potencial queda expesado po una expesión de la siguiente foma: = Nn ( λ)j ( λ) d π λ U λ (79) N n, denominada Función Caacteística del cote geoeléctico, es función de los espesoes y esistividades de las capas del cote y del paámeto de integación λ. RESISTIVIDAD APARENTE A pati de la fómula anteio puede deducise la solución del poblema diecto, deteminando la cuva de esistividad apaente, que en el caso del dispositivo Schlumbege viene dada po: Como: E ρ a = π (8) I U E = = λ (8) π N n ( λ)j ( λ) d J ( λ) = λj( λ) donde J (λ) es la función de Bessel de a especie y oden uno, esulta: ρ ( ) = ρ N ( λ)j ( λ) λdλ (8) a Expesión que pemite calcula la cuva de esistividad apaente una vez deteminada N n (λ), la Función Caacteística del cote geoeléctico. n 4

11 En ealidad, el cálculo de la esistividad apaente mediante la ec. 8 no es diecto puesto que la integal no puede esolvese mediante un númeo finito de funciones conocidas, po lo que se han intentado numeosos pocedimientos po métodos apoximados, cuadatuas apoximadas, desaollo de seies, etc. y, con base en ellas, confeccionado colecciones de cuvas maestas como las de la CGG, Oellana y Mooney, Van Dam y Meulenkamp, ente otas, que constituyeon duante un tiempo el único medio disponible paa el pospecto común de esolve el poblema inveso. La Fig. 5 es una adaptación del ábaco paa cotes de dos capas del catálogo de Oellana y Mooney (966), ábaco que foma pate de cualquiea de las colecciones mencionadas. Una de las pincipales consecuencias de estos cálculos y gáficos es que muestan que cada CRA epoduce la foma geneal, suavizada y sin saltos, de la CRV de su cote como puede apeciase tanto en los gáficos de las Fig. 43 a 46 como en el ábaco de dos capas. ρa (Ω.m),,, AB/ (m) Inf ,5,5,5,5,8,65,5,4,3,,5,,7,5,5 Fig. 5 Ábaco de cuvas de dos capas Los métodos empleados paa esolve la ec. (8) adolecen de inconvenientes y limitaciones, como que los espesoes del cote deben cumpli cietas esticciones que impiden su uso paa cotes cualesquiea. Además, los tiempos de cálculo ean gandes paa las computadoas de la época en que comenzaon a utilizase, especialmente si los cotes tenían muchas capas. Razones po las que se vieon favoecidos los desaollos de métodos basados en aplica convolución, siguiendo una idea expuesta po Kunetz (Kunetz, 966). 4

12 EL MÉTODO DE CONVOLUCIÓN Se definen dos vaiables x e y mediante: e -x = λ que sustituidas en la ec. (8) dan: e y = integal de convolución donde: ( y ) = f ( x )f ρ a ( y x ) dx (83) x f (x) = ρ N (e ) (84) f n y x (y x) (y x) = J(e ) e (85) apoximable po un opeado lineal o filto inveso de Schlumbege: β a ) m = bf(m j) f = α ( ρ (86) Este método comenzó a aplicase cuando Ghosh (97) publicó los datos de un opeado de 9 coeficientes, o filto diecto, paa un muesteo de tes puntos po década, que pemite el cálculo de N n (λ) a pati la CRA. El mismo Ghosh publicó un filto inveso paa obtene la cuva de esistividad apaente a pati de N n (λ) (Ghosh, 97b). A pati de entonces, son muchos los investigadoes que han contibuido al tema. Ente ellos, Johansen (975) que utiliza un filto de 39 coeficientes paa un muesteo de diez puntos po década, Nyman y Landisman (977) con sus filtos de de 3 y 3 coeficientes paa un númeo no enteo de coeficientes po ciclo logaítmico y Seaa (979) que publicó un pogama paa la obtención de filtos con cualquie númeo de coeficientes y puntos de muesteo. 4