Tema 9 Càlcul integral de funcions reals de variable real

Transcripción

1 Tem 9 Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel Ojectius: 1. Clculr funcions primitives m wxmxim. 2. Prcticr m el concepte de funció integrle i l integrl d un funció. 3. Trellr m funcions definides mitjnçnt integrls 4. Clculr integrls de form proximd. 5. Estudir lgunes pliccions de l integrl. 6. Estudir l generlitzció de l integrl (integrls impròpies). Continguts: Antiderivdes o primitives d un funció. Integrl indefinid Integrl d un funció en un intervl. Càlcul d integrls L funció integrl. Apliccions Càlcul proximt d integrls. Integrció numèric Integrls impròpies. Referències AEM11 ALANINOS PRATS, J; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P. (2011) Cálculo con wxmxim. APJ11 ALANINOS PRATS, J; APARICIO DEL PRADO, C; EXTREMERA LIZANA, J; MUÑOZ RIVAS, P.; VILLENA MUÑOZ, A.R. (2011) Práctics de ordendor con wxmxim. AP86 APOSTOL, T.M. (1986) Análisis Mtemático

2 BR09 BRUZÓN GALLEGO, M. DE LOS SANTOS; RAMÍREZ LABRADOR, JOSÉ (2009) Modelos mtemáticos con Mxim BU07 DE BURGOS, JUAN (2007) Cálculo Infinitesiml de un vrile (segund edición). ES08 ESTELA CARBONELL, M. ROSA; SAÀ SEOANE, JOEL (2008) Cálculo con soporte interctivo en moodle. ES02 ESTEP, DONALD (2002) Prcticl Anlysis in one vrile GV07 GONZÁLEZ VEGA, LAUREANO (2007) Lortorio de Mtemátics. Vol. 1: números y ecuciones GV07 GONZÁLEZ VEGA, LAUREANO (2007) Lortorio de Mtemátics. Vol. 2: límites y derivds JB01 JARAUTA BRAGULAT, EUSEBI (2001) Anàlisi Mtemàtic d un vrile. Fonments i pliccions. RR05 REDONDO NEBLE, M. VICTORIA; RODRÍGUEZ GALVÁN, J. RAFAEL (2005) Introducción Mxim RR08 RODRÍGUEZ RIOTORTO, MARIO (2008) Curso intensivo i-math de softwre lire orientdo Ciencis e Ingenierí RU80 RUDIN, WALTER (1980) Principios de Análisis Mtemático. SP95 SPIVAK, MICHAEL (1995) Clculus (Càlcul Infinitesiml). VR09 VALLEJO RODRÍGUEZ, JOSÉ ANTONIO (2009) Cálculo diferencil con Mxim 2 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

3 Antiderivdes o primitives d un funció. Integrl indefinid. Els continguts d quest prtt es desenvolupen l fitxer Tem_09-1.wxm. Definició. Si f :[, ] R R és un funció cotd en un intervl [, ], s nomen ntiderivd o primitiv de ƒ qulsevol funció F contínu en [, ], derivle en ], [ i tl que DF( x) = f ( x) per tot x ], [. Així per exemple, F x 3 1( ) x 2 = + i intervl [, ] R. F x 3 2( ) x 6 = són ntiderivdes de l funció f ( x) 3 2 = x en qulsevol Si F és un ntiderivd de f, és immedit ronr que el conjunt de totes les ntiderivdes de f s nomen integrl indefinid de f i es defineix mitjnçnt: { } D 1 ( f ( x)) = F( x) + C, DF( x) = f ( x), C= constnt Tmé és hitul designr l integrl indefinid d un funció m l notció clàssic f ( x) dx, notció que es justificrà més endvnt. L metodologi clàssic per l otenció de l integrl indefinid d un funció es fonment en dos resultts importnts: l fórmul d integrció per prts i el teorem del cnvi de vrile, que enunciem continució. Càlcul de primitives per prts. Si es trct de clculr l integrl indefinid d un funció f(x), es pot escriure quest funció com el producte f ( x) = u( x) Dv( x) i leshores es pot clculr l integrl indefinid de f mitjnçnt l expressió: ( ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ( ) ( )) D f x = D u x Dv x = u x v x D Du x v x + C L notció clàssic d quest mètode és: f ( x) dx= u( x) Dv( x) dx= u( x) v( x) Du( x) v( x) dx+ C Càlcul de primitives per cnvi de vrile. Per clculr l integrl indefinid d un f :, R R es consider un funció ϕ :[ c, d ] [, ] ijectiv i funció contínu [ ] derivle en l intervl ] c, d [ tl que Dϕ ( t) 0 per tot t ] c, d[. Aquest funció s nomen funció de cnvi de vrile. Per tnt, si x = ϕ( t) ixò equivl 1 més l funció invers ϕ és derivle en ], [, verificnt-se que t = ϕ 1 ( x) i Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 3

4 Dϕ ( x) = Dϕ ( t) 1 1 Si es consider r un ntiderivd G de l funció g( t) = f ( ϕ( t)) Dϕ( t) es compleix que: ( ) ( ) ( ) D G ϕ ( x ) = DG ϕ ( x ) D ϕ ( x ) = f ϕ( t ) D ϕ( t ) = ( ) Dϕ ( t) f x Així doncs, el càlcul d un ntiderivd de f es pot dur terme clculnt un ntiderivd de l funció g( t ) i leshores es compleix: ( ) ( ) ( ) D 1 f ( x) = D 1 g( t) ϕ 1 ( x) + C expressió que es coneix com ntiderivció o primitivció per cnvi de vrile o per sustitució. L notció clàssic d quest mètode és: 1 ( ) ϕ f ( x) dx= f ( g( t)) Dg( t) dt ( x) + C Anem veure com es desenvolup el càlcul d ntiderivdes o primitives m wxmxim. En primer lloc cl definir l funció integrr i després l instrucció que cl plicr és integrte especificnt l funció i l vrile. Així, per exemple: El resultt és l primitiv que podríem nomenr cnònic, j que l constnt d integrció és nul l. Si es vol un notció en l qul es vegi quest procés de form més clr, leshores: Tmé es pot clculr l integrl indefinid de funcions en l expressió de les quls hi h pràmetres. Per exemple: 4 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

5 Vegem un ltre exemple: En ocsions el progrm no dón l respost que es podri esperr; ixí, per exemple: Cl doncs vlur d lgun mner l integrl indefinid que preix l segon memre. Vegem el seu càlcul; en primer lloc definim l funció integrr: Ar clculrem un expressió d quest funció plicnt un simplificció lgeric d quest funció rcionl: I r j podem expressr-l com funció i clculr l sev integrl indefinid: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 5

6 Finlment j podem expressr l integrl indefinid que es voli clculr: Verifiquem l correcció dels càlculs, veient que en efecte, l derivd de l funció primitiv és l funció inicil: Vegem lguns exemples més: 6 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

7 En lguns csos el càlcul de l integrl indefinid no es pot dur terme, j que mlgrt que existeixi no es pot expressr en termes de funcions elementls. Vegem un exemple clàssic l respecte: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 7

8 Integrl d un funció en un intervl. Càlcul d integrls. Els continguts d quest prtt es desenvolupen l fitxer Tem_09-2.wxm. Si f : I [, ] = R R és un funció positiv i contínu i, per tnt, cotd en l intervl tnct [, ], l integrl definid, o senzillment l integrl, de l funció en l intervl es clcul mitjnçnt el Teorem fonmentl del Càlcul o regl de Brrow, el qul estleix que: [, ] [ ] f ( x) dx f ( x) dx= F( ) F( ) = F( x) on F és un ntiderivd o primitiv de f en [, ]. Si f : I [, ] = R R és un funció positiv i contínu trossos en l intervl tnct [, ], m discontinuïtts evitles o de slt en quest intervl, és dir, si Ik = [ xk, xk + 1], k = 1,2,..., p, I1 I p = I, i els límits lterls de l funció en els punts fronter d quests intervls són finits, si indiquem per 1 f ( x) f ( x), x I, k 1,2,..., p D f ( x) = F ( x), x I, leshores: = =, i si ( ) k k k k k [ xk, xk+ 1] p = k [, ] k= 1 [ xk, xk+ 1] f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx = F ( x ) F ( x ), k = 1, 2,..., p k k k + 1 k k L sintxi per l càlcul de l integrl d un funció en un intervl tnct m wxmxim és molt senzill i consisteix en definir l funció i plicr l instrucció integrte indicnt l funció, l vrile i els límits inferior i superior de l intervl d integrció: 8 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

9 Tnmteix, no sempre s oté el resultt que s esper: És dir, el progrm no sempre clcul l integrl de qulsevol funció i, per tnt, cl desenvolupr ltres metodologies que permetin quest càlcul. L millor és l que s nomen integrció numèric o càlcul proximt d integrls, que es veurà més endvnt. Aquí podem otenir un primer proximció plicnt el Teorem del vlor mitjà integrl, el qul estleix que f ( x) dx= µ ( ), m= min f ( x) µ M= mx f ( x) [, ] [, ] Es defineix el vlor mitjà integrl mitjnçnt: µ= 1 ( ) f ( x) dx En el cs nterior ens judem d un representció gràfic: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 9

10 S oserv que l funció és decreixent i per tnt, el seu màxim s ssoleix l extrem inferior de l intervl i el mínim l extrem superior de l intervl: Prenent com vlor intermedi l mitjn ritmètic del màxim i del mínim, result: L representció gràfic és: En el cs d un funció periòdic sinusoïdl, s nomen vlor eficç de l funció l rrel qudrd del vlor mitjà integrl del qudrt de l funció, és dir: V 1 ( ( )) 2 ef= f x dx ( ) 10 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

11 Il lustrem-ho gràficment m un exemple: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 11

12 L funció integrl. Apliccions. Els continguts d quest prtt es desenvolupen l fitxer Tem_09-3.wxm. Si f : I [, ] = R R és un funció integrle en un intervl tnct i fitt, es defineix l funció integrl o funció àre mitjnçnt: x f ( t) dt, si < x F( x) = 0, si x= Aquest funció té dues propietts molt importnts:,. Es contínu en l intervl [ ] Si l funció f és contínu en l intervl [, ], leshores l funció integrl F és derivle en ], [ verificnt-se que DF( x) = f ( x), x ], [. Am wxmxim es pot definir l funció integrl com s expos continució. En primer lloc definir l funció, fent servir un vrile diferent i continució clculr l integrl definid posnt com límit inferior l extrem inferior de l intervl i com extrem superior l vrile que s ssignrà l funció integrl. Vegem l sintxi: Exemple Considerem l funció f : [ 3,3] I= R R definid per: f t t t t 2 ( ) = , [ 3,3] En primer lloc ho expressem mitjnçnt un integrl: Ar definim l funció integrl: 12 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

13 Un representció gràfic conjunt m les dues funcions pot judr l interpretció; oservi s que per fer l representció gràfic cl redefinir l funció f fent servir l mteix vrile que per l funció integrl. Així: Atès que l funció f és contínu, l funció integrl F és derivle y s h de complir l propiett enuncid nteriorment. En efecte, clculem quest derivd: Oservi s que el vlor de l funció integrl en l extrem superior de l intervl h de coincidir m l integrl de l funció en l intervl. En efecte: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 13

14 Exemple Considerem l funció f : [ 0, 4] I= R R definid per: 6, si 0 x< 2 f ( x) = 3, si 2 x 4 Aquest funció no és contínu i oservrem que l funció integrl és contínu però no derivle en l intervl de definició. En efecte: Apliccions de l funció integrl. L definició de l funció integrl permet clculr derivdes de funcions definides mitjnçnt integrls, és dir, funcions de l form: 14 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

15 u( x) = f t dt ; G( x) ( ) = u( x) H ( x ) f ( t ) dt v( x) En efecte, plicnt l regl de l cden és immedit estlir que l derivd d questes funcions és: u( x) ( ) = ( ( ) ) = ( ( )) ( ) u( x) ( ) ( ) ( ) v( x) DG x D f t dt f u x Du x DH ( x ) = D f ( t ) dt = f u ( x ) Du ( x ) f v ( x ) Dv ( x ) Vegem com es fn els càlculs m wxmxim. Exemple Es trct de clculr l derivd de l funció definid per: Aleshores: G( x) = x e 2 log(1 + t) dt 2 2t Exemple Es trct de clculr l derivd de l funció definid per: Aleshores: 2 3x + 2x 1 x+ 1 t ( ) H ( x ) = 1+ e dt Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 15

16 16 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

17 Càlcul proximt d integrls. Integrció numèric. Els continguts d quest prtt es desenvolupen l fitxer Tem_09-4.wxm. Si f :[, ] R R és integrle en quest intervl, el Teorem fonmentl del Càlcul permet clculr l integrl de l funció en [, R. ] No ostnt ixò, hi h funcions per les quls el càlcul de l sev integrl indefinid és molt difícil o fins i tot no és expressle mitjnçnt funcions elementls, com és per exemple el cs de l funció 2 exp( x ), R i, per tnt, dmet un que és contínu en qulsevol intervl [ ] primitiv. Per poder resoldre el càlcul de l integrl en quests csos, es poden plicr mètodes proximts, com els que s estudien en quest prtt. Si f :[, ] R R és un funció integrle en [, ] l intervl un conjunt de punts P = { x0, x1,..., xn} de l intervl [, ] h = xk + 1 xk, k = 0,1,..., n 1. Nturlment es compleix h=. n R, s nomen prtició de tl que El mètode dels trpezis. En cd un dels intervls Ik = [ xk, xk + 1], k = 0,1,..., n 1 ssocits l prtició es consider l funció g k definid per l rect que pss pels punts ( x, f ( x )) i ( xk + 1, f ( xk + 1)) ; fet ixò, l integrl de l funció dond en l intervl I k es pot proximr per l integrl d quest funció linel en I k. Finlment, l integrl de l funció en [, R ] es pot proximr per l sum de les integrls de g k en I k : k k n 1 x n 1 k+ 1 f ( ) + f ( ) f ( x) dx gk ( x) dx = h f ( kh) x + + k k = 0 2 k = 1 expressió que és coneix com fórmul dels trpezis. Exemple Es vol clculr proximdment per l fórmul dels trpezis l integrl cos( x) de l funció f ( x) = 1+ en l intervl [0, 2] x Frem els càlculs finnt successivment l prtició de l intervl veient en primer lloc que el progrm no ens dón cp resultt si demnem clculr l integrl: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 17

18 Frem un representció gràfic de l funció en l intervl considert: I r j podem començr les itercions: 18 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

19 El mètode dels rectngles. En cd un dels intervls Ik = [ xk, xk + 1], k = 0,1,..., n 1 ssocits l prtició es consider l funció constnt g k definid pel vlor de l funció en el punt mig d quest intervl, és dir: x x g x f + k n 2 * k k+ 1 k ( k ) =, = 0,1,2,.., 1 Fet ixò, l integrl de l funció dond en l intervl I k es pot proximr per l integrl d quest funció constnt en I k. Finlment, l integrl de l funció en [, R ] es pot proximr per l sum de les integrls de g k en I k : n 1 k 1 * ( ) + k ( ) = ( k ) xk k = 0 x f x dx g x dx hf x expressió que és coneix com fórmul dels rectngles. Exemple Es vol clculr proximdment per l fórmul dels rectngles l cos( x) integrl de l funció f ( x) = 1+ en l intervl [0, 2] x J sem que el progrm no clcul quest integrl i tenim l representció gràfic fet en l Exemple nterior. J podem començr directment les itercions: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 19

20 El mètode de Simpson. Aquest mètode es s en l proximció de l funció per un polinomi de segon gru. Per tl de poder dur terme quest proximció es requereix que el nomre d intervls sigui prell i, per tnt, que el nomre de punts de l prtició sigui senr. Per tnt, indicrem n = 2 p, h = i els punts de l prtició sern P = { x0, x1,..., x2 p}. 2 p L expressió que result és: p 1 h f ( x) dx f ( x2k ) + 4 f ( x2k + 1) + f ( x2k + 2) 3 k= 0 ( ) expressió que és coneix com fórmul de Simpson. Exemple Es vol clculr proximdment per l fórmul dels rectngles l cos( x) integrl de l funció f ( x) = 1+ en l intervl [0, 2] x J sem que el progrm no clcul quest integrl i tenim l representció gràfic fet ns. J podem començr directment les itercions: 20 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

21 Mètodes implementts en wxmxim. El progrm wxmxim té implementt l noment mètode de Romerg, que és un mètode itertiu st en l fórmul dels trpezis (vegeu referències). L sintxi és molt senzill: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 21

22 Integrls impròpies. Els continguts d quest prtt es desenvolupen l fitxer Tem_09-5.wxm. Les integrls impròpies són un generlitzció de l integrl d un funció en un intervl, en els csos següents: 1) L intervl no és cott i l funció és cotd en quest intervl (integrls impròpies de primer espècie). 2) L intervl és tnct i l funció no és cotd en quest intervl (integrls impròpies de segon espècie). Poden donr-se conjuntment les dues situcions nteriors, plicnt-se leshores un metodologi que contempl els dos csos Integrls impròpies de primer espècie. Considerem un funció f :[, [ + R que compleix: - L funció és cotd en el seu domini; - L funció és integrle en tot intervl [, x] [, + [ qulsevol que sigui x >. En questes condicions es defineix l integrl (impròpi) de l funció en l intervl [, + [ mitjnçnt el límit l infinit de l sev funció integrl, és dir: + f ( t) dt= lim f ( t) dt x + x Si el límit existeix i és finit es diu que l integrl (impròpi) és convergent. En cs contrri, es diu que és divergent. Es defineixen de form nàlog: + f ( t) dt= lim f ( t) dt x x f ( t) dt= lim f ( t) dt+ lim f ( t) dt x + c x x x c Exemple Es consider l funció f ( x) = exp( x), > 0 definid en l intervl [0, + [. Es trct d il lustrr el mètode d estudi de l convergènci d quest integrl impròpi i, si és convergent, clculr-l. En primer lloc definim l funció: 22 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

23 Ar clculem l funció integrl: Ar clculrem el límit de l funció integrl: Atès que és finit, l integrl impròpi és convergent i vl 1/. L sintxi de wxmxim que permet els càlculs directment és: 1 Exemple Es consider l funció f ( x) =, 1 definid en l intervl [ 1, + [. x Es trct d il lustrr el mètode d estudi de l convergènci d quest integrl impròpi i, si és convergent, clculr-l. En primer lloc definim l funció: Dividirem l estudi en dos csos: > 1 i = 1. Ar clculem l funció integrl en el primer cs: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 23

24 Ar clculrem el límit de l funció integrl: Atès que és finit, l integrl impròpi és convergent i vl 1/-1. L sintxi de wxmxim que permet els càlculs directment és: Vegem r el cs = 1: En quest cs l integrl impròpi és divergent Integrls impròpies de segon espècie. Considerem un funció f :], R ] tl que: és integrle en tot intervl tnct [ δ ] 0 < δ < ; es compleix lim f ( x) =+. x + +, ], ] qulsevol que sigui Aleshores, es defineix l integrl impròpi de f en l intervl [, ] mitjnçnt: 24 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel

25 f ( t) dt= lim f ( t) dt δ 0 + δ Si quest límit existeix, l integrl impròpi es diu que és convergent; en cs contrri, es diu que és divergent. Es defineix de form nàlog l integrl impròpi de l funció f en l intervl [, ], en els csos:, δ [, [ qulsevol que sigui L funció és integrle en tot intervl tnct [ ] 0 < δ < i lim f = L funció és integrle en els intervls [, x0 δ ] i [ x0 δ, ] 0 < δ < mx { x, x } i lim f = lim f =. 0 0 x0 x0 + + qulsevol que sigui Exemple Es trct d estudir l convergènci de l integrl impròpi x 1 dx En primer lloc definim l funció: Ar clculrem l funció integrl: I finlment clculrem el límit lterl per l dret l extrem inferior de l intervl: Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel 25

26 Per tnt, l integrl impròpi és convergent. L sintxi per clculr-l m wxmxim és: Oservció. Considerem un funció f :], R ] tl que f és integrle en tot intervl tnct [ + δ, ] ], ] qulsevol que sigui 0 < δ < i es compleix lim f ( x) =+. Si es consider el cnvi de vrile definit per: x x = g( t) = + ; Dg( t) 2 t = t leshores es compleix: f ( x) dx = f + dt = f + dt t t t t és dir, l integrl impròpi de segon espècie s h trnsformt en un integrl impròpi de primer espècie. 26 Tem 9: Càlcul integrl de funcions rels de vrile rel