Números trascendentes y construcciones imposibles con regla y compás

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1 AVANZA. Vol. iii. Fm - Iit, Uacj (213) Isbn: Números trascendentes y construcciones imposibles con regla y compás Arilin Haro, Luis Loeza Resumen El trabajo realizado tiene como intención conocer y clasificar números racionales, irracionales, construibles, algebraicos y trascendentes, y ver las relaciones que hay entre ellos. Es curioso que si la cantidad de números trascendentes es mucho mayor que la de los números algebraicos, conozcamos tan pocos números trascendentes y esto es justo lo que se intenta hacer aquí: ver la trascendencia de algunos de los números que ya conocemos y también conocer más números trascendentes; para esto necesitaremos demostrar y aplicar el Teorema de Gelfond-Schneider y el Teorema de Lindemann-Weierstrass. Palabras clave: números trascendentes, números algebraicos, Teoría de Galois. 1 Introducción En la geometría griega antigua se creía que las únicas figuras perfectas eran la recta y el círculo. Esta creencia hizo restringir los instrumentos disponibles para la realización de construcciones geométricas a sólo dos herramientas: la regla y el compás. Esto quiere decir que para hacer construcciones sólo se realizaban las siguientes dos acciones: dado un conjunto de puntos P, Op1 (regla): a través de cualesquiera dos puntos de P, trazar una línea recta. Op2 (compás): dibujar un círculo, cuyo centro es un punto de P, y su radio es igual a la distancia entre cualesquiera dos puntos de P. Definición 1.1. Decimos que un número real α es construible si podemos construir un segmento de recta cuya longitud sea α, usando sólo la regla y el compás un número finito de veces. Llamaremos W al conjunto de los números construibles. Ahora veremos que si α y β son números construibles, entonces α ± β, αβ, y cuando β, α/β y β 1 son también construibles. 2, Classifications numbers Ams. 11R4, 11R21 y 11J81. Universidad Autónoma de Zacatecas / Física y Matemáticas, Iit-Uacj.

2 1 A. Haro, L. Loeza Proposición 1.2. Sean α y β números construibles y sea 1 la unidad, entonces: Figura 1: α, β y 1. i ii iii iv α + β es construible. α β es construible. α β es construible. α/β es construible. Demostración. Los casos de α + β y α β son claros. Figura 2: Construcción de α + β. Figura 3: Construcción de α β. Tenemos que OC = 1, OA = α y OB = β, dado que los segmentos CA y BP son paralelos, los triángulos COA y BOP son semejantes; por lo tanto, OB OC = OP OA, sustituyendo nos queda β 1 = OP α ; por lo tanto, OD = αβ, lo que significa que αβ es construible (figura 4).

3 Números trascendentes y construcciones imposibles Figura 4: Construcción de α β Figura 5: Construcción de α/β. Tenemos que OC = 1, OA = α y OB = β, dado que los segmentos DC y AB son paralelos, los triángulos COD y BOA son semejantes; por lo tanto, OB OC = OA OD, sustituyendo nos queda β 1 = OD α ; por lo tanto, OD = α/β, lo que significa que α/β es construible (figura 5). Figura 6: Construcción de β 1. Tenemos que OC = 1, OB = β y OI = 1, dado que los segmentos P C y IB son paralelos, los triángulos COP y BOI son semejantes; por lo tanto, OC OB = OP OI, sustituyendo nos queda 1 β = OP 1 ; por lo tanto, OP = 1/β, lo que significa que 1/β es construible (figura 6). Tenemos que OC = 1 y OB = β, es claro que u = v = 9 o, entonces

4 12 A. Haro, L. Loeza Figura 7: Construcción de β. c+s = 9 o ; por otro lado, tenemos que s+t = 9 o ; así, por lo tanto, c+s = s+t, lo que implica c = t, de manera que los triángulos OCR y ORB son semejantes; entonces OC OR = OR OB, sustituyendo nos queda que 1 OR = OR β ; por lo tanto, OR = β, lo que significa que β es construible (figura 7). 2 Soluciones de polinomios 2.1 Números algebraicos Def inición 2.1. Los números complejos que son raíz de algún polinomio sobre los racionales son llamados números algebraicos. Denotamos A como el conjunto de estos números. Es claro que todos los números enteros y racionales son algebraicos. Def inición 2.2. Decimos que un número complejo es un entero algebraico si y sólo si es raíz de un polinomio mónico con coeficientes enteros. Sabemos que un número α es algebraico si y sólo si Teorema 2.3. A es un campo. [Q(α) : Q] <. Demostración. Sean α, β A, entonces [Q(α) : Q] < y [Q(β) : Q] <, pero tenemos que: [Q(α, β) : Q] = [Q(α, β) : Q(α)][Q(α), : Q] < ; por otro lado, sabemos que α ± β, αβ Q(α, β) y si α, también α 1 Q(α, β), lo que implica que α ±β, αβ, α y α 1 son todos números algebraicos; por lo tanto, el teorema ha quedado demostrado.

5 Números trascendentes y construcciones imposibles Otra prueba de este teorema la podemos encontrar en [9, pág. 192]; en este mismo podemos ver la demostración de que los enteros algebraicos forman un anillo. 2.2 Números construibles En esta sección recordaremos lo que son los números construibles y veremos que tales números tienen la estructura de campo y que, además, son un subcampo de los números algebraicos. Teorema 2.4. Los números construibles forman un campo. Demostración. Al comienzo de este trabajo vimos que si α y β son construibles, entonces α ± β, αβ también son construibles; asimismo, vimos que si β entonces α/β y β 1 son números construibles. Por lo tanto, W es un campo. Como W es un campo numérico, entonces Q W. Teorema 2.5. Los números construibles se obtienen de la adjunción de Q y las raíces cuadradas. Demostración. Sea F un campo, tal que Q F W. Para la demostración vamos a distinguir 3 casos: Si A, B, C, D F F y si l 1 es una recta que pasa por A y B, y a su vez l 2 es otra recta que pasa por C y D, el problema se reduce a resolver un sistema a 1 x + b 1 y + c 1 =, a 2 x + b 2 y + c 2 = con a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 F ; si el sistema admite una solución (x, y ), entonces (x, y ) F F. Si A, B, P F F y r F y L es la recta que pasa por A y B, y si C es la circunferencia de radio r y centro en P, el problema se reduce a resolver un sistema x 2 + y 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 =, a 2 x + b 2 y + c 2 = con a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 F ; si el sistema admite soluciones, su coordenada x de la forma x = b 3± b 2 3 4a 3c 3 2a 3 con a 3, b, c 3 F, entonces β = b 2 3 4a 3c 3 F W; por lo tanto, x F ( β); ahora despejamos y de la ecuación a 2 x + b 2 y + c 2 = y tendremos que y F ( β); por lo tanto, los puntos donde L y C se intersecan están dentro de F ( β) F ( β). Si P 1, P 2 F F y r 1, r 2 F, si C 1 es la circunferencia de radio r 1 con centro en P 1 y si C 2 es la circunferencia de radio r 2 con centro en P 2, el problema se reduce a resolver el sistema x 2 + y 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 =, x 2 + y 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 = con a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 F, ahora sea L

6 14 A. Haro, L. Loeza la recta que pasa por los puntos en que se intersecan C 1 y C 2, entonces la ecuación que define a L es (a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y + (c 1 c 2 ) =, y como (a 1 a 2 ), (b 1 b 2 ), (c 1 c 2 ) F esto nos lleva al caso anterior, por lo tanto L C 1 = l C 2 = C 1 C 2 F ( β) F ( β). Esto significa que partiendo de F, obtenemos puntos con coordenadas en F o en F ( β 1 ) con β 1 F. Pero Q F F ( β 1 ) W, así que podemos aplicar lo anterior a F ( β 1 ) y obtendríamos puntos en F ( β 1 ) o en F ( β 1, β 2 ) con β 2 F ( β 1 ). Repitiendo este proceso, tenemos que si un número α es construible, entonces éste se obtiene de un número finito de adjunciones como la anterior, es decir, α Q( β 1,..., β n ) con β 1 F, β 2 F ( β 1 ),..., β n F ( β 1,..., β n 1 ). Por lo tanto, el teorema ha quedado demostrado. Corolario 2.6. Si α es un número construible, entonces existen β 1,..., β n R, tales que α Q( β 1,..., β n ) con β i F ( β 1,..., β i 1 ). Demostración. Este teorema es valido por 2.5. Corolario 2.7. Si α es un número construible, entonces existen β 1,..., β n R, tales que α Q( β 1,..., β n ) y [Q( β 1,..., β i ) : Q( β 1,..., β i 1 )] = 1 ó 2. Demostración. Sea F = Q( β 1,..., β i 1 ), entonces: [Q( β 1,..., β i ) : Q( β 1,..., β i 1 )] = [F ( β i ) : F ] con β F. Dado que estamos adjuntando la raíz cuadrada de un elemento de F, entonces el grado de α en F debe ser 1 ó 2, y así tenemos que: [F ( β i ) : F ] = 1 ó 2. Usando el Corolario 2.7, tenemos que: [Q( β 1,..., β i ) : Q :] = 2 m con m N para i = 1,..., n. (1) Corolario 2.8. Si α es un número construible, entonces [Q(α) : Q] = 2 r con r N Demostración. Del corolario 2.6 tenemos que α Q( β 1,..., β n ) con β i F ( β 1,..., β i 1 ); por lo tanto, Q Q(α) Q( β 1,..., β n ); usando la Ley del Producto tenemos que: [Q( β 1,..., β n ) : Q] = [Q( β 1,..., β n ) : Q(α)] [Q(α) : Q]

7 Números trascendentes y construcciones imposibles y usando la ecuación 1 tenemos que: 2 m = [Q( β 1,..., β n ) : Q(α)] [Q(α) : Q]; por lo tanto, [Q(α) : Q] = 2 r con r m. Corolario 2.9. Si el número α es construible y si m es el polinomio mínimo de α, entonces el grado de m es potencia de 2. Demostración. Válido por corolario 2.8. Esto significa que: Si α no es algebraico de grado potencia de 2, entonces α no es construible. A este enunciado se le conoce como el criterio para la no construbilidad, ya que gracias a él podemos saber si un número es o no construible. Este criterio será necesario para dar respuesta a los problemas de geometría mencionados en la introducción. 3 Trascendencia Se dice que los números trascendentes se originaron al tratar de dar solución a los problemas de la antigua geometría griega (la duplicación del cubo, trisección del ángulo y cuadratura del círculo). En 1844, Liouville muestra el primer número trascendente y en 1873, Cantor demuestra que los números algebraicos forman un conjunto numerable; luego tomando en cuenta que el conjunto de los números reales no lo es demuestra que los números trascendentes son no numerables y que son densos en los reales. En ese año, Hermite publica la primera demostración de la trascendencia de e y una versión más sencilla de lo que conocemos como el Teorema de Lindemann- Weierstrass; luego en 1882 Lindemann publica la trascendencia de π y además demuestra el teorema anteriormente mencionado. En ese mismo año, Weierstrass completa y simplifica la demostración del Teorema de Lindemann-Weierstrass; en este año también se dan a conocer algunas de las consecuencias de este teorema. En 1929, Gelfond da un primer avance de la resolución del séptimo problema de Hilbert y, finalmente, en 1934, de manera independiente, Gelfond y Schneider lo resuelven con lo que se conoce como Teorema de Gelfond-Schneider. En este capítulo veremos algunas de las demostraciones de los teoremas mencionados y sus principales consecuencias.

8 16 A. Haro, L. Loeza 3.1 La trascendencia de e y π Para esta sección, y para la siguiente, seguimos la sección 1.2 del libro de A. Baker [1]. Teorema 3.1. El número e es trascendente. Demostración. Observemos que si f(x) es un polinomio con coeficientes reales de grado m, y si I f (t) = t e t u f(u)du, donde t es un número complejo y la integral se calcula sobre el segmento de recta que une y t, entonces integrando por partes tenemos: I f (t) = e t u f(u) u=t t + u= e t u f (u)du = f(t) + e t f() + I f (t), por inducción, I f (t) = e t m f (j) () j= j= m f (j) (t). (2) Además, si usamos la notación f para el polinomio que se obtiene si cambiamos todos los coeficientes de f por sus valores absolutos, entonces I f (t) t Supongamos que e es algebraico y sea e t u f(u) du t e t f( t ). (3) q + q 1 e + + q n e n = (4) con n > y q,..., q n enteros con q. Vamos a comparar estimaciones para J = q I f () + q 1 I f (1) + + q n I f (n), con f(x) = x p 1 (x 1) p... (x n) p,

9 Números trascendentes y construcciones imposibles donde p es un primo grande. De (2) y (4), J = = n k= = q k e k m j= f (j) () m f (j) (k) j= ( m n ) f (j) () q k e k j= m j= k= k= n q k f (j) (k), m j= k= n q k f (j) (k) donde m = (n + 1)p 1. Es claro que f (j) (k) = si j < p y k > o si j < p 1 y k =. Por lo tanto, para todo (j, k), salvo cuando j = p 1, k =, el número f (j) (k) es un entero divisible por p!; además, f (p 1) () = (p 1)!( 1) np (n!) p, y por lo tanto, si p > n, entonces f (p 1) () es un entero divisible por (p 1)!, pero no por p!. Además, si p > q, entonces J es un entero no-cero divisible por (p 1)!, pero no por p!, y por lo tanto, J (p 1)!. Por otro lado, por la estimación trivial f(k) (2n) m junto con (3), obtenemos: J q 1 ef(1) + q 2 e 2 f(2) q n e n f(n) c m < (c n+1 ) p, donde podemos tomar n c = 2n 2 e n q j. j=1 Por lo tanto, con c 1 = c n+1 hemos obtenido que (p 1)! c p 1, que se cumple para todo primo p suficientemente grande, lo cual contradice la fórmula de Stirling: Esta contradicción muestra que el teorema es cierto. ( n ) n n! 2πn. (5) e 3.2 La trascendencia de π Teorema 3.2. π es trascendente.

10 18 A. Haro, L. Loeza Demostración. La prueba de este teorema es similar a la del Teorema 3.1. Supongamos que π es algebraico. Como i 2 = 1 es algebraico (como raíz de x 2 + 1), el número θ = iπ también lo es. Supongamos que θ tiene grado d y sea θ 1 (= θ), θ 2,..., θ d todos los conjugados de θ. Sea l el coeficiente x d del polinomio minimal de θ. De la relación de Euler e iπ = 1, obtenemos que: (1 + e θ 1 )... (1 + e θ d ) =. El lado izquierdo de la igualdad se puede escribir como una suma de 2 d términos de tipo e Θ, donde Θ = ε 1 θ ε d θ d, donde ε j {, 1} para todo j {1,..., d}. Supongamos que precisamente n de los números ε 1 θ ε n θ n son no-cero, y los denotemos α 1,..., α n. Entonces tenemos la relación q + e α e αn =, (6) donde q = 2 d n >. Comparamos estimaciones para J = I f (α 1 ) I f (α n ), donde I f está definida en la sección anterior y f(x) = l np x p 1 (x α 1 ) p... (x α n ) p, donde p denota un primo grande. De (2) y (6), obtenemos: n m m J = e α k f (j) () f (j) (α k ) = k=1 = q j= j= ( n e k) m α f (j) () k=1 j= m f (j) () j= m j= k= m j= k= n f (j) (α k ), n f (j) (α k ) donde una vez más m = (n+1)p 1. La suma sobre k es un polinomio simétrico en lα 1,..., lα k con coeficientes enteros. Por lo tanto, también es simétrico en todos los 2 d números lθ, y por lo tanto, por el teorema a pie de página 1 aplicado 1 Si F Z[x 1,..., x n] es simétrico, entonces existe un polinomio G(s 1,..., s n) Z[s 1,..., s n], tal que: F (x 1,..., x n) = G(s 1,..., s n),

11 Números trascendentes y construcciones imposibles dos veces, deducimos que es un entero. Como f (j) (α k ) = cuando j < p, este entero se divide por p!. Es claro que f (j) () también es un entero que se divide por p! salvo cuando j = p 1; en este caso, f (p 1) () = (p 1)!( l) np (α 1... α n ) p es un entero divisible por (p 1)!, pero no por p! si p es más grande que el último coeficiente del polinomio minimal de θ. Por lo tanto, si p > q tenemos que J (p 1)!. Por otro lado, de (3) obtenemos que: J α 1 e α 1 f( α 1 ) α n e αn f( α n ) c p 1, con alguna constante c 1 independiente de p, que se puede escoger como: c 1 = n α e α (2 α l) n, donde α = max{1, α i : i = 1,..., n} y hemos obtenido la misma contradicción que en el final de la demostración del teorema anterior. 3.3 El Teorema de Lindemann-Weierstrass Lema 3.3. n! = + z n e z dz. Demostración. Haremos esta demostración por inducción i) n = 1; veamos que 1 = ze z dz. Tomemos u = z y dv = e z, entonces du = 1 y v = e z, e integrando por partes, tenemos: ( a ) ze z dz = lim ze z a a + e z dz a = lim a ( ze z e z ) a ( = lim ( ae a e a ) (e e ) ) = 1. a ii) Ahora veamos que si la propiedad se cumple para n, entonces se cumple para n + 1. z n+1 e z dz, tomando u = z n+1 y dv = e z, entonces du = (n + 1)z n y v = e z, e integrando por partes, tenemos: z n+1 e z ( dz = lim z n+1 e z) a a + (n + 1)z n e z dz ( = lim a n+1 e a + n+1 e ) + (n + 1) z n e z dz a =(n + 1)n! = (n + 1)!

12 11 A. Haro, L. Loeza Teorema 3.4. Sean f i (x) Z[x], i = 1,..., r polinomios irreducibles no constantes de grado k i y para cada i sean β 1i,..., β ki i las raíces de f i (x). Supongamos que son no nulas. Sean a i Z para i =,..., r, tales que a. Entonces, r k i a + e β ki. i=1 Demostración. Supongamos que a + r i=1 a ki i k=1 eβ ki =. Sean + M = M ki =e β ki ɛ ki =e β ki b (N 1)p 1 N + β ki βki b a i k=1 z p 1 f p (z)e z dz (p 1)! (N 1)p 1 N b (N 1)p 1 N z p 1 f p (z)e z (p 1)! dz k = 1,..., k i i = 1,..., r z p 1 f p (z)e z dz k = 1,..., k i i = 1,..., r, (p 1)! donde p es un número primo y M se integra sobre los reales positivos. Ahora tomemos e β ki = M ki + ɛ ki M con k = 1,..., k i, i = 1,..., r, donde M Z y M ; sustituyendo en la igualdad, tenemos: a M + r i=1 k i a i k=1 M ki + r i=1 k i a i k=1 ɛ ki = (7) con a M. Ahora encontremos un primo p, tal que p a M y que la suma r i=1 k i a i M ki k=1 sea un múltiplo de p. Y por otra parte, se cumplirá que: r i=1 k i a i k=1 ɛ ki < 1, (8) con esto tenemos una contradicción, pues en la igualdad (7) los dos primeros sumandos son un número entero no divisible entre p, mientras que el tercer

13 Números trascendentes y construcciones imposibles sumando tiene módulo menor que 1. Para tener esto primero definamos: f(z) = r f i (z) = b + b 1 z + + b N z N = b N i=1 r k i (z β ki ), i=1 k=1 donde N = r i=1 k i y b y ya que las raíces son no nulas. Podemos suponer que b N. Luego, como M = + b (N 1)p 1 N z p 1 f p (z)e z dz (p 1)! veamos que la integral es finita y que si p es lo suficientemente grande, ésta es un número entero no divisible entre p. Notemos que: (N+1)p b (N 1)p 1 N z p 1 f p (z) = b (N 1)p 1 N b p zp 1 + c s 1 z s 1 s=p+1 para ciertos coeficientes c s Z y b N b. Por lo tanto, M = b(n 1)p 1 N b p (p 1)! = b (N 1)p 1 N + (N+1)p z p 1 e z c s 1 dz + (p 1)! s=p+1 + (N+1)p b p + (s 1)! (p 1)! c s 1 = b (N 1)p 1 N b p + pc s=p+1 z s 1 e z dz para algún C Z, y para todo esto hemos usado la fórmula de Euler (Lema 3.3): n! = + z n e z dz. De manera que cualquier primo p mayor que a, b N, b, hace que M sea un entero racional y que p a M. Recordemos que: M ki = e β ki ɛ ki = e β ki + β ki βki b (N 1)p 1 N b (N 1)p 1 N z p 1 f p (z)e z (p 1)! dz k = 1,..., k i i = 1,..., r z p 1 f p (z)e z dz k = 1,..., k i i = 1,..., r, (p 1)! donde los caminos de integración son los señalados en la figura 8. De modo que

14 112 A. Haro, L. Loeza Figura 8: Caminos de integración. Figura 9: Trayectoria de integración. la finitud de M ki, se debe a que se está integrando una función entera y por el Teorema de Cauchy sabemos que la integral a lo largo de una trayectoria como ésta es nula para toda R suficientemente grande (figura 9). Ahora bien, es fácil ver que la integral sobre el segmento vertical tiende a cuando R tiende a infinito; luego la integral que define M ki es finita y al sumarle la integral que define a ɛ ki, da exactamente M. Así resulta que M ki + ɛ ki = e β kim, y tenemos la descomposición buscada. Si en la definición de M ki descomponemos en factores el polinomio f(z), obtenemos: + Np 1 bn z p 1 r kj j=1 t=1 M ki = (z β tj) p e z+β ki dz. (p 1)! β ki Tomemos z = u + β ki, teniendo dz = du, y al hacer el cambio la integral se convierte en: + b Np 1 N (u + β ki ) p 1 u p e u r kj j=1 t=1 tj ki (u + β ki β tj ) p M ki = du. (p 1)!

15 Números trascendentes y construcciones imposibles Distribuyendo los coeficientes b N, tenemos: M ki = + (b N u + b N β ki ) p 1 u p e u r kj j=1 t=1 tj ki (b N u + b N β ki b N β tj ) p du. (p 1)! Es fácil ver que, puesto que b N es el coeficiente principal de un polinomio cuyas raíces son los β ij, los números α ij = b N β ij son enteros algebraicos. Con esta notación, M ki = tomemos: + (b N u + α ki ) p 1 u p e u r kj j=1 t=1 tj ki (b N u + α ki α tj ) p du (p 1)! Φ(u) = r k i a i i=1 k=1 r (b N u + α ki ) p 1 j=1 k j t=1 tj ki (b N u + α ki α tj ) p. Entonces, si sumamos, tenemos que: r i=1 k i a i k=1 M ki = + u p Φ(u)e u du. (p 1)! Si consideramos una extensión finita de Galois K de Q, que contenga todos los β ij, resulta que existe un automorfismo de K que permuta los números α 1i,..., α ki i, y se ve claramente que entonces deja invariante a Φ(u). Esto significa que Φ(u) Q[u], y como los α ij son enteros, en realidad Φ(u) Z[u]. Ahora digamos que: Entonces, r i=1 k i a i k=1 M ki = (N+1)p s=p+1 u p Φ(u) = d s 1 (p 1)! + (N+1)p s=p+1 d s 1 u s 1. u s 1 e u du = (N+1)p s=p+1 d s 1 (s 1)! (p 1)! = pc para algún C Z. Ya sólo nos falta probar que la desigualdad (8) se cumple. Sea R, tal que todas las raíces β ij se encuentren dentro del disco de radio R con centro en el. Llamemos: g ki = max z <R bn 2 N f(z)e z+β ki, g = max z <R bn 1 N zf(z)

16 114 A. Haro, L. Loeza y sea g el máximo de los g ki. Entonces, βki ɛ ki = 1 b (N 1)p 1 N (p 1)! β ki b N 2 N 1 (p 1)! β ki max gp 1 g R (p 1)!. z p 1 f p (z)e z+β ki dz (p 1)! f(z)e z+β ki b N 1 N zf(z) p 1 z <R bn 2 N f(z)e z+β ki max z <R bn 1 N zf(z) p 1 Y como g R gp 1 (p 1)! tiende a cuando p tiende a infinito, si elegimos p suficientemente grande tenemos que se cumple la desigualdad (8). De manera que este teorema ha quedado demostrado. Lema 3.5. Consideremos números k i k=1 A kie α ki, donde k i 1, i = 1,..., r, r 2, A ki C/{} y α 1i,..., α ki i son números complejos distintos para cada i. Si operamos el producto r k i A ki e α ki = i=1 k=1 N B i e β i donde β 1,..., β N son distintos dos a dos (es decir, los coeficientes B i se obtienen multiplicando un A ki para cada i y después sumando todos los productos que acompañan a un mismo exponente), se cumple que alguno de los coeficientes B i es no nulo. Demostración. Ordenemos los números α 1i,..., α ki i según el crecimiento de sus partes reales y, en caso de igualdad, según el crecimiento de sus partes imaginarias. Entonces el número α α 1r no puede alcanzarse mediante otra combinación α j α jrr, pues la parte real de cualquiera de estas sumas será mayor o igual que la de la primera, y en caso de igualdad, la parte imaginaria será mayor. De forma consecuente existe un i, de manera que β i = α α 1r y el coeficiente B i será exactamente A 11 A 1r. El Teorema de Lindemann-Weierstrass Teorema 3.6 (Lindemann-Weierstrass). Si α 1,..., α n son números algebraicos distintos (n 2) y c 1,..., c n son números algebraicos no todos nulos, entonces i=1 c 1 e α c n e αn.

17 Números trascendentes y construcciones imposibles Demostración. Supongamos que: c 1 e α c n e αn =. (9) Podemos suponer que todos los coeficientes c i son no nulos. Multiplicando la ecuación por un número natural suficientemente grande, podemos suponer que, de hecho, son enteros algebraicos. Veremos en primer lugar que podemos suponer también que son enteros racionales. Sean c i1,..., c iki los conjugados de cada c i. Entonces, k 1 i 1 =1 k n i n=1 (c 1i1 e α c nin e αn ) =, pues entre los factores se encuentra (9). Operemos el polinomio k 1 i 1 =1 k n i n=1 (c 1i1 z c nin z n ) = c h1,...,h n z h 1 1 zhn donde el último sumando se extiende sobre todas las n-tuplas (h 1,..., h n ) de números naturales, tales que h 1 + +h n = N = k 1 + +k n. Si consideramos una extensión finita de Galois K de Q, que contenga todos los números c ij, tenemos que todo automorfismo de K permuta los números c i1,..., c iki, y deja invariante a este polinomio, lo que implica que sus coeficientes c h1,...,h n son números racionales. Como además son enteros, tenemos que c h1,...,h n Z. Si sustituimos z i = e α i, nos queda: n, k 1 i 1 =1 k n i n=1 (c 1i1 e α c nin e αn ) = c h1,...,h n e h 1α 1 + +h nα n = M b i e β i, i=1 donde los coeficientes b i son enteros racionales que se obtienen sumando los c h1,...,h n que acompañan a un mismo exponente, es decir, según las hipótesis del teorema anterior, por lo que alguno de ellos es no nulo (y claramente ha de haber, al menos, dos no nulos). Los números b i son números algebraicos distintos, luego tenemos una expresión como la original pero con coeficientes enteros. A partir de ahora suponemos (9) con c i Z y donde α 1,..., α n son números algebraicos distintos. Sea f(x) Q[x] el producto de los polinomios mínimos de los números α i (sin repetir dos veces el mismo factor). Sea m n el grado de f, sean γ 1,..., γ m

18 116 A. Haro, L. Loeza todas las raíces de f. Llamemos µ = m(m 1)... (m n + 1) al número de n-tuplas posibles (i 1,..., i n ) de números distintos comprendidos entre 1 y m. Entonces, (c1 e γ i1 + + cn e γ in ) =, donde el producto recorre las µ citadas n-tuplas. El producto es, porque entre sus factores se encuentra (9). Consideremos el polinomio (c1 z i1 + + c n z in ) = B h1,...,h m z h 1 1 zhm m, donde la suma se extiende sobre las m-tuplas (h 1,..., h m ) de números naturales que suman µ y los coeficientes B h1,...,h m son enteros racionales. Claramente la expresión de la izquierda es invariante por permutaciones de las indeterminadas z 1,..., z m ; además, los coeficientes B h1,...,h m son invariantes por permutaciones de h 1,..., h m. Ahora podemos agrupar los sumandos de la siguiente manera: (c1 z i1 + + c n z in ) = r k=1 B k z h k1 k 1... z h km k m donde r es el número de clases de equivalencia de las m-tuplas (es decir, el número de elementos de un conjunto de m-tuplas (h k1,..., h km ) de números naturales que suman µ sin que haya dos que se diferencien sólo en el orden), y la segunda sumatoria varía en un conjunto P k de permutaciones (k 1,..., k m ) de (1,..., m), que dan lugar, sin repeticiones, a todos los monomios posibles z h k 1 k 1... z h km k m. Sustituyendo las indeterminadas por exponenciales queda: (c1 e γ i cn e γ in ) = r B k e h k1 γ k1 + +h km γ km =. k=1 La definición del conjunto P k hace que el polinomio (x (hk1 z k1 + + h km z km )) sea invariante por permutaciones de z 1,..., z m ; luego F k (x) = (x (h k1 γ k1 + + h km γ km )) Q[x]. Si llamamos δ 1k,..., δ tk k a las raíces de F k (x) (repetidas con su multiplicidad), nuestra ecuación puede escribirse como: (c1 e γ i cn e γ in ) = r B k (e δ 1 k + + e δ t kk ) =. k=1

19 Números trascendentes y construcciones imposibles Sean s i (x) Q[x], i = 1,..., q los distintos factores mónicos irreducibles de los polinomios F k (x). Así, cada F k (x) se expresa como: q F k (x) = s p ik i (x) i=1 para ciertos números naturales p ik. Sean β 1i,..., β ti i las raíces de s i (x) (todas son simples, porque el polinomio es irreducible). Entonces el polinomio F k (x) tiene p ik veces cada raíz β ji ; luego q B k (e γ 1k + + e γ t kk ) = p ik B k (e β 1i + + e β t ii ). Sumando tenemos: (c1 e γ i cn e γ in ) = donde A i = = i=1 r B k (e γ 1k + + e γ t kk ) k=1 q A i (e β 1i + + e β t ii ) =, i=1 r p ik B k Z. k=1 Notemos que todos los números β ij son distintos, pues son raíces de polinomios irreducibles distintos. Por construcción, los exponentes β ij son todas las sumas distintas de exponentes γ ij, que aparecen al efectuar el producto de la izquierda de la ecuación. Podemos aplicar el teorema anterior y concluir que alguno de los coeficientes A i es no nulo, y eliminando los nulos podemos suponer que ninguno lo es. En resumen, tenemos: q A i (e β 1i + + e β t ii ) =, i=1 donde los coeficientes son enteros racionales no nulos y los exponentes de cada sumando son familias de números conjugados correspondientes a polinomios irreducibles distintos s i (x) de grado t i. Distinguimos dos casos: 1. Algún β ki =. Pongamos, por ejemplo, i = 1. Esto significa que s 1 (x) = x; luego, además, t 1 = 1 y la ecuación se reduce a: q A 1 + A i (e β 1i + + e β t ii ) =, i=2

20 118 A. Haro, L. Loeza donde los exponentes son todos no nulos, y esto contradice al teorema Todos los β ki son distintos de. Dividimos la ecuación entre e β k1 para k = 1,, t 1, con lo que obtenemos: Sumando tenemos: q t i A i i=1 t=1 q e β ti β k1 =, k = 1,..., t 1. t 1 t i A i i=1 k=1 t=1 e β ti β k1 =. En el sumando i = 1, los sumandos con k = t valen 1. Si los separamos tenemos: q t 1 t i t 1 A 1 + A 1 e β 1i β k1 + e β ti β k1 =, k t A i i=2 k=1 t=1 donde en la primera sumatoria, k y t varían entre 1 y t 1. El polinomio g 1 (x) = k t(x (β t1 β k1 )) es invariante por permutaciones de los conjugados β k1, y sus coeficientes son racionales. Igualmente ocurre con los polinomios g i (x) = t 1 t i k=1 t=1 (x (β ti β k1 )) para i = 2,..., q. Además, todos tienen las raíces no nulas. Llamaremos A = t 1 A 1, k 1 = t 1 (t 1 1), k i = t 1 t i para i = 2,..., q y α 1i,..., α ki i a las raíces de g i (x), la ecuación se convierte en: A + q i=1 k i A i k=1 e α ki =, lo que contradice al teorema 1. Lo que demuestra el teorema. Corolario 3.7. Si α es un número algebraico, entonces e α es un número trascendente.

21 Números trascendentes y construcciones imposibles Demostración. Supongamos que c = e α es algebraico, entonces tenemos que e α ce =, pero esto contradice el Teorema de Lindemann-Weierstrass; por lo tanto, e α es trascendente. Como caso particular de este corolario tenemos que e es un número trascendente. Corolario 3.8. El número π es trascendente. Demostración. Supongamos que π es algebraico, entonces πi también lo es, así que por el corolario anterior tendríamos que e πi es trascendente, lo cual es una contradicción, pues e πi = 1. Por lo tanto, π es trascendente. Corolario 3.9. Si α es un número algebraico, entonces sin α, cos α, tan α son números trascendentes. Demostración. Supongamos que β = sin α = (e iα e iα )/2i es algebraico, entonces e iα e iα 2iβ = e iα e iα 2iβe =, lo cual es una contradicción con el Teorema de Lindemann-Weierstrass. Por lo tanto, sin α es trascendente. El caso de cos α se hace de manera análoga. Supongamos que β = tan α = (e iα e iα )/(e iα + e iα ) fuera algebraico, entonces (β 1)e iα + (β + 1)e iα =, lo cual contradice el Teorema de Lindemann-Weierstrass. Por lo tanto, tan α es trascendente. 3.4 El Teorema de Gelfond-Schneider Definición 3.1. Si K es un campo numérico, la traza T r : K Q determina una forma bilineal simétrica: K K Q (α, β) T r(αβ). Teorema Sea (a jk ) una matriz M N con coeficientes enteros racionales, tal que M < N y de modo que todos los coeficientes estén acotados por A > 1. Entonces el sistema de ecuaciones lineales a j1 x a jn x N =, 1 j M tiene una solución entera no trivial, tal que x k E((NA) M/(N M) ), para 1 k N (donde E denota la parte entera).

22 12 A. Haro, L. Loeza Demostración. Para cada N-tupla de enteros racionales (x 1,..., x N ) consideremos la M-tupla de enteros racionales (y 1,..., y M ), dada por: y j = a j1 x a jn x N, 1 j M. Sea H = E((NA) M/(N M) ). De este modo, (NA) M/(N M) < H + 1; luego NA < (H + 1) (N M)/M, NAH + 1 NA(H + 1) < (H + 1) N/M ; luego tenemos que (NAH + 1) M < (H + 1) N. Sea (x 1,..., x N ), tal que x k H para 1 k N. Sea B j, la suma de los a jk negativos y C j la suma de los a jk positivos. Entonces, B j + C j = a j1 + + a jn NA, y claramente B j H y j C j H. Ahora bien, el número de N-tuplas (x 1,..., x N ), tales que x k H es (H + 1) N, mientras que sus M-tuplas asociadas (y 1,..., y M ) varían en un conjunto de, a lo más, (C j H + B j H + 1) M (NAH + 1) M elementos. Como (NAH + 1) M < (H + 1) N, ha de haber dos N-tuplas distintas con la misma imagen. Su diferencia cumple el teorema. Sea K un campo numérico de grado h y β 1,, β h, una base entera de K. Si α K, llamaremos α (i) para i = 1,..., h, a los conjugados de α en un cierto orden. Llamaremos α = max 1 i h α (i). Ahora, si γ 1,..., γ h es la base dual de β 1,..., γ h, entonces todo entero α de K se expresa en forma única como α = a 1 β a h β h para ciertos enteros racionales a i, tales que a i = T r(αγ i ) = α (1) γ (1) i + + α (h) γ (h) i max 1 i h γ (i) α. Así, pues, existe una constante c, que depende sólo de K y de la base β 1,..., β h, tal que para todo entero α K se cumple: α = a 1 β a h β h con a i c, i = 1,..., h. (1) Teorema Sea (α kl ) una matriz p q con coeficientes enteros en K, tal que p < q y de modo que α kl A. Entonces el sistema de ecuaciones lineales α k1 ξ α kq ξ q =, 1 k p tiene una solución entera (en K) no trivial, tal que ξ l c(1 + (cqa) p/(q p) ), para 1 l q, donde c es una constante que depende de K y de la base β 1,..., β h, pero no de la matriz.

23 Números trascendentes y construcciones imposibles Demostración. Para cualquier q-tupla (ξ 1,..., ξ q ) de enteros de K consideremos sus coordenadas ξ l = x l1 β x lh β h, 1 l q, donde x l1,..., x lh son enteros racionales. Ahora sea α kl β r = a klr1 β a klrh β h, 1 k p, 1 l q, 1 r h. Entonces, = q α kl ξ l = l=1 = q α kl l=1 r=1 ( h h u=1 r=1 l=1 h x lr β r = h q x lr r=1 l=1 u=1 h a klru β u ) q a klru x lr β u, para 1 k p; luego (ξ 1,..., ξ q ) sería solución del sistema de ecuaciones si y sólo si las coordenadas (x l1,..., x lh ) son solución del sistema de M = hp ecuaciones con N = hq incógnitas: h q a klru x lr =, 1 u h, 1 k p. r=1 l=1 Por otro lado, (1) nos dice que existe una constante c, tal que: a klru c α kl β r c max 1 i h β i A = c A, y por el teorema anterior este sistema de ecuaciones tiene una solución entera no trivial, tal que: x lr E((hqc A) p/(q p) ) 1 + (hqc A) p/(q p), 1 l q, 1 r h. Los (ξ 1,..., ξ q ) con estas coordenadas son enteros de K no todos nulos, que cumplen el sistema de ecuaciones y, además, ξ l x l1 β x lh β h max 1 i h β i ( x l1 + + x lh ) hc (1 + (hqc A) p/(q p) ) = c(1 + (cqa) p/(q p) ), lo que concluye la demostración.

24 122 A. Haro, L. Loeza El Teorema de Gelfond-Schneider Teorema 3.13 (Gelfond-Schneider). Si α y β son números algebraicos, tales que α, 1 y β es irracional, entonces el número α β es trascendente. Demostración. Fijemos un valor para log α y supongamos que γ = e β log α es algebraico. Sea K un campo numérico de grado h, que contenga a α, β y γ. Sean m = 2h + 2 y n = q 2 /(2m), donde t = q 2 es un múltiplo de 2m. Observemos que podemos tomar valores para n arbitrariamente grandes en estas condiciones. En lo sucesivo las letras c, c 1, c 2,... representarán constantes que dependerán de K, de una base entera de K prefijada, y de α, β y γ pero nunca de n. Sean ρ 1,..., ρ t los números (a+bβ) log α, con 1 a q, 1 b q. Notemos que como β es irracional, los números 1 y β son linealmente independientes; luego los números ρ 1,..., ρ t son distintos dos a dos. Sean η 1,..., η t números complejos en K arbitrarios. Consideremos la función holomorfa en C, dada por R(z) = η 1 e ρ1z + + η t e ρtz. Consideremos las mn ecuaciones lineales con t = 2mn incógnitas (η 1,..., η t ): (log α) k R (k) (l) =, k n 1, 1 l m. 2 (11) Los coeficientes de la ecuación (k, l) son los números: (log α) k ρ k i e ρ il = (log α) k ((a + bβ) log α) k e l(a+bβ) log α = (a + bβ) k α al γ bl K, (12) con 1 l m, 1 a, b q, k n 1. Sea c 1 un número natural no nulo, tal que c 1 α, c 1 β y c 1 γ sean enteros en K. En cada coeficiente, al desarrollar el binomio (a + bβ) k aparecen monomios de α, β y γ con grado, a lo más, k + al + bl n 1 + mq + mq n + 4m 2 n = (4m 2 + 1)n; luego si multiplicamos cualquiera de los coeficientes por c 4(m2 +1)n 1 = c n 2, obtenemos un entero de K. El módulo de los conjugados de los coeficientes 2 Usamos R (k) para referirnos a la k-ésima derivada de R.

25 Números trascendentes y construcciones imposibles multiplicados por c n 2 es, a lo sumo, c n 2 (a + bβ (i) ) k (α (i) ) al (γ (i) ) bl c n 2 (a + b β ) k α al γ bl c n 2 (q + q β ) n 1 α mq γ mq c n 2 ( 2m n + 2m n β ) n 1 α 2m2 n γ 2m 2 n c n 2 ( 2m + 2m β ) n α 2m2 n γ 2m 2 n n n 1 = c n 3 n (n 1)/2. Ahora podemos aplicar el teorema anterior, que nos garantiza que η 1,..., η t pueden elegirse de modo que sean enteros en K, no todos nulos, satisfagan las t/2 ecuaciones (multiplicadas o no por c n 2, da igual) y, además, η k c(1 + (ctc n 3 n (n 1)/2 )) 2ctc n 3 n (n 1)/2 4mcnc n 3 n (n 1)/2 c n 4 n (n+1)/2 (13) para 1 k t. A partir de ahora consideramos la función R(z) para estos η 1,..., η t. En primer lugar, R(z) no puede ser idénticamente nula, pues desarrollándola en serie de Taylor en el origen resultará entonces que: η 1 ρ k η t ρ k t =, para k =, 1, 2, 3,... pero las t primeras ecuaciones son un sistema de ecuaciones lineales en η 1,..., η t cuyo determinante es de Vandermonde, luego es no nulo, puesto que ρ 1,..., ρ t son distintos dos a dos. Esto implica que η 1 = = η t =, lo cual es falso. En resumen, tenemos que la función entera R(z) es no nula, pero tiene sus n 1 primeras derivadas nulas en los puntos l = 1,..., m. Existe, pues, un natural r n, tal que R k) (l) = para k r 1, 1 l m y R r) (l ) para un cierto l, tal que 1 l m. Llamemos ρ = (log α) r R r) (l ). El mismo análisis que hemos realizado antes sobre los coeficientes del sistema nos da ahora que ρ K y que c r+2mq 1 ρ es un entero en K. Así, pues, 1 N(c r+2mq 1 ρ) = N(ρ) ; luego N(ρ) c h(r+2mq) 1 > c r 5. (14) Por otro lado, tenemos que ρ es una suma de t términos, cada uno de los cuales es el producto de un η k, para el que tenemos la cota (13), y de un coeficiente de la forma (a + bβ) r α al γ bl, cuyos conjugados están acotados por: (a + b β ) r α al γ bl (q + q β ) r α mq γ mq (c 6 q) r c q 7.

26 124 A. Haro, L. Loeza Y así ρ tc n 4 n(n+1)/2 (c 6 q) r c q 7. Ahora acotemos t = q2 = 2mn 2mr, n r, q 2m n 2mr 1/2 y llegamos a: ρ 2mrc r 4r (r+1)/2 c r 6( 2m) r r r/2 c 2mr 7 c r 8r r+3/2. (15) Vamos a obtener una cota más fina para ρ. Para ello, aplicaremos la fórmula integral de Cauchy a la función R(z) S(z) = r! (z l ) r m k=1,k l ( ) l k r. z k Puesto que las derivadas anteriores al orden r son nulas en 1,..., m, la función S es entera. Además, ρ = (log α) r R r) (l ) = (log α) r S(l ) = (log α) r 1 2πi C S(z) z l dz, donde C es la circunferencia z = m(1+r/q), que contiene los números 1,..., m, en particular a l. Para los puntos z C, tenemos las cotas: R(z) tc n 4 n (n+1)/2 exp ((q + q β ) log α m(1 + r/q)) tc n 4 n (n+1)/2 c r+q 9 c r 1r (r+3)/2, z k z k m(1 + r/q) m = mr/q, para k = 1,..., m, (z l ) r m k=1,k l ( ) l k r ( q ) r m ( q ) r ( q ) mr m r, z k mr mr r k=1,k l ( S(z) r!c r 1r (r+3)/2 q ) mr r r r c r 1r (r+3)/2 ( 2m ) mr r mr/2 = c r 11r (3r+3 mr)/2. Y acotando la integral, tenemos que: ρ 1 ( 2π (log α) r 2π 1 + r q = log α r ( q mr + 1 m ) ( c r 11r (3r+3 mr)/2 q ) mr ) c r 11r (3r+3 mr)/2 log α r (q + 1) r c r 11r (3r+3 mr)/2 = c r 12r (3r+3 mr)/2.

27 Números trascendentes y construcciones imposibles Ahora vamos a acotar N(ρ), que es el producto de los módulos de los conjugados de ρ, usando la cota anterior para ρ y la cota (15) para los h 1 conjugados restantes. Concretamente, N(ρ) c r 12r (3r+3 mr)/2 (c r 8r r+3/2 ) h 1 = c r 13r (3r+3 mr)/2+(h 1)(r+3/2). Y sustituimos m = 2h + 2 y simplificando, tenemos: N(ρ) c 13 r (3h r)/2. Pero combinando esto con (14), queda c r 5 < c r 13 r(3h r)/2, o bien, r (r 3h)/2 < c r 13 cr 5 = cr 14. Tomando logaritmos es fácil llegar a que: ( 1 2 3h ) log r < log c 14. 2r De manera que hemos probado que esto se cumple para una constante c 14 y para valores de r arbitrariamente grandes (pues r n), pero esto es claramente contradictorio, pues el miembro de la izquierda tiende a + cuando r tiende a +. Por lo tanto, el teorema ha quedado demostrado. Corolario El número 2 2 es trascendente. Demostración. Sabemos que 2 y 2 son algebraicos y también sabemos que 2 es irracional, así que por el Teorema de Gelfond-Schneider tenemos que 2 2 es trascendente. Corolario El número e π es trascendente. Demostración. Sabemos que e π = (e πi ) i = ( 1) i y además tenemos que 1 es algebraico, y que i es algebraico e irracional, así que por Gelfond-Schneider e π es trascendente. 4 Y, para qué? Al comenzar, el trabajo tenía como objetivo hablar sobre los números trascendentes y ver algunos ejemplos de ellos, pero también llegamos a ver que existe una infinidad de números trascendentes y, además, vimos cómo poder encontrarlos. Los teoremas en esta última sección nos dicen cómo obtener números trascendentes y también nos sirven para ver de manera sencilla si algunos de los números famosos son o no trascendentes; además, vimos qué estructura tienen

28 126 A. Haro, L. Loeza y cómo se relacionan los números complejos, algebraicos, reales, construibles y racionales. Algunas de las consecuencias de lo mencionado son los siguientes corolarios que demuestran que es imposible resolver los tres problemas de la geometría antigua. 4.1 Cosas imposibles Corolario 4.1. Si el número real α satisface un polinomio irreducible sobre el campo de los números racionales de grado k, y si k no es una potencia de 2, entonces α no es construible. Este último corolario nos permite llegar a una conclusión en el problema de la trisección en un ángulo, usando regla y compás, pues probaremos que: Teorema 4.2. Es imposible trisecar el ángulo π/3 usando sólo regla y compás. Demostración. Trisecar π/3 es equivalente a construir el punto (α, ), dados (, ) y (1, ), donde α = cos(π/9), así que podríamos construir (β, ), donde β = 2 cos(π/9). Y tenemos la identidad trigonométrica: cos(3θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos(θ). Si usamos θ = π/9, entonces cos(3θ) = 1 2 y tendríamos que: β 3 3β 1 =. Pero con el criterio de Eisenstein podemos saber que f(t) = t 3 3t 1 es irreducible sobre los racionales, dado que f(t + 1) = t 3 + 3t 2 3 es irreducible sobre los racionales, de manera que nos queda que [Q(β) : Q] = 3, pero claramente 3 no es potencia de 2, así que por el corolario anterior, β no es construible; por lo tanto, no es posible trisecar π/3 usando sólo regla y compás. Teorema 4.3. Es imposible duplicar el cubo usando sólo regla y compás. Demostración. Dado un cubo, se tiene un lado de éste, el cual tomaremos (sin pedida de generalidad) como el intervalo unitario en el eje x. Por lo tanto, podemos asumir que P = (, ), (1, ), así que K = Q. Si pudiéramos duplicar el cubo, entonces podríamos construir el punto (α, ), donde α 3 = 2 y por el

29 Números trascendentes y construcciones imposibles teorema 2 [Q(α) : Q] tendría que ser potencia de 2. Pero α es raíz del polinomio t 3 2 sobre Q, que por el criterio de Eisenstein es irreducible sobre Q y por lo tanto, [Q(α) : Q] = 3, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, el cubo no puede ser duplicado. Teorema 4.4. Es imposible hacer la cuadratura de un circulo usando sólo regla y compás. Demostración. Crear un cuadrado cuya área sea la misma que de un círculo es equivalente a construir un punto (, π) sobre (, ), (1, ). Si esta construcción fuera posible, entonces [Q(π) : Q] sería una potencia de 2 y particularmente π sería algebraico sobre los racionales. Pero gracias a Lindemann sabemos que π es un número trascendente, lo cual es una contradicción; por lo tanto, no es posible hacer la cuadratura del circulo usando sólo regla y compás. Referencias [1] Baker, A. Transcendental Number Theory. Cambridge U. Press, [2] Clark, A. Elements of Abstract Algebra. Dover Publications, Inc., [3] de Viola-Prioli, A.; Jorge E. Viola-Prioli. Teoría de Cuerpos y Teoría de Galois. Editorial Reverté, 26. [4] Herstein, I. Álgebra moderna: grupos, anillos, campos, Teoría de Galois. Trillas, [5] Lang, S. Álgebra. Addison-Wesley Publishing Co., [6] Levinson, N.; R. Redheffer. Curso de variable compleja. Editorial Reverté, [7] Markushevich, A. Teoría de las Funciones Analíticas. Editorial Mir, 197. [8] Massey, S. Algebraic Topology: an Introduction. Springer Verlag, [9] Niven, I.; H. Zuckerman. Introducción a la Teoría de los Números. Editorial Limusa, [1] Rosales, A. Números trascendentes: desarrollo histórico. Revista digital Matemática, Educación e Internet ( 1(2), Marzo 21.

30 128 A. Haro, L. Loeza [11] Rotman, J. An Introduction to the Theory of Groups, volume 148 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York. Four th edition, [12] Rudin, W. Análisis real y complejo. McGraw-Hill, [13] Stewart, I. Galois Theory. Third Edition, Chapman & Hall/CRC Mathematics, Arilin Haro Palma (arilinsusy215@hotmail.com) Universidad Autónoma de Zacatecas. Unidad Académica de Matemáticas. Calzada Solidaridad entronque Paseo a la Bufa, Zacatecas, Zac., C.P. 98 Luis Loeza Chin (luis.loeza@uacj.mx) Departamento de Física y Matemáticas. Universidad Autónoma de Ciudad Juárez. Av. Del Charro núm. 45 norte, Ciudad Juárez, Chih., México, C.P. 3231, A.P D.