Oficina d Organització de Proves d Accés a la Universitat Pàgina 1 de 9 PAU 2011 SÈRIE 1

Transcripción

1 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 1 de 9 { 2x y +z = 2 1- Dond l rect r: x+z +1 = 0 : () Trobeu-ne un vector director SÈRIE 1 (b) Clculeu l equció contínu de l rect que és prl lel r i que pss pel punt P = (1,0, 1) () El vector director de l rect r es pot trobr de diferents mneres Potser l més senzill és efectur el producte vectoril dels vectors normls dels plns que l defineixen És dir, si i j k v r = 2 1 = i+j +k = ( 1,1,1), v r és vector director de l rect r Altres formes de buscr el vector director: Resolent el sistem de dues equcions mb tres incògnites que defineix l rect, rribem, per exemple, que y = 5 x i z = 1 x Això ens port les equcions prmètriques de l rect, x = λ; y = 5 λ; z = 1 λ Així, el vector director és v r = (1, 1, 1), els coeficients del pràmetre λ Les igultts y = 5 x i z = 1 x es poden trnsformr en x = 1 z = 5 y, d on l equció contínu de r és El vector director és v r = (1, 1, 1) x 0 1 = y +5 1 = z +1 1 El vector director de r h de ser ortogonl ls vectors normls dels plns que determinen l rect Busquem, doncs, (,b,c) tl que (,b,c) (2, 1,) = 0 i (,b,c) (1,0,1) = 0 D quí, 2 b+c = 0 i +c = 0 L solució d quest sistem és, per exemple, b =, c = Per tnt, el vector director busct és de l form v r = (,, ) Qulsevol vlor no nul de ens dón un vector director (b) L equció contínu de l rect buscd és x 1 1 = y 0 = z Si tenim l mtriu invertible A i l equció mtricil X A+B = C: () Aïlleu l mtriu X (b) Trobeu l mtriu X qun ( ) 1 2 A =, B = 1 1 ( ) i C = ( ) 1 1 1

2 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 2 de 9 () Tenim que X A+B = C = X A = C B = X = (C B) A 1 (b) Com que C B = ( ) i A 1 = ( ) 1 2, 1 1 ens qued ( ) ( ) ( ) X = = ( ) b Evidentment, tmbé es pot resoldre quest prtt posnt X = i plntejnt el sistem c d ( )( ) ( ) ( ) b = c d Definim les funcions f(x) = (1 x 2 ) i g(x) = x2 1, en què > 0 () Comproveu que l àre del recinte limitt per les gràfiques de les funcions és 4(1+ 2 ) (b) Busqueu el vlor del pràmetre perquè quest àre sigui mínim () Cl buscr els punts d intersecció de les dues gràfiques El vlor de l bsciss en un punt d intersecció és l solució de l equció f(x) = g(x); és dir, (1 x 2 ) = x2 1 D quí ens qued ( 2 +1)(1 x 2 ) = 0 Com que 2 +1 no és zero per cp vlor del pràmetre, tenim x = ±1 Llvors, tenint en compte que en l intervl [ 1,1] es compleix que f(x) > g(x) j que és clr que l àre buscd és A = 1 1 = (2 +1) (f(x) g(x)),dx = [ x x f(0) = > g(0) = 1, per ser > 0, ] 1 1 ( 1 1 = 4(1+2 ) (1 x 2 ) x2 1 ) dx = 1 1 ( 2 +1)(1 x 2 ) (b) Definim l funció h() = 4(1+2 ) Perquè el seu vlor sigui mínim cl que l primer derivd sigui nul l Com que Dh() = 4(2 1) 2, els vlors cndidts donr un màxim o un mínim són = 1 i = 1 A l enuncit ens diuen que > 0 Per tnt, l únic vlor possible és = 1 A més més, és fàcil veure que D 2 h() = 8 i, per tnt, D 2 h(1) = 8 > 0 dx

3 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin de 9 És dir, es trct d un mínim, tl com es voli Si es vol, l estudi de si en = 1 hi h relment un mínim es pot relitzr buscnt els signes de l primer derivd bns i després d quest vlor: Dh(0,5) = 4(0,52 1) (0,5) 2 = 4 < 0; Dh(1,5) 0,74 > 0 Com que l funció derivd és negtiv l esquerr (funció decreixent) i positiv l dret (funció creixent), en = 1 hi h un mínim 4- Considereu el sistem d equcions següent: x + 2y z = 2x + ( 5)y + z = 4+2 4x + ( 1)y z = 4 () Clculeu els vlors del pràmetre perquè el sistem no sigui comptible determint (b) Hi h lgun vlor de per l qul x = 1, y =, z = 1, sigui l únic solució del sistem? () Com que l mtriu del sistem és qudrd d ordre, els vlors del pràmetre que fn que el sistem no sigui comptible determint són quells que nul len el seu determinnt (1) = (2) = Les opercions elementls fetes cd ps hn estt: () = = ( 9)(2 4) (1) F 2 2F 1 ; F 4F 1 (2) Desenvolupment per l primer column () F 2 F 1 Com que deta = 0 si i sol si = 2 o = 9, quest són els vlors per ls quls el sistem no és comptible determint Aquest estudi es pot fer tmbé esclonnt l mtriu mplid (o inclús sense mplir) del sistem, Els vlors que fn que rng A són, evidentment, = 2 i = 9 (b) Qun x = 1, y = i z = 1, el sistem es trnsform en = 2 ( 5) 1 = ( 1) + = 4 Les tres equcions donen el mteix vlor per l pràmetre: = 2 És molt importnt comprovr que les tres equcions surt el mteix vlor de ; si no es comprov, l prtt està ml resolt

4 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 4 de 9 Per tnt, qun = 2, els vlors proposts formen un solució del sistem Ar bé, l prtt nterior hem vist que per = 2 el sistem no és comptible determint Això vol dir que per = 2 el sistem és comptible indetermint En definitiv, no existeix cp vlor del pràmetre per l qul els vlors proposts siguin solució únic 5- Siguin r 1 :x 2 = y = 1 z i r 2 : x+ = y +1 = z () Comproveu que r 1 i r 2 són perpendiculrs (b) Comproveu que es tllen mitjnçnt l determinció del punt de tll () Posem l equció de l rect r 1 en form contínu (l rect r 2 j està dond en quest form): r 1 : x 2 1 = y 2 = z 1 2 Els vectors directors respectius són v 1 = (1,2, 2) i v 2 = (2,1,2) Com que el seu producte esclr és (1,2, 2) (2,1,2) = = 0, podem ssegurr que els vectors són ortogonls i, per tnt, les rectes r 1 i r 2 són perpendiculrs (b) Les equcions de les rectes donen lloc un sistem de qutre equcions linels mb tres incògnites, 2x y = 1 y + z = 4 x 2y = 1 x z = 2 De l primer equció, y = 2x 1; substituint quest vlor les ltres tres equcions obtenim 2x + z = 5 x = x z = 2 L segon equció d quest sistem reduït ens port què x = 1 Llvors, les ltres dues equcions són equivlents, mb solució z = Així, les rectes es tllen i el punt de tll és el (1,1,) Tmbé es pot comprovr que les rectes es tllen trobnt el rng de les mtrius (v r v s ) i (v r v s PQ), on P = (2,,1) és un punt de l rect r 1 i Q = (, 1, 1) és un punt de l rect r 2 Per tl que es tllin, cl que el rng de les dues mtrius sigui 2 Aquest mètode no és el que es demn l enuncit i, més més, no ens dón el punt de tll, que encr huríem de clculr 6- Sigui f(x) = x 2 e x, qun 0 () Clculeu el vlor de perquè quest funció tingui un extrem reltiu en el punt d bsciss x = 2 (b) Qun = 2, clssifiqueu-ne els extrems reltius () L condició necessàri perquè un funció tingui un extrem reltiu en un punt és que l primer derivd en ell vlgui zero Busquem l primer derivd de l funció f(x) Df(x) = 2xe x +x 2 ( e x ) = e x (2x x 2 )

5 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 5 de 9 Llvors, Df(x) = 0 si i sol si x = 0 o x = 2/ j que l funció exponencil és sempre diferent de zero Si volem que l funció tingui un extrem reltiu en x = 2, cl que = 1 Not: De fet és necessri encr comprovr que D 2 f(2) 0 Com que D 2 f(x) = e x (2 4x+ 2 x 2 ), és clr que per = 1 el vlor de D 2 f(2) no és zero (b) Podem profitr l fein fet l prtt nterior: qun = 2, tenim que l funció pot tenir extrems en x = 0 i en x = 2/2 = 1 D ltr bnd, qun = 2, D 2 f(x) = e 2x (2 8x + 4x 2 ) Com que D 2 f(0) = 2 > 0, en el punt d bsciss x = 0 hi h un mínim; ixí mteix l desigultt D 2 f(1) = 2e 2 < 0 ens diu que en el punt d bsciss x = 1 hi h un màxim Igul que l qüestió, l clssificció dels extrems es pot relitzr estudint el signe de l derivd bns i després dels punts trobts

6 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 6 de 9 SÈRIE 4 1- Clculeu l àre del recinte limitt per les corbes d equció f(x) = x 2 x+2 i g(x) = 5 x [2 punts] Cl començr buscnt les bscisses dels punts d intersecció d mbdues corbes Per fer-ho, plntejem l equció f(x) = g(x), f(x) = g(x) x 2 x+2 = 5 x x 2 +2x = 0 x = 1 o x = L gràfic de les dues funcions és 1 Com que f(0) = 2 i g(0) = 5, podem ssegurr que, en l intervl que ens interess, g(x) f(x) L àre demnd és 1 [ ] 1 1 ( (g(x) f(x))dx = ( 2x x 2 )dx = x x 2 x = 1 1 ) ( 9 9+9) = 2 2- Dont el pl π:2x+y z = 5: () Clculeu l equció del pl prl lel l pl π que pss pel punt P = (1,0, 1) (b) Determineu tmbé l distànci entre el punt P i el pl π () Hi h dues mneres de trobr el pl demnt L primer consisteix en escriure l form generl dels plns prl lels π, π :2x+y z+d = 0, i trobr el vlor del pràmetre D perquè pssi pel punt P, P π ( 1)+D = 0 D = El pl busct és 2x+y z = 0 L segon form consisteix en utilitzr l fórmul del pl que pss per un punt mb un vector norml conegut 2(x 1)+(y 0) (z +1) = 0 2x+y z = 0 (b) L distànci d un punt P = (x 0,y 0,z 0 ) un pl π:ax+by +Cz +D = 0 es pot clculr per l fórmul d(p,π) = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A 2 +B 2 +C 2 En el nostre cs, d(p,π) = ( 1) ( 1) 2 = 2 6

7 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 7 de 9 - L gràfic corresponent l derivd d un funció f(x) és l següent: 0 2 () Expliqueu rondment quins vlors de x corresponen màxims o mínims reltius de f(x) (b) Determineu els intervls de creixement i decreixement de l funció f(x) [1,5 punts per l prtt ; 0,5 punts per l prtt b] () Perquè l funció f(x) tingui un extrem reltiu en un punt, és necessri que l sev derivd vlgui zero en quest punt D cord mb l gràfic, ixò pss per x =, x = 0 i x = 2 Abns del punt x =, l funció derivd és negtiv i després és positiv; ixò vol dir que en quest punt hi tenim un mínim reltiu Amb un ronment prl lel podem comprovr que en x = 0 l funció f(x) té un màxim reltiu i en el punt x = 2 no hi h ni màxim ni mínim (l derivd és negtiv ls dos costts); de fet, en quest punt hi h un punt d inflexió (b) D cord mb els signes de l derivd, L funció f(x) és creixent l intervl (,0) L funció f(x) és decreixent (, ) (0, + ) 4- Anlitzeu, segons els vlors del pràmetre k, el cràcter (és dir, si és comptible o no i si és determint o no) del sistem d equcions següent: 2x+y z = k 4 (k 6)y +z = 0 (k +1)x+2y = [2 punts] L mtriu del sistem és qudrd Busquem el seu determinnt k 6 = (k +1) [ (k +1)(k 6)+12] = k k2 2k 15 Busquem els vlors de k perquè quest determinnt vlgui zero, k 2 2k 15 = 0 = k = o k = 5 Tmbé es pot relitzr quest estudi esclonnt l mtriu, mplid o no, del sistem, k k 4 0 k k 6 0 k k k k k 2

8 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 8 de 9 A prtir d quí, l esclonment es f molt feixuc Per ixò l millor form d cbr és veient per quins punts les files segon i tercer de l mtriu sense mplir són proporcionls D un o ltr mner, tenim: k 6 k = k +1 k = o k = 5 Si k i k 5, el rng de l mtriu del sistem és ; el de l mplid tmbé és tres Així, en quest cs, el sistem és comptible determint Qun k =, esclonem l mtriu mplid del sistem, Clrment, rng A = 2 i rng (A b) = ; el sistem és incomptible Finlment, pel vlor k = 5, Ar, rng A = rng (A b) = 2 < El sistem és comptible indetermint Observeu que si s h relitzt l esclonment de l mtriu, l estudi dels csos k = i k = 5 se simplifiquen, substituint el vlor de l k l mtriu que j està mig esclond 5- Trobeu l equció { generl (o sigui de l form Ax + By + Cz + D = 0) dels plns que y = 2 contenen l rect r : z = 1 i formen un ngle de 45o mb el pl z = 0 [2 punts] 1 Qulsevol punt de l form P = (,2,1) pertny l rect r Per simplicitt, gfrem P = (0,2,1) i j k El vector director de l rect és = (1,0,0) El vector norml del pl z = 0 és v z = (0,0,1) Si el pl busct és π : Ax + By + Cz + D = 0, tenim que el seu vector norml és v π = (A,B,C) Com que conté l rect r, sbem que v π és perpendiculr v r ; per formr 45 o mb el pl z = 0 cl que cos( v π,v z ) = 2/2 És dir, v π v r = (A,B,C) (1,0,0) = A = 0 ; v π v r v π v z = (0,B,C) (0,0,1) = B 2 +C 2 1 C 2 B 2 +C = 2 2 L solució és A = 0, B 2 = C 2 ( C = B o C = B) Podem posr, sense perdre generlitt, B = 1 Així, tenim dos plns que compleixen les condicions, y+z = D 1 i y z = D 2 Fent que pssin pel punt P (condició perquè continguin l rect r), ens qued y +z =, y z = 1 2 L qüestió es pot resoldre tmbé utilitznt l equció del feix de plns que pss per l rect r, (y 2)+λ(z 1) = 0

9 Oficin d Orgnitzció de Proves d Accés l Universitt Pàgin 9 de 9 El vector director d un pl qulsevol d quest feix és v π = (0,1,λ) Llvors, s h de complir que (0,1,λ) (0,0,1) 1+λ2 1 = 2 2 Aquest equció ens port que λ = ±1 Llvors, els plns buscts són: Per λ = 1, (y 2)+(z 1) = 0; és dir, y +z = Per λ = 1, (y 2) (z 1) = 0; per tnt, y z = 1 6- Dins d un tringle rectngle, de ctets i 4 cm, hi h un rectngle Dos costts del rectngle estn situts en els ctets del tringle i un dels vèrtex del rectngle és l hipotenus del tringle () Feu un esbós de l situció descrit (b) Si x és l longitud del costt del rectngle que està situt en el ctet petit i y és l ltre costt del rectngle, comproveu que es compleix que 4x+y = 12 (c) Determineu les dimensions del rectngle perquè l sev àre sigui màxim [2 punts] () L gràfic de l situció és 4 x y 4 (b) Per semblnç de tringles, = 4 y És dir, 4x+y = 12 Hi h ltres relcions de semblnç x 4 que ens porten l mteix relció; per exemple, = y x Tmbé es pot rribr l relció entre x i y utilitznt geometri en el pl En efecte, podem considerr com eixos de coordendes les rectes que contenen els ctets Llvors, l rect que conté l hipotenus pss pels punts (,0) i (0,4); per tnt, l sev equció és x 0 = y 0, és dir, 4x+y = Com que el punt (x,y) pertny quest rect, h de complir l sev equció (c) De l relció trobd l prtt nterior se n dedueix, per exemple, que y = 12 4x Llvors, l àre del rectngle és A = x y = x 12 4x = 12x 4x2 Per tenir un vlor màxim, cl que l primer derivd sigui nul l Llvors, y = 12 4(/2) A = 12 8x ; A = x = 0 x = 2 = 2 Les dimensions del rectngle busct són /2 de bse i 2 d ltur