CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES NIVEL LICENCIATURA CLAVE UNIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE TRIM II HS. MATEMÁTICAS II CREDITOS 9 HS.

Transcripción

1 1 6 UNIDAD DIVISIÓN IZTAPALAPA CIENCIAS SOCIALES Y HUMANIDADES NIVEL LICENCIATURA CLAVE UNIDAD DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE TRIM II HS. CREDITOS TEORIA 3.0 SERIACIÓN 9 HS. PRACTICA 3.0 OPT./ OBL OBLIGATORIA OBJETIVOS GENERALES Que al final del curso el alumno sea capaz de: Entender y aplicar los conceptos de función y de función inversa. Comprender el concepto de derivada, así como sus aplicaciones. Comprender el concepto de punto crítico y los criterios de la primera y segunda derivada de una función. Entender el concepto de antiderivada y calcular antiderivadas utilizando la integral indefinida. Entender el Teorema Fundamental del Cálculo y aplicarlo para calcular áreas bajo curvas. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Que al final del curso el alumno sea capaz de: Reconocer e identificar las funciones y los elementos que las constituyen: dominio, imagen y gráfica. Reconocer y trazar la gráfica de funciones constantes, lineales, cuadráticas, exponenciales simples, logarítmicas y potencia. Identificar, a partir de la gráfica a una función creciente y a una función decreciente, así como los intervalos en los que crece o decrece una función, distinguiendo el caso en que el crecimiento o decrecimiento es asintótico. Conocer las propiedades de los exponentes y logaritmos y aplicarlos en la solución de ejercicios de simplificación de expresiones y de despeje de incógnitas. Determinar, a partir de la gráfica de una función, si es inyectiva o no. Obtener la función inversa de una función inyectiva, así como el dominio de la función inversa. Operar con fluidez los procedimientos algorítmicos de la derivada, así como interpretar sus resultados. Encontrar los puntos críticos de una función y clasificarlos como: máximos, mínimos o puntos de inflexión, así como, graficar funciones polinomiales de segundo y tercer grado, y funciones racionales de la forma f(x)=a+bx+c/x.

2 2 6 Plantear y resolver problemas de optimización de ingresos, costo de un inventario, beneficio de una empresa en un mercado de competencia perfecta, de una empresa monopólica y costo de un inventario Resolver integrales indefinidas aplicando las reglas básicas (fórmulas). Utilizar el método de integración por sustitución y aplicarlo a la resolución de integrales de funciones potencia, racionales sencillas y exponenciales. ) Aplicar la fórmula f (x)dx = f(x) + c a diversos problemas económicos en los que se encuentra una función a partir de su valor marginal. Calcular áreas bajo curvas sencillas que sean la gráfica de una función en un intervalo cerrado (especificado numéricamente o con literales. Aplicar la integral definida a problemas de microeconomía. CONTENIDO SINTETICO 1) Funciones a) Definición de función de una variable, gráfica de una función b) Funciones Crecientes y decrecientes c) Funciones logaritmo y exponencial - sus propiedades d) Funciones Inyectivas e) Función inversa 2) Derivada a) Concepto intuitivo de límite de una función en un punto b) Concepto de derivada: razón de cambio, recta tangente a una curva. La derivada como límite de una razón de cambio. c) Reglas de derivación: suma, producto, cociente y composición de funciones (regla de la cadena). Derivada de las funciones f(x)=e " y f(x) = lnx. Derivación implícita. d) Aplicaciones de la derivada funciones monótonas (intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función). e) Segunda derivada y su interpretación: puntos y valores de inflexión 3) Máximos y mínimos. a) Puntos críticos b) Métodos para determinar máximos y mínimos relativos c) Aplicaciones a Economía d) Aplicación a gráficas de curvas

3 3 6 4) Integración a) Introducción. Antiderivada y reglas de integración b) Integración por sustitución c) Aplicaciones a la Economía de la integral indefinida d) Integral definida e) Aplicaciones a la Economía de la integral definida MODALIDADES DE CONDUCCION DEL PROCESO DE ENSEÑANZA-APRENDIZAJE Se asignarán tres horas de teoría y tres de taller. Al inicio del curso el profesor presentará los objetivos generales, el contenido de la UEA, las modalidades de conducción y los criterios de evaluación. El profesor expondrá y estimulará la participación de los alumnos, apoyado por el pizarrón y medios audiovisuales Se entenderá por taller una sesión en la que los alumnos resuelven ejercicios dirigidos por el profesor, éste se puede desarrollar en el salón de clases, usando sólo papel y lápiz. El profesor será responsable tanto de las sesiones de teoría como las de taller. Las sesiones de taller serán organizadas con base en la solución de problemas, en ellas se deberá: Promover que los alumnos discutan, planteen y resuelvan problemas de aplicación en diversas disciplinas (actividad de integración). Cuidar que los alumnos adquieran destreza en el uso de los algoritmos y conceptos necesarios que les permitan seguir los desarrollos teóricos. Buscar que el alumno elabore un acervo personal de métodos y estrategias para la solución de problemas, por ejemplo: leer el problema varias veces, definir variables e identificar los parámetros, identificar los datos y lo que se pregunta usar herramientas analíticas o numéricas, evaluar la factibilidad de la solución o soluciones y validar e interpretar a éstas. En cada tema se realizarán ejercicios o problemas aplicados a las ciencias sociales, particularmente a Economía y Administración. a) Funciones: Se enfatizará la determinación del dominio y la elaboración de la gráfica de las funciones así como la obtención de la imagen a partir de la gráfica, utilizando para ello funciones constante, lineal, cuadrática (f(x) = ax 2 + bx + c), exponencial simple (f(x) = a b x ), logarítmicas (f(x) = a + b ln(x) y f(x) = a + b log 10 (x)), potencia positiva (f(x) = Ax n donde n > 0 puede ser entero, fracción o decimal) y potencia negativa (f(x) = Ax -n donde n > 0 puede ser entero, fracción o decimal).

4 4 6 Se definirán las funciones inyectivas explicando cómo se puede determinar con base a la gráfica, si una función es inyectiva. Se proporcionarán a los estudiantes ejemplos y ejercicios de este tipo de funciones utilizando algunas de las funciones señaladas en el inciso anterior. Se plantearán y resolverán problemas donde aparezcan funciones lineales, cuadráticas, potencia y exponenciales. Se definirá la inversa de una función inyectiva de la siguiente forma: x = f -1 (y) si y sólo si y = f(x) para todo y en la imagen de f. Se recomienda utilizar el ejemplo de función de demanda lineal Q= a bp cuyo dominio es D = {p R 0 p a/b} para ilustrar el cálculo de la función inversa, determinándose la función inversa p = (a Q)/b. Se proporcionarán a los estudiantes ejemplos y ejercicios del cálculo de la función inversa de funciones lineales, potencia, exponenciales, logarítmicas y racional f(x)= a + c/x. b) Derivada Introducir el concepto de límite a través de ejemplos: la velocidad como razón de cambio. Introducir el concepto de derivada como razón de cambio instantánea, pendiente de la recta tangente a una curva. La derivada como límite de una función. Es deseable que solamente las reglas más sencillas de derivación se demuestren en clase. Se enseñará al estudiante a derivar las funciones f(x)= ae kx, f(x) = ab kx Se explicará de qué manera el signo de la primera derivada da información sobre la relación, directa o inversa, que hay entre las variables y la tendencia de la función a crecer o decrecer, utilizando ejemplos de funciones crecientes o decrecientes en todo su dominio. Aplicar estos conceptos a las siguientes funciones: Caso 1: Función de Producción: Q = AX α, donde A>0, α>0 y X 0 es el insumo. Del signo positivo de la derivada se deduce la relación creciente entre las variables X y Q. Caso 2: Función de costo cuadrática C= a+bx+cx 2 Caso 3: La Función de Costo medio: CM = A + B/X, donde A>0, B>0 y X>0 es la cantidad producida. Al contrario que en el ejemplo anterior, hacer la interpretación de una relación inversa entre cantidad producida y costo medio, después de determinar que la primera derivada es negativa en su dominio Definir la primera derivada y calcularla en algunos ejemplos de funciones, como polinomios, potencia, exponencial simple y logarítmica. Determinar si la función es cóncava o convexa en términos del signo de la segunda derivada.

5 5 6 c) Integración: Describir las siguientes reglas de integración: integral de una constante, de una constante por una función, de la suma y resta de funciones, de una función potencia x k (donde el exponente k es un número real) y de la función exponencial simple: e x Describir y utilizar el método de integración por sustitución para encontrar la integral de funciones tales como: f(x)=(a+bx)n f(x)=1/(ax+b) y f(x)=e (ax+b), realizando suficientes ejemplos para distintos valores de a y de b. (Deben evitarse las funciones trigonométricas). Expresar una función de costo total como la integral indefinida del costo marginal. A partir de funciones conocidas de costo marginal (constante, lineal) el alumno debe calcular la función de costo total. De manera similar, expresar el ingreso (de una empresa) como la integral indefinida del ingreso marginal. El alumno obtendrá la función de ingreso a partir de funciones conocidas de ingreso marginal (constante, lineal). Se calcularan integrales definidas de funciones: lineales, polinomiales de segundo grado, racionales de la forma f(x)=1/(ax+b) y exponenciales f(x)=e (ax+b) sobre un intervalo cerrado. Se explicarán gráficamente los conceptos de Excedente del Consumidor y Excedente del Productor (considerando una curva de demanda que no sea lineal). Se calcularán numéricamente tanto el Excedente del Consumidor como el Excedente del Productor, a partir de funciones cuadráticas de oferta y demanda con coeficientes numéricos. Los tiempos dedicados a los temas serán como sigue: Tema 1: 10 hrs. Tema 2: 20 hrs. Tema 3: 14 hrs. Tema 4: 16 hrs. MODALIDADES DE EVALUACION Al menos dos evaluaciones periódicas parciales y una evaluación global. El profesor, con base en su criterio, podrá eximir del examen global al alumno. Evaluación de Recuperación: El curso podrá acreditarse mediante una evaluación de recuperación.

6 6 6 BIBLIOGRAFIA NECESARIA O RECOMENDABLE: S. T. Tan. Matemáticas para Administración y Economía. Thomson Editores. Frank S. Budnick. Matemáticas Aplicadas para Administración, Economía y Ciencias Sociales. Tercera edición. Editorial Mc. Graw Hill. Jagdish Arya / Robin Lardner. Matemáticas Aplicadas a la Administración. Editorial Prentice Hall. Chiang A. Métodos Fundamentales de Economía Matemática Tercera edición (o posterior). Editorial Mc. Graw Hill. Laurence D. Hoffmann / Gerald L. Bradley / Kenneth H. Rosen. Cálculo Aplicado Octava Edición. Editorial Mc Graw Hill. Knut Sydsaeter / Peter J. Hammond Matemáticas para el Análisis Económico Editorial Prentice Hall. Hoffmann/Bradley/Sobecki/Price/Sandoval. Matemáticas aplicadas a la administración y los negocios Editorial Mc Graw Hill. SELLO