EXERCICIS MATEMÀTIQUES 1r BATXILLERAT CT ESTIU 2015

Transcripción

1 EXERCICIS MATEMÀTIQUES r BATXILLERAT CT ESTIU 0 El trebll d estiu està penst per consolidr els conceptes trebllts primer de btillert que es necesten per rontr mb èit el segon curs.. Mtemàtiques Bt CT

2 Tem: TRIGONOMETRIA TRIGONOMETRIA Angles 80º = π rd Rons trigonomètriques α [-,] α [-,] tn R ec α = - α sec α = - α cotn α = tn - α Entre 0º i 60º hi h dos ngles mb el mtei vlor de us, inus o tngent Relcions: Identitts trigonomètriques α + α = tn tn tn tn sec tn Opercions tn tn Apliccions I. Tringles rectngles ct opost / hipotenus ct continu / hipotenus tn ct opost / ct continu II: Tringles no rectngles b c Aˆ Bˆ Cˆ Resolució d equcions trigonomètriques i problemes mb tringles b c b c c b bc c b Aˆ Bˆ Cˆ Resolució d equcions trigonomètriques i càlcul d integrls Mtemàtiques Bt CT

3 . Psseu rdins o grus: 0º, º, 90º, 60º, 0º, º, 00º, 00º 7 8 ; ; ; ; ; ; ; 6 8. Quines són les rons trigonomètriques d un ngle?. Per què s nomenen rons?. Contesteu de mner rond les següents preguntes: Les rons trigonomètriques tenen unitts b Quins vlors prenen els us i el inus de qulsevol ngle? c Quins vlors pot prendre l tngent d un ngle? d Quins ngles tenen iguls, en vlor bsolut, el us i inus? e Si el inus de dos ngles són iguls com poden ser entre quest dos ngles són més petits que 60º? Qued determint un ngle més petit que 60º es conei l sev tngent? g Hi h lgun ngle més petit de 60º que tingui el us igul l ecnt?, i el inus l secnt? I l tngent l cotngent?.. Completeu l tul: Ró us inus tngent Angle 0º 0 rd 0º π/6 rd º π/ rd 60º π/ rd 90º π/ rd. Clculeu mb jut de les órmules l rest de rons trigonomètriques sbem que: = i, b = i 0º 90º c tn = - i d cotn = - i 90º 80º 6. Si tn α =, i l ngle és del tercer qudrnt, trobeu mb jut de les órmules: α b α c 90º - α d tn + α e 80º α Mtemàtiques Bt CT

4 7. L hipotenus d un tringle rectngle m i un ctet 0 m. Resoleu el tringle trobeu el ctet i els ngles 8. En un rut de muntny, un senyl indic un ltitud de 78 m. Tres quilòmetres més endvnt, l ltitud és de 06 m. Quin és l ngle que orm quest trm de rut mb l horitzontl? 9. El tt degul d un tringle isòsceles 0 cm i l ngle opost és de 0º. Quin és l longitud dels tts iguls? 0. L àre del tringle de vèrte A, B i C és de 0m. L ngle en A d quest tringle és de º i l ngle en B ès de 0º. Sigui D el peu de l ltur des del vèrte C, es dir, el punt del segment AB tl que CD és perpendiculr AB. Clculeu l longitud dels segments CD, AD, BD, AB, BC i AC.. Els tts d un tringle són de longitud 8cm, cm, i cm. Clculeu el vlor del us de l ngle més petit.. Per mesurr l'ltur d'un núvol s'hn et multàniment dues observcions des dels punts A i B distnts entre quilòmetre i tuts tots dos l nivell del mr. L inclinció de l visul des de A l núvol respecte l'horitzontl és de 7º. Els ngles que ormen les visuls des de A i des de B mb l rect AB són, respectivment, de 8º i º tl com s'indic l igur següent: Clculeu l'ltur del núvol respecte l nivell del mr. L igur ens mostr tres jrdins circulrs mútument tngents. Els rdis d'quests jrdins són respectivment de 8, de 0 i de metres. L zon del jrdí més petit que està ombrejd en el dibui sector circulr deitt pels dos rdis pels punts de tngènci mb els ltres dos jrdins i l'rc de circumerènci corresponent es vol sembrr d'un gesp especil i es vol envoltr completment mb un petit tnc metàl lic. Quin superície té? Quin longitud de tnc rà lt? Mtemàtiques Bt CT

5 . Demostreu les identitts sec + tn = b c + tn = sec d =. Simpliiqueu: tg 6. Resoleu les equcions trigonomètriques:. + = b. - = - c. = + d. + = 0 e. cot. tn cot = 0 g. y y h. tn cot tn y y 7. Escolliu i roneu l respost correct Un prell de vlors corresponents us i inus determinen un únic ngle entre 0º i 60º b Només hi h un ngle entre 0º i 60º mb un vlor de inus de 0, c Les dues nteriors d Cp de les dues nteriors Mtemàtiques Bt CT

6 8. Sigui [ ] mb = -. Escolliu i roneu l respost correct L sev tngent és potiv b El seu us és - c El seu rc és 0 d Són certes i b 7 9. Per resoldre: En un rut de muntny, un senyl indic un ltitud de 78 m. Tres quilòmetres més endvnt, l ltitud és de 06 m. Quin és l ngle que orm quest trm de rut mb l horitzontl?.escolliu i roneu l respost correct Utilitzrem el teorem del us ctet opost b Utilitzrem hipotenus ctet opost c Utilitzrem tn ctet continu d Cp de les respostes nteriors 0. El llengutge mtemàtic és molt importnt. Roneu són o no correctes les següents epresons = 0, b tn α = - c rc α = d rctn α = º Mtemàtiques r Bt CT 6

7 Tem : GEOMETRIA ANALÍTICA AL PLA. Feu un mp conceptul com el mostrt en el tem nterior, esquem o resum de l teori màim dos ulls. L notció, Correspon les components d un punt b Correspon les coordendes d un vector c Correspon un segment d Cp de les nteriors Roneu l respost. Donts els punts A =, i B=-,. Trobeu les components dels vectors AB i BA. Deiniu el mòdul, l direcció i sentit.. Un vector u és equipol lent un ltre vector v = -,. Clculeu les coordendes del seu etrem sbent que el seu origen és,. Donts els vectors u =-,0, v =-,. Trobeu el vector u + v 6. Clculeu m i n per tl que u = m + n y qun =,-8, y = 0, i u =,-. 7. Què gniic que dos vectors guin linelment independents? b Què gniic que dos vectors guin bse de V? c Els vectors u =,- i v =,6 són linelment independents?. Roneu l respost. d Clculeu el vlor de m pels quls els vectors u =m,- i v =,7 són linelment dependents. Per quin vlor de m quests vectors sern un bse? 8. Clculeu el producte esclr dels vectors: -,7 i,0. Quin ngle ormen? 9. Trobeu el vlor de m per tl que els vectors u, - i v m, guin perpendiculrs b prl lels En quins d quests dos csos els vectors sern linelment independents i, en conseqüènci sern bse dels vectors del pl? 0. Els punts -,, -, - i 0, 8 estn linets?. Condereu els punts del pl A,, B -, 8 i C, + rel. Clculeu el vlor de perquè els tres punts estiguin linets.. Siguin els punts A=,-, B=, i C=-6,0, trobeu el punt D de mner que ABCD gui un prl lelogrm. Trobeu totes les equcions de l rect que pss per P=, i té l mtei direcció que el vector v =-,. El punt -, pertny l rect? Mtemàtiques r Bt CT 7

8 . Trobeu l equció de l rect que pss per A=-, i té pendent.. Completeu: Equció Tipus d equció Punt de ps Vector director Pendent,y=0,+k,- -y=0 =-y =-k y=k y y 6. Trobeu el pendent de l rect que pss per A-,0 i B=, i escriviu les equcions implícit i eplícit 7. Comproveu que el punt,- pertny l rect -=y. Obteniu dos punts de r i trobeu un vector director. 8. Trobeu l equció de l rect que pss per -7, i orm un ngle de 0º mb l ei OX. k 9. Trobeu un rect prl lel i un ltre de perpendiculr r: que y k ps pel punt A=,- 0. Dond l rect r que pss pels punts,- i,6, trobeu l rect s prl lel l nterior i que pss per l origen de coordendes. Trobeu l equció d un rect perpendiculr -y + = 0 i que ps per -,. Dond l rect r: - + y 6 = 0, trobeu:. equció de l rect prl lel r i que pss per,- b. perpendiculr r i que pss per,. Clculeu n per tl que les rectes -y-=0 i +ny+=0 guin c. prl leles d. perpendiculrs Mtemàtiques r Bt CT 8

9 . Determineu m perquè les rectes d equcions r: -m +y-0=0 i s: +y =0 ormin un ngle de 60º. Estudieu les pocions reltives de r i s. Trobeu els punts de tll hi h. r: = + K s: -=y y = - + 6K b r: = K s: +y+ = 0 y = K c r: -y-8=0 s: -=y 6. Trobeu l ngle que ormen les rectes r: - y +8 = 0 i s: y = - 7. Clculeu l distànci entre els punts A=-, i B=,- 8. Clculeu l distànci del punt A=-, l rect +y-0=0 9. Clculeu l distànci entre les rectes prl leles +y-=0 i -y-=0 0. Clculeu n per tl que l distànci del punt P = -, l rect r: +y+n=0 gui.. Del tringle determint per les rectes y=+, y= i -y-0=0 trobeu els vèrtes i l àre.. Sigui l equció d un rect: y =. Quin és l irmció correcte? El pendent de l rect és 0, b El vector director de l rect és, c L rect dond és coincident mb y d Totes les nteriors són correctes Roneu l respost correct Mtemàtiques r Bt CT 9

10 Tem: EQUACIONS EXPONENCIAL I LOGARÍTMICA. Feu un esquem o resum de l teori del tem i dels conceptes bàcs cl incloure les propietts de les potències i les rrels. Resoleu les equcions eponencils següents: b c d e g h i j k l m n Trobeu l lg = h log b lg = i ln = - c lg = j log d lg = k lg = - e log = 0 l log = - ln e 6 = m ln = g lg = n log =. Epresseu com combinció linel de logritmes log d b ln y b c e. Reduïu un únic logritme: log - log + 8 log 0 b log b log b + log b c log - log + log d log + log y + log Mtemàtiques r Bt CT 0

11 6. Resoleu: log log 8 = log b ln = ln + ln c log + 9 log = d log = + log 6 e log - log 0 = log + log = log log 9 g log = log h + 9 log + log = ln ln i ln 7. Resoleu: b y 8 6 y 807 y 7 6 y 9 c y = 9 d -y = log log y = log + y + log y = log 0 8. Per determinr l edt d un roc l ciènci ctulment h desenvolupt un tècnic bsd en l concentrció de mteril rectiu del seu interior. Qun més jove és l roc, mjor concentrció de mteril rectiu trobem. L quntitt de mteril rectiu ve dond per l órmul : Q = Q 0 e -kt on, Q 0 és l quntitt de mteril rectiu en el moment de ormr-se l roc Q quntitt de mteril rectiu inl t temps mesurt cd 00 nys Trobeu k un roc que inicilment teni un concentrció de 00 unitts de mteril rectiu després de 00 nys t = té un concentrció de mteril rectiu de 00 unitts. b Quin concentrció de mteril rectiu tindrà quest mtei roc després de dos segles? 9. Clculeu l energi lliberd en el terrtrèmol de Sn Frncisco l ny 906, l sev mgnitud v ser de 8, en l escl de Richter. Recordeu que per descriure els eectes d un terrtrèmol en l escl de Richter se li sgn un mgnitud M per l órmul: Mtemàtiques BAT CT

12 M log E E 0 On, E: energi lliberd pel terrtrèmol J E 0 : constnt, 0 J 0. F qutre nys es v repoblr un llc mb un nov espècie de peios. Llvors es vn introduir 00 eemplrs d quest nov espècie. Actulment s estim que hi h 000 eemplrs. S estim que el nombre N de peios ve dont en unció del temps t per l N = A e B t, on A i B són dues constnts. El temps es conder epresst en nys des del moment de l repoblció. Qunt temps hurem d esperr perquè hi hgi eemplrs?. Escolliu i roneu l respost correct = és solució de lg /8= - b lg / 9/ = c de les dues nteriors d de cp de les equcions nteriors. Sigui e -9 =. Escolliu i roneu l respost correct L solució no és un nombre enter b Per resoldre l equció utilitzrem logritmes decimls tots dos tts de l igultt i resoldrem c Per resoldre l equció pliquem logritmes neperins tots dos constts de l igultt i resoldrem d Totes les respostes nteriors. Sigui un nombre mjor que 0, l equció = 0 té solució?. Roneu l respost b e = 0 té solució?. Sigui un nombre mjor que 0, perquè no eistei log d un nombre negtiu o de 0?. Roneu l respost. Mtemàtiques BAT CT

13 Mtemàtiques BAT CT Tem: FUNCIONS. Feu un mp conceptul, esquem o resum de l teori del tem màim dos ulls. Trobeu el domini de les següents uncions: i h e g e d c b 9 k j k l ln ln. Dondes les uncions log h g = -, roneu l respost correct no pertny l domini de i g b no pertny l domini de g c no pertny l domini de h d no pertny l domini de cp de les uncions. Dondes les uncions següents estudieu els punts de tll mb els eios i l metri. = c g b 6 d y = log

14 . Estudieu: domini, recorregut, metri, punts de tll mb els eios, continuïtt i tipus de discontinuïtt, creiement/decreiement, màims i mínims, concvitt/conveitt, i punts d inleió. b 6. Si, i g b g g. Clculeu: c b g g 7. Trobeu l unció recíproc o invers de les següents uncions i eu l comprovció y b y c y 8. Representeu gràicment les següents uncions deinides trossos. Són continues? En cs de que no ho guin indiqueu el punt i el tipus de discontinuïtt. - - = < < - - g = < < 7 Mtemàtiques BAT CT

15 9. Trobeu l epresó nlític de les uncions: 0. Epresseu les següents uncions en vlor bsolut com uncions deinides trossos b c.indiqueu quin tipus de unció correspon cd gràic. Sigui un unció polinòmic. Roneu l respost correct és continu b el domini de l unció és R c tll l ei y només en un punt d totes les nteriors són correctes Mtemàtiques BAT CT

16 . Sigui R el rdi norml de l tràque en cm i r el rdi de l tràque durnt l tos en cm, de orm que R és un constnt i r és un vrible. L velocitt de l ire, en cm/s, trvés de l tràque depèn de r segons l unció v r = kr R r on k és un constnt potiv i r es trob l intervl [ ½ R, R]. Trobeu el vlor de r en unció de R qun l velocitt és màim. Mtemàtiques BAT CT 6

17 Tem: LIMIT DE FUNCIONS. CONTINUITAT. Feu un resum del tem. Observeu els gràics següents i contesteu: 0 b Roneu per quins dels següents vlors de hi h límit: =-, =-, = i =. Clculeu els límits: 8 b 6 d c e Mtemàtiques BAT CT 7

18 i k g l 8 7 j h. Determineu els punts de discontinuïtt de les uncions següents i indiqueu de quin tipus són. 8 6 g 8. Estudieu l continuïtt de les següents uncions deinides trossos, en cs de que no guin contínues, indiqueu els punts i el tipus de discontinuïtt b 0 9 0,] 0 6. Trobeu i b per tl que l unció gui continu b Dond l unció: b 0 b e 0 on i b són nombres rels. Quin condició h de complir i b perquè gui continu en tot R? 8. Dond l unció: b e on i b són nombres rels. Quin condició h de complir i b perquè gui continu en tot R? Mtemàtiques Bt CT 8

19 Tem: DERIVADES. APLICACIONS DE LES DERIVADES. Feu un esquem o resum de l teori del tem i dels conceptes bàcs. Clculeu, mitjnçnt l deinició de derivd, l unció derivd de les uncions següents = + b =. Clculeu les següents derivdes i mpliiqueu els resultts: h tg y b i c j k ec d ln sen ln l e ln rc tn rc e m g ln ln. Clculeu l derivd n-èsm de les següents uncions: = b y = e. Trobeu el punt en que l unció y = - no te derivd. Justiiqueu el resultt i representeu l sev gràic. 6. Trobeu els punts en que l unció y = + 6 no te derivd. Justiiqueu el resultt i representeu l sev gràic. 7. Per quins vlors de l unció és derivble?. Roneu l respost. 8. Estudieu per quins vlors de i b l unció es derivble: b 0 0 Mtemàtiques Bt CT 9

20 9. Estudieu per quins vlors de i b l unció es derivble: b 0. Clculeu el punt de l corb y = + en què l tngent és prl lel l rect y= -. Trobeu els vlors dels coeicients b, c i d per tl que l gràic de l unció y b c d tlli l ei 0Y en el punt 0,- i ps pel punt, i en quest punt tingui tngent prl lel l ei 0X. Trobeu un punt sobre l corb = on l rect tngent és prl lel l ei OX. Indiqueu totes les solucions posbles.. Trobeu el punt on l equció de l rect tngent l corb = orm un ngle de 60º mb l ei d bcisses. Determineu els vlor del pràmetre b, tl que les tngents l corb de l unció = b + b en els punts d bsciss =, = guin prl leles. Mtemàtiques Bt CT 0