Planificación de la expansión de capacidad de un sistema de potencia térmo-eléctrico bajo condiciones de incertidumbre

Transcripción

1 Planificación de la expansión de capacidad de un sistema de potencia térmo-eléctrico bajo condiciones de incertidumbre Víctor M. Albornoz S. Manuel E. Rojas A. Departamento de Industrias Universidad Técnica Federico Santa María Av. Santa María Santiago. Resumen. En este trabajo se propone obtener una política óptima en la planificación de la expansión de capacidad de un sistema de potencia termoeléctrico, mediante la formulación y resolución algorítmica de un modelo de Programación Estocástica Entera en Dos-Etapas bajo incertidumbre en la disponibilidad futura de las centrales térmicas ya existentes en el sistema. Palabras clave: Programación Estocástica, Gestión de Operaciones, Planificación, Técnicas de Optimización. 1. Introducción El principal objetivo de este trabajo consiste en apoyar la planificación en la expansión de la capacidad de un sistema de potencia eléctrico, correspondiente más precisamente al Sistema Eléctrico de Punta Arenas, el cual contempla únicamente la presencia de unidades térmicas de generación, sin ninguna posibilidad de instalar en el futuro centrales hidroeléctricas. Naturalmente, se contempla un horizonte de planificación de largo plazo, el cual ha sido subdividido en periodos mensuales. De manera resumida, el problema consiste en la gestión óptima del sistema que permita determinar en cada mes el tamaño a expansión para cada una de las diferentes tecnologías consideradas en los planes futuros de expansión, de modo de minimizar los costos de expansión y operación del sistema y, al mismo tiempo, dar cumplimiento a las demandas futuras de potencia eléctrica. En este trabajo, se propone un modelo de programación estocástica entera de dos etapas, que incorpora la incertidumbre en la disponibilidad futura de las unidades existentes al inicio

2 del horizonte de planificación. Esta incertidumbre es incorporada a través de una variable aleatoria discreta (escenarios) cuyos valores y probabilidades se supone conocidos sobre todo el horizonte de planificación. La resolución del modelo propuesto es abordada mediante la extensión del Método de Descomposición de Benders a problemas de programación estocástica, en este caso en variable entera-mixta. Mediante un esquema iterativo coordinado, en cada iteración el método permite la descomposición en un problema maestro reducido (con variables entera), relacionado principalmente con la expansión del sistema, y distintos subproblemas relacionados con la operación del mismo, uno para cada escenario. Los subproblemas se resuelven una vez conocido un plan de expansión propuesto a partir de la resolución del problema maestro. A su vez, la resolución de los diferentes subproblemas permiten construir (en la siguiente iteración) una función que aproxima el costo de operación asociado a un determinado plan de expansión considerado en la formulación del problema maestro. A continuación, en este resumen extendido, se describe los principales aspectos del modelo propuesto, la estrategia algorítmica empleada, los resultados computacionales obtenidos y las conclusiones y extensiones del presente trabajo. 2. Modelo de Programación Estocástica Entera de dos Etapas En la literatura se conoce con el nombre de Programación Estocástica el área que agrupa todas las metodologías para formular y resolver problemas de optimización bajo condiciones de incertidumbre en los parámetros del problema, ver Birge y Loveaux (1997), Kall y Wallace (1995) y Sen y Higle (1999). Ahora bien, la representación de un sistema eléctrico dentro de un modelo de planificación puede ser muy sencilla al considerar un nodo de generación y demanda y, al mismo tiempo, suponer que todos los parámetros de la operación son deterministas, hasta representaciones más complejas que consideran de manera conjunta múltiples nodos con líneas capacitadas y la presencia de la aleatoriedad de alguno de los parámetros que definen el problema, por ejemplo en las hidrologías, en la disponibilidad de centrales térmicas existentes y/o en la demanda. Diversos autores han formulado y resuelto modelos de programación estocástica para la gestión y operación de sistemas en este último caso, como puede consultarse en Escudero et al. (1996), Hobbs et al. (2001), Pereira y Pinto (1985) y Wood y Wollenberg (1996), ente muchos otros.

3 Modelada la incertidumbre de la disponibilidad futura de todas las unidades (existentes al inicio del horizonte de planificación), mediante una variable aleatoria discreta, se propone un modelo de programación estocástica con recurso de dos etapas que permite abordar la gestión óptima de un determinado sistema térmico, en dos etapas o niveles de decisión. En la primera etapa, hay decisiones en relación con la expansión de la capacidad del sistema que son tomadas previa e independientemente de la realización particular del escenario de disponibilidad que tenga lugar en el futuro. Por su parte, la función objetivo de la primera etapa minimiza el costo de expansión más el costo de operación asociado a la política adoptada. En la segunda etapa, las variables toman su valor en respuesta del escenario de disponibilidad y dependen por cierto tanto del escenario particular que tenga lugar como de la decisión adoptada en la primera etapa. Más precisamente, el problema de la segunda etapa corresponde a la minimización de los costos esperados de operación sujeta a un conjunto de restricciones, por escenario, que permitan el cumplimiento de las demandas mensuales y tomen en cuenta tanto la existencia de las unidades que resultan del plan de expansión propuesto en la primera etapa como la disponibilidad de las unidades de generación en cada mes, para las existentes desde el inicio del horizonte de planificación. Algunos supuestos básicos del modelo propuesto son los siguientes: 1) se permite invertir en dos nuevas tecnologías en cualquier mes del horizonte de planificación, correspondiente a unidades térmicas a gas y térmicas de motor diesel; 2) se supone conocida la demanda de potencia en cada mes, y se representa mediante una curva de duración de carga con varios escalones; 3) se admite la posibilidad que el sistema eventualmente falle en cada mes, incorporando una decisión asociada al nivel de falla que tiene un costo de penalización que depende naturalmente del nivel de falla; y 4) se supone conocido un conjunto de escenarios de disponibilidad para todas las centrales existentes al comienzo de la planificación, escenarios definidos sobre todo el horizonte de planificación, que describe para cada central si está o no disponible en cada mes. Las variables de decisión del modelo corresponden a variables binarias que indican si se expande o no con una determinada tecnología (dos de motor diesel, dos de motor a gas y dos de turbina a gas) en cada periodo de acuerdo a un tamaño dado, el nivel de potencia expandida con las nuevas tecnologías en cada periodo, que determinan a su vez los niveles de potencia disponibles acumulados hasta un determinado periodo, y en la operación del sistema, la potencia generada con las unidades de motor diesel nueva, motor a gas nueva o turbina a gas nueva y con cada unidad existente desde el inicio del horizonte de planificación, como así

4 también los niveles de potencia fallada para cada periodo, escalón de la curva de duración de carga y escenario. Por su parte, la función objetivo del problema corresponde a la suma de los costos de inversión y los costos esperados de operación y falla del sistema. En tanto, las decisiones están restringidas básicamente a los requerimientos de demanda en cada periodo y escalón de la curva de duración de carga y a los niveles máximos disponibles en cada unidad tanto existente, para cada periodo y escenario de disponibilidad, como futura, para cada periodo, de acuerdo al plan propuesto de expansión. 3. Un Método de Descomposición Los modelos de programación estocástica, en el caso de una variable aleatoria discreta, o por simple discretización en el caso de una variable aleatoria continua (método de aproximación), conducen a problemas de gran tamaño los cuales poseen una cierta estructura que puede (y muchas veces debe) ser utilizada para su resolución computacional. En particular, los métodos de descomposición proveen una estrategia adecuada de resolución en diversas situaciones. De hecho, existen numerosos autores quienes, siguiendo la técnica de descomposición desarrollada por Benders (1962), estudiaron una gran variedad de problemas específicos a los cuales era posible extender esta metodología. En el caso de la programación estocástica destacan los trabajos de Van Slyke y Wets (1969), Birge (1985) y Caroe y Tind (1998). En este trabajo, se considera el método de descomposición L-shaped con variable entera (binaria) en la primera etapa. De este modo, en cada iteración se tiene un problema maestro (reducido) en variable entera y subproblemas en variable continua, uno para cada escenario. Dado lo anterior, la aplicación a optimalidad del método, es decir con un gap de dualidad nulo, provee la solución óptima del modelo estocástico propuesto. Más precisamente, el modelo que deseamos resolver, empleando la formulación determinista equivalente en la forma extendida y una notación matricial, corresponde a: Min cx + fγ + k p k (o k y k ) (3.1) s.a. Ax - Uγ = 0, (3.2) Bx + Wy k h k k=1,...,s, (3.3) Z y k = d k=1,...,s, (3.4) x 0, γ {0,1}, y k 0, (3.5)

5 donde x representa el nivel de potencia expandida con las nuevas tecnologías, γ la variable binaria asociada a la expansión en cada periodo e y k los niveles de generación de potencia y falla bajo el escenario k. La función objetivo es la suma de los costos de expansión y de los costos (esperados) de operación. Por su parte, (3.2) resume las restricciones que dan el nivel de la expansión, (3.3) la disponibilidad sobre los niveles de generación de potencia, (3.4) las restricciones de demanda y (3.5) la no-negatividad e integralidad de las variables. Algoritmo Paso 0. Hacer r=v=0. Paso 1. Resolver el problema entero-mixto: Min cx + fγ + θ (3.6) s.a. Ax - Uγ = 0, (3.7) E l x + θ e l l=1,...,r, (3.8) x 0, γ {0,1}, (θ) (3.9) Sea (x r, γ r, θ rr ) la solución óptima, si r=0 hacer θ rr =- y no considerarlo en el cálculo. Paso 2. Para k=1,...,s resolver el problema lineal: Min o k y k (3.10) s.a. Wy k h k - Bx r, (3.11) Z y k = d, (3.12) y k 0, (3.13) Sean π kr y λ kr los multiplicadores de Lagrange asociados con las restricciones (3.11) y (3.12), respectivamente. Defina E r+1 = k p k (π kr ) T B e r+1 = k p k ( (π kr ) T h k + (λ kr ) T d ) Sea w r = e r+1 - E r+1 x r. Si θ rr w r entonces (x r, γ r ) es la solución óptima de (3.1)-(3.5). En caso contrario, agregar a (3.8) la restricción E r+1 x + θ e r+1, hacer r=r+1 y volver al Paso 1. El algoritmo descrito considera, en la primera etapa, la resolución del problema maestro reducido (3.6)-(3.9), que incorpora información de la segunda etapa mediante una linealización exterior del problema de operación del sistema (asociado a la expansión propuesta), representada por los cortes de optimalidad (3.8). Dada la existencia de potencias de falla, el problema maestro reducido no contempla cortes de factibilidad, que de ser necesarios permiten aproximar el conjunto de decisiones de la primera etapa que hacen factible el problema en la segunda. Por otra parte, el problema (3.10)-(3.13) corresponde al

6 subproblema de la segunda etapa, para el escenario k, que minimiza los costos de operación del sistema dado un determinado plan de expansión, problema en variable continua. 4. Resultados computacionales Las distintas experiencias computacionales llevadas a cabo en este trabajo fueron realizadas mediante el uso del lenguaje de modelamiento algebraico AMPL, con CPLEX como solver de los diferentes problemas de programación lineal y de programación entera. Los lenguajes de modelamiento algebraico se han convertido en una herramienta muy importante de apoyo a la toma de decisiones, pues ha facilitado el empleo y resolución de modelos de optimización, incluída la programación de algoritmos numéricos de optimización. Se aborda un horizonte de planificación de 10 años, subdivididos en periodos mensuales. En cada mes, la curva de duración de carga tiene 3 escalones y existen costos operacionales asociados a cada tecnología que varían de un año a otro. El sistema estudiado lo conforman centrales térmicas de tres tipos de tecnología agrupadas en un sólo nodo geográfico: dos turbinas a gas, seis motores diesel y un motor a gas. Por su parte, los costos de inversión son diferentes para cada tecnología y tamaño, considerando un valor por MW instalado para dos motores diesel, dos motores a gas y dos turbinas a gas. El tamaño resultante del modelo determinista es de 7200 variables continuas, 720 variables enteras y restricciones. En cambio el modelo de programación estocástica, en su forma determinista equivalente extendida para 10 escenarios considera variables continuas, las mismas 720 variables enteras y restricciones. 5. Conclusiones y Extensiones Los resultados alcanzados en la resolución del modelo propuesta, muestran, por una parte, la necesidad de abordar esta clase de problemas mediante la utilización de métodos de descomposición y, por otra, validan la utilización de modelos de programación estocástica como una alternativa en el apoyo a la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre.

7 Agradecimientos. Este trabajo ha sido posible gracias al apoyo de la Dirección General de Investigación y Postgrado de la Universidad Técnica Federico Santa María, a través del financiamiento otorgado al Proyecto de Investigación No Referencias. Albornoz, V. (1998). Diseño de Modelos y Algoritmos de Optimización Robusta y su Aplicación a la Planificación Agregada de la Producción. Tesis para optar al grado de Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Pontificia Universidad Católica de Chile. Benders, J. (1962). Partitioning procedures for solving mixed-variables programming problems. Numerishe Mathematik 4, Birge, J. (1985). Decomposition and partitioning methods for multi-stage stochastic linear programs. Operations Research 33, Birge, J. and Loveaux, F. (1997). Introduction to Stochastic Programming. Springer Verlag, New York, USA. Caroe, C.C. and Tind, J. (1998). L-shaped decomposition of two-stage stochastic programs with integer recourse. Mathematical Programming, Vol. 83(3) Ermoliev, Yu y Wets, R., Eds. (1988). Numerical Techniques for Stochastic Optimization. Springer Verlag, Berlin. Escudero, L.F., de la Fuente, J.L., Garcia, C. and Prieto, F.J. (1996). Hydropower generation management under uncertainty via scenario analysis and parallel computation. IEEE Transactions on Power Systems 11, No. 2, Fourer, R., Gay, D.M., Kernigham, B.W. and Wets, R. (1999). AMPL: a modeling language for mathematical programming. Brooks/Cole Publishing Company, USA. Hobbs, B., Rothkopf, M., O'Neill, R. and Chao, H. (2001). Next Generarion of Electric power unit commitment models. Kluwer Academic Publishers. Kall, P. and Wallace, S.W. (1995). Stochastic Programming. John Wiley & Sons, England. Pereira, M.V.F. and Pinto, L. (1985). Stochastic Optimization of a Multi--Reservoir Hydroelectric System: A Decomposition Approach. Water Resources Research, Vol. 21, No.6, Ruszczynski, A. (1997). Decomposition methods in stochastic programming. Mathematical Programming79, No.1-3, Sen, S. and Higle, J.L. (1999). Introductory Tutorial on Stochastic Linear Programming Models. Interfaces 29, No.2, van Slyke, R. and Wets, R. (1969). L-shaped linear programs with applications to optimal control and stochastic programming. SIAM Journal of Applied Mathematics 17, Wood, A.J. and Wollenberg, B.F. Power generation, operation and control. John Wiley and Sons, New York, 1996.