Màster en Estadística i Investigació Operativa. Matemàtiques. Vera Sacristán

Transcripción

1 Màster en Estdístic i Investigció Opertiv Mtemàtiques Anàlisi mtemàtic Ver Scristán Deprtment de Mtemàtic Aplicd II Fcultt de Mtemàtiques i Estdístic Universitt Politècnic de Ctluny

2 Índex 11 Mètric i topologi Mètric Espi euclidià Producte esclr Norm Distànci Un prell de propietts Topologi Boles i entorns Conjunts oberts i tncts Situció d un punt respecte d un subconjunt de R n Conjunts fitts Conjunts compctes Conjunts connexos Exercicis El concepte de funció Funcions rels de vrible rel Definició Opercions Monotoni i convexitt Funcions elementls Funcions de diverses vribles Definicions Opercions Exercicis El concepte de límit El cs discret Successions R Definicions Propietts Successions R n Definicions Propietts Exercicis El cs continu Límits de funcions d un vrible Definició de límit Límits lterls Propietts dels límits Ordres de mgnitud Continuïtt de funcions d un vrible Definicions Propietts

3 Límits de funcions de diverses vribles Definició Propietts Càlcul de límits Continuïtt de funcions de diverses vribles Definicions Propietts Exercicis El concepte de derivd Diferencició de funcions d un vrible Derivd Propietts Els teoremes del vlor mig Optimitzció de funcions d un vrible Extrems bsoluts i extrems locls Condició necessàri de primer ordre Condicions suficients de primer i de segon ordre Exercicis Diferencició de funcions de diverses vribles Diferencil Definició de funció diferencible Diferencil. Mtriu jcobin Interpretció geomètric Exemples Propietts Derivdes prcils Definició de derivd prcil Exemples Diferencibilitt i derivdes prcils Exemples Derivdes prcils i regl de l cden Exemple (Hiper)pl tngent un superfície, vector tngent un corb Derivdes direccionls Definició Diferencibilitt i derivdes direccionls Exemples Vector grdient El teorem de Tylor Desenvolupments de Tylor Mtriu hessin Optimitzció de funcions de diverses vribles Extrems reltius o locls Extrems bsoluts Extrems reltius o locls

4 Punts crítics Condició necessàri de primer ordre Condició suficient de segon ordre Extrems condicionts Exercicis Les sumes mb infinits sumnds El cs discret: sum de sèries Sèries numèriques Definició Exemple: l sèrie geomètric Propietts de les sèries convergents i l sev sum Propietts de les sèries de termes positius Exemple: l sèrie hrmònic Propietts de les sèries lterndes Exemple: proximció de l sum de l sèrie hrmònic lternd Convergènci bsolut i convergènci condicionl Sèries de potències Definició Exemple Rdi i intervl de convergènci Propietts de les sèries de potències Sèries de Tylor Exemple Exercicis El cs continu: integrls Integrls pròpies Objectiu i definició Altres definicions de l integrl Exemples Teorem fonmentl del càlcul Propietts de les integrls Tul de derivdes/primitives immedites Altres teoremes sobre integrció de funcions Integrls impròpies Objectiu Definicions Propietts de les integrls impròpies Exercicis Bibliogrfi

5 11 Mètric i topologi 11.1 Mètric Espi euclidià L espi euclidià n-dimensionl és R n = {(x 1,..., x n ) x i R}. Els elements de R n s nomenen punts. Les components x i coordendes, i el punt 0 = (0,..., 0) origen. En moltes ocsions, els punts x s identifiquen mb els seus vectors posició Producte esclr El producte esclr R n és l operció: R n R n R (x, y) < x, y >= x y = n x i y i i=1 El producte esclr és un form bilinel simètric definid positiv, és dir, stisfà les propietts següents: ) < x, x > 0, < x, x >= 0 si, i només si, x = 0. b) < x, y >=< y, x >. c) < x + by, z >= < x, z > +b < y, z > Norm L norm euclidin R n és l funció: R n R x x = x x = < x, x > = L norm euclidin stisfà les propietts següents: ) x 0, x = 0 si, i només si, x = 0. b) λx = λ x. c) x + y x + y (desigultt tringulr). ( n i=1 x 2 i ) 1/2 Existeixen ltres funcions que tmbé són normes sobre R n, en el sentit que stisfn questes mteixes tres propietts, com r: 99

6 L norm de Mnhttn: x = n x i. i=1 L norm del màxim: x = mx i=1...n x i Distànci L distànci euclidin R n és l funció: R n R n R (x, y) d(x, y) = x y L distànci euclidin stisfà les propietts següents: ) d(x, y) 0, d(x, y) = 0 si, i només si, x = y. b) d(x, y) = d(y, x). c) d(x, z) d(x, y) + d(y, z). Existeixen ltres funcions que tmbé són distàncies sobre R n, en el sentit que stisfn questes mteixes tres propietts Un prell de propietts D entre les moltes propietts i relcions entre questes tres nocions, destc l desigultt de Cuchy-Schwrz, per les seves pliccions: x y x y. L igultt es dón si, i només si, els vectors x i y són linelment dependents. Un interpretció possible del producte esclr ve dond per l igultt x y = x y cos θ, on θ és l ngle que formen els vectors posició dels punts x i y. Com conseqüènci, els dos vectors són ortogonls si, i només si, x y = Topologi Boles i entorns L bol obert de centre R n i rdi r > 0 és el conjunt B r () = B(, r) = {x R n d(x, ) < r}. L bol tncd de centre R n i rdi r > 0 és el conjunt B r () = B(, r) = {x R n d(x, ) r}. Un entorn U d un punt R n és qulsevol subconjunt U R n tl que r > 0, B r () U. Boles i entorns s nomenen fordts qun es consideren sense incloure el punt. 100

7 Conjunts oberts i tncts A R n és un subconjunt obert de R n si A és entorn de tots els seus punts, és dir, si per cd A existeix r > 0 tl que B r () A. C R n és un subconjunt tnct de R n si R n \C és obert. Els conjunts oberts stisfn les propietts següents: ) i R n són subconjunts oberts de R n. b) L unió de subconjunts oberts és un obert. c) L intersecció finit de subconjunts oberts és un obert. D questes propietts se n dedueixen les corresponents per conjunts tncts. Cl tenir present que, en generl, un subconjunt X de R n no té perquè ser ni obert ni tnct. Així mteix, l propiett de ser obert depèn de l espi on es trob el subconjunt: per exemple, l intervl (0, 1) és un subconjunt obert de R, però el mteix conjunt de punts, (0, 1) {0}, no és un subconjunt obert de R Situció d un punt respecte d un subconjunt de R n Siguin R n i A R n. és un punt interior d A A r > 0, B r () A. és un punt exterior A ExtA r > 0, B r () R n \A. és un punt fronter d A A r > 0, B r () A, B r () (R n \A). és un punt dherent A A r > 0, B r () A. és un punt d cumulció d A A r > 0, és un punt ïllt d A r > 0, B r () A, B r () A {}. B r () A = {}. 101

8 Conjunts fitts X R n és un subconjunt fitt de R n si existeix r > 0 tl que X B r (0), és dir, tl que x r per tot x X Conjunts compctes X R n és un subconjunt compcte de R n si és tnct i fitt Conjunts connexos X R n és un subconjunt connex de R n si no existeix cp prell d oberts A, B R n tls que X A B, X A, X B, X A B =. X R n és un subconjunt rc-connex de R n si per cd prell de punts x, y X existeix un cmí entre x i y totlment contingut dins X. Tot conjunt rc-connex és connex. El recíproc no és cert Exercicis Exercici 11.1 Dibuixeu els subconjunts de R 2 següents: ) A = {(x, y) x 3 < 2, y + 1 5}. b) B = {(x, y) x 2 + 4x + 1 = x 2 4x 1, y 2 < 10}. c) C = {(x, y) (x, y) 1, x < y}. Exercici 11.2 Trobeu l interior, l exterior i l fronter dels conjunts següents: ) A = {x R 2 x < 1}. b) B = {(x, y) R 2 x > 0, y > 0, xy 1}. c) C = {x R x Q}. Exercici 11.3 Trobeu l interior, l exterior, l fronter, l dherènci, els punts d cumulció i els punts ïllts del conjunt A: A = B(0, 1 2 ) {(x, sin π x ) x ( 1, 0)} {(1 1 n, 0)} n N. Exercici 11.4 Demostreu o refuteu: ) L unió d un fmíli finit de conjunts oberts és un conjunt obert. b) L unió de conjunts oberts és un conjunt obert. 102

9 c) L intersecció d un fmíli finit de conjunts oberts és un conjunt obert. d) L intersecció de conjunts oberts és un conjunt obert. Exercici 11.5 Doneu un subconjunt A i tres punts, b i c de R n tls que: ) Ȧ, b) A, c) A A, d) b A \A, e) c A\A. Podri A ser connex? Exercici 11.6 Siguin C, F i I els conjunts de les funcions f : [, b] R que són contínues, fitdes i integrbles, respectivment. Definim: f 0 = sup f(x), f 1 = x [,b] b f, f 2 = Estudieu si 0, 1 i 2 defineixen normes sobre C, F i I o no (not: oblideu-vos de l desigultt tringulr per 2 ). b f

10 12 El concepte de funció 12.1 Funcions rels de vrible rel Definició Un funció rel de vrible rel és un plicció d un subconjunt A de R en R: f : A R R x f(x) L gràfic de l funció f és el conjunt {(x, y) R 2 x A, y = f(x)} Opercions Siguin f : A R R i g : B R R. ) L sum de f i g és l funció f + g : A B R definid per (f + g)(x) = f(x) + g(x). b) El producte de f per un esclr c R és l funció cf : A R definid per (cf)(x) = cf(x). c) El producte de f i g és l funció fg : A B R definid per (fg)(x) = f(x)g(x). d) El quocient de f per g és l funció f : A (B \ {x B g(x) = 0}) R g definid per f f(x) (x) =. g g(x) e) L composició de f seguid de g és l funció g f : A R definid per (g f)(x) = g(f(x)), i sols existeix si f(a) B. Si f és un plicció bijectiv entre A R i B R, l composició de f mb un funció g : B R es pot interpretr com un cnvi de vrible de l funció g Monotoni i convexitt Sigui f : A R R. Es tenen les definicions següents: L funció f és creixent sii x, y A L funció f és decreixent sii x, y A x y f(x) f(y). x y f(x) f(y). L funció f és monòton sii f és creixent o decreixent. L funció f és estrictment creixent sii x, y A L funció f és estrictment decreixent sii x, y A x < y f(x) < f(y). x < y f(x) > f(y). 104

11 L funció f és estrictment monòton sii f és estrictment creixent o estrictment decreixent. L funció f ssoleix un mínim (màxim) bsolut A sii x A f() (resp. f(x) f()). f(x) L funció f ssoleix un mínim (màxim) reltiu A sii δ > 0, x A ( δ, + δ) f(x) f() (resp. f(x) f()). Un òptim (bsolut o reltiu) és un màxim o un mínim (resp. bsolut o reltiu). Observeu que tot funció estrictment monòton és injectiv i, per tnt, és invertible. Un funció f : I R definid en un intervl I R s nomen convex (còncv) si per cd prell de punts x 1, x 2 I i cd pràmetre t [0, 1] es té l desigultt f((1 t)x 1 + tx 2 ) (1 t)f(x 1 ) + tf(x 2 ) (resp. ). Dit ltrment, l funció és convex si el segment que uneix qulssevol dos punts de l sev gràfic qued per sobre de l gràfic, i és còncv si qued per sot Funcions elementls ) Funcions constnts. Són les de l form f : R R x c on c R és un constnt. L sev gràfic és l rect horitzontl d equció y = c: b) Funció identitt. És l funció de l form I : R R x x L sev gràfic és l rect que pss per l origen i bisect el primer qudrnt del pl y = x: 105

12 c) Funcions polinòmiques. A prtir dels dos tipus de funcions nteriors, i per mitjà de sumes i productes, s obtenen les funcions polinòmiques: p : R R x p(x) = n x n + n 1 x n x + 0 on n, n 1,..., 1, 0 R. En prticulr, són funcions polinòmiques les següents: i) Funcions linels. Són les funcions polinòmiques de gru 1, és dir, les que tenen expressió f(x) = x + b. L sev gràfic és un rect de pendent que tll l eix d ordendes en el punt (0, b): b ii) Funcions qudràtiques. Són les funcions polinòmiques de gru 2, és dir, les que tenen expressió f(x) = x 2 + bx + c. L sev gràfic és un pràbol convex o còncv en funció del signe del coeficient. L obertur de l pràbol depèn del coeficient, l eix de l pràbol és l rect x = b/2, el vèrtex de l pràbol és el punt ( b, c b2 ), i l 2 4 pràbol tll l eix d ordendes en el punt (0, c). x^2 8 x^2 4 x^2 2 2x^2 iii) Funcions cúbiques. Són les funcions polinòmiques de gru 3, és dir, les que tenen expressió f(x) = x 3 + bx 2 + cx + d. L sev gràfic pot tenir spectes com els següents: 106

13 iv) Funcions polinòmiques de potènci prell (senr). Són les funcions del tipus f(x) = x 2n (resp. f(x) = x 2n+1 ), on n N. Les seves gràfiques tenen l specte següent: y x^ 2n y x^ 2n 1 d) Funcions rcionls. Són quocients de funcions polinòmiques: r : R R x r(x) = p(x) q(x) on p i q són funcions polinòmiques. A més, el domini de r és {x R q(x) 0}. e) Funcions trnscendents. Les funcions que no es poden expressr com funcions rcionls s nomenen trnscendents. Les més utilitzdes són les següents. i) Funció rrel qudrd. És l funció : R + R x x que té l gràfic següent: 107

14 ii) Funcions exponencils. Si > 0, l funció exponencil de bse és on: exp : R R x x Si x = n N, leshores n = n. Si x = n Z, leshores n = 1 n. Si x = p q Q, leshores p q = q p. Si x R \ Q, leshores x = lim n x n per lgun successió de nombres x n Q, i es defineix x = lim n xn. Aquestes són les gràfiques de les funcions exponencils, depenent de si l bse és més petit o més grn que 1: y ^x, 1 y ^x, Algunes propietts de les funcions exponencils són: i. x > 0 x R. ii. Si 1, l funció x és bijectiv entre R i (0, + ). iii. 0 = 1. iv. x+y = x y x, y R. v. x y = x y x, y R. vi. xy = ( x ) y x, y R. vii. No s hn de confondre ( x ) y i xy. viii. Si > 1, leshores x és estrictment creixent, és dir: x < y x < y. Si 0 < < 1, leshores x és estrictment decreixent, és dir: x < y x > y. L funció exponencil per excel. lènci és l que f servir com bse el nombre e = iii) Funcions logrítmiques. Aquestes funcions són les inverses de les funcions exponencils. Si > 0, leshores y = log x y = x. Les gràfiques d questes funcions són: 108

15 y Log_ x, 1 y Log_ x, Algunes propietts de les funcions logrítmiques són: i. El domini de l funció és R + \ {0}. ii. L funció log x és bijectiv entre (0, + ) i R. iii. log 1 = 0. iv. log xy = log x + log y x, y (0, + ). x v. log = log y x log y x, y (0, + ). vi. log x y = y log x x (0, + ), y R. vii., b > 0, log b x = log x log b. viii. Si > 1, leshores log x és estrictment creixent, és dir: x < y log x < log y. Si 0 < < 1, leshores log x és estrictment decreixent, és dir: x < y log x > log y. L funció logrítmic per excel. lènci és l que f servir com bse el nombre e. Aquest logritme s nomen neperià i s escriu ln x. iv) Altres funcions trnscendents. Existeixen moltes ltres funcions trnscendents, i lgunes molt emprdes en ltres cmps, com r les funcions trigonomètriques o les funcions hiperbòliques. Les figures següents il. lustren el comportment comprt de diverses de les funcions que hem presentt. 109

16 x^2 x^3 x^4 x^5 Ln x x^ 1 2 x x^2 e^x 12.2 Funcions de diverses vribles Definicions Un funció de diverses vribles és f : D R n R m (x 1,..., x n ) f(x 1,..., x n ) = (y 1,..., y m ) L funció f : D R n R m s estudi trvés de les seves funcions components: f i : D R n R (x 1,..., x n ) f i (x 1,..., x n ) = y i Sigui f : D R 2 R (m = 1). L corb de nivell de l funció f és el conjunt {(x, y) R 2 f(x, y) = }. En generl, si f : D R n R (m = 1), l superfície de nivell de l funció f és el conjunt {x R n f(x) = }. Un funció f : D R n R m s nomen fitd en D qun f(d) és un conjunt fitt, és dir, qun M R x D f(x) M Opercions Les opercions més freqüents mb funcions de diverses vribles són: 110

17 ) Sum b) Producte per un esclr c) Producte (qun m = 1) d) Quocient (qun m = 1 i l funció denomindor no s nul. l) e) Composició f) Inversió 12.3 Exercicis Exercici 12.1 Trobeu el domini de les funcions següents: ) y = x b) y = x x+1. c) y = + x 2 1. d) y = 1 1 x 2. e) y = x 3 f) y = x 2 (x 2 4). x(x 1) (x 2)(x+3). g) y = 2 + x + x 2. h) y = x x. i) y = ln 2+x 2 x. Exercici 12.2 Un funció s nomen prell si f(x) = f( x) x R, i s nomen imprell si f(x) = f( x) x R. ) Digueu quines de les funcions següents són prell i quines imprell: i) f(x) = 1 2 (x + x ). ii) f(x) = 1 + x + x 2 1 x + x 2. iii) f(x) = ln 1+x 1 x. iv) f(x) = ln(x x 2 ). b) Demostreu que el producte d un funció prell per un d imprell és un funció imprell, mentre que el producte de dues funcions del mteix tipus és un funció prell. 111

18 Exercici 12.3 Si f(x) = 1, clculeu f f f. 1 x Exercici 12.4 Suposem que x 1, x 2, x 3 formen un progressió ritmètic. Demostreu: ) Si f és un funció linel, leshores f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ) formen un progressió ritmètic. b) Si f és un funció exponencil, leshores f(x 1 ), f(x 2 ), f(x 3 ) formen un progressió geomètric. Exercici 12.5 Sigui f un funció convex. Demostreu: ) x < y < z f(y) f(x) y x b) x 1, x 2,..., x n f f(z) f(x) z x f(z) f(y) z y. ( ) λ 1 x 1 +λ 2 x λ nx n λ 1 +λ λ n λ 1f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )+...+λ nf(x n) λ 1 +λ λ n. c) Utilitzeu l convexitt/concvitt de les funcions exponencil/logrrítmic per demostrr que l mitjn geomètric de dos nombres sempre és més petit o igul que l sev mitjn ritmètic. Exercici 12.6 Trobeu el domini de les funcions següents: ) z = 1 x 2 y 2 ; b) z = ln(x + y); c) z = 1 x y ; d) z = 3 r 2 x 2 y 2 Exercici 12.7 Per cdscun de les funcions següents, dibuixeu les corbes de nivell corresponents ls vlors z = 2, 1, 0, 1, 3: ) z = x 2 y; b) z = x 2 + y 2 1; c) z = y 2 ; d) z = 1 x y. 112

19 13 El concepte de límit 13.1 El cs discret Successions R Definicions Un successió R és un plicció N R que escrivim {x n } n N o tmbé (x n ) n N. Un successió prcil de {x n } n N s obté en composr l successió mb un plicció σ : N N estrictment creixent. Exemples: ) L successió dels nombres positius prells es pot definir donnt l regl de formció del seu terme n-èsim: x n = 2n n N. Tmbé es pot definir de mner recursiv: x 0 = 0, x n+1 = x n + 2 n N. b) L successió dels nombres nturls múltiples de 4 és un successió prcil de l nterior. Un nombre l R s nomen límit d un successió {x n } n N, i s escriu lim n x n = l, si ɛ > 0 n 0 N n > n 0 x n l < ɛ. Un successió convergent és un successió que té límit. En cs contrri l successió s nomen divergent. Exemples: ) L successió ( n ) n N definid per n = 3 n N és un successió constnt, i és convergent. b) L successió (b n ) n N mb b n = ( 1) n n N s nomen lternd, i és divergent. c) L successió ( ) 1 és convergent. n n N ( ) d) L successió ( 1) n és convergent. n n N e) L successió de Fiboncci, que es defineix per inducció com 0 = 1, 1 = 1, n+2 = n+1 + n n N, és divergent. Es diu que un successió divergeix cp +, i s escriu lim n x n = + si M > 0 n 0 N n > n 0 x n > M. Es diu que un successió divergeix cp, i s escriu lim n x n = si M > 0 n 0 N n > n 0 x n < M. 113

20 Es diu que un successió divergeix cp, i s escriu lim n x n = si M > 0 n 0 N n > n 0 x n > M Propietts ) Tot successió convergent està fitd. b) Si dues successions són convergents, l sev sum tmbé és convergent, i el límit de l sum és l sum dels límits. c) Si un successió és convergent i es multiplic per un esclr, l successió resultnt tmbé és convergent, i el seu límit és el producte de l esclr pel límit de l successió inicil. d) Si dues successions són convergents, el seu producte tmbé és convergent, i el límit del producte és el producte dels límits. e) Si dues successions són convergents, i és possible fer els quocients dels seus termes ixí com el quocient dels seus límits, leshores el quocient de les dues successions tmbé és convergent, i el límit del quocient és el quocient dels límits. f) El producte d un successió convergent zero per un successió fitd és un successió convergent zero. g) Si tots els termes d un successió convergent són més grns o iguls (més petits o iguls) que un cert vlor, leshores el límit de l successió tmbé ho és. h) Si, per tot n, el terme n-èsim d un successió convergent és més grn o igul (més petit o igul) que el terme n-èsim d un ltr successió convergent, leshores el límit de l primer tmbé és més grn o igul (resp. més petit o igul) que el límit de l segon. i) Si, per tot n, el terme n-èsim d un successió es trob entre el terme n-èssim de dues ltres successions, i questes dues són convergents cp un mteix límit, leshores l successió inicil tmbé és convergent cp l mteix límit. j) Si un successió és convergent mb límit l, leshores l successió dels seus vlors bsoluts és convergent mb límit l. El recíproc sols és cert en el cs que l = 0. k) Si un successió és convergent, totes les seves prcils són convergents i, més, tenen el mteix límit. El recíproc sol és cert si totes les prcils convergeixen i ho fn cp un mteix límit. l) Tot successió monòton creixent (decreixent) i fitd superiorment (resp. inferiorment) és convergent, i el seu límit coincideix mb el seu suprem (resp. ínfim). m) Teorem de Bolzno-Weierstrss: Tot successió té un prcil monòton. 114

21 n) Corol. lri: Tot successió fitd té un prcil convergent. o) Tot successió convergent és de Cuchy, i vicevers. L condició de Cuchy és l següent: ɛ > 0 k 0 N k 1, k 2 > k 0 x k1 x k2 < ɛ. p) Un subconjunt A R és tnct si, i només si, tot successió convergent de punts d A té el límit en A. Exemples: Els resultts següents s obtenen plicnt les propietts nteriors. ) L successió (2n) n N és divergent. b) L successió definid per x 1 = 1, x n+1 = x n + 1 n és divergent. c) lim n sin n n = 0. n! d) lim n n = 0. n e) lim n 4n 2 5n + 4 3n 3 + 2n 2 5 = 0. f) L successió ( n) n és convergent Successions R n Definicions Un successió R n és un plicció N R n que escrivim {x k } k N. Té ssocides n successions de R, {(x k ) i } k N, mb i = 1,..., n, que són les seves successions components. Un successió prcil de {x k } k N s obté en composr l successió mb un plicció σ : N N estrictment creixent. Un punt l R n s nomen límit d un successió {x k } k N si ɛ > 0 k 0 N k > k 0 x k B ɛ (l), o sigui, ɛ > 0 k 0 N k > k 0 x k l < ɛ. Un successió convergent és un successió que té límit Propietts Un successió és convergent mb límit l si, i només si, per cd i = 1,..., n, l sev successió component i-èsim és convergent mb límit l i. Gràcies quest propiett, les successions R n gudeixen de les propietts nàlogues les successions R, emb el benentès que lgunes no tenen un versió multidimensionl (quines?). 115

22 Exercicis Exercici 13.1 Clculeu el límit de les successions següents: ) 1 1 n b) 6n3 +4n+1 2n 2 c) n2 +6n+2 3n 2 +9n 1 1 n d) ( n + 1 n) n e) sin n n f) 1 n n n 2 +n g) ( ) n+2 sin 1 n 2n h) 2n +3 n 2 n 3 n i) ( ) 2n 1 3n+1 n+1 2n+1 j) ln ( ) n+ n n k) 5(n+1) n+1 (3n 2 +1)n n 1 l) 1 n n n n 2 Exercici 13.2 Sigui P (x) un polinomi de gru k > 0 mb els coeficients rels i positius. Clculeu el límit de les successions següents: ) P (n) b) P ( 1 n ) c) P (n+1) P (n) d) P (n + 1) P (n) Exercici 13.3 Trobeu un successió que tingui prcils convergents cp ) 0 i 1. b) π, e, 2, 17. c) n n N. Exercici 13.4 Si n > 0, b n > 0 i lim n = lim b n = 0, demostreu: 116

23 ) lim nb n n + b n = 0. b) L hipòtesi n > 0 i b n > 0 és imprescindible. Exercici 13.5 Demostreu que l successió següent té límit, i clculeu-lo: 1 = 2, n+1 = n + 2 n 0. Exercici 13.6 Sigui x n = 2 i x n+1 = 2 + x n n N. Demostreu que l successió (x n ) n N convergeix, i clculeu el seu límit mb un error més petit que El cs continu Límits de funcions d un vrible Definició de límit Sigui f un funció definid en un entorn (fordt) A = ( h, + h) \ {} del punt, i sigui l R. Es diu que l és el límit de l funció f qun x tendeix, i s escriu f(x) = l qun lim x lim x ɛ > 0 δ > 0 x A 0 < x < δ f(x) l < ɛ. L figur següent il. lustr diverses situcions possibles. En els tres primers csos, f(x) = l, en el qurt cs lim f(x) l, i en els csos cinquè i sisè lim f(x). x x l l l f l 117

24 l l Anàlogment, es tenen les definicions següents: lim f(x) = l ɛ > 0 δ > 0 x A x 0 < x < δ f(x) l < ɛ lim f(x) = + ɛ > 0 δ > 0 x A x lim f(x) = ɛ > 0 δ > 0 x A x 0 < x < δ f(x) > ɛ 0 < x < δ f(x) < ɛ lim f(x) = ɛ > 0 δ > 0 x A x lim f(x) = l ɛ > 0 δ > 0 x A x + 0 < x < δ f(x) > ɛ x > δ f(x) l < ɛ lim f(x) = + ɛ > 0 δ > 0 x A x x + lim f(x) = ɛ > 0 δ > 0 x A x + lim f(x) = ɛ > 0 δ > 0 x A x x + > δ f(x) > ɛ x > δ f(x) < ɛ > δ f(x) > ɛ lim f(x) = l ɛ > 0 δ > 0 x A x x < δ f(x) l < ɛ lim f(x) = + ɛ > 0 δ > 0 x A x lim f(x) = ɛ > 0 δ > 0 x A x x < δ f(x) > ɛ x < δ f(x) < ɛ lim f(x) = ɛ > 0 δ > 0 x A x x < δ f(x) > ɛ Qun lim x f(x) =, es diu que l rect x = és un símptot verticl de l funció f. 118

25 Qun lim f(x) = l, es diu que l rect y = l és un símptot horitzontl de l x ± funció f. Finlment, es diu que l rect y = x + b és un símptot obliqu de l funció f qun (x + b f(x)) = 0. lim x ± Límits lterls En estudir el comportment d un funció f l voltnt d un punt, sovint pot ser útil considerr el comportment de l funció cdscun dels dos costts d. Es defineixen els límits per l esquerr i per l dret de f en de l mner següent: lim f(x) = l ɛ > 0 δ > 0 x A x lim f(x) = l ɛ > 0 δ > 0 x A x + δ < x < f(x) l < ɛ < x < + δ f(x) l < ɛ Anàlogment es defineix el significt de les expressions lim f(x) = ± i lim f(x) = x x ±

26 Crcteritzció del límit per límits lterls. Si existeix el límit d un funció en un punt, leshores existeixen els límits lterls i coincideixen mb el límit. Recíprocment, si existeixen els dos límits lterls i són iguls, leshores existeix el límit i coincideix mb els nteriors Propietts dels límits Les propietts següents s enuncien per límits, però tmbé són vàlides per límits lterls. ) Si existeixen els límits de f i g en el punt, leshores existeix el límit de f + g en, i lim(f + g)(x) = lim f(x) + lim g(x). x x x b) Si existeix el límit de f en el punt, leshores existeix el límit de λf en, i lim(λf)(x) = λ lim f(x). x x c) Si existeixen els límits de f i g en el punt, leshores existeix el límit de fg en, i lim(fg)(x) = lim f(x) lim g(x). x x x d) Si existeixen els límits de f i g en el punt, i lim g(x) 0, leshores existeix x ( ) f lim f(x) el límit de f x en, i lim (x) = g x g lim g(x). x e) Si f(x) g(x) h(x) en un entorn del punt, i els límits de f i h en el punt existeixen i coincideixen, leshores existeix el límit de g en, i coincideix mb els nteriors. f) Si f és un funció fitd en un entorn del punt, i lim g(x) = 0, leshores x lim(fg)(x) = 0. x g) Si lim f(x) = b i lim g(y) = c, leshores lim(g f)(x) = c. Aquest propiett x y b x no vl per límits lterls. Perquè? h) Si existeix el límit de f en el punt i és finit, leshores f està fitd en un entorn fordt d : ( δ, + δ) \ {} Ordres de mgnitud Siguin f i g dues funcions tls que Es diu que f és O(g) si c > 0 x 0 R x > x 0 Es diu que f és o(g) si f(x) lim x + g(x) = 0 lim f(x) = lim g(x) = +. x + x + f(x) cg(x). Aquest notció permet, doncs, comprr el creixement de dues funcions. 120

27 Continuïtt de funcions d un vrible Definicions Sigui f un funció definid en un entorn d un punt. f és contínu en si, i només si, lim x f(x) = f(). f és contínu per l dret en si, i només si, lim f(x) = f(). x + f és contínu per l esquerr en si, i només si, lim f(x) = f(). x Sigui f un funció definid en un intervl de l rect rel. f és contínu en (, b) si, i només si, f és contínu en x per tot x (, b). f és contínu en [, b] si, i només si, f és contínu en x per tot x (, b), és contínu per l dret en i és contínu per l esquerr en b Propietts ) Si f i g són contínues en, leshores f + g és contínu en. b) Si f és contínu en, leshores λf és contínu en. c) Si f i g són contínues en, leshores fg és contínu en. d) Si f i g són contínues en, i g() 0, leshores f g és contínu en. e) Si f és contínu en i g és contínu en f(), leshores g f és contínu en. f) Si f és contínu en, leshores f està fitd en un entorn [ δ, + δ] del punt. g) Si f és contínu en, i f() > 0, leshores f(x) > 0 en un entorn ( δ, + δ) del punt. Les propietts nteriors tmbé s pliquen l continuïtt lterl, excepte l que es refereix l composició. Teorem de Bolzno. Si f és contínu en un intervl tnct [, b], i f()f(b) < 0, leshores l funció s nul. l en lgun punt de l interior de l intervl, és dir: existeix t (, b) tl que f(t) = 0. Teorem dels vlors intermedis. Si f és contínu en un intervl tnct [, b] leshores, per qulsevol vlor c intermedi entre f() i f(b) (és dir, tl que f() < c < f(b) o f() > c > f(b)) existeix lgun x (, b) tl que f(x) = c. 121

28 Teorem de Weierstrss. f està fitd en [, b]. Si f és contínu en un intervl tnct [, b], leshores Teorem del màxim. Si f és contínu en un intervl tnct [, b], leshores f ssoleix un màxim i un mínim en [, b], és dir, x 1, x 2 [, b] x [, b] f(x 1 ) f(x) f(x 2 ). Teorem. Si f és contínu en un intervl tnct [, b], leshores f és injectiv si, i només si, f és estrictment monòton. En quest cs, f és invertible, i l sev invers tmbé és contínu i estrictment monòton Límits de funcions de diverses vribles Definició Sigui f : D R n R m, i siguin D i l R m. Es diu que l és el límit de l funció f en el punt, i s escriu lim x f(x) = l si és dir, ɛ > 0 δ > 0 f((b δ () {}) D) B ɛ (l), ɛ > 0 δ > 0 x D 0 < x < δ f(x) l < ɛ Propietts ) Existeix el límit d un funció en un punt i és l si, i només si, per cd i, existeix el límit de l sev funció component i-èsim en el punt i és l i. b) Si un funció té límit en un punt, leshores està fitd en un entorn (fordt) del punt. c) Siguin f i g dues funcions mb el mteix domini i el mteix recorregut. Si f i g tenen límit en un punt, i és respectivment l f i l g, leshores qulsevol combinció αf + βg té límit en el punt, i quest límit és αl f + βl g Càlcul de límits El cs més senzill de càlcul de límits de funcions de diverses vribles és quell en què result possible fer el càlcul directe o reduir el problem l del càlcul d un límit d un vrible. Per exemple: lim (x,y) (2,0) lim (x,y) (0,0) x sin xy = 2 sin 2 0 = 2 0 = 0. lim (x,y) (0,0) (x2 + y 2 ) sin 1 xy sin xy sin xy = lim y (x,y) (0,0) xy x = 1 0 = 0. = 0 fitt = 0, 122

29 L form més sistemàtic de clculr límits de funcions de dues vribles és per cnvi coordendes polrs. Per exemple: lim (x,y) (0,0) lim (x,y) (0,0) xy x2 + y = lim r 2 cos θ sin θ 2 r 0 r xy x 2 + y = lim r 2 cos θ sin θ 2 r 0 r 2 = lim r 0 r cos θ sin θ = 0, = lim r 0 cos θ sin θ. Un ltr possibilitt, qun el que es desitj és demostrr l inexistènci de límit, és clculr límits segons trjectòries. Per exemple: j que Així mteix, j que lim (x,y) (0,0),x=0 x lim (x,y) (0,0),x=0 lim (x,y) (0,0) xy x 2 + y 2, xy x 2 + y 2 = 0 i lim (x,y) (0,0),y=x x y 2 e x lim (x,y) (0,0) x y 2 e y 2, x y 2 = 0 i lim (x,y) (0,0),x=y 2 xy x 2 + y 2 = 1 2. x y 2 e y 2 = 1 e. Cl tenir present que quest drrer mètode no serveix per demostrr l existènci de límit: el fet que existeixin i coincideixin tots els límits direccionls d un funció en un punt no grnteix que existeixi el límit de l funció en el punt, tl com il. lustr l funció { xy f(x, y) =, si x 2 +y x2 y; 0, ltrment Continuïtt de funcions de diverses vribles Definicions Sigui f : D R n R m, i considerem Ḋ (de fet, n hi huri prou que D D ). L funció f és contínu en el punt si, i només si, lim x f(x) = f(), és dir si, i només si, ɛ > 0 δ > 0 x D x < δ f(x) f() < ɛ. L funció f és contínu en un obert A D si, i només si, és contínu en cd punt d A, és dir si, i només si, A ɛ > 0 δ > 0 x A x < δ f(x) f() < ɛ. 123

30 Propietts ) L funció f és contínu en el punt si, i només si, totes les seves funcions components f i són contínues en. b) Si f i g són contínues en el punt, leshores tot combinció αf + βg és contínu en. c) Si f és contínu en i g és contínu en f(), leshores g f és contínu en. Crcteritzció topològic de l continuïtt. Un funció f és contínu en un domini D si, i només si, l ntiimtge de tot conjunt obert és un conjunt obert. Tmbé es pot fer l crcteritzció nàlog per conjunts tncts. Continuïtt i connexió. L imtge contínu d un conjunt connex (resp. rcconnex) és un connex (resp. rc-connex). Teorem dels vlors intermedis. (Sols per l cs m = 1.) Sigui f un funció contínu en un conjunt connex C. Per tot x, y C, si f(x) < c < f(y), leshores existeix z C tl que c = f(z). Continuïtt i compcitt. L imtge contínu d un conjunt compcte sempre és un compcte. En prticulr, doncs, l imtge contínu d un compcte està fitd. Teorem del màxim. té màxim i mínim. (Sols per l cs m = 1.) L imtge contínu d un compcte Exercicis Exercici 13.7 Clculeu els límits següents: ) lim x 2 x + 1 x. b) lim x 2x + 1 3x c) lim x 1 1 x. d) lim x 0 x sin 1 x. e) lim x 2 x 2 4 x 2 3x + 2. (x + h) 3 x 3 f) lim. h 0 h 124

31 x g) lim x x + x +. x ( 1 h) lim x 1 1 x 1 ). 1 x 3 Exercici 13.8 Demostreu l existènci o no dels límits següents: ) lim x 1 x 1 x 1. 1 b) lim x 3 x 3. Exercici 13.9 Siguin f(x) = e 1/x x 0 i g(x) = e1/x x 0. Discutiu els e 1/x 1 límits lterls en el punt zero de les funcions f(x), g(x) i xg(x). Exercici Suposeu que lim f(x) = lim g(x) = +. Digueu si es dedueixen x c x c cdscun de les firmcions següents, i perquè: ) lim x c (f(x) + g(x)) = +. b) lim x c (f(x) g(x)) = 0. c) lim x c (f(x)g(x)) = +. d) lim x c f(x) g(x) = 1. Exercici Estudieu l continuïtt de les funcions següents: ) f(x) = x2 3x x 2 8x b) f(x) = x + 1 x 2 + x + 1. c) f(x) = x 5 (x + 1) 2. d) f(x) = e 1/x. e) f(x) = 1 1 e 1/x. Exercici Sigui f : R R definid ixí: 0, si x = 0; f(x) = 1/x, si x Q \ {0}; x, si x R \ Q. 125

32 Demostreu que f és bijectiv i que tn sols és contínu en dos punts. Exercici Sigui f(x) = x2 +x 6, x 2. Es pot definir f(2) de mner que x 2 f sigui contínu? Exercici Quins vlors d fn contínu l funció següent? { x + 1, si x 1; f(x) = 3 2 x 2, si x > 1. Exercici Proveu que el polinomi x 3 3x + 1 té un rrel rel l intervl (1, 2). Exercici rrel rel. Demostreu que tot polinomi de gru senr té com mínim un Exercici Teorem del punt fix. Demostreu que tot funció contínu de l intervl [0, 1] en ell mteix té un punt fix, és dir, que existeix un vlor x [0, 1] tl que f(x) = x. Doneu un interpretció gràfic d quest resultt. Exercici Demostreu que el polinomi x 4 + 2x 3 1 té l menys dues rrels rels. Exercici Demostreu que l equció sin x = x 1 té solucions rels. Exercici Sigui f : R R un funció contínu tl que lim f(x) = 0. x ± Demostreu que f està fitd i que ssoleix un màxim o un mínim. Doneu un exemple que mostri que no necessàriment h d ssolir els dos. Exercici Trobeu el límit de les funcions següents: x 2 y 2 ) lim (x,y) (0,0) x 2 + y ; 2 sin xy b) lim (x,y) (0,2) x ; x c) lim (x,y) (0,0) x + y ; x y d) lim (x,y) (0,0) x + y. Exercici Clculeu el límit en (0, 0) de l funció ( x 2 y 2 f(x, y) = x 2 + y, x + y ) 2 x y, ex+y (x, y) (0, 0). 126

33 Exercici Demostreu que l funció 2xy f(x, y) = x 2 + y, si 2 x2 + y 2 0; 0, si x 2 + y 2 = 0; és contínu en relció les vribles x i y per seprt, però no és contínu en el punt (0, 0) respecte del conjunt de les dues vribles. Exercici Sigui z : R 2 R definid per f(x), si y = 0; g(y), z(x, y) = ( ) si x = 0; sin 2 x (x + y) + sin2 y, si x 0 i y 0. x y Determineu f i g per tl que l funció z sigui contínu tot R 2. Exercici Sigui M = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 2x, y x} i f : R 2 R 2 tl que: ( ) x 2 y f(x, y) =, sin(x + y), si (x, y) (0, 0); x 2 + y2 f(0, 0) = (0, 0). ) Demostreu que M és compcte. b) Estudieu l continuïtt de f. c) Estudieu l compcitt de M. Exercici Definim l funció rel de dues vribles rels nomend min, ixí: { x, si x y; min(x, y) = y, si x > y. Construïm l funció f(x, y) = ( 1 min ), si x 0 i y 0; x, 1 y 1/x, si x 0 i y = 0; 1/y si x = 0 i y 0; 0, si x = y = 0. ) En quins punts és contínu l funció min(x, y)? b) Feu un dibuix proximt de l gràfic de l funció f(x, 1). c) En quins punts és contínu f(x, y)? d) El mteix per f(x 2, y 2 ). e) El mteix per f(x, e y ). 127

34 Exercici Sigui f : R 2 R l funció x x2 x f(x, y) = 2 4 +, si y y2 1 i (x, y) (0, 0); 1, ltrment. ) Estudieu l continuïtt de f. b) Considereu els conjunts A = {(x, y) R 2 x 2 + y }, B = {(x, y) R 2 (x 16) 2 + (y 12) 2 4}, C = {(x, y) R 2 y > x 2 }. Són fitts els conjunts f(a), f(b) i f(c)? 128

35 14 El concepte de derivd 14.1 Diferencició de funcions d un vrible Derivd Sigui f : (, b) R i x 0 (, b). L funció f és derivble en x 0 si existeix el límit següent i és finit: f (x 0 ) = df dx (x 0) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 Aquest límit s nomen derivd de f en x 0. f(x 0 + h) f(x 0 ) = lim. h 0 h L derivd d un funció f en un punt x 0 es pot interpretr geomètricment com el límit dels pendents de les cordes que pssen pels punts (x 0, f(x 0 )) i (x, f(x)) qun x x 0, és dir, com el pendent de l rect que pss pel punt (x 0, f(x 0 )) i és tngent f. L funció f s nomen derivble en (, b) si és derivble en x per tot x (, b). En quest cs, l funció derivd de f és f : (, b) R x f (x) L funció f s nomen contínument derivble en (, b) si f és derivble en (, b) i f és contínu en (, b). Tmbé es diu que f és de clsse C 1. En generl, és possible considerr les derivdes successives d un funció, f,..., f (n),... i les clsses C 2,..., C n,.... Tmbé pot tenir interès estudir l derivbilitt lterl d un funció en un punt: f és derivble l dret en x f +(x) = lim h 0 + f(x + h) f(x) h f és derivble l esquerr en x f (x) = lim h 0 f(x + h) f(x) h R R Propietts Derivbilitt i derivdes lterls. Un funció f és derivble en x si, i només sí, és derivble l esquerr i l dret en x i les derivdes lterls f +(x) i f (x) coincideixen. Derivbilitt i continuïtt. x. El recíproc no és cert. Si f és derivble en x, leshores f és contínu en 129

36 Opercions mb derivdes. punt c. Aleshores: Siguin f i g dues funcions derivbles en un cert ) L funció f + g és derivble en c i (f + g) (c) = f (c) + g (c). b) L funció λf és derivble en c i (λf) (c) = λf (c). c) L funció fg és derivble en c i (fg) (c) = f (c)g(c) + f(c)g (c). ( ) d) L funció f és derivble en c i f f (c)g(c) f(c)g (c) g g (c) =, sempre que (g(c)) 2 g(c) 0. Regl de l cden. Si f i g són tls que Im f Dom g, f és derivble en c i g és derivble en f(c), leshores l funció g f és derivble en c, i (g f) (c) = g (f(c))f (c). Teorem de l funció invers. Sigui f : (, b) R un funció contínu i injectiv, i sigui c (, b) un punt tl que f és derivble en c i f (c) 0. Aleshores l invers g : Im f R de f és derivble en d = f(c) i Els teoremes del vlor mig g (d) = 1 f (c) = 1 f (g(d)). Teorem de Rolle. Sigui f un funció rel contínu en [, b] i derivble en (, b). Si f() = f(b), leshores existeix t (, b) tl que f (t) = 0. Teorem del vlor mig. Sigui f un funció rel contínu en [, b] i derivble en (, b). Aleshores existeix t (, b) tl que f (t) = f(b) f(). b Polinomis de Tylor. Sigui f un funció n cops derivble en un punt x 0. El polinomi n-èsim de Tylor de f en x 0 és: P n (x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n. 2 n! El polinomi P n i l funció f coincideixen en el punt x 0 fins l derivd n-èsim. Teorem de Tylor. Sigui f : [, b] R un funció derivble n + 1 cops, i tl que f, f,..., f (n) són contínues. Sigui x 0 (, b). Aleshores, per tot x [, b], f(x) = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) f (n) (x 0 ) (x x 0 ) n + R n (x), 2 n! i existeix t entre x i x 0 tl que R n (x) = f (n+1) (t) (n + 1)! (x x 0) n

37 14.2 Optimitzció de funcions d un vrible Extrems bsoluts i extrems locls Sigui f un funció rel definid en un intervl (, b). Es diu que f té un màxim (mínim) bsolut en x 0 (, b) si x (, b) f(x) f(x 0 ) (resp. ). Es diu que f té un màxim (mínim) locl o reltiu en x 0 (, b) si δ > 0 x (x 0 δ, x 0 + δ) f(x) f(x 0 ) (resp. ). En generl, es diu que f té un extrem o un òptim bsolut o reltiu en un punt qun hi té un màxim o un mínim, respectivment bsolut o reltiu. Observeu que si un funció té un òptim bsolut, quest és únic. En cnvi, un funció pot tenir múltiples òptims locls Condició necessàri de primer ordre Sigui f un funció rel definid en un intervl (, b). Es diu que x 0 (, b) és un punt singulr de f si f (x 0 ) = 0. Teorem. Sigui f un funció rel definid en un intervl (, b). Sigui t (, b) i f derivble en t. Si f té un extrem reltiu en t, leshores t és un punt singulr de f. El recíproc no és cert, tl com es pot comprovr mb l funció f(x) = x 3. Els punts singulrs que no són extrems locls s nomenen punts d inflexió Condicions suficients de primer i de segon ordre Monotoni i primer derivd. [, b] i derivble en (, b). Aleshores: Sigui f : [, b] R un funció contínu en Si f (x) 0 (resp. ) x (, b), leshores f és creixent (resp. decreixent) en [, b], i vicevers. Si f (x) > 0 (resp. <) x (, b), leshores f és estrictment creixent (resp. estrictment decreixent) en [, b]. El recíproc no és cert. Condició suficient de primer ordre. Sigui f : [, b] R un funció contínu en [, b]. Sigui t (, b), tl que f és derivble en (, b) \ {t}. Si f 0 (f 0) en un entorn l esquerr de t i f 0 (resp. f 0) en un entorn l dret de t, leshores f té un màxim (resp. mínim) reltiu t. Condició suficient de segon ordre. Sigui f : [, b] R un funció contínu en [, b] i derivble en (, b). Sigui t (, b) tl que f (t) = 0 i f és dos cops derivble t. Si f (t) > 0 (f (t) < 0), leshores f té un mínim (resp. màxim) reltiu t. 131

38 Convexitt i segon derivd. Sigui f : [, b] R un funció contínu en [, b] i dos cops derivble en (, b). Aleshores f 0 (f 0) en (, b) si, i només si, f és convex (resp. còncv) en [, b] Exercicis Exercici 14.1 Construïu l tul de derivdes següent: ) f(x) = k = f (x) = 0 b) f(x) = x n = f (x) = nx n 1 n 0 c) f(x) = ln x = f (x) = 1/x d) f(x) = e x = f (x) = e x f () per trobr un vlor prox- Exercici 14.2 Feu servir que imt de ) 4.1 b) ln 0.9 c) e 0.4 f( + dx) f() dx Exercici 14.3 Estudieu l derivbilitt de les funcions següents, i escriviu l corresponent funció derivd, llà on estigui definid: ) f(x) = x x { 1 x, si x 0; b) f(x) = e x, si x > 0. Exercici 14.4 Trobeu les derivdes lterls de l funció següent en el punt x = 0: { x, si x 0; f(x) = 1+e 1/x 0, si x = 0. Exercici 14.5 Demostreu que l equció 3x 4 + 4x 3 + c = 0 pot tenir, com màxim, un rrel més petit o igul que 1, no import el vlor de c. Exercici 14.6 Demostreu que el polinomi (x + 1)(x + 2)(x + 3) + x(x + 2)(x + 3) + x(x + 1)(x + 3) + x(x + 1)(x + 2) té tres rrels rels. Exercici 14.7 L funció f(x) = 1 (x 1) 2/3 s nul. l ls extrems de l intervl [0, 2], però no hi h cp x (0, 2) tl que f (x) = 0. Contrdiu ixò el teorem de Rolle? 132

39 Exercici 14.8 Sigui f : [, b] R un funció contínu en [, b] i derivble en (, b). Demostreu: f (x) = 0 x (, b) f(x) = k x [, b] Exercici 14.9 Demostreu l vlides de les desigultts següents per tot x 0: x 1 + x ln(1 + x) x Exercici Sigui f : R R un funció derivble. Demostreu que si f és estrictment creixent, leshores f(x + 1) f(x) < f (x) < f(x) f(x 1) x R. Doneu un interpretció geomètric d quest resultt. Exercici Escriviu l fórmul de Tylor mb residu per les funcions següents ens els punts indicts. Fent n = 6, estimeu l mgnitud del residu en cd cs. ) e x en el punt 0, i tmbé en el punt. b) ln(1 + x) en el punt 0. Exercici Demostreu que si un funció f és prell leshores f (x) = f ( x), i que si és senr leshores f (x) = f ( x). Utilitzeu quest fet per demostrr que si f és prell el seu desenvolupment de Tylor en el punt 0 només té potències prells de x, mentre que si és senr només en té de senrs (suposeu l existènci de les derivdes necessàries). Exercici Sigui f(x) = e x 1 2x. ) Clculeu els màxims i els mínims de f. b) Són bsoluts o reltius? c) Quntes rrels té quest funció? d) Aproximeu les rrels mb un error més petit que 1/10. Exercici Estudieu els extrems bsoluts i reltius de x 3 + 3px + q. 133

40 14.4 Diferencició de funcions de diverses vribles Diferencil Definició de funció diferencible Sigui f : D R n R m, i Ḋ (de fet, n hi huri prou que D D ). Es diu que l funció f és diferencible en el punt si, i només si, existeix un plicció linel Df() : R n R m tl que f(x) f() Df()(x ) lim x x = lim h 0 f( + h) f() Df()(h) h = Diferencil. Mtriu jcobin En quest cs, l plicció linel Df() s nomen diferencil de f en, i l sev mtriu s nomen mtriu jcobin de f en, i es denot Jf() Interpretció geomètric L interpretció geomètric de l diferencil és ben conegud en dimensió 1 (n = 1, m = 1) on, si f : R R, l sev diferencil en un punt és Df() : R R x f ()x i f s proxim, en un entorn del punt, per l sev rect tngent: f( + h) f() + f ()h o, si es prefereix, f(x) f() + f ()(x ). En dimensió 2 (n = 2, m = 1), si f : R 2 R, leshores l sev diferencil en un punt (, b) és Df(, b) : R 2 R (x, y) Ax + By i f s proxim, en en entorn del punt (, b), pel seu pl tngent: f( + h, b + k) f(, b) + Ah + Bk o, si es prefereix, f(x, y) f(, b) + A(x ) + B(y b). En generl, per qulsevol dimensió (n qulsevol, m = 1), si f és diferencible, l diferencil en un punt permet definir un hiperplà que proxim l funció loclment, en un entorn del punt Exemples ) Si f : R n R m és constnt, f(x) = c x R n, leshores f és diferencible tot R n mb Df() = 0 i Jf() = 0 per tot R n. b) Si f : R n R m és linel mb mtriu ssocid M, f(x) = Mx, leshores f és diferencible tot R n mb Df() = f i Jf() = M per tot R n. c) Si f : R 2 R és l funció producte, f(x, y) = xy, leshores f és diferencible tot R 2 mb Df(, b)(x, y) = bx + y i Jf(, b) = (b, ) per tot (, b) R

41 d) Si f : R 2 R està definid per f(x, y) = y 2, leshores f és diferencible tot R 2 mb Df(, b) = 2by i Jf(, b) = (0, 2b) per tot (, b) R Propietts ) L diferencil d un funció f en un punt es pot clculr component component, i les files de l mtriu jcobin de f són les mtrius jcobines de les components f i. b) L diferencil d un funció f en un punt stisfà Df()(0) = 0. c) L diferencil d un funció f en un punt, Df(), és un funció contínu. d) Si f és un funció diferencible en, leshores f és contínu en. e) Linelitt de l diferencil: siguin f, g : R n R m diferencibles en R n. Aleshores i) f + g és diferencible en, i ii) λf és diferencible en, i D(f + g)() = Df() + Dg(). D(λf)() = λdf(). f) Producte i quocient: siguin f, g : R n R (m = 1), diferencibles en el punt R n. Aleshores i) fg és diferencible en, i D(fg)() = g()df() + f()dg(). ii) Si g() 0, leshores f/g és diferencible en, i D(f/g)() = g()df() f()dg() g() 2. g) Regl de l cden: si f és diferencible en i g és diferencible en f(), leshores g f és diferencible en, i D(g f)() = Dg(f())Df(). Atenció: en dimensió superior 1, l ordre d quests productes no és irrellevnt! 135

42 Derivdes prcils Definició de derivd prcil Sigui f : D R n R (m = 1), i Ḋ. L derivd prcil i-èsim de f en es defineix com: D i f() = f x i () f( + he i ) f() = lim = h 0 h f( 1,..., i + h,..., n ) f( 1..., n ) = lim. h 0 h Així, doncs, l derivd prcil i-èsim de f en és l derivd de l funció d un vrible R R n R h + he i f( + he i ) en el punt h = 0, si existeix. Si A és un conjunt obert i f té derivd prcil i-èsim tots els punts d A, leshores es pot considerr l funció derivd prcil i-èsim: D i f : A R D i f() Repetint, si és possible, el mteix procés, s obtenen les derivdes prcils d ordre superior: D j (D i f) = D ij f, és dir, x j x i f = 2 f x i x j. Teorem de Schwrz: Si f és un funció tl que D ij f i D ji f són contínues en un obert A, leshores D ij f = D ji f en A Exemples ) Les derivdes prcils de primer i de segon ordre de l funció f(x, y) = sin xy 2 es poden clculr sense dificultt. En prticulr, s observ que, en quest cs, 2 f x y = 2 f y x. b) Sigui f(x, y) = xy x2 y 2 x 2 +y 2 en quest cs, (x, y) (0, 0), i f(0, 0) = 0. Es pot comprovr que, 2 f x y 2 f y x Diferencibilitt i derivdes prcils Sigui A un subconjunt obert de R n, i sigui f : A R n R m. Aleshores, 136