Matrius i determinants

Transcripción

1 Mtrius i determinnts

2 Mtrius i determinnts Mtrius Un mtriu és un grup de nombres orgnitzts en files i columnes, limitts per prèntesis: n columnes n n A= n m 1 m2 m3... mn Files m dimensió m n Un element d un mtriu s express de form generl: ij i indic l fil, j indic l column Mtrius importnts L mtriu qudrd: mtriu de dimensió n n. L mtriu digonl: els seus elements són 0, excepte els de l digonl. L mtriu identitt I n : mtriu digonl en l qul tots els elements de l digonl són 1. L mtriu trnsposd d un mtriu A, A T, és l mtriu que result de cnvir filles per columnes de l mtriu A. Opercions mb mtrius: Sum i rest si A = ( ij ) i B = (b ij ) són mtrius de dimensió m n: A + B = ( ij ) + (b ij ) = ( ij + b ij ) A B = ( ij ) (b ij ) = ( ij b ij ) Multiplicció per esclr si r és un nombre rel, i A = ( ij ) és un mtriu, el producte de l mtriu per l esclr és: r A = r ( ij ) = (r ij ) Multiplicció Si A = ( ij ) és un mtriu m n i B = (b ij ) és un mtriu n r, l mtriu producte de A per B, P = (p ij ) = A B, és un mtriu m r, i els seus elements es clculen de l mner següent: p ij = i1 b 1j + i2 b 2j + i3 b 3j in b nj Si el producte de dues mtrius qudrdes de dimensió n n, A i B, és igul I n A B = B A = I n llvors es diu que B és l mtriu invers de A, i es denot per B = A Per exemple, l mtriu invers de és A 1 = =

3 Determinnts El determinnt d un mtriu qudrd és un nombre que, entre d ltres pliccions, és molt útil per sber si un mtriu té invers i per clculr-l. Per indicr que s està clculnt el determinnt d un mtriu, els elements d quest s hn de posr entre dos segments verticls. Càlcul del determinnt Mtriu 1 1: igul l nombre que compon l mtriu. Mtriu 2 2: igul l producte dels elements de l digonl menys el producte dels ltres dos elements. Mtriu 3 3: = Mtriu 4 4: càlcul de form recursiv, prtir de mtrius 3 3: = 11 α α α α essent α ij el menor complementri de ij, és dir, el determinnt que result d eliminr l fil i i l column j del determinnt. Càlcul de l invers d un mtriu Un mtriu qudrd n n es pot invertir sempre que l sev determinnt no sigui 0. A ( A') det( A) 1 1 = T essent A l mtriu d djunts dels elements de l mtriu A. Un djunt d un element ij de l mtriu A se denot ij A ij = ( 1) i+j α ij essent α ij el menor complementri de ij Resolució de sistemes mb mtrius x b n x x n x n = b 1 x b 21 x x n x n = b n x = b es pot escriure n m1 x 1 + m2 x mn x n = b m... m1 m 2 m 3 mn x b n m A X = B El sistem té solució si rng(a) = rng(a * ) o Si rng(a) = n l solució és únic: X = A 1 B, essent A un menor d ordre n de l mtriu A que el seu determinnt no és 0 i B les files de B que coincideixin mb les files del menor d ordre n escollit. o Si rng(a) < n el sistem té infinites solucions. El sistem no té solució si rng(a) rng(a * ). Tmbé es poden utilitzr mtrius per resoldre un sistem pel mètode de Guss.

4 Què és un mtriu i quins són els seus elements? Un mtriu és un conjunt de nombres orgnitzts en files i columnes, i tncts entre un prèntesi. Els elements de l mtriu de designen prtir de l posició que hi ocupen (fil i column), i l form generl de denominr un mtriu és mb un lletr minúscul mb subíndexs ij (i per les files, j per les columnes), tnct entre prèntesis: ( ij ). Un mtriu és un conjunt de nombres orgnitzts en files i columnes, i tncts entre dos prèntesis. Aquests són lguns exemples de mtrius: En form generl, un mtriu s escriu de l mner següent: n n A = n m 1 m2 m3... mn L element de l fil i i column j de l mtriu A se represent com ij. Per exemple, en l mtriu següent B, es poden determinr lguns dels elements: L form generl de designr un mtriu utilitz un lletr minúscul mb subíndexs ij (i per les files, j per les columnes), tnct entre prèntesis: ( ij ); tmbé es pot utilitzr l mteix lletr en mjúscules, sense subíndexs: A = ( ij ) Si un mtriu té m files i n columnes, es diu que té dimensió m n. Així, per exemple, l mtriu A: A = té dimensió 2 4. Dues mtrius són iguls sempre que tots els seus elements siguin iguls i ocupin les mteixes posicions; és dir ( ij ) =(b ij ) si ij = b ij per qulssevol i, j Algunes mtrius especils són: L mtriu qudrd: l que té el mteix nombre de files que de columnes, és dir, de dimensió n n. L digonl d un mtriu està formd per quells elements l fil i l column dels quls tenen el mteix nombre, és dir, 11, 22, 33 L mtriu digonl: l mtriu qudrd els elements de l qul són 0 excepte els de l digonl. 1

5 L mtriu identitt: mtriu digonl en l qul tots els elements de l digonl són 1. L mtriu identitt de dimensió n n s indic mb I n. L mtriu trnsposd d un mtriu A, denomind A T, és l mtriu que result de cnvir files per columnes en l mtriu A. Per exemple T A= A = es pot observr que, per exemple, l primer fil d A, ( 1 3 5), coincideix mb l primer column de l trnsposd. Es pot comprovr que ixò pss en tots els prells files/columnes. Com es f l sum i rest de mtrius, i l multiplicció per un nombre? Dues de les opercions principls entre mtrius són l sum (rest) de mtrius, i el producte d un mtriu per un nombre, denomint tmbé esclr. Dues mtrius es poden sumr o restr qun les seves dimensions són les mteixes. En quest cs, l sum de les mtrius és igul l sum ordend dels elements que ocupin l mteix posició. El producte d un mtriu per un nombre sempre es pot fer, i consisteix multiplicr tots els elements de l mtriu per quest nombre. Dues mtrius es poden sumr o restr únicment si les seves dimensions són les mteixes. En quest cs, l sum de les mtrius és igul l sum ordend dels elements que ocupen l mteix posició, i el resultt de l qul s hurà de posr en l mtriu sum, en l mteix posició. És dir, si A = ( ij ) i B = (b ij ) són mtrius de dimensió m n, llvors l sum és A + B = ( ij ) + (b ij ) = ( ij + b ij ) l rest és A B = ( ij ) (b ij ) = ( ij b ij ) Alguns exemples poden judr entendre questes opercions. Es consideren questes mtrius: A = B = C = En primer lloc, es pot ssegurr que no es poden sumr ni restr A i C, ni tmpoc B i C, perquè no tenen l mteix dimensió. En cnvi es poden fer l sum i l rest d A i B, de l mner següent: A+ B = = = es pot comprovr que l sum de l element de l fil 1 i column 2 (en verd) de l mtriu A, se sum mb l element que ocup l mteix posició en l mtriu B, i el resultt que ocup l mteix posició en l mtriu sum = 3. Així es f l sum mb tots els prells d elements de les mtrius A i B. De mner semblnt es f l rest d mbdues mtrius: A B = =

6 En quest cs, en lloc de sumr, es resten els elements de l segon mtriu ls elements de l primer. Per exemple, l element de l fil 1 i column 2 (en verd) de l mtriu A, se li rest l element que ocup l mteix posició en l mtriu B, i el resultt ocup l mteix posició en l mtriu rest: 2 1 = 1. Les propietts de l sum de mtrius són molt semblnts les propietts de l sum de nombres, tenint en compte que sempre hn de ser mtrius de l mteix dimensió: Commuttiv: A + B = B + A Associtiv: A + B + C = A + (B + C) = (A + B)+ C Element neutre: hi h un mtriu, denomind element neutre, que sumd qulsevol ltr mtriu de l mteix dimensió, A, té com resultt sempre A. A; quest mtriu es denomin 0 mn o mtriu nul l, és dir, l mtriu de dimensió m n que té totes les seves posicions ocupdes per 0. Per exemple, l mtriu 0 22 és igul = 0 0 Tot mtriu té un element opost, que sumt mb l originl result l element neutre. L element neutre d A es denomin A. Per exemple: A = A = j que A+ ( A) = = El producte d un mtriu per un nombre sempre es pot fer, i consisteix multiplicr tots els elements de l mtriu per quest nombre. És dir, si r és un nombre rel, i A = ( ij ) és un mtriu, el producte de l mtriu per l esclr és: r A = r ( ij ) = (r ij ) Per exemple, continunt mb l mteix mtriu A dels exemples nteriors: ( 3) A = = ( 2) = ( 1) Per dividir un mtriu per un nombre s h de multiplicr quest mtriu per l invers del nombre. Com es f el producte de mtrius? El producte de dues mtrius solment es pot fer en el cs que el nombre de columnes de l primer mtriu coincideixi mb el nombre de files de l segon mtriu. Si ixò és ixí, el producte d mbdues mtrius és un ltr mtriu que té el mteix nombre de files que l primer mtriu, i el mteix nombre de columnes que l segon mtriu. Per trobr un element de l mtriu producte, s hn de multiplicr ordendment els elements de l fil corresponent de l primer mtriu pels elements de l column corresponent de l segon mtriu; continució s hn de sumr tots quests productes. Per multiplicr dues mtrius, A i B, per obtenir A B, s h de comprovr que el nombre de columnes de l mtriu A coincideixi mb el nombre de files de l mtriu 3

7 B. És dir, si A és un mtriu de dimensió m n, només es pot multiplicr per l mtriu B si quest té dimensió n r. En el cs que ixò sigui ixí, l mtriu producte, P = A B, té dimensió m r, és dir, el mteix nombre de files que l mtriu A, i el mteix nombre de columnes que l mtriu B. Per trobr l element p ij, s hn de multiplicr ordendment els elements de l fil i de l mtriu A, pels elements de l column j de l mtriu B. Finlment, p ij és l sum de tots quests productes. Un exemple il lustrrà quest procediment: A = B = En primer lloc, podem observr que A B es pot fer perquè A té 3 columnes i B té 3 files; l mtriu resultnt tindrà 4 files (igul que A) i 2 columnes (igul que B). En cnvi, B A no es pot fer, perquè B té 2 columnes, mentre que A té 4 files. Per trobr l element p 11 (en vermell) de l mtriu producte, P = A B, s hn de multiplicr ordendment els elements de l fil 1 de l mtriu A (en verd), mb els elements de l column 1 de l mtriu B (en blu): p p p31 p p4 1 p42 A B = = 3 p és dir, p 11 = ( 1) = 3. per trobr p 12, s h de multiplicr l fil 1 per l column 2: és dir, p p p31 p p41 p42 A B = = p 12 = ( 1) = 7. i ixí successivment fins trobr el producte A B = 1 2 = Així, doncs, es pot dir en generl que si A = ( ij ) és un mtriu m n i B = (b ij ) és un mtriu n r, l mtriu producte d A per B, P = (p ij ) = A B, és un mtriu m r, i els seus elements es clculen de l mner següent: p ij = i1 b 1j + i2 b 2j + i3 b 3j in b nj El producte de mtrius té les següents propietts: Associtiv: A B C = A (B C) = (A B) C L element neutre del producte de mtrius qudrdes és l mtriu identitt, I n. És dir, si A és un mtriu qudrd n n, A I n = I n A = A. De vegdes (encr que no sempre), hi h mtrius qudrdes que tenen element invers. Aquest mtriu, qun existeix, es denomin invers; tmbé es diu que l mtriu A és invertible. L mtriu invers d un mtriu qudrd de dimensió n n A, s indic A 1, i compleix: A A 1 = A 1 A = I n 3 p p 4

8 En generl, el producte de mtrius NO és commuttiu. És dir, si A i B són dues mtrius, qun es poden fer els productes A B i B A, generlment: A B B A encr que lgunes vegdes, molt poques, podri ser igul. Què és el determinnt d un mtriu qudrd i quin és l sev utilitt? El determinnt d un mtriu qudrd és un nombre. Per trobr-lo s hn de fer un sèrie d opercions mb els elements de l mtriu. El determinnt d un mtriu és molt útil per esbrinr si un mtriu té invers i és de grn jud en el càlcul de l invers de l mtriu, sempre que quest es pugui invertir. Per cd mtriu qudrd es pot definir un nombre que és de grn jud, entre ltres coses, per determinr si quest mtriu és invertible, i en cs firmtiu, tmbé és imprescindible per l càlcul de l invers d quest mtriu. Aquest nombre es denomin determinnt de l mtriu. Per indicr el determinnt d un mtriu, els elements d quest s hn de posr entre dos segments verticls, i no entre prèntesis. Per exemple, el determinnt de l mtriu A s indic com segueix: A = el seu determinnt s'inidic ixí tmbé es pot indicr d quest ltr mner: det(a). Es definirà el determinnt de mner recursiv, és dir, primer per mtrius de dimensió 1 1, continució per mtrius de dimensió 2 2, i ixí successivment. El determinnt d un mtriu 1 1 és igul l nombre que compon l mtriu. Per exemple, si A = (3) det(a) = 3 = 3 El determinnt d un mtriu 2 2 és igul l producte dels elements de l digonl menys el producte dels ltres dos elements. Per exemple, 1 1 si A = det(a) = 1 1 = 1 4 ( 1) 2 = El determinnt d un mtriu 3 3 es clcul sumnt quests tres productes: i restnt quests tres productes:

9 És dir, = per exemple, en l exemple nterior, el determinnt d A és igul : = ( 2) ( 1) + 2 ( 3) 3 ( 1) 1 ( 3) ( 2) 3= Per clculr el determinnt de mtrius de dimensió 4 4, s h de descompondre el determinnt de l mner següent: = és dir, es trct de multiplicr cd element de l primer column pel determinnt de l mtriu 3 3 que result d eliminr l fil i l column corresponent quest element; més, s hn d lternr els signes, començnt sempre pel signe +. Per exemple, l element 11 s h de multiplicr pel determinnt de l mtriu que result d eliminr l fil 1 i l column 1, és dir, se elimin fil 1, column l element 21, quest vegd cnvit de signe, s h de multiplicr pel determinnt de l mtriu que result d eliminr l fil 2 i l column 1, és dir: se elimin fil 2, column i d quest mner mb tots els elements de l primer column. Al determinnt que result d eliminr l fil i i l column j se l nomen menor complementri de l element ij, i s indic α ij (α, lf, és l primer lletr de l lfbet grec). Per exemple, en el cs de l mtriu 4 4 nterior, el menor complementri d 31 és α 31 =

10 Així, doncs, l expressió que clcul el determinnt 4 4 es pot simplificr encr més: = 11 α α α α per exemple, es pot clculr quest determinnt seguint l fórmul nterior: = Per clculr el determinnt de qulsevol mtriu qudrd se segueix el mteix procediment: es multiplic cd element de l primer column pel seu menor complementri; més, s hn d lternr els signes, començnt sempre pel signe +. És dir: n n n = 11 α α α 31 + ( 1) n+1 n1 α n1. n1 n2 n3... nn El càlcul del determinnt es pot fer mb qulsevol column (o fil) de l mtriu (mb un petit cnvi de signe en les columnes prells); s h utilitzt tn sols l primer column per simplificr l explicció. Qun es pot invertir un mtriu qudrd i com es f? Un mtriu qudrd es pot invertir sempre que l sev determinnt no sigui 0. Per trobr l invers d un mtriu que compleixi quest condició, s h de clculr l sev mtriu d djunts, trnsposr-l i, finlment, dividir el resultt entre el determinnt de l mtriu inicil. Un mtriu qudrd n n es pot invertir sempre que l sev determinnt no sigui 0. Per trobr l invers d un mtriu s h de definir, primer, el concepte d djunt d un element de l mtriu: l djunt de l element ij de l mtriu A, s indic mb A ij, i es defineix de l mner següent: A ij = ( 1) i+j α ij essent α ij el menor complementri de ij Es pot observr que si i+j és un nombre prell, A ij = α ij ; en cnvi, si i+j és un nombre senr, A ij = α ij. És dir, el signe que s h d nteposr l menor complementri per obtenir l element corresponent djunt es regeix per l mtriu de signes següent: Per exemple, l djunt de l element 34 és A 34 = ( 1) 3+4 α 34 = α 34. L mtriu formd per tots els djunts dels elements de l mtriu A s nomen mtriu d djunts d A, i s indic mb A. 7

11 Un vegd trobd l mtriu d djunts d A, és molt senzill trobr l mtriu invers d A: A ( A') det( A) 1 1 = T Dit d un ltr mner, l mtriu invers d A és l mtriu d djunts, trnsposd i dividid entre el vlor del determinnt d A. És evident que, com j s h dit, el determinnt d A h de ser diferent de 0; en cs contrri, l fórmul no es pot plicr Per exemple, si l invers d A = 2 1 2, es clcul ixí: sbem que = clculem l mtriu d djunts i l sev trnsposd: A = (A ) T = Per tnt, l invers d A és: A = cos que es pot comprovr fàcilment: AA = = 14 = I n De l mteix mner es pot comprovr fàcilment que A 1 A = I n. Com es poden fer servir les mtrius per determinr si un sistem d equcions linels té solució? Un sistem d equcions linels es pot expressr en form mtricil. Per sber si el sistem té solucions i quntes en té, s hn de conèixer els conceptes de menor d ordre k d un mtriu, el rng de l mtriu i de l mtriu mplid. Si un mtriu i l sev mplid tenen el mteix rng, el sistem té solució; en cs contrri, el sistem no té solució. Un sistem d equcions linels com el següent: 11 x x n x n = b x x n x n = b m1 x 1 + m2 x mn x n = b m es pot expressr en form mtricil de l mner següent: 8

12 x b n n x2 b n x 3 = b 3 m 1 m2 m3... mn x n b m que es denomin equció mtricil, del tipus A X = B, essent X un mtriu n 1 d elements desconeguts. Per conèixer el nombre de solucions d un sistem mtricil s hn d introduir lguns conceptes: menor d ordre k, rng d un mtriu i mtriu mplid d un sistem mtricil. Dond un mtriu A, si se seleccionen k files i k columnes d quest mtriu, i es clcul el determinnt d questes k files i k columnes, quest determinnt se l nomen menor d ordre k de l mtriu A. En cs que s escullin totes les files excepte un, i totes les columnes excepte un, com és sbut, ens trobem dvnt un menor complementri. Vegem-ne un exemple: menor d'ordre eliminnt files 1,2 = i columnes 2, De vegdes, tmbé s nomen menor d ordre k l mtriu, sense clculr el determinnt. En l exemple nterior tmbé podri denominr-se menor d ordre 2 l mtriu 2 6. El context ens clrirà el significt concret, tot i que el més hbitul 0 3 és que designi el determinnt, i no només l mtriu. El rng d un mtriu és l ordre màxim dels menors de l mtriu que no són 0. L ordre d un mtriu A s indic rng(a). Per trobr-lo, s hn de clculr menors d ordre màxim, per si n hi hgués lgun de diferent de 0; si no és ixí, es clculen tots els menors d ordre un unitt menor, per si n hi hgués lgun de diferent de 0. I ixí successivment. L ordre del primer menor diferent de 0 serà el rng de l mtriu. Per exemple, en el cs de l mtriu nterior; s observ que el determinnt és 0 (és dir, el menor d ordre 4 és 0), ixí, s h de comprovr si hi h lgun menor d ordre 3 que no sigui 0: menor d'ordre eliminnt fil 1 = i column per tnt, quest mtriu té rng 3, perquè un dels seus menors d ordre 3 no és 0. L mtriu mplid d un sistem mtricil A X = B és l mtriu formd per l mtriu A més l column B; generlment, questes dues prts de l mtriu mplid se sepren per un líni. Normlment, l mtriu mplid s indic A *. En el sistem mtricil inicil, l mtriu mplid és: n b1 b = m 1 m2 m3... mn b m n 2 * A n b3 Dont un sistem mtricil A X = B, essent A un mtriu m n: El sistem té solució en els csos que el rng de l mtriu A i el de l mtriu mplid són iguls: 9

13 rng(a) = rng(a * ) i es poden donr els csos següents: o Si rng(a) = n= m l solució és únic, és dir, hi h un únic mtriu n 1 que compleix que A X = B. o Si rng(a) < n l solució no és únic; de fet, en questes condicions, el sistem té infinites solucions. El sistem no té solució si el rng de l mtriu A, i el de l mtriu mplid són diferents, és dir, si rng(a) rng(a * ) per exemple, el sistem d equcions linels: x + y + z w = x 1 y z + w = 1 equivl y 1 = 3x + 6z 6w= z 6 y+ z w = w 1 en quest cs, rng(a) = rng(a * ) = 2 < n = 4. Per tnt, quest sistem té infinites solucions (com es pot comprovr en el tem dedict sistemes d equcions). Com es clcul el rng d un mtriu? Hi h diverses tècniques per clculr el rng d un mtrius. Són procediments no gire complicts, però poden rribr-se fer molts llrg pels càlculs que comporten. Veurem un procediment que us els conceptes de determinnt i de menor, i que és prou efectiu qun les dimensions de les mtrius no són molt grns. Aplicnt quest procediment sempre trobrem el rng de l mtriu. Segons l mtriu que utilitzem el procediment podri breujr-se, però ixò no ho podem grntir sempre. Per tnt, encr que de vegdes el procés s llrgui un mic, és convenient seguir quest gui: 1. Es busc un menor d ordre 1 no nul. - Si no existeix, leshores el rng(a)=0, i el procediment s h cbt. - Si existeix, leshores el rng(a) és com mínim 1, i continuem mb el ps següent. 2. Es clculen els menors d ordre 2 que contenen el menor d ordre 1 nterior. - Si tenen determinnt 0 o no existeixen, leshores, el rng(a)=1. - Si n existeix un de diferent de 0, leshores, el rng(a) és com mínim 2, i continuem mb el ps següent. 3. Es clculen els menors d ordre 3 que contenen el menor d ordre 2 nterior. - Si són 0 o no existeixen, leshores, el rng(a)=2. - Si n existeix un diferent de 0, leshores, el rng(a) és com mínim 3, i continuem mb el ps següent. 4. Es v repetint el procés fins que no sigui possible fer menors d ordre superior. És evident que el procediment sempre s turrà en lgun moment, i donrà un vlor concret per l rng de l mtriu. Per exemple, si volem clculr el rng de l mtriu: A =

14 hem de fer: 1. Seleccionem el vlor 1, que no és 0, de l primer fil/primer column Prenem un menor = 0 que inclou l 1 del menor nterior. Per tnt, cl mirr un ltre menor que tmbé contingui l 1. Prenem =, diferent de 0, per tnt, el rng és com mínim Prenem un menor que inclogui el menor nterior. Per exemple, = 2, per tnt, diferent de 0. El rng és com mínim No hi h cp menor d ordre 4, per tnt, el rng de l mtriu és 3. Com es troben les solucions d un sistem expresst mtricilment? Les solucions d un sistem mtricil es troben trnsformnt el sistem inicil en un ltre l mtriu principl del qul sigui qudrd i de determinnt diferent de 0. A prtir d quest sistem, i usnt l invers d quest últim mtriu és reltivment senzill trobr les solucions del sistem. Si el sistem mtricil A X = B té solució únic (és dir, es compleix que rng(a) = rng(a * ) = n = m), es tri un menor d ordre n de l mtriu A el determinnt del qul no sigui 0 (i se l nomen A ) i es trien les files de B que coincideixin mb les files del menor d ordre n escollit ( questes files s nomenen B ). Per resoldre el sistem A X = B, n hi h prou mb resoldre A X = B. Ar bé, com que A és un mtriu qudrd el seu determinnt de l qul no és 0, existeix l sev invers. Per 1 tnt, podem fer multiplicr bnd i bnd per A : 1 1 A AX = A B Sbem que A 1 A= In, per tnt, l solució del sistem és: X = A 1 B Per exemple, l solució del sistem: x+ y+ z = x 2x 5y 2z= 2 equivlent y = 3x+ 4y+ z = z 2x+ 2y+ 2z = és únic perquè rng(a) = rng(a * ) = 3. Per resoldre l s h d escollir un menor d ordre 3 que no sigui 0 (per exemple, les tres primeres files) 11

15 1 1 1 A = A = B = 2 i l solució del sistem és X = = X = A 1 B Així, doncs, x = 1, y = 2, z = 3. En el cs que el rng(a) = rng(a * ) = r < n, s h de fer el mteix; però un vegd escollit el menor d ordre r, s h de trnsformr el sistem d equcions inicil, de mner que les incògnites que no corresponguin mb un column del menor nterior, s hn de situr l ltre costt del signe igul. Així s obtindrà un sistem mb r incògnites, que es podrà expressr en form mtricil. Així, tmbé l B contindrà lgun de les incògnites. Ar j es podrà resoldre el nou sistem de l mteix form (perquè es trct d un sistem mb r incògnites, l mtriu de l qul té rng r). S h d ssenylr que l solució, en quest cs, vindrà dond en termes d lgunes de les incògnites, per l qul cos no serà un solució únic. Per exemple, el sistem x + y + z w = x 1 y z + w = 1 que equivl y 1 = 3x + 6z 6w= z 6 y+ z w = w 1 en quest cs, rng(a) = rng(a * ) = 2 < 4. Per tnt, primer s h de modificr el sistem originl: x + y + z w = 1 x + y = 1 z + w y z w 1 + = y = 1+ z w 3x + 6z 6w= 6 3x = 6 6z+ 6w y+ z w = 1 y= 1 z + w que en form mtricil s express ixí: z + w 0 1 x 1+ z w = 3 0 y 6 6z+ 6w z + w si escollim un menor de rng 2 obtenim: 1 1 x 1 z+ w = 0 1y 1+ z w per tnt, 1 x z+ w z+ w 2 2z+ 2w = = = y z w z w 1+ z w podem donr el vlor que vulguem z i w, i per cdscun d quests tindrem un solució del sistem. Com es fn servir les mtrius per gilitr el mètode de Guss? Es pot reescriure el mètode de Guss pr l resolució d equcions, utilitznt només l mtriu mplid del sistem, sense necessitt d escriure repetidment les incògnites. 12

16 Es pot utilitzr el mètode de Guss pr l resolució d equcions trnsformnt només l mtriu mplid, sense necessitt d escriure repetidment les incògnites. Així, per exemple, per resoldre quest sistem: x y = 0 2x 2y+ z + 2w= 4 y + w = 0 2z+ w = 5 els pssos seguir utilitznt Guss serien: x y = 0 x y = 0 2x 2y z 2w = 2ª-2 1ª z + 2w= 4 intercnvi 2ª/3ª y + w = 0 y + w = 0 2z+ w = 5 2z+ w = 5 x y = 0 x y = 0 intercnvi 2ª/3ª y w 0 + = 4ª-2 3ª y + w = 0 z + 2w= 4 z+ 2w = 4 2z+ w = 5 3w= 3 i continució s us l substitució cp enrere. Aquests pssos es poden escriure mtricilment, utilitznt l mtriu mplid: ª-2 1ª intercnvi 2ª/3ª intercmvi 2ª/3ª ª-2 3ª i, continució, s plic l substitució cp enrere. D quest mner se simplific bstnt l expressió de l resolució. 13

17 14