H. 1/6. Universidad Nacional de La Pampa Facultad de Ingeniería Carrera: Ingeniería Electromecánica. Asignatura: ÁLGEBRA.

Transcripción

1 H. 1/6 Carga Horaria: Objetivos: Contenidos Mínimos: Teoría Laboratorio Problemas Problemas Proyecto y Tipo/Rutinarios Abiertos Diseño Total Que el estudiante alcance una sólida formación en los conceptos básicos del Álgebra, y un buen dominio de los métodos vectoriales en diversas aplicaciones. Que el estudiante adquiera cierto grado de familiaridad con el razonamiento matemático formal propio del Álgebra, y desarrolle la capacidad de elaborar conclusiones dentro de un sistema formal. Introducción al razonamiento matemático y al lenguaje de los conjuntos. Sistemas axiomáticos. Álgebras de Boole. Aplicaciones entre conjuntos. Sistemas numéricos: números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Propiedades algebraicas y de orden. Principio de Inducción. Elementos de combinatoria. Binomio de Newton. Polinomios formales en una indeterminada con coeficientes complejos. Vectores en el plano y el espacio. Producto escalar y vectorial. Rectas y planos. R n como espacio vectorial. Subespacios de R n ; bases y dimensión. El espacio vectorial C n. Sistemas de ecuaciones lineales. Espacios solución. Compatibilidad. Matrices con coeficientes reales o complejos. Espacios vectoriales R nxn y C nxn. Expresión matricial de un sistema. Determinantes. Matriz de cofactores. Regla de Cramer.

2 H. 2/6 Programa Analítico: 1- INTRODUCCIÓN AL RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Y AL LENGUAJE DE LOS CONJUNTOS: La Matemática como ciencia deductiva. Sistemas axiomáticos. Definiciones y teoremas. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos. Subconjuntos, uniones, intersecciones y complementos. Algebras de Boole. 2- SISTEMAS NUMERICOS: Presentación intuitiva de los números naturales. Principio de inducción. Números enteros y racionales. Representación de los números racionales como puntos sobre una recta. Existencia de números irracionales. El sistema de los números reales. Biyección entre los números reales y los puntos de la recta real. Propiedades algebraicas básicas de la suma y el producto de números reales (axiomas de cuerpo). Relación de orden en R y resolución de desigualdades. Valor absoluto en R, desigualdad triangular. Números complejos: definición como par ordenado de números reales. Suma y producto. La unidad imaginaria. Forma binómica. Representación geométrica. Forma trigonométrica: módulo, argumento principal. Teorema de DeMoivre. Potencias y raíces. Raíces n-ésimas de la unidad. 3- ELEMENTOS DE COMBINATORIA: Factoriales. Permutaciones. Números combinatorios. Potencia de un binomio (fórmula de Newton). Potencia de un polinomio (fórmula de Leibnitz). Combinatoria simple y con repetición. 4- POLINOMIOS: Polinomios formales en una indeterminada con coeficientes complejos. Grado de un polinomio. Adición y multiplicación. Propiedades de anillo. Algoritmo de división. Especialización de un polinomio. Teorema del resto. Raíces simples y múltiples de un polinomio. Polinomios irreducibles en R[x] y en C[x]. Teorema fundamental del álgebra. Factorización como producto de irreducibles. Relaciones entre coeficientes y raíces. Criterio de Gauss para buscar raíces de un polinomio en Z[x]. Resolución de ecuaciones algebraicas. 5- VECTORES Y ALGEBRA VECTORIAL: Segmentos orientados, vectores libres. Operaciones con vectores. Combinaciones lineales. Bases en el plano y el espacio. Coordenadas de un vector en una base. Sistemas de coordenadas cartesianas. Operaciones con vectores en forma analítica: los espacios R 2 y R 3. Producto escalar entre vectores. Expresión del producto escalar en coordenadas cartesianas. Orientación del plano y del espacio. Producto vectorial (definición geométrica). Aplicaciones a la mecánica: centro de masa; velocidad angular. Area del paralelogramo determinado por dos vectores. Expresión del producto vectorial en coordenadas cartesianas. Producto mixto, interpretación geométrica. Ecuación vectorial de una recta en el plano o el espacio. Distancia de un punto a una recta. Distancia entre dos rectas en el espacio. Ecuación vectorial de un plano en el espacio. Ecuación de un plano que pasa por tres puntos. Ecuaciones paramétricas de rectas y planos. Ecuación de un plano en coordenadas cartesianas. Posiciones relativas de rectas y planos. Distancia de un punto a un plano.

3 H. 3/6 Programa Analítico: 6- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES: El espacio vectorial de las n- uplas de números reales. Dependencia e independencia lineal de vectores en R n. Subespacio de R n generado por un número finito de vectores. Bases y dimensión de subespacios de R n. El espacio C n. Sistemas de ecuaciones lineales. Equivalencia de sistemas y operaciones elementales. Matrices con coeficientes reales o complejos. El espacio vectorial K nxm. Expresión matricial de un sistema. Matrices escalonadas y sistemas escalonados. El método de Gauss. Rango de una matriz. Compatibilidad de sistemas: el teorema de Rouché-Frobenius. Producto de matrices. Matrices invertibles. Cálculo de la inversa. Matrices semejantes. Traspuesta de una matriz. Matrices elementales. Reducción de una matriz a su forma escalonada reducida. Matrices equivalentes por filas y por columnas. 7- DETERMINANTES: Propiedad de los determinantes de 2 do orden. Unicidad de los determinantes de 2 do orden. Generalización de las propiedades del determinante de 2 do orden para definir determinantes de orden n. Determinante de un producto de matrices. Desarrollo del determinante por una columna. Determinantes de matrices triangulares y de matrices elementales. Cálculo del determinante efectuando operaciones elementales sobre las filas de una matriz. Determinante de la traspuesta. Desarrollo por una fila. Matriz de cofactores. Regla de Cramer.

4 H. 4/6 Descripción de las actividades teóricas y prácticas: Las clases teóricas consistirán en la exposición detallada y completa, por parte del profesor a cargo del curso, de los contenidos incluidos en el programa analítico de la asignatura. Estas clases se desarrollarán en conformidad con los criterios metodológicos explicados en el próximo ítem. Las actividades prácticas estarán centradas en la resolución de los ejercicios y problemas incluidos en las guías de trabajos prácticos. Durante las clases prácticas se atenderán las consultas que sobre la resolución de tales problemas efectúen los alumnos, y también se darán explicaciones complementarias para ayudarles a encarar los ejercicios más difíciles. Metodología de Enseñanza: El curso de Algebra se organizará dividiendo las clases en teóricas y prácticas. Las clases teóricas serán dictadas por el profesor a cargo de la cátedra, quién utilizará una metodología expositiva, tratando de trasmitir los contenidos en forma general. Estos serán presentados primero de manera informal e intuitiva, y luego se darán todas las definiciones formales, las notaciones utilizadas y los enunciados de los teoremas previstos. Como la materia incluye teoremas que varían en importancia y posibilidades de demostración, se tiene previsto que algunos de ellos se demuestren en forma completa en el pizarrón, dejándose la demostración de otros como ejercicio. De algunos teoremas se omitirán las demostraciones, pero se intentará que los estudiantes los comprendan y los apliquen correctamente. Sobre cada bloque temático se sugerirá al alumno la bibliografía específica de la materia. Eventualmente, a partir de las necesidades del estudiante, el docente aconsejará libros de menor o de mayor nivel que la complementen. Las actividades en las clases prácticas tendrán como eje principal el trabajo sobre las guías de ejercicios. Habrá una guía con ejercicios sobre cada bloque temático. En tales guías la ejercitación propuesta estará ordenada con un grado creciente de dificultad, y mantendrá un paralelismo con los desarrollos teóricos previstos. Por esa razón, se recomendará al estudiante que, antes de intentar resolver los ejercicios propuestos, estudie los contenidos teóricos dados en clase y, si fuera necesario, recurra a la bibliografía específica para comprender el tema en cuestión. En las clases prácticas, la tarea de los docentes auxiliares consistirá en responder consultas individuales y brindar sugerencias para la resolución de los ejercicios propuestos. Si fuese necesario durante el cuatrimestre, especialmente en semanas previas a las evaluaciones, se ofrecerán clases complementarias dedicadas a solucionar las necesidades del estudiante, ya sea en relación con la resolución de los ejercicios de las guías, o en cuanto a la comprensión de los contenidos teóricos dados en clase.

5 H. 5/6 Forma de Evaluación: Algebra es una de las primeras materias que los alumnos cursan cuando ingresan a la Facultad. En ella se asumirá que los estudiantes, por haber cursado y aprobado el nivel polimodal (o secundario) son conocedores de los contenidos considerados mínimos en dicho nivel. Comenzado el dictado de la materia se realizarán evaluaciones continuas sobre la base de las respuestas de los alumnos en las clases teóricas, del avance en la resolución de los ejercicios en las clases prácticas y de la entrega de ejercicios resueltos cuando se pidan. A partir de estas evaluaciones el docente podrá decidir reorientar la enseñanza. La evaluación para acreditar buscará verificar si determinados contenidos mínimos de la materia han sido adquiridos por el estudiante. La evaluación tendrá por objeto determinar si el estudiante aprueba la materia, si posee los conocimientos mínimos para cursar la correlativa posterior (regulariza) o si el estudiante necesita rever cada uno de los contenidos ( no regulariza). Para aprobar la materia rendirá dos parciales. En caso de que el estudiante no hubiese alcanzado los requisitos para promocionar o regularizar la materia tendrá la oportunidad de recuperar un parcial a los efectos de promocionar o regularizar. Eventualmente se podrán pedir la presentación de alguna actividad complementaria, o trabajos prácticos adicionales. El estudiante que regulariza la materia deberá rendir un examen final que cubra los contenidos no evaluados en los parciales para regularizar. El estudiante que no regulariza la materia deberá rendir un examen final que cubra todos los contenidos de la materia.

6 H. 6/6 Bibliografía: 1. GENTILE, ENZO: Notas de Algebra I. Eudeba (1988). 2. COTLAR, M. y SADOSKY, C.: Introducción al Algebra. Eudeba (1977). 3. HERNANDEZ, EUGENIO: Algebra y Geometría. Editorial Addison-Wesley/Universidad Autónoma de Madrid (1994). 4. FLOREY, FRANCIS: Fundamentos de Algebra :Lineal y Aplicaciones. Prentice-Hall (1979). 5. ANTON, HOWARD: Introducción al Algebra Lineal. Editorial Limusa (2001). 6. GROSSMAN, STANLEY I.: Algebra Lineal. McGraw-Hill (1996). 7. BURGOS, JUAN de: Algebra Lineal. McGraw-Hill (1993). 8. APOSTOL, TOM M.: Calculus Tomo I. Editorial Reverte (1999). 9. SANTALÓ, LUIS A.: Vectores y Tensores (con sus aplicaciones). Eudeba (1970). 10. LENTIN, A. y RIVAUD, J.: Algebra Moderna. Ediciones Aguilar (1970). VIGENCIA DE ESTE PROGRAMA AÑO PROFESOR RESPONSABLE FIRMA 2012 PELLINACCI, Silvia Leticia VISADO JEFE DEPARTAMENTO SECRETARIO ACADÉMICO DECANO